基于參數(shù)區(qū)間不確定性分析的無人機(jī)輔助物聯(lián)網(wǎng)魯棒優(yōu)化

收稿日期：2022-04-21；修回日期：2022-06-20" 基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目（61802107）；河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究項目（ZD2020171）；江蘇省博士后科研資助計劃項目（1601085C）

作者簡介：王巍（1983-），男（通信作者），河北邯鄲人，教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向為應(yīng)急物聯(lián)網(wǎng)、優(yōu)化理論等（wangwei83@hebeu.edu.cn）；谷壬倩（1996-），女，河北石家莊人，碩士，主要研究方向為應(yīng)急物聯(lián)網(wǎng)、魯棒優(yōu)化；劉華真（1995-），女，河南洛陽人，碩士，主要研究方向為數(shù)據(jù)挖掘、隱式推薦系統(tǒng)；郝亞奇（1993-），男，河北邯鄲人，碩士，主要研究方向為無人系統(tǒng)．

摘 要：無人機(jī)輔助物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于災(zāi)害應(yīng)急通信中，但物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的通信中存在多種不確定因素。針對位置參數(shù)區(qū)間存在不確定性的問題，提出了無人機(jī)輔助物聯(lián)網(wǎng)通信的魯棒優(yōu)化方法。使用橢球不確定集對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備位置參數(shù)區(qū)間不確定性進(jìn)行描述，建立了包含不確定性的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信魯棒優(yōu)化模型，并對模型進(jìn)行了求解。為提高模型求解的準(zhǔn)確性，提出一個有關(guān)位置參數(shù)區(qū)間不確定和橢球誤差域之間的相關(guān)分析方法，分析了兩類不確定因素對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信模型的影響程度。以地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備最優(yōu)部署和通信最小功率為目的，設(shè)計了仿真實驗。結(jié)果表明，在不確定因素存在時，所提優(yōu)化模型能有效實現(xiàn)地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備間的最優(yōu)部署和通信功率最小化。

關(guān)鍵詞：災(zāi)害應(yīng)急；物聯(lián)網(wǎng)；魯棒優(yōu)化；參數(shù)區(qū)間；不確定性

中圖分類號：TP391"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）12-034-3743-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0206

Robust optimization of UAV assisted Internet of Things based on

parameter interval uncertainty analysis

Wang Wei1，2，3，Gu Renqian1，2，Liu Huazhen1，2，Hao Yaqi1，2

（1.School of Information amp; Electrical Engineering，Hebei University of Engineering，Handan Hebei 056038，China；2.Hebei Key Laboratory of Security amp; Protection Information Sensing amp; Processing，Handan Hebei 056038，China；3.School of Internet of Things Engineering，Jiangnan University，Wuxi Jiangsu 214122，China）

Abstract：UAV-assisted IoT technology has been widely used in disaster emergency communication，but there are many uncertainties in the communication of IoT equipment.Aiming at the problem of uncertainty in the position parameter interval，this paper proposed a robust optimization method for UAV-assisted Internet of Things communication.It used ellipsoid uncertainty set to describe the interval uncertainty of the location parameters of the ground IoT equipment，and established and solved the robust optimization model of IoT equipment communication with uncertainty.In order to improve the accuracy of the model，it proposed a correlation analysis method between the uncertainty of position parameter interval and ellipsoid error domain，and analyzed the influence of two kinds of uncertainty factors on the communication model of Internet of Things equipment.The simulation experiment designed for the purpose of optimal deployment of ground IoT equipment and minimum communication power.The results show that the proposed optimization model can effectively realize the optimal deployment and communication power minimization between ground IoT devices in the presence of uncertainties.

Key words：disaster response；Internet of Things；robust optimization；parameter range；uncertainty

0 引言

物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)和科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展使得災(zāi)害應(yīng)急救援可以通過聯(lián)網(wǎng)基礎(chǔ)設(shè)施、聯(lián)網(wǎng)無人機(jī)、聯(lián)網(wǎng)無人車以及其他物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備，更快速、安全、有效地響應(yīng)災(zāi)害應(yīng)急救援事件［1，2］。其中，面向災(zāi)害事件中基礎(chǔ)設(shè)施遭到破壞，現(xiàn)有的通信手段遭到破壞，從而導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)阻塞或癱瘓等問題無法實時準(zhǔn)確地與外界進(jìn)行通信的情況［3］，考慮以無人機(jī)作為空中中繼通信基站［4，5］，基于無人機(jī)搭建災(zāi)害應(yīng)急通信中繼平臺，補充當(dāng)前災(zāi)害應(yīng)急無線通信系統(tǒng)［6］。

災(zāi)害應(yīng)急事件中位置信息是異構(gòu)物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備協(xié)同組網(wǎng)、網(wǎng)絡(luò)通信、網(wǎng)絡(luò)傳輸優(yōu)化、應(yīng)急資源調(diào)度等各項基礎(chǔ)災(zāi)害應(yīng)急事件進(jìn)行救援的基礎(chǔ)［7，8］。王華榮［9］對災(zāi)害應(yīng)急事件中的不確定性進(jìn)行了系統(tǒng)性分析，指出不確定性是災(zāi)害事件的本質(zhì)特征。在物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備執(zhí)行任務(wù)過程中又由于設(shè)備定位精度不準(zhǔn)確、無人機(jī)任務(wù)執(zhí)行中的能耗的不確定性等內(nèi)部不確定性因素［10，11］，以及建筑物的遮擋、環(huán)境干擾等外部不確定因素［12］，使得各類異構(gòu)設(shè)備無法獲取到精確的位置信息，勢必會影響救援的效率［13，14］。所以，針對無人機(jī)輔助物聯(lián)網(wǎng)災(zāi)害應(yīng)急通信系統(tǒng)，考慮災(zāi)害應(yīng)急救援中設(shè)備的位置參數(shù)區(qū)間存在的不確定性，對位置參數(shù)區(qū)間不確定性進(jìn)行優(yōu)化，是本文的出發(fā)點。

