需求隨機波動下多設備批量生產系統的視情維護策略研究

收稿日期：2022-04-07；修回日期：2022-06-16" 基金項目：國家自然科學基金資助項目（71632008，71840003）；上海市自然科學基金資助項目（19ZR1435600）；教育部人文社會科學研究規劃基金資助項目（20YJAZH068）；上海理工大學科技發展項目（2020KJFZ038）；2021年上海理工大學大學生創新創業訓練計劃資助項目（SH2021078）

作者簡介：陳水俠（1997-），女，安徽阜陽人，碩士研究生，主要研究方向為設備維護與決策；劉勤明（1984-），男（通信作者），山東日照人，副教授，博士，主要研究方向為維護調度、人工智能等（lqmo531@163.com）；李佳翔（2001-），男，河北石家莊人，本科生，主要研究方向為醫療管理.

摘 要：針對需求隨機波動情況下多設備批量生產系統的設備維護問題，提出了一種基于滾動生產計劃和設備退化狀況的視情維護策略。首先，通過滾動時域規劃方法預測不同產品的隨機需求并在此基礎上以總生產成本最小確定滾動生產計劃。其次，在每一滾動生產周期開始前檢測系統中各設備的退化水平，利用Gamma過程描述退化增量，以最小維護成本率確定當前退化狀態下各設備的最佳維護時間，同時為避免生產過程中斷利用提前延后維護策略對預防維護進行動態調整。在系統層，利用生產轉換時機對需要維護的組件進行組合維護。再次，引入時間約束和服務水平約束，建立批量生產與視情維護的聯合優化模型，以總成本最小為目標，確定實際生產計劃和維護計劃。最后，通過算例以整個生產計劃期內的總成本和故障次數為度量驗證了所提多設備批量生產系統視情維護策略的有效性。

關鍵詞：需求隨機波動；多設備批量生產系統；滾動時域方法；提前延后維護；視情維護

中圖分類號：TB472"" 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）12-029-3713-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0202

Research on condition-based maintenance strategy of multi-equipment batch production system based on stochastic demand fluctuation

Chen Shuixia，Liu Qinming，Li Jiaxiang

（Business School，Shanghai University of Technology，Shanghai 200093，China）

Abstract：In view of the maintenance problem of multi-equipment batch production systems under stochastic demand，this paper proposed a condition-based maintenance strategy based on a rolling production plan and equipment degradation state.Firstly，the method used the rolling horizon approach to forecast the stochastic demand for different products.On this basis，it determined the rolling production plan by minimizing the total production cost.Secondly，before each rolling production cycle starts，it detected the degradation level of each equipment in the system and used the Gamma process to describe the degradation increment，and determined the optimal maintenance time of each equipment in the current degradation state with the minimum maintenance cost rate.To avoid interruptions in the production process，it dynamically adjusted preventive maintenance using an advanced-postponed maintenance strategy.At the system level，it used production changeover opportunities to perform combined maintenance on components that require maintenance.Thirdly，the joint optimization model introduced time and service level constrainted to determine the actual production plan and maintenance plan to minimize the total cost.Finally，with the total cost and the number of failures in the whole production planning period as the measures，the example verifies the effectiveness of the condition-based maintenance strategy of the proposed multi-equipment batch production system.

Key words：stochastic demand；multi-equipment batch production system；rolling horizon approach；advanced and postpone maintenance strategy；condition-based maintenance

0 引言

制造系統在生產和維護之間存在著相互依賴關系，系統的退化和產品需求的波動都會對服務水平產生影響。一方面，生產系統會隨著設備運行時間的增加發生劣化，影響正常的工作性能，導致生產中斷或占用正常的生產時間；另一方面，不確定的需求會造成產品短缺或增加庫存，降低服務水平。因此有必要找到一個綜合模型來同時優化生產和維護計劃。

近年來，有關生產和維護決策的研究取得了一定的進展［1～4］。批量生產作為現代生產的重要模式，被廣泛應用于制造企業，關于批量生產與設備維護問題的研究也取得了一定成果。文獻［5］使用一般離散分布描述批量生產系統的退化過程，并開發了一個擴展模型來確定批量生產系統的經濟批量。文獻［6］針對多設備混流生產系統，以設備的可靠度、結構重要度以及產能為依據，對質量控制、生產批量以及預知維護進行了聯合建模與優化。文獻［7］考慮了不同運行條件對系統劣化和產品質量的影響，提出了一個生產、維護和質量的集成模型以共同優化生產批量和維護計劃。隨著傳感器和信息技術的發展，可以檢測到系統的退化程度以便預測故障，因此，基于狀態的視情維護策略以其有效性和效率在生產制造企業的設備維護問題上得到了廣泛的應用［8～11］。目前，關于批量生產與視情維護的聯合優化，已有學者進行了一些研究。文獻［12］考慮了通過Gamma過程以及隨機系數描述降解水平的情況下，利用更新理論提出了一個綜合生產批量和視情維護的模型。文獻［13］針對生產系統中不同部件劣化機理的不同，分別利用Weibull分布與Gamma過程對部件壽命與劣化過程進行刻畫，對復雜生產系統的經濟批量和視情維護策略進行了聯合建模。文獻［14］考慮了設備劣化對產品質量的影響，將單位生產周期結束后設備的狀態與生產時間相結合，建立了考慮批量生產的視情維護總成本模型。文獻［15］基于一個同時具有老化和連續狀態隨機過程的可修復生產系統，提出經濟生產批量和視情維護的聯合優化策略。

