約束多目標進化算法研究進展

收稿日期：2022-01-25；修回日期：2022-03-31" 基金項目：江蘇省產學研合作項目（BY2020247）；江蘇省研究生科研實踐創新計劃資助項目（SJCX21_1509）

作者簡介：朱亞文（1996-），女，河南商丘人，碩士研究生，主要研究方向為約束多目標進化算法；周紅標（1980-），男（通信作者），江蘇揚州人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為復雜系統建模與優化控制（hyitzhb@hyit.edu.cn）；李楊（1998-），男，江蘇南通人，碩士研究生，主要研究方向為自組織模糊神經網絡；徐浩淵（1999-），男，江蘇南通人，碩士研究生，主要研究方向為動態多目標進化算法.

摘 要：

約束多目標進化算法（CMOEAs）能夠同時處理多個相互沖突的目標函數和約束條件，引導種群逼