不確定因素存在于各類突發(fā)事件中，選擇合適的優(yōu)化方法是重要的。目前，應(yīng)對不確定因素的優(yōu)化方法目前主要包括區(qū)間分析［15，16］、模糊數(shù)學(xué)［17］以及魯棒優(yōu)化［18，19］等。區(qū)間分析方法是通過構(gòu)建不確定因素的置信區(qū)間來減小可行性解集的范圍來降低模型的計算量和提高魯棒性，此方法易受異常值的影響，且不能求解難方程。模糊數(shù)學(xué)利用研究者的主觀信息進(jìn)行不確定因素的數(shù)學(xué)描述，且被處理的優(yōu)化問題需要具備概率計算的特性，但是災(zāi)害應(yīng)急中的不確定因素不一定都能用概率形式表示。魯棒優(yōu)化方法則是以一定的變化范圍來表示場景中變量的不確定性，旨在建立最壞情況下的最優(yōu)策略，且具有強(qiáng)約束的特點。災(zāi)害應(yīng)急救援中的無人系統(tǒng)不確定性問題是復(fù)雜問題，使用魯棒優(yōu)化在建模過程中能夠充分考慮不確定性問題，用不同的不確定集對變量進(jìn)行描述，約束條件成立時只要不確定參數(shù)屬于不確定集，所求出的解都能滿足優(yōu)化問題，滿足物聯(lián)網(wǎng)災(zāi)害應(yīng)急系統(tǒng)的要求。因此本文選取魯棒優(yōu)化方法對物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)模型進(jìn)行優(yōu)化。

對于不確性的研究，一部分專家學(xué)者以災(zāi)害應(yīng)急救援的不確定環(huán)境作為出發(fā)點。胡笑旋等人［20］對于環(huán)境的不確定性進(jìn)行了等級劃分，環(huán)境的不確定性分為一般不確定性和復(fù)雜環(huán)境下的不確定性，總結(jié)了不確定環(huán)境下優(yōu)化問題的特點。周歡等人［21］基于卡爾曼濾波預(yù)測不確定性環(huán)境中的障礙物和目標(biāo)軌跡，生成協(xié)同防碰撞決策。秦玉峰等人［22］分析了系統(tǒng)發(fā)生故障后，傳播過程不確定性和測試結(jié)果不確定性，用相關(guān)概率矩陣來描述不確定性因素，并分析了測試性指標(biāo)。劉航［23］在考慮不確定性的情況下，將通信的時間與設(shè)備的通信需求進(jìn)行并行的操作處理，來優(yōu)化設(shè)備的救援效率。劉星［24］從災(zāi)害救援的緊迫性和重要性出發(fā)，考慮了需求、供應(yīng)和成本等參數(shù)的不確定性，采用了區(qū)間數(shù)據(jù)魯棒優(yōu)化方法來處理模型的不確定性，構(gòu)建了總成本最小的魯棒優(yōu)化模型。于冬梅等人［25］研究了應(yīng)急設(shè)施最大覆蓋選址—分配決策問題，通過引入成本參數(shù)不確定集來刻畫決策問題中的不確定性因素，基于魯棒優(yōu)化方法建立了混合整數(shù)規(guī)劃模型。上述文獻(xiàn)大都只考慮了不確定性環(huán)境下設(shè)備的災(zāi)害應(yīng)急救援方案，并沒有在優(yōu)化模型中考慮不確定性參數(shù)帶來的擾動。汪玉生［26］基于廣義多項式混沌展開方法，在考慮初始條件、大氣環(huán)境和啟動參數(shù)存在不確定性的情況下，量化了不確定性對無人機(jī)性能的影響，建立了無人機(jī)飛行性能不確定性近似分析模型。嚴(yán)偉等人［27］考慮到需求、環(huán)境、科技發(fā)展等不確定因素對無人機(jī)任務(wù)航路規(guī)劃的影響，使用期望對不確定性變量進(jìn)行量化，建立了不確定條件下的多目標(biāo)優(yōu)化模型。鄒蘭平［28］針對模型參數(shù)不確定的欠驅(qū)動水面無人艇軌跡跟蹤控制問題，提出了基于滑模面的魯棒有限時間收斂控制方法，然后通過徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計未知模型不確定部分和環(huán)境擾動。Zhu等人［29］研究了輸入飽和條件下無人水面艇的動態(tài)不確定性，利用矢量反步設(shè)計方法，提出了一種魯棒自適應(yīng)軌跡跟蹤方案。在上述基礎(chǔ)上，Zhu等人［30］又針對水面艦船軌跡跟蹤中未知時變擾動和輸入輸出參數(shù)存在的動態(tài)不確定性，提出了新的基于魯棒優(yōu)化的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方案。

當(dāng)前，對于模型中不確定因素對于模型的影響有所研究，但研究較少，因此本文擬在模型中引入位置參數(shù)區(qū)間不確定性來優(yōu)化物聯(lián)網(wǎng)通信模型的性能。本文的主要研究工作如下：

a）本文主要針對災(zāi)害應(yīng)急場景下物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備間的通信問題，考慮了位置信息中存在的不確定性，建立了包含位置參數(shù)區(qū)間不確定性的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信魯棒優(yōu)化模型。應(yīng)用橢球不確定集對位置參數(shù)的不確定性進(jìn)行描述，定義了約束函數(shù)及決策變量表達(dá)式，對模型進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化和松弛轉(zhuǎn)換，并對魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行了求解。

b）本文所建立的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信模型中存在兩類不確定因素，分別是位置參數(shù)區(qū)間不確定和橢球誤差域不確定。因此，為了更好地確定參數(shù)區(qū)間的取值，提高模型求解的準(zhǔn)確性，本文對兩類不確定性因素進(jìn)行了貢獻(xiàn)度分析，提出有關(guān)位置參數(shù)區(qū)間不確定與橢球不確定集中橢球誤差域之間的相關(guān)性分析方法，分析了兩類不確定因素對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信模型的影響程度。

c）設(shè)計了以物聯(lián)網(wǎng)通信模型中設(shè)備最優(yōu)部署和設(shè)備間通信最小功率為目標(biāo)的仿真實驗，實驗結(jié)果驗證了所提優(yōu)化模型與相關(guān)性分析方法的有效性。

1 系統(tǒng)模型及問題表述

1.1 系統(tǒng)模型

考慮面向災(zāi)害應(yīng)急時，地面通信基站可能受損導(dǎo)致通信中斷的情況，建立基于空中無人機(jī)作為通信中繼的異構(gòu)物聯(lián)網(wǎng)模型，如圖1所示。

a）地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備。假設(shè)地面受災(zāi)區(qū)域中的各個物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備都可獲取其實時位置，每個設(shè)備都具有收發(fā)設(shè)備，用于與空中無人機(jī)中繼基站進(jìn)行通信，并傳輸?shù)孛嫖锫?lián)網(wǎng)設(shè)備的實時位置信息，假設(shè)地面受災(zāi)區(qū)域中第i個物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的坐標(biāo)為（xi，yi，hi）。