上述研究均是將產品需求視為已知量，而在實際生產中，隨機需求是許多企業面臨的常見問題。生產計劃中的隨機需求受到了很多關注，并獲得了很多見解。文獻［16］考慮了具有易故障機器和隨機需求的制造系統中的生產控制問題，以在無限規劃范圍內最小化庫存持有和積壓成本。文獻［17］提出在不確定需求下的生產模型和相應算法將有限的產能有效地分配給多個產品，以實現利潤最大化。文獻［18］利用預測演變的鞅模型對需求隨時間的演變進行建模，在滾動范圍的基礎上使用機會約束來管理每個計劃時期的庫存、延期交貨和短缺水平。文獻［19］在需求不確定環境下，以滾動方法為基礎，提出了兩階段線性規劃模型，用于解決需求不確定下的多階段生產計劃問題。為快速響應激烈變化的市場環境，滿足客戶對不同產品的需求，越來越多的企業采取小批量多產品的生產模式。小批量多產品生產模式下需求的隨機波動性、生產的連續性、設備劣化的多樣性等特點，無疑對制造企業的生產和設備維護問題提出了新的挑戰。文獻［20］將需求不確定性轉換為變批量問題，針對具有時變批量生產模式的生產系統提出了一種動態機會性預防維護策略。文獻［21］針對生產過程中由于設備劣化引起產品缺陷率增大以及下游需求隨機波動的問題，構建了綜合考慮設備劣化和需求隨機的最優生產周期模型。文獻［22］提出了一種滾動水平方法來動態確定不確定環境下退化系統的生產計劃和維護計劃，并驗證了與傳統的隨機規劃模型相比滾動決策的靈活性。文獻［23］考慮到產品需求的隨機性和設備故障的不確定性，以及生產系統容量有限且隨使用而退化的問題，提出了一種生產計劃與基于狀態維護策略的集成模型。以上文獻雖然都考慮了隨機需求和設備劣化，但均以單系統或單設備為研究對象，未考慮到多設備生產系統的不同劣化特性。

基于以上分析，為在需求隨機波動的情況下，建立更符合小批量多產品生產模式下系統的設備維護策略，本文以多設備批量生產系統為研究對象，綜合考慮需求的隨機波動、設備的不同劣化特性，提出在基于滾動時域規劃（rolling horizon planning，RHP）方法確定的滾動生產計劃下，考慮每一生產周期開始前設備的退化狀況，并利用提前延后動態維護策略以保證同一生產批次的連續性，建立批量生產與視情維護的聯合優化模型。

1 問題描述與假設

1.1 問題描述

考慮在有限的計劃范圍內生產一組產品所需的批量生產系統，該系統以靜態混流制造生產方式組成，對于每種產品，都有其相對應的生產工序。在多品種小批量的生產模式下，由于不同產品對各工序的加工能力需求量不同，產品種類的變化不僅會影響設備的加工負載情況，同時會影響設備的啟停狀態。假設不同產品的需求預測是相互獨立的，并使用不同的概率密度對需求不確定性進行建模。為適應市場和客戶需求的變化，企業要合理地組織批量生產，必須根據社會需求、市場預測、產品成本、庫存水平、設備利用狀況和設備退化水平等多種因素，確定合適的生產批量。本文采用滾動時域規劃（rolling horizon planning，RHP）方法動態確定需求隨機波動下批量生產系統的滾動生產計劃，同時為避免產品生產過程的中斷，減少生產過程中的停機損失和突發故障導致的高昂成本，采用提前延后維護策略，動態決策出每一生產周期的設備維護計劃。通過最小化生產和維護的預期總成本來實現最優解決方案，同時引入服務水平約束以確保每個時期的客戶需求以高概率得到滿足。與傳統的確定性批量問題相比，隨機設備故障和隨機需求增加了該問題的不確定性。

1.2 模型假設

a）在有限的時間范圍內生產一組產品，對于每種產品，在期末要滿足隨機需求。每個產品都沒有初始庫存或缺貨，產品應分批生產，每個批次都以設置操作開始，其成本被考慮但時間被忽略。b）生產設備會隨著運行時間的增加而退化，當退化級別超過故障閾值時發生故障。c）每個滾動計劃開始前對設備退化程度進行檢測，檢測操作是完美的和非破壞性的。d）預防維護（preventive maintenance，PM）是不完美的，預防維護后的退化程度只是恢復到了比以前更好的狀態，維修所需的備件隨時可用。e）當系統發生故障時，立即執行反應性維修（corrective maintenance，CM），反應性維修能夠使設備恢復到正常的運行狀態，但不改變設備的退化狀況。f）由于故障是隨機的，所以所需的反應性維修成本遠大于預防維護成本。