b）無人機(jī)。無人機(jī)因其易操作性、靈敏性、高機(jī)動性常做為空中通信基站來完成受災(zāi)區(qū)域中的通信任務(wù)，每個無人機(jī)允許接入的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備數(shù)量有限。假設(shè)空中區(qū)域中j個無人機(jī)設(shè)備的坐標(biāo)為（xj，yj，hj）。由于災(zāi)害應(yīng)急事件具有不確定性，這就導(dǎo)致無人機(jī)獲取的地面設(shè)備位置信息不準(zhǔn)確，假設(shè)獲取的位置信息不確定性參數(shù)為（Δxi，Δyi，Δhi），即無人機(jī)獲取到的第i個物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備實時坐標(biāo)為（xi+Δxi，yi+Δyi，hi+Δhi）。

c）地面控制中心。無人機(jī)中繼基站將所獲取到的信息傳送給地面控制中心，便于指揮部進(jìn)行災(zāi)害應(yīng)急救援策略部署。

1.2 問題描述

考慮到災(zāi)害應(yīng)急救援中各設(shè)備并非一直靜止的狀態(tài)，地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的位置是變化的，因此對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行分簇，加快設(shè)備間的通信。災(zāi)害應(yīng)急事件具有突發(fā)性、不確定性等特征，傳統(tǒng)面向災(zāi)害應(yīng)急場景的物聯(lián)網(wǎng)系統(tǒng)模型中往往會忽略不確定性條件對于模型的影響。本文考慮了實際的災(zāi)害應(yīng)急場景的特征，考慮位置信息估值上下界存在的不確定性對模型的影響，針對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備與無人機(jī)中繼基站之間的通信功率問題，建立優(yōu)化模型。以設(shè)備最優(yōu)部署和最小化地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的發(fā)射總功率為目標(biāo)，且考慮到無人機(jī)中繼基站接入的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備是有限的，則優(yōu)化問題描述為

arg minmize ∑Mj=1 ∑i∈CjR

subject to ∑Mj=1|Cj|=L，dij≤|hi-hj|sin（Plos-1（ε））

τ=Q（2RRbN0），Plos=11+ψexp（-[α-ψ]）

R=[Q-1（τ）]2BN0210η/10（4πfcdijc）（1）

其中：R為物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的功率；M為無人機(jī)中繼基站的數(shù)量；L為地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的數(shù)量；|Cj|為分配給無人機(jī)中繼基站的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備簇類；dij為第i個地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備與第j個無人機(jī)中繼基站之間的距離；τ為正交相移鍵控調(diào)制的誤碼率；Plos為視距通信概率；ψ和為環(huán)境參數(shù)；α為仰角；N0是噪聲功率譜密度；B是數(shù)據(jù)傳輸速率；fc是載波頻率；c為光速。

對式（1）進(jìn)行觀察，可以發(fā)現(xiàn)設(shè)備的距離與優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)呈正比例關(guān)系，距離dij最小時，功率R最小。因此，本文使用K-means分簇算法對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行分簇聚類，來實現(xiàn)設(shè)備的最優(yōu)部署效果。

1.3 確定性模型的標(biāo)準(zhǔn)化與松弛

為了便于求解優(yōu)化問題，因此對上述優(yōu)化問題進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，變換后形式如下：

minmizea aTM0a+NT0a+b0

subject to aTMia+ΝTi a+bi≤0 i=1，…，|Cj|（2）

其中：

a=［x y h］T={a∈R3：l≤a≤u}

l=（l1 l2 l3）T，u=（u1 u2 u3）T

M0=diag（|Cj|，|Cj|，|Cj|），Mi=diag（1，1，ω）

N0=［-2∑|Cj|i=1xi -2∑|Cj|i=1yi -2∑|Cj|i=1hi］T

Ni=［-2xi -2yi -2hiω］T，ω=（1-1sin2（α））

b0=∑|Cj|i=1x2i+∑|Cj|i=1y2i+∑|Cj|i=1h2i，bi=x2i+y2i+h2iω

上述約束條件中，待優(yōu)化變量用a表示，其中坐標(biāo)的上界用u表示，坐標(biāo)的下界用l表示。在優(yōu)化問題中引入變量z，則待優(yōu)化變量變?yōu)樵鰪V矩陣a=［x y h z］T，使用正交變換法對優(yōu)化問題進(jìn)行松弛，優(yōu)化問題從非凸二次約束二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

minmizea z

subject to ria+si+ti≤0 i=1，…，|Cj|（3）

其中：

si=-|Cj|4∑2λ=1（lλ+uλ）2-ωl3u3，s0=-|Cj|4∑3λ=1（lλ+uλ）2

ri=［（l1+u1）-2xi （l2+u2）-2yi （l3+u3）-2hi 0］

ri=［（l1+u1）|Cj|-2∑|Cj|i=1xi （l2+u2）|Cj|-2∑|Cj|i=1yi

（l3+u3）|Cj|-2∑|Cj|i=1hi -1］

1.4 不確定性模型的建立與求解

通過對式（2）中約束條件的分析，發(fā)現(xiàn)位置信息上下界存在估值誤差，這就使得優(yōu)化模型中的位置信息估值具有不確定性。對式（3）做進(jìn)一步分析可知，確定性模型的約束條件中不確定因素ri和si（i=0，…，|Cj|）與地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的位置坐標(biāo)估值的上下界相關(guān)。本文擬采用橢球不確定集對位置坐標(biāo)估值誤差進(jìn)行定量描述。假設(shè)不確定因素ri和si的誤差分別為eri和esi，則優(yōu)化問題的包含不確定性參數(shù)魯棒優(yōu)化模型為

minmizez z

subject to （ri+eri）a+（si+esi）+ti≤0 i=0，…，|Cj|（4）

其中：

si=-|Cj|4∑2λ=1（lλ+uλ）2-ωl3u3，s0=-|Cj|4∑3λ=1（lλ+uλ）2

ri=［（l1+u1）-2xi （l2+u2）-2yi （l3+u3）-2hi 0］

ri=［（l1+u1）|Cj|-2∑|Cj|i=1xi

（l2+u2）|Cj|-2∑|Cj|i=1yi（l3+u3）|Cj|-2∑|Cj|i=1hi -1］

假設(shè)變量ri和si橢球誤差域半徑分別為ξri和ξsi，則誤差eri=ζvξsi和esi=ζvξsi，其中v=1，2，3，4，‖ζ‖2≤1。對魯棒優(yōu)化模型中的不確定性變量進(jìn)行數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到有關(guān)地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備與無人機(jī)中繼基站通信最小功率的魯棒對等模型表達(dá)式為

minmine ATa

subject to‖B0a+E0‖2≤AT0a+D0

‖Bia+Ei‖2≤ATia+Di i=1，…，|Cj|（5）

其中：

AT=［0 0 0 1］，AT0=［-r0］，ATi=［-ri］

D0=-t0-s0，E0=［0 0 0 ξs0］T

Di=-ti-si，Ei=［0 0 0 ξsi］T

B0=diag（ξr0（1） ξr0（2） ξr0（3） 0）

Bi=diag（ξri（1） ξri（2） ξri（3） 0）

2 參數(shù)區(qū)間不確定性分析

上文建立了包含參數(shù)區(qū)間不確定性的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信魯棒優(yōu)化模型，但是由于參數(shù)區(qū)間的給定具有一定的主觀性因素，使得不確定性優(yōu)化模型中存在位置參數(shù)區(qū)間不確定和橢球不確定集中的橢球誤差域不確定兩類不確定性因素。所以，對優(yōu)化模型中參數(shù)區(qū)間不確定性的分析是有必要的。

為更好地確定參數(shù)的取值，提高模型求解的準(zhǔn)確性，本節(jié)對兩類不確定參數(shù)進(jìn)行了分析，提出有關(guān)位置參數(shù)區(qū)間與橢球不確定集中橢球誤差域之間的相關(guān)性分析方法，分析了存在的不確定因素對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信模型的影響程度。

分析式（2）的約束條件可得，位置參數(shù)區(qū)間的不確定性主要位于位置參數(shù)區(qū)間的估值u和l中，其中參數(shù)u和l分別為地面物聯(lián)網(wǎng)終端設(shè)備的位置參數(shù)區(qū)間估值的上界和下界。三個維度上的分量分別用u1、u2、u3和l1、l2、l3表示。當(dāng)位置參數(shù)區(qū)間的估值存在不確定時，假設(shè)估值上界的三個維度的擾動分別為u1+Δu1，u2+Δu2，u3+Δu3，估值下界的三個維度的擾動分別為l1+Δl1，l2+Δl2，l3+Δl3。通過對比可看出三個維度的擾動表示形式相似，為了便于計算假設(shè)三個維度的估值誤差相同，則三個維度的擾動變?yōu)閡+Δu和l+Δl。

當(dāng)位置參數(shù)區(qū)間存在不確定性擾動時，擾動出現(xiàn)于位置參數(shù)區(qū)間的上界和下界中，不確定性擾動分別表示為u+Δu和l+Δl。已知u和l分別為地面物聯(lián)網(wǎng)終端設(shè)備的位置參數(shù)區(qū)間的上界和下界，那么參數(shù)區(qū)間的上界u可以用下界l進(jìn)行表示，即u=l+φ，其中φ為估值參數(shù)u與l之間的差值，則上界的不確定性擾動變?yōu)閘+φ+Δu。通過觀察式（3）的約束條件，發(fā)現(xiàn)不確定性擾動傳導(dǎo)到了變量ri和si中，且估值參數(shù)上界和下界之間為線性相關(guān)關(guān)系。又可知估值參數(shù)u與l之間可以相互轉(zhuǎn)換，則考慮用一個估值參數(shù)進(jìn)行表示。假設(shè)位置參數(shù)區(qū)間上下界中的擾動用δ表示，位置參數(shù)估值u與l之間的差值φ也可歸結(jié)到擾動變化中，則位置參數(shù)估值的上界和下界的不確定性擾動表示為l+δ，此時的l為標(biāo)量。那么式（3）的約束條件中包含不確定性的ri和si描述為

si=-|Cj|2（2l+δ）2-ω（l+δ）l，s0=-3|Cj|4（2l+δ）2

ri=［（2l+δ）-2xi （2l+δ）-2yi 2（l+δ）-2hi 0］

r0= ［（2l+δ）|Cj|-2∑|Cj|i=1xi （2l+δ）|Cj|-2∑|Cj|i=1yi

（2l+δ）|Cj|-2∑|Cj|i=1hi -1］（6）

橢球不確定集中變量ri和si的不確定性誤差為ei=eri+esi。模型中的總體不確定性用變量f表示，即總體不確定性變量f為模型中位置參數(shù)區(qū)間不確定性與橢球誤差域的不確定性之和，結(jié)合式（4）和（6）可以得出模型中不確定性f（δ，ei）為

f（δ，ei）=4l2+8l-4δ·l+δ2+4δ4|Cj|+ei（7）

其中：函數(shù)f（δ，ei）表示模型總體不確定性的大小；參數(shù)|Cj|為地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備分簇后的簇數(shù)；參數(shù)l為位置信息的估值；變量δ為位置信息估值上下界估值的不確定性變化量；變量ei為模型中橢球誤差域不確定性的總和。通過觀察可以得出結(jié)論：位置參數(shù)估值范圍對模型的影響遠(yuǎn)大于定位的不確定性誤差參數(shù)。因此，研究位置信息估值上下界的不確定性是有意義的。

為進(jìn)一步分析兩類不確定因素的貢獻(xiàn)度，采取求導(dǎo)方式進(jìn)行討論。假設(shè)式（7）中變量δ為常數(shù)，那么函數(shù)f（δ，ei）對變量ei求一階偏導(dǎo)得到

f（δ，ei）ei=1（8）

式（8）顯示函數(shù)f（δ，ei）對變量ei求偏導(dǎo)值為常數(shù)，且恒大于0，則當(dāng)函數(shù)f（δ，ei）中變量δ為常數(shù)時，函數(shù)f（δ，ei）隨ei的變化而變化，函數(shù)是單調(diào)遞增的。函數(shù)f（δ，ei）對變量ei求二階偏導(dǎo)得

2f（δ，ei）（e2i）=0（9）

式（9）顯示函數(shù)f（δ，ei）對變量ei求二階偏導(dǎo)值為0，說明整個函數(shù)f（δ，ei）的斜率沒有變化，為固定值，函數(shù)圖像為斜直線。

假設(shè)式（7）中變量ei為常數(shù)，那么函數(shù)f（δ，ei）對變量δ求一階偏導(dǎo)可以得到

f（δ，ei）δ=δ-2l+22|Cj|（10）

其中：|Cj|為地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的簇數(shù)，因此|Cj|gt;0是恒為正的。那么一階偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與變量δ與l的大小相關(guān)。令g=δ-2l+2，對函數(shù)g進(jìn)行如下討論。

a）當(dāng)g≠0時，δ-2l+2≠0，可求出變量δ與位置估值下界l的關(guān)系為

δ≠2（l-1）（11）

b）當(dāng)g=0時，δ-2l+2=0，可求出變量δ與位置估值下界l的關(guān)系為

δ=2（l-1）（12）

函數(shù)f（δ，ei）對變量δ求二階偏導(dǎo)得到

2f（δ，ei）（δ2）=|Cj|2（13）

分析式（13）可知，|Cj|恒為正，則函數(shù)f（δ，ei）對于變量δ的二階偏導(dǎo)數(shù)恒為正數(shù)，即二階偏導(dǎo)值恒大于0，這就說明一階偏導(dǎo)數(shù)的變化也是遞增的。