2 模型建立

2.1 RHP模型

在RHP中，時間被考慮在等長的離散周期中，總計劃周期由K個滾動計劃組成，每一滾動計劃期的第一個生產周期（總計劃期的第k生產周期）為規劃期，生產周期k，k+1，…，k+H-1為當前規劃窗口，考慮的周期數H為規劃窗口長度，滾動步長即為規劃期的周期長度Tk。每個滾動計劃期的開始，收集有關未來需求和系統中各設備的健康狀況的相關信息，包括設備利用狀況、設備退化水平以及需求預測、缺貨水平、庫存水平等。在每一規劃期，首先確定規劃期的生產計劃和更新剩余H-1個預測期的生產計劃，其次根據當前系統中各設備的退化水平和提前—延后維護策略制定當前規劃期的維護計劃。規劃期確定的生產和維護計劃是實際執行的計劃，各預測期的生產需求仍需根據下一滾動計劃期獲得的新信息不斷更新，RHP方法示意圖如圖1所示。

2.2 基于RHP的生產計劃

在RHP模型中，隨著新信息的可用，需求預測會在每個滾動計劃期開始前更新，隨機變量d（i）k，s表示在規劃期k對s期的需求作出的預測，其中s=k，k+1，…，k+H-1。在規劃期k對產品i進行的預測形成一個向量D（i）k={d（i）k，k，d（i）k，k+1，…，d（I）k，k+H-1}，dik=d（i）k，k表示第k期的確定性需求。令μ（i）k，s和σ（i）k，s分別表示在規劃期k對產品i在s（k≤s≤k+H-1）期需求預測的均值和標準差，并定義隨機變量ε（i）ks為

ε（i）ks=μ（i）k，s-μ（i）k-1，s i∈P，s=k，k+1，…，k+H-1（1）

其中：ε（i）ks表示在第k-1和第k個滾動計劃期對產品i在s期的需求均值的預測誤差。令ε（i）k={ε（i）kk，ε（i）k，k+1，…，ε（i）k，k+H-1}表示在規劃期k收到的預測更新向量，ε（i）k，k+H-1是對k+H-1期需求均值的第一次更新以形成H-1期提前預測，而ε（i）kk是確定k期實際需求的最終更新。需求預測過程的均值遵循以下時間演變關系：

μ（i）k，s=μ（i）k-1，s+ε（i）ks i∈P，s=k，k+1，…，k+H-1（2）

則產品i在s期的需求均值可以表示為平均需求μi加上最近H個時期預測更新的總和，需求均值由下式給出：

μ（i）s=μi+∑Ht=1ε（i）k-H+t，k（3）

假設xik、Iik和Bik分別表示在第k個規劃期產品i的生產數量、庫存數量和缺貨量，ci、hi和bi分別表示產品i的單位生產成本、單位庫存成本和單位缺貨成本。在第k個規劃期內總生產成本表達式為

Zk=∑Pi=1（cixik+hiIik+biBik+siyik）（4）

其中：si表示產品的設置成本；yik表示二進制變量，如果在第k生產周期生產產品i，則yik=1，否則，yik=0。基于各規劃期產品需求的標準庫存平衡方程可以表示為

Iik-Bik=Ii，k-1-Bi，k-1+xik-dik i，k（5）

如果在第k規劃期計劃生產產品i，需要進行相關的設置；否則，產品i的產量為零，設Umax表示周期最大產能，則生產設置約束可表示為

xik≤yikUmax i，k（6）

因此在RHP方法中得到的生產模型（M1）被表述為

min Zk=∑Pi=1（cixik+hiIik+biBik+siyik）（7）

s.t.Iik-Bik=Ii，k-1-Bi，k-1+xik-dik；i，k

xik≤yikUmax；i，k

xik，Iik，Bik，dik≥0；i，k

yik∈{0，1}；i，k（8）

2.3 視情維護

2.3.1 退化過程建模

Gamma過程是具有獨立增量且嚴格單調遞增的隨機過程，適用于描述具有非負增量的設備性能劣化過程，因此本文使用Gamma過程來描述系統中設備的劣化狀況。用Xj（t）表示設備j在役齡t的退化水平，由Gamma過程定義，Xj（t）是連續時間上的獨立增量過程，Xj（0）=0。設Xj（t）服從形狀參數為αjt、尺度參數為βj的Gamma分布，Xj（t）的概率密度函數為

fj（x）=

βαjtj

x（αt-1j）Γ（αjt）e-βjx x≥0（9）

其中：Γ（a）=∫∞0ua-1e-udu，agt;0為Gamma函數。

在批量生產系統中，每一產品都有其固定的生產工序。假設vijk為示性函數，若在第k個規劃期生產產品i需要啟動設備j，則記vijk=1，無須啟動設備j，則記vijk=0。d（i）k，k表示第k個滾動周期內產品i在規劃期實際需求量，ri表示產品i的單位加工時間，則設備j在第k個規劃期的實際運行總時間為