結(jié)合式（11）～（13）發(fā)現(xiàn)，一階偏導(dǎo)數(shù)的大小與l與1之間的大小關(guān)系相關(guān)。當(dāng)變量l = 1時，函數(shù)g值為0，二階導(dǎo)數(shù)恒大于0，此時函數(shù)f（δ，ei）具有極小值點，即l = 1時函數(shù)f（δ，ei）有最小值即模型中的總體不確定性最小。當(dāng)變量l≠1時，函數(shù)g值不為0，代入式（7）可知，隨著l的增長，變量δ的值增長，函數(shù)f（δ，ei）有的總體不確定性呈持續(xù)增長趨勢。

為討論變量ei與δ的貢獻(xiàn)度，令式（8）與（10）相減，記做Δβ，那么Δβ的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

Δβ=f（δ，ei）ei-f（δ，ei）δ=1-δ-2l+22|Cj|（14）

假設(shè)Δβ≥0，則表示變量ei的貢獻(xiàn)度大于變量δ的貢獻(xiàn)度，反之，則表示變量ei的貢獻(xiàn)度小于變量δ的貢獻(xiàn)度。結(jié)合式（14），則可得

δ≤2|Cj|-2+2l（15）

分析式（15）可知，|Cj|恒為正，參數(shù)l為已知量，將不等式右邊記為H，可以得到，當(dāng)δ≤H時，變量ei對模型的影響大于變量δ對模型的影響；當(dāng)δ≥H時，變量ei對模型的影響小于變量δ對模型的影響。

優(yōu)化模型中的位置參數(shù)估值區(qū)間不確定和橢球不確定集中的橢球誤差域不確定導(dǎo)致模型的取值和確定值之間差距較大，不符合實際情況。本節(jié)對參數(shù)區(qū)間不確定性的分析，得出了有關(guān)兩類參數(shù)區(qū)間不確定性之間的相關(guān)性分析方法，為確定優(yōu)化模型中參數(shù)區(qū)間的取值提供了指導(dǎo)。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

3.1 仿真實驗參數(shù)設(shè)計

本文實驗所采用的樣本數(shù)據(jù)為在5×5×0.2（km3）的區(qū)域中，隨機(jī)部署L個物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備，設(shè)備數(shù)量限制在60～200。使用10個無人機(jī)作為通信的中繼基站，每個基站中接入的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的最大數(shù)量相同，為10個地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備。本文出現(xiàn)的其他實驗參數(shù)信息詳細(xì)如表1所示，本文仿真數(shù)據(jù)的設(shè)置參考了文獻(xiàn)［1～3］，使用MATLAB作為仿真實驗的仿真工具。由于本文方法是為了使第i個地面物聯(lián)網(wǎng)終端設(shè)備與第j個空中無人機(jī)之間的通信功率最小，所以本文的實驗分析主要在發(fā)射功率滿足設(shè)備之間解碼的前提下，實現(xiàn)設(shè)備的最優(yōu)部署和通信功率最小化。

3.2 仿真實驗與分析

實驗中考慮了地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的空間位置高度坐標(biāo)對設(shè)備分布情況的影響，設(shè)置其高度坐標(biāo)變化為0～0.2 km，且物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備是隨機(jī)分布的。圖2（a）展示了100個物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的初始位置分布情況。從圖中可以看出物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的分布較為集中，大部分物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備都分布在（0.5，1，0）～（1，2，0.15）。

使用本文提出的魯棒優(yōu)化方法對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行協(xié)同部署，分布效果如圖2（b）所示。經(jīng)過部署后，無人機(jī)的高度發(fā)生了變化，高度為0～0.4 km，且分為了較為均勻的10個簇類，各簇的分布情況在圖中用不同的符號進(jìn)行了標(biāo)注。其中，色彩較為鮮明的兩類分別是考慮了包含不確定因素的情況下設(shè)備的分布情況和不考慮了不確定因素的情況下設(shè)備的分布情況。首先考慮了物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備定位信息不精確、建立的模型參數(shù)也具有不確定性的情況下，設(shè)備的分布位置實現(xiàn)魯棒最優(yōu)協(xié)同部署，在圖2（b）中用“○”進(jìn)行標(biāo)注；在不考慮不確定因素的情況下，采用傳統(tǒng)的松弛二次約束二次規(guī)劃方法對優(yōu)化問題進(jìn)行求解，以取得最優(yōu)的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備協(xié)同部署效果。此時，物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的分布情況在圖2（b）中用“◇”進(jìn)行標(biāo)注。通過對比兩類方法的部署效果得出，包含不確定因素的模型和傳統(tǒng)的方法聚類分簇的部署效果差距較小，僅有三簇設(shè)備出現(xiàn)較為明顯的偏差，其余各簇分布大都重疊，這就說明本文采取的魯棒優(yōu)化方法在設(shè)備位置信息上下界估值存在不確定性時，一定程度上抵消了不確定性因素的影響，且保證了設(shè)備的最優(yōu)部署。

圖3展示了100個地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備與10個無人機(jī)中繼基站進(jìn)行靜態(tài)通信實驗時的發(fā)射總功率、平均功率、平均高度與設(shè)備簇數(shù)之間的關(guān)系。通過觀察發(fā)現(xiàn)地面各簇物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的平均高度的變化整體較為均衡。發(fā)射總功率在第3簇突然增大，通過觀察發(fā)現(xiàn)，第3簇的平均高度變化不大，但第3簇中的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備突然大量增加所導(dǎo)致的設(shè)備總功率的增加。發(fā)射總功率在第4簇突然減小，通過觀察發(fā)現(xiàn)，第4簇的平均高度有所降低，總體變化不大，但第4簇中的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備突然減少所導(dǎo)致的設(shè)備總功率的降低。因此，通過分析可以得出各簇物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的平均數(shù)量對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的發(fā)射總功率影響較大，各簇物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的平均高度則對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的發(fā)射總功率影響較小。通過觀察第8和9簇發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的數(shù)量相同時，設(shè)備的高度位置坐標(biāo)越高離空中無人機(jī)中繼基站的距離也就越近，此時，設(shè)備的總功率有所降低。由于物聯(lián)網(wǎng)模型中存在不確定性因素，將兩種方法進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)使用魯棒優(yōu)化方法所求解的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率與平均高度之間的變化規(guī)律，可能產(chǎn)生跳變現(xiàn)象，這一點通過觀察第6和7簇可以發(fā)現(xiàn)。