τjk=∑Pi=1vijkrid（i）k，k，τjk≤Mk（10）

其中：Mk表示系統在第k規劃期的最大可運行時間。設Lj為設備j的故障閾值，即當Xj（t）gt;Lj時設備j發生故障，TLj表示設備j的退化量首次達到Lj的時刻，用tk表示第k規劃期的開始時間并假設在第k個滾動周期開始前檢測到設備j的退化量為Xj（tk），根據Gamma過程的定義設備j在退化量為Xj（tk）時的失效時間分布函數可以表示為

F（t|Xj（tk））=P{TLj-tk≤t}=P{Xj（t）≥Lj-Xj（tk）}=

∫∞Lj-Xj（tk）fj（x）dx=∫∞Lj-Xj（tk）βαjtjΓ（αjt）x（αj-1）e-βjxdx=

Γ（αjt，βj（Lj-Xj（tk）））Γ（αjt）（11）

那么設備j在退化量為Xj（tk）時的可靠性函數可表示為

R（t|Xj（tk））=1-Pr{TLj-tk≤t}=1-Pr{Xj（t）≥Lj-Xj（tk）}=

∫Lj-Xj（tk）0fαjt，βj（x）dx=1-Γ（αjt，β（Lj-Xj（tk）））Γ（αjt）（12）

在實際的維護實踐中，設備經過維護一般不能修復如新，即設備劣化量不能恢復為0，而是一個服從Beta分布的隨機變量［13］，若設備j在維護前檢測到的劣化量為Xj（t），則維護后的設備劣化量X+j（t）為［0，Xj（t）］的隨機變量。以Beta分布為例來描述隨機變量X+j（t），其概率密度函數為

gj（x）=1Xj（t）Γ（pj+qj）Γ（pj+qj）（xXj（t））（pj-1）

（1-xXj（t））（1-qj）×10≤x≤Xj（t）（13）

其中：pjgt;0，qjgt;0為Beta分布的兩個參數。

2.3.2 PM提前延后成本擇優策略

為了最優化單設備維護的經濟性，以期望維護成本率最小確定在不同退化量情況下設備的最佳預防維護時間。用cpj和tpj分別表示設備j的PM成本和時間、ccj和tcj分別表示設備j的CM成本和時間，則在退化量為Xj（tk）時，期望維護成本率為

C（T|Xj（tk））=cpj+ccj×∫T0λj（t|Xj（tk））dtT+tpj+tcj×∫T0λj（t|Xj（tk））dt（14）

具有退化水平Xj（tk）的設備j的最佳PM時間T*jk由下式推導：

dC（T|Xj（tk））dT=0（15）

由于在批量生產中，不允許生產中斷，所以PM作業只能安排在批量生產開始前或生產結束后實施。采用提前延后成本擇優策略，動態分析預防維護提前和延后的成本變化，作出實時PM決策。假設在第k個規劃期，設備j需要實施PM作業，為減少生產過程的中斷，PM作業需要提前到生產周期開始前或延后到當前批量生產周期結束后實施。如果PM提前到第k個生產周期開始前執行，則會改變設備在當前生產周期的可靠性。假設在維護后，設備j的退化水平為X+j（tk），則在第k個滾動周期設備j的可靠性和故障率函數相應更新為

R（t|X+j（tk））=∫Lj-X+j（tk）0fαjt，βj（x）dx（16）

λj（t|X+j（tk））=d ln R（t|X+j（tk））dt（17）

設備j的PM作業提前到第k生產周期開始時的維護成本變化ACmjk可表示為

ACmjk=cpj+ccj×（∫T*jk0λj（t|Xj（tk））dt+∫τjkT*jkλj（t|Xj（tk））dt）-

cpj+ccj×∫τjk0λj（t|X+j（tk））dt（18）

其中：cpj+ccj×（∫T*jk0λj（t|Xj（tk））dt+∫τjkT*jkλj（t|X+j（tk））dt）表示在最佳PM時間執行預防維護的成本，cpj+ccj×∫τjk0λj（t|X+j（tk））dt表示將PM提前到生產周期開始前執行的成本。當前生產周期PM時間的變化可能會導致后期維護數量的變化，進而導致設備維護成本的變化，根據當前維護時間的變化和當期設備實際運行時間之間的比例關系以及PM作業的成本，建立的預防維護變動成本ACpjk可表示為