圖4展示了100個地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備與10個無人機(jī)中繼基站進(jìn)行動態(tài)通信實驗的發(fā)射總功率變化情況。其中，第1列表示設(shè)備的簇數(shù)，第1行表示時間的變化，最后1列表示各簇設(shè)備在8 s內(nèi)的平均功率。表中地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率隨著時間的增加整體變化較為均衡，各簇的平均功率也較為均衡。通過觀察發(fā)現(xiàn)第3簇第5 s時總功率為51.35 mW、第5簇第5 s時總功率為29.125 mW，第6簇第3 s時總功率為37.59 mW，第7簇第1 s時總功率為33.65 mW，第8簇第1 s時總功率為33.98 mW和第10簇第1 s時總功率為26.17 mW，這六個時刻設(shè)備的發(fā)射總功率突然變大。結(jié)合上文對圖3中設(shè)備間進(jìn)行靜態(tài)通信的分析結(jié)果，可以知道在這五個時刻各簇設(shè)備數(shù)量增加導(dǎo)致的總功率增大的。

在無人機(jī)中繼節(jié)點與地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行動態(tài)通信時，可能會有無人機(jī)中繼基站失效的情況出現(xiàn)。假設(shè)無人機(jī)中繼節(jié)點失效，這導(dǎo)致異構(gòu)物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，在此時觀察地面物聯(lián)網(wǎng)終端設(shè)備的能耗傳輸情況，如圖5所示。由于網(wǎng)絡(luò)中能耗是有限的，隨著時間的變化，無人機(jī)中繼節(jié)點開始失效。無人機(jī)失效節(jié)點的逐漸增加，使得網(wǎng)絡(luò)中設(shè)備的能耗逐步上升。從圖5中可知無人機(jī)中繼節(jié)點能耗的最大最小值的變化趨勢大體上是相同的，發(fā)射功率成線性增長。

圖6展示了無人機(jī)數(shù)量不同時，地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備使用魯棒優(yōu)化方法和傳統(tǒng)的松弛二次約束二次規(guī)劃方法（RQCQP）的平均功率、最大功率和最小功率變化。當(dāng)無人機(jī)數(shù)量逐漸增加時，兩種方法所得到的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的平均發(fā)射功率不斷趨近如圖中紅色和紫色的曲線所示，這主要是因為每簇?zé)o人機(jī)所接入的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備數(shù)量減少，導(dǎo)致無人機(jī)中繼基站接收到的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備位置坐標(biāo)減少，則誤差隨之減小，從而使得魯棒優(yōu)化方法中地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備位置坐標(biāo)估值不確定性有所降低導(dǎo)致的。使用魯棒優(yōu)化方法所求得的功率是從最壞的情況出發(fā)的，因此，隨著無人機(jī)數(shù)量的增加魯棒優(yōu)化方法的最大功率不斷增大，呈增長趨勢。使用魯棒優(yōu)化方法求得的最小功率不斷減小，呈下降趨勢。使用魯棒優(yōu)化方法的平均功率隨著無人機(jī)數(shù)量的變化而逐漸減小，這是因為此時模型中的設(shè)備處于最佳部署狀態(tài)，這說明通過優(yōu)化物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的位置能夠顯著提高物聯(lián)網(wǎng)模型的能源使用率。

兩個不確定參數(shù)對地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的功率影響如圖7所示。實驗結(jié)果展示了當(dāng)δ≤H時，變量ei對模型的影響大于變量δ對模型的影響。其中，橫坐標(biāo)表示地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備發(fā)射總功率，縱坐標(biāo)表示變量ei和δ在0～1的變化，間隔為0.1。圖中藍(lán)色柱狀體表示變量ei和δ同時在0～1的變化，紅色柱狀體表示變量δ值為0.1，變量ei在0～1的變化，綠色柱狀體表示變量ei為0.1，變量δ在0～1的變化。可以看出，隨著變量ei的增大，地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率整體呈增長趨勢。地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備總功率非線性增長，可能會出現(xiàn)圖5中基站失效的情況，這說明將很快造成地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的失效，進(jìn)而降低整個物聯(lián)網(wǎng)的生命周期，這說明對于變量ei和δ的選取是需要進(jìn)行討論的。對圖7進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)，紅色柱狀體的整體趨勢變化要快于綠色柱狀體的變化，紅色柱狀體的整體趨勢變化與藍(lán)色柱狀體的整體變化趨勢接近，這就說明變量ei變化對模型中地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率影響更大。因此對于變量ei的選取要有更為合理的選擇。通過觀察式（7），發(fā)現(xiàn)變量ei的值為誤差eri和esi相加。因此，圖8對誤差eri和esi的誤差半徑ξri和ξsi的選取進(jìn)行詳細(xì)分析。

實驗分別選取誤差半徑為0.1、0.6和0.8，分為（a）～（f）六種組合進(jìn)行100次實驗，分組分別為：ξri為［0.1 0.1 0.1］，ξsi為0.1；ξri為［0.6 0.6 0.6］，ξsi為0.1；ξri為［0.8 0.8 0.8］，ξsi為0.1；ξri為［0.6 0.6 0.6］，ξsi為0.6；ξri為［0.8 0.8 0.8］，ξsi為0.6；ξri為［0.8 0.8 0.8］，ξsi為0.8。分別進(jìn)行100次實驗，驗證模型的魯棒性。實現(xiàn)結(jié)果如圖8所示，觀察發(fā)現(xiàn)實驗中地面設(shè)備的總功率隨著誤差半徑的增大不斷增加。

圖8（a）中有10次實驗數(shù)據(jù)超過了平均功率的±1%，圖8（b）中有10次實驗數(shù)據(jù)超過了平均功率的±1%，圖8（c）中僅有2次實驗數(shù)據(jù)超過了平均功率的±1%，圖8（d）～（f）中實驗數(shù)據(jù)均未超過平均功率的±1%。通過對比圖8（a）～（c）發(fā)現(xiàn)，隨著ξri實驗數(shù)值的增加，物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率不斷增加，但是地面設(shè)備總功率逐漸趨向均衡。對比圖8（b）（d）發(fā)現(xiàn)，ξri為定值時，隨著ξsi的增大，地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的總功率波動逐漸變小。總體來說，隨著誤差半徑的改變，地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備的而總功率不斷增加，呈線性增長趨勢。本文方法是從最壞的情況下出發(fā)的，圖8（a）～（f）中所出現(xiàn)的極值情況在實際應(yīng)用中可能很少出現(xiàn)，所求的地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備總功率具有一定的保守性。但正是因為保守性，使得模型的魯棒性逐漸凸顯，這就說明本文方法能有效減弱模型中位置參數(shù)區(qū)間不確定給模型帶來的影響。

使用基于參數(shù)區(qū)間不確定性分析的無人機(jī)輔助方法與基于位置定位不準(zhǔn)確的方法進(jìn)行100次實驗對比，本次對比實驗選取圖8中相對應(yīng)的誤差半徑組合，物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備功率對比結(jié)果如圖9所示。當(dāng)選取的誤差半徑分別為［0.1 0.1 0.1］，0.1時，通過對比圖9（a）中的實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，使用本文方法得到的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備功率在11～11.1 mW變化，略高于基于位置定位不準(zhǔn)確的方法。隨著誤差半徑的增大，本文方法消耗的物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備功率漸漸低于使用基于位置定位不準(zhǔn)確方法的功率，說明使用本文方法在半徑誤差域較大時效果優(yōu)于之前的基于位置定位不準(zhǔn)確的方法，且在保證物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信的同時能夠有效減弱不確定性因素所帶來的影響，具有較好的魯棒性。

4 結(jié)束語

本文面向災(zāi)害應(yīng)急救援場景，研究了基于參數(shù)區(qū)間不確定性的優(yōu)化問題，建立了包含不確定性的魯棒優(yōu)化模型，對魯棒優(yōu)化模型進(jìn)行求解，并設(shè)計以最小化地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備發(fā)射功率為目標(biāo)的仿真實驗進(jìn)行驗證與結(jié)果分析，討論了參數(shù)區(qū)間不確定性對模型的影響。實驗結(jié)果顯示模型能夠在參數(shù)區(qū)間不確定性存在時，能夠?qū)Φ孛嫖锫?lián)網(wǎng)設(shè)備進(jìn)行最優(yōu)部署，并實現(xiàn)地面物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備間的通信功率最小，有較為良好的節(jié)能效果。本文重點研究了位置參數(shù)區(qū)間不確定對物聯(lián)網(wǎng)設(shè)備通信模型的影響，但是在實際應(yīng)用的場景中，不確定性因素還有很多。多個不確定性因素同時存在，可能會導(dǎo)致模型的結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，因此，對多個不確定性因素同時存在時物聯(lián)網(wǎng)模型優(yōu)化有待進(jìn)一步深入研究。

參考文獻(xiàn)：

［1］喻靜敏，馬力，黃珊，等.基于天空地協(xié)同的超標(biāo)準(zhǔn)洪水監(jiān)測體系研究［J］.人民長江，2020，51（6）：29-32，112.（Yu Jingmin，Ma Li，Huang Shan，et al.Research on monitoring system for exceeding-standard flood based on space-air-ground integrated monitoring［J］.Yangtze River，2020，51（6）：29-32，112.）

［2］王立春，張霆，楊浩.“空天地一體化”現(xiàn)場應(yīng)急通信系統(tǒng)探究［C］// 2019年全國公共安全通信學(xué)術(shù)研討會優(yōu)秀論文集.北京：中國通信學(xué)會，2019：405-409.（Wang Lichun，Zhang Ting，Yang Hao.“Space’sky and earth integration” on-site emergency communication system［C］//Proc of 2019 National Symposium on Public Security Communication.Beijing：China Institute of Communications，2019：405-409.）

［3］宋慶恒，鄭福春.基于無人機(jī)的物聯(lián)網(wǎng)無線通信的潛力與方法［J］.物聯(lián)網(wǎng)學(xué)報，2019，3（1）：82-89.（Song Qingheng，Zheng Fuchun.Potential and methods of wireless communications for Internet of Things based on UAV［J］.Chinese Journal on Internet of Things，2019，3（1）：82-89.）

［4］Cheng Zhan，Hong Lai.Energy minimization in Internet-of-Things system based on rotary-wing UAV［J］.Wireless Communications Letters，2019，8：1341-1344.

［5］Zeng Fanzi，Li Shanshan，Huang Peng，et al.Energy-efficient UAV-assisted communication with spectrum optimization［C］//Proc of IEEE Symposium on Computers and Communications.Piscataway，NJ：IEEE Press，2019：1-6.

［6］張楨，高悅，王景麗，等.城鎮(zhèn)災(zāi)害及事故現(xiàn)場應(yīng)急通信體系研究［J］.數(shù)字通信世界，2020（8）：36-38.（Zhang Zhen，Gao Yue，Wang Jingli.Research on emergency communication system of town disaster and accident［J］.Digital Communication World，2020（8）：36-38.）

［7］Mohammad M，Saad W，Bennis M，et al.Mobile unmanned aerial vehicles （UAVs） for energy-efficient Internet of Things communications［J］.IEEE Trans on Wireless Communications，2017（11）：7574-7589.

［8］王巍，趙繼軍，彭力，等.基于UAV的移動物聯(lián)網(wǎng)遠(yuǎn)距離通信節(jié)能策略研究［J］.電子學(xué)報，2018，46（12）：2914-2922.（Wang Wei，Zhao Jijun，Peng Li，et al.Research on the energy saving strategy for long distance communication of mobile Internet of Things based on UAVs［J］.Acta Electronica Sinica，2018，46（12）：2914-2922.）

［9］王華榮.突發(fā)事件應(yīng)急管理中的不確定性研究［D］.北京：北京林業(yè)大學(xué)，2012.（Wang Huarong.Study on the Uncertainty of Emergency Management［D］.Beijing：Beijing Forestry University，2012.）

［10］陳廣均.未知擾動下無人船軌跡跟蹤及協(xié)同控制研究［D］.湛江：廣東海洋大學(xué)，2021.（Chen Guangjun.Research on the trajectory tracking and cooperative control of unmanned surface vessels with unknown disturbances［D］.Zhanjiang：Guangdong Ocean University，2021.）

［11］湛佳，謝文俊，郭慶，等.不確定條件下多無人機(jī)偵察調(diào)度問題［J］.火力與指揮控制，2018，43（10）：25-30，34.（Zhan Jia，Xie Wenjun，Guo Qing，et al.Research on problem of UAV reconnaissance scheduling under uncertain conditions［J］.Fire Control amp; Command Control，2018（10）：25-30，34.）

［12］王棟，鄭鵬遠(yuǎn)，任祎丹，等.不確定性環(huán)境下的孤島型微電網(wǎng)魯棒優(yōu)化算法［J］.現(xiàn)代電力，2021，38（2）：147-155.（Wang Dong，Zheng Pengyuan，Ren Yidan，et al.Robust optimization algorithm for islanded microgrid in uncertain environment［J］.Modern Electric Power，2021，38（2）：147-155.）

［13］Sinay M，Agmon N，Maksimov O，et al.UAV/UGV search and capture of goal-oriented uncertain targets［C］//Proc of IEEE/RSJ Internatio-nal Conference on Intelligent Robots and Systems.Piscataway，NJ：IEEE Press，2018：8505-8512.