ACpjk=T*jkτjk×cpj（19）

PM提前到第k個生產周期開始前執行的成本變化可表示為

ACjk=cpj+ccj×（∫T*jk0λj（t|Xj（tk））dt+∫τjkT*jkλj（t|X+j（tk））dt）-

cpj+ccj×∫τjk0λj（t|X+j（tk））dt-T*jkτjk×cpj（20）

與PM提前相似，PM延后的成本變化可計算為

DCjk=cpj+ccj×（∫T*jk0λj（t|Xj（tk））dt+∫τjkT*jkλj（t|X+j（tk））dt）-

cpj+ccj×∫τjk0λj（t|Xj（tk））dt+τjk-T*jkτjk×cpj（21）

根據上述提前延后成本分析，PM提前延后維護成本擇優可表示為

ADPjk=ACjk-DCjk（22）

若ADPjk≥0，則將設備j的PM作業提前到第k生產周期開始前執行，否則，將設備j的PM作業延后到第k生產周期結束后執行，單設備PM提前延后的流程如圖2所示。在動態維護策略下，第k個規劃期設備j的維護策略可表示為

Θ（j，Mk）=0T*jkgt;τjk

1T*jk≤τjk，ADPjk≥0

2T*jk≤τjk，ADPjklt;0（23）

2.3.3 系統層多設備組合維護策略

在多產品小批量的生產模式下，批量生產系統由多臺不同類型的設備混流組成，每種產品有其固定的工序加工生產。考慮到不同設備之間結構上的相關性，提出了系統層多設備組合維護策略。在設備層的維護優化方案中，PM作業被提前到第k個規劃期開始生產前（PM維護組合集Gk），或延后到第k批次生產結束后（PM維護組合集Gk+1）執行，根據批量生產與設備維護的優化機制，將在生產轉換時機需要維護的設備進行組合維護，具體描述如下：

a）從第一個生產周期開始，根據設備狀態計算各設備的最佳PM時間點，檢查是否存在原定于第一個生產周期進行維護的設備。在第一個生產批次開始前一般不安排PM作業，因此所有PM作業被延后到第一個規劃期結束后實施。則設備j在第一個規劃期生產結束后是否需要執行PM可表示為

Θ（j，M1）=0T*jkgt;τjk

2T*jk≤τjk，ADPjklt;0（24）

b）在每一生產規劃期開始前，根據各設備的劣化狀況以及提前延后維護策略的結果，檢查系統中是否存在原定于在下一規劃生產期進行PM的設備，根據PM提前延后成本擇優方法，提前或延后各設備的PM作業：

j∈GkT*jklt;τjk，ADP≤0

Gk+1T*jk≤τjk，ADPgt;0，k=2，…，K（25）

δ（Gk）=0|Gk|=0

1|Gk|gt;0（26）

其中：Gk為第k個滾動生產周期開始前PM維護的設備組合集。當|Gk|=0時，表示在第k個規劃期開始前不存在設備需要進行PM；當|Gk|gt;1時，表示在第k批次生產開始前存在需要進行PM的設備。則在PM作業后，各設備的可靠性更新為

Rjk（t）=R（t|Xj（tk））Θ（j，Mk）=0

R（t|X+j（tk））Θ（j，Mk）=1（27）

c）以設備維護組合集Gk中維護時間最長設備的維護時間作為第k滾動周期生產開始前設備維護總時間Tpk，則Tpk可表示為

Tpk=max{tpj}，j∈Gk（28）

2.3.4 維護成本

記CTotalk為第k個規劃期內的總維護費用，包括系統啟動費用Csetup、系統檢測費用Cin、預防維護費用Cpmk、小修費用Ccmk。為方便計算，將延后維護的設備費用歸入下一生產周期維護費用的計算，則第k個規劃期內的總維護費用的表達式為

CTotalk=Cin+Csetup+Cpmk+Ccmk=

Cin+Csetup+∑j∈Gk（cpj+ccj×∫τjk0λj（t|X+j（tk））dt）+

∑jGk（ccj×∫τjk0λj（t|Xj（tk））dt）（29）

3 生產和維護的總成本模型

3.1 模型約束

由于生產和維護共用整個生產周期的時間段，所以生產和維護是相互制約的，預防維護占用的時間可用于生產。在每一規劃期生產和維護的聯合優化的時間約束關系可表示為

∑Pi=1（rikvijk+Tpk）≤Mk（30）

除了考慮隨機需求并將維護計劃整合到生產計劃中之外，還需要考慮隨機需求下客戶的服務水平約束以確保該需求能夠以高概率得到滿足，每一規劃期的服務水平約束可以表示為

P{Iik≥0}≥α，i∈P（31）

其中：α是目標服務水平；Iik是產品i在第k規劃期的庫存水平，可表示為

Iik=Ii，0+∑kt=1xit-∑kt=1dit（32）

其中：Ii，0是初始庫存，在本文中，假設Ii，0=0，則服務水平約束可改寫為

P{∑kt=1xit≥∑kt=1dit}≥α，i∈P（33）

3.2 總成本模型

就共同確定維護計劃和生產數量的目標而言，單獨優化維護計劃和生產計劃不一定是最優的，主要是因為維護活動和生產計劃是相互依賴的。由于在每個滾動范圍內只執行規劃期的生產和維護決策，所以只需計算實際執行的生產和維護成本。生產和維護聯合優化模型（M2）可以表示為

min Z=∑Kk=1Zk+CTotalk（34）

s.t. Iik-Bik=Ii，k-1-Bi，k-1+xik-dik；i，kxik≤yikUmax；i，k

∑pi=1（rikvik+TPk）≤Mk

P{∑kt=1xit≥∑kt=1dit}≥α，i∈P

i=1，2，…，P；k=1，2，…，K

xik，Iik，Bik，dik≥0（35）

4 模型求解

由于所提模型中存在一些非線性約束，使其成為一個混合整數非線性規劃模型，本文使用仿真方法，對系統運行進行仿真。仿真實驗中，在每個滾動計劃期開始，首先利用RHP方法確定規劃期的生產計劃并根據生產計劃計算各設備的實際運行時間，然后根據系統中各設備當期的劣化水平，計算最佳的預防維護時間，當設備的最佳預防維護時間落入當期設備運行時間中，則通過提前延后維護方法，將最佳預防維護時間動態調整到當前生產周期開始前或延后到生產周期結束后執行，由組合維護策略，利用生產轉換時機對需要進行預防維護的設備進行組合維護。隨著下一滾動計劃期需求信息的更新，重新應用RHP方法和提前延后維護方法確定該規劃期的生產計劃和維護計劃，重復此過程，直到完成整個生產計劃期的所有生產周期。仿真模型的詳細過程如圖3所示。

5 算例分析

5.1 數據準備

本節以某制造企業多設備混聯批量生產系統為例，來說明所提出的生產維護策略如何用于復雜結構系統的決策，算例中考慮的批量生產系統結構如圖4所示，各設備的相關參數如表1所示，其中：Gamma過程的參數采用最大似然法進行估計，其他參數參考歷史維護數據以及供應商提供的數據確定。系統每次啟動的成本為Csetup=500元，每次檢測的成本Cin=150元。預防維護后設備的劣化量服從Beta分布，其中的參數為p=0.4，q=1.2。

假設生產計劃期為一年，每個月（按30天計算）為一個生產周期，即需求規劃的滾動步長為30天，規劃窗口的長度為四個生產周期，即H=4，包括一個規劃期和三個預測期。在本文中，隨機需求以滾動步長為度量定期更新，并假設每個產品的概率模型遵循正態分布，且各產品之間的需求獨立，其中預測方差的變化為σ（i）k，s=（s-k）×φi。為了滿足每個時期的需求，需要批量生產P=3種產品，各產品的時間分配規則為0.31、0.57和0.12，生產工序以及相關生產參數如表2所示。

5.2 結果分析

隨著時間推移，需求預測得到改善，在每一滾動計劃期中規劃期的需求預測的方差減少到0，即規劃期的需求預測轉變為確定性需求，其他預測期的需求仍需根據生產信息的更新不斷得到改善。圖5～7分別給出了每個滾動計劃期三種產品需求預測的演變情況，其中每個滾動計劃期在規劃期的需求是確定的，用黑色折線表示，其他帶有不同符號的折線則表示每個規劃期對剩余三個預測期作出的需求預測，演變過程顯示了需求隨時間的變化不斷得到改善。在確定了每一滾動生產計劃期中規劃期的需求后，由需求波動造成的不確定性需求問題轉換為確定性需求問題。

表3給出了數值測試的結果，其中實際需求是每個規劃期確定的需求，滾動生產計劃是基于規劃期需求確定的情況下制定的，實際生產計劃則是綜合考慮生產和維護兩方面的需求，并在顧客滿意度αgt;0.95的約束下制定的生產計劃。

在實際生產中，為避免因設備故障和預防維護導致的生產中斷，將各設備的維護計劃提前或延后安排在生產轉換時刻進行實施。由于不同產品對應不同的生產工序以及各生產設備性能之間存在的差異，在同一生產周期各設備的運行時間以及設備的退化量也存在著差異。基于每一生產周期開始時設備的劣化量，由最小維護成本率確定的各設備的最佳維護時間的變化如圖8所示。隨著設備劣化量的增加，最佳預防維護時長不斷減少，當最佳預防維護時間落入當前生產周期時，則根據提前延后維護策略對預防維護時間進行動態調整，以減少生產中斷，保證生產的連續性。在對設備進行了不完美的預防維護后，設備的劣化量得到了一定的修復，對應維護后設備退化量的最佳預防維護時間也相應增加。