［14］武正倫.無人機(jī)航路規(guī)劃的研究與實現(xiàn)［D］.長春：吉林大學(xué)，2019.（Wu Zhenglun.Research and implementation of UAV route planning［D］.Changchun：Jilin University，2019.）

［15］趙文忠，許萬業(yè)，李健偉，等.基于區(qū)間分析的非對稱外形天線罩厚度設(shè)計［J］.電子機(jī)械工程，2021，37（2）：1-4，16.（Zhao Wenzhong，Xu Wanye，Li Jianwei，et al.Thickness design of radome with asymmetric shape using interval analysis［J］.Electro-Mechanical Engineering，2021，37（2）：1-4，16.）

［16］盧璐，田世偉，李廣俠，等.基于區(qū)間分析的群體無人機(jī)協(xié)同定位算法［C］//第九屆中國衛(wèi)星導(dǎo)航學(xué)術(shù)年會論文集.北京：中國衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)管理辦公室學(xué)術(shù)交流中心，2018：40-44.（Lu Lu，Tian Shiwei，Li Guangxia，et al.Cooperative positioning algorithm of UAVs based on interval analysis［C］//Proc of the 9th China Satellite Navigation Conference.Beijing：China Satellite Navigation Office Academic Exchange Center，2018：40-44.）

［17］劉淑芬，張程.基于模糊數(shù)學(xué)的通信網(wǎng)絡(luò)密文信息差錯恢復(fù)［J］.計算機(jī)仿真，2021，38（10）：204-208.（Liu Shufen，Zhang Cheng.Error recovery of ciphertext information in communication network based on fuzzy mathematics［J］.Computer Simulation，2021，38（10）：204-208.）

［18］Huang Tianpeng，Huang Deqing，Wang Zhikai，et al.Generic adaptive sliding mode control for a quadrotor UAV system subject to severe parametric uncertainties and fully unknown external disturbance［J］.International Journal of Control，Automation and Systems，2021，19（2）：698-711.

［19］趙玉亮，宋業(yè)新，趙金超，等.基于魯棒優(yōu)化的多無人機(jī)協(xié)同偵察任務(wù)規(guī)劃［J］.海軍工程大學(xué)學(xué)報，2021，33（1）：48-54.（Zhao Yuliang，Song Yexin，Zhao Jinchao，et al.Multi-UAV cooperative reconnaissance mission planning based on robust optimization［J］.Journal of Naval University of Engineering，2021，33（1）：48-54.）

［20］胡笑旋，陳意.深度不確定環(huán)境下的決策分析方法——研究現(xiàn)狀與展望［J］.控制與決策，2015，30（3）：385-394.（Hu Xiaoxuan，Chen Yi.Decision analysis under deep uncertainty—present situation and prospect［J］.Control and Decision，2015，30（3）：385-394.）

［21］周歡，魏瑞軒，崔軍輝，等.面向不確定性環(huán)境的多無人機(jī)協(xié)同防碰撞［J］.電光與控制，2014，21（1）：91-96.（Zhou Huan，Wei Ruixuan，Cui Junhui，et al.Multi-UAV cooperative collision avoidance against uncertain environment［J］.Electronics Optics amp; Control，2014，21（1）：91-96.）

［22］秦玉峰，史賢俊，王康.考慮不確定因素的系統(tǒng)測試性建模與分析方法研究［J］.艦船電子工程，2019，39（2）：150-152，170.（Qin Yufeng，Shi Xianjun，Wang Kang.Research on system testability mo-deling and analysis method considering uncertainty factors［J］.Ship Electronic Engineering，2019，39（2）：150-152，170.）

［23］劉航.考慮不確定性的地震災(zāi)害應(yīng)急救援設(shè)備并行優(yōu)化設(shè)計［J］.地震工程學(xué)報，2018，40（5）：1118-1123.（Liu Hang.Parallel optimization design，incorporating uncertainty，of emergency rescue equipment for earthquake disasters［J］.Operations Research and Management Science，2018，40（5）：1118-1123.）

［24］劉星.不確定環(huán)境下應(yīng)急救援供應(yīng)鏈魯棒優(yōu)化模型［J］.運籌與管理，2020，29（12）：23-29.（Liu Xing.Robust optimization model of emergency relief supply chain under uncertain environment［J］.Operations Research and Management Science，2020，29（12）：23-29.）

［25］于冬梅，高雷阜，趙世杰.考慮共享不確定因素的應(yīng)急設(shè)施最大覆蓋選址模型［J］.運籌與管理，2020，29（12）：43-50.（Yu Dongmei，Gao Leifu，Zhao Shijie.A maximum covering location model for emergency facility considering shared uncertainties［J］.Operations Research and Management Science，2020，29（12）：43-50.）

［26］汪玉生.驟變擾動和參數(shù)不確定條件下四旋翼無人機(jī)穩(wěn)定性控制［D］.秦皇島：燕山大學(xué)，2021.（Wang Yusheng.Stability control of quadrotor UAV under abrupt disturbance and parameter uncertainty［D］.Qinhuangdao：Yanshan University，2021.）

［27］嚴(yán)偉，王瑛，孟祥飛，等.不確定條件下航路點布局優(yōu)化研究［J］.計算機(jī)應(yīng)用研究，2018，35（8）：2338-2341，2350.（Yan Wei，Wang Ying，Meng Xiangfei，et al.Optimization study of crossing waypoints location under uncertainty［J］.Application Research of Computers，2018，35（8）：2338-2341，2350.）

［28］鄒蘭平.欠驅(qū)動水面無人艇軌跡跟蹤控制研究［D］.湛江：廣東海洋大學(xué)，2021.（Zou Lanping.Research on trajectory tracking control of underactuated surface vehicles［D］.Zhanjiang：Guangdong Ocean University，2021.）

［29］Zhu Guibing，Du Jialu.Robust adaptive neural trajectory tracking control of unmanned surface vessels under input saturation［C］//Proc of Chinese Control Conference.Piscataway，NJ：IEEE Press，2019：3260-3265.

［30］Zhu Guibing，Du Jialu，Kao Yonggui.Robust adaptive neural trajectory tracking control of surface vessels under input and output constraints［J］.Journal of the Franklin Institute，2020，357（13）：8591-8610.