表4給出了對應實際生產計劃的每個規劃期的設備維護決策，0表示在當前生產周期不實施維護計劃，1表示將生產周期內的維護計劃提前到當期生產開始前執行，2則表示將生產周期內的維護計劃延后到當期生產結束后執行。同生產計劃一樣，每個滾動期中的規劃期的維護計劃是真實發生的，規劃期的生產和維護計劃是在模擬中實際執行的計劃。確定各設備的維護計劃后，考慮多設備生產結構，在系統層面上作出實時維護組合決策，表5則反映了在該模擬中每個生產轉換時間的系統層維護組合。

在本次數值測試中，實際總成本為384 955元，其中包括363 105元的實際生產成本和21 850元的實際維護成本，在總規劃范圍內設備因發生故障停機維護的次數為0，驗證了動態維護決策策略在避免系統隨機退化過程中引起生產中斷方面的良好性能。

5.3 結果比較

作為對比，在確定滾動生產計劃下，選取另外三種維護策略來與本文提出的多設備批量生產系統的視情維護策略進行比較：a）依據各期退化水平進行故障預測，若Xj（t）≥Lj，tk≤t≤tk+τjk，則在生產周期開始前對設備進行維護，僅考慮設備退化水平，不考慮由最小維護成本率確定的最佳預防維護時間；b）依據各期設備退化水平，在確定的最佳預防維護時間點執行PM，不考慮提前延后維護成本擇優策略，即沒有考慮到系統運行的連續性；c）依據各期設備退化水平確定的最佳PM時間點，若生產期間需要設備維護，則提前到生產周期開始前維護，即僅考慮提前維護不考慮延后維護。根據表1和2相同的設備參數和生產參數設置，以及表3確定的滾動生產計劃，不同維護策略下的成本比較在圖9中表示。

從比較結果中可以看出，策略1的維護成本和小修成本均高于其他策略；策略2雖然在維護成本上最小，但由于在生產中多次停機維護，過多占用生產時間，導致生產成本增加；盡管策略3小修成本最低，顯示了較好的維護效果，但是生產周期中的最佳維護時間均提前到生產周期開始前，間接增加了維護次數，造成過度維護，導致維護成本的增加；本文維護策略是基于策略2、3的進一步優化，在降低總成本和提高系統性能上均顯示了較好的效果。

6 結束語

本文研究了在需求隨機波動下靜態混聯批量生產系統的生產計劃和維護計劃的聯合決策。為了在產品需求隨機波動情況下，更加準確地預測不同產品的需求量，通過RHP方法利用不斷更新的信息對需求預測進行改善，在每一滾動計劃期中可以確定規劃期的實際需求，并依此制定滾動生產計劃。同一批量生產

系統中生產多種產品，由于各產品的生產加工所需設備不同，設備運作時間以及設備劣化程度也不相同，所以無法對所有設備進行統一維護。在每一批量生產周期開始前，基于當期設備退化水平以最小維護成本率確定最佳預防維護時間，當最佳預防維護時間落入當期設備運行時間內，則通過提前延后策略對預防維護進行動態調整，降低了生產過程中的故障次數，減少了因預防維護導致的生產中斷，保證了系統運行的連續性。在系統層提出了多設備組合維護策略，利用生產轉換時機將提前或延后維護的設備進行組合維護。數值算例以成本和故障次數為度量，驗證了所提需求隨機波動下批量生產系統視情維護策略的有效性。

本文方法對于需求隨機波動下，產品種類差異較小或相似產品的多設備批量生產系統的生產和維護具有一定的應用和推廣價值，能夠靈活處理不同劣化特性的設備維護問題，使生產系統中的各設備在較穩定的狀況下運作，并保證批量生產的連續性和產品質量的穩定性。但面對市場和客戶對產品的需求呈現出多元化、多樣化的趨勢，較大的產品種類的變化會影響到生產系統的結構構造，而本文研究的對象是靜態混流批量生產系統的視情維護策略，未能考慮到系統結構變化對設備劣化的影響，在下一步的研究中將考慮由產品種類變化引起的系統結構動態變化，即可重構批量生產系統的視情維護策略。

參考文獻：

［1］Iravani S M R，Duenyas I.Integrated maintenance and production control of a deteriorating production system［J］.IIE Transactions，2002，34（5）：423-435.

［2］Aghezzaf E H，Najid N M.Integrated production planning and preventive maintenance in deteriorating production systems［J］.Information Sciences，2008，178（17）：3382-3392.

［3］陶紅玉，周炳海.基于隨機退化的串行生產系統機會維護模型［J］.上海交通大學學報，2013，47（12）：1911-1917.（Tao Hongyu，Zhou Binghai.Opportunistic maintenance model for series production system based on stochastic degradations［J］.Journal of Shanghai Jiaotong University，2013，47（12）：1911-1917.）

［4］劉勤明，董航宇.考慮產品墮化的生產計劃與設備維修集合優化研究［J］.上海理工大學學報，2020，42（1）：44-49.（Liu Qingming，Dong Hangyu.Integrated optimization of production planning and equipment maintenance considering deterioration of product［J］.Journal of University of Shanghai for Science and Technology，2020，42（1）：44-49.）

［5］Tsai W C，Wang C H.Extended economic maintenance scheduling for a batch production system［J］.Journal of Information and Optimization Sciences，2017，38（2）：219-231.

［6］成國慶，周炳海，李玲.多設備系統的生產批量、質量控制與預知維護聯合優化［J］.系統工程理論與實踐，2019，39（8）：2152-2161.（Cheng Guoqing，Zhou Binghai，Li Ling.Joint optimization of production quantity，control and predictive maintenance for production systems with multiple machines［J］.Systems Engineering Theory amp; Practice，2019，39（8）：2152-2161.

［7］Wang Lin，Lu Zhiqiang，Han Xiaole.Joint optimization of production，maintenance and quality for batch production system subject to varying operational conditions［J］.International Journal of Production Research，2019，57（24）：7552-7566.

［8］Van Phuc D，Berenguer C.Condition-based maintenance with imperfect preventive repairs for a deteriorating production system［J］.Qua-lity and Reliability Engineering International，2012，28（6）：624-633.

［9］Bajestani M A，Banjevic D，Beck J C.Integrated maintenance planning and production scheduling with Markovian deteriorating machine conditions［J］.International Journal of Production Research，2014，52（24）：7377-7400.

［10］Khatab A，Diallo C，Aghezzaf E，et al.Integrated production quality and condition-based maintenance optimisation for a stochastically deteriorating manufacturing system［J］.International Journal of Production Research，2019，57（8）：2480-2497.

［11］Zhang Wenyu，Gan Jie，Hou Qingyu.Joint decision of condition-based maintenance and production scheduling for multi-component systems［J］.Journal of Engineering Manufacture，2021，236（6-7）：726-740.

［12］Peng Hao，Van Houtum G J.Joint optimization of condition-based maintenance and production lot-sizing［J］.European Journal of Ope-rational Research，2016，253：94-107.

［13］成國慶，周炳海，李玲.復雜生產系統經濟生產批量與視情維護策略模型［J］.計算機集成制造系統，2018，24（9）：2270-2278.（Cheng Guoqing，Zhou Binghai，Li Ling.Modeling of economic production quantity and condition-based maintenance policy for complex production system［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2018，24（9）：2270-2278.）

［14］湯樂成，劉勤明，葉春明，等.考慮批量生產的設備視情維護策略優化研究［J］.上海理工大學學報，2021，43（3）：296-302.（Tang Lecheng，Liu Qinming，Ye Chunming，et al.Optimization of equipment condition-based maintenance strategy considering batch production［J］.Journal of University of Shanghai for Science and Techno-logy，2021，43（3）：296-302.）

［15］Zheng Rui，Zhou Yifan，Gu Liudong，et al.Joint optimization of lot sizing and condition-based maintenance for a production system using the proportional hazards model［J］.Computers amp; Industrial Engineering，2021，154：107157.

［16］Feng Youyi，Yan Houmin.Optimal production control in a discrete manufacturing system with unreliable machines and random demands［J］.IEEE Trans on Automatic Control，2000，45（12）：2280-2296.

［17］Ho J W，Fang C C.Production capacity planning for multiple products under uncertain demand conditions［J］.International Journal of Production Economics，2013，141（2）：593-604.

［18］Albey E，Norouzi A，Kempf KG，et al.Demand modeling with forecast evolution：an application to production planning［J］.IEEE Trans on Semiconductor Manufacturing，2015，28（3）：374-384.

［19］Englberger J，Herrmann F，Manitz M.Two-stage stochastic master production scheduling under demand uncertainty in a rolling planning environment［J］.International Journal of Production Research，2016，54（20）：6192-6215.

［20］Hu Jiawen，Jiang Zuhua，Liao Haitao.Preventive maintenance of a batch production system under time-varying operational condition［J］.International Journal of Production Research，2017，55（19）：5681-5705.

［21］周炳海，劉玉旺.考慮設備劣化及隨機需求的最優生產周期模型［J］.哈爾濱工程大學學報，2017，38（6）：950-955.（Zhou Binghai，Liu Yuwang.An optimal production period model for a buffered system with machine deteriorating upstream and stochastic demand downstream［J］.Journal of Harbin Engineering University，2017，38（6）：950-955.）

［22］Wang Lin，Lu Zhiqiang，Ren Yifei.A rolling horizon approach for production planning and condition-based maintenance under uncertain demand［J］.Journal of Risk and Reliability，2019，233（6）：1014-1028.

［23］Wang Lin，Lu Zhiqiang，Ren Yifei.Integrated production planning and condition-based maintenance considering uncertain demand and random failures[J].Journal of Engineering Manufacture，2020，234（1-2）：310-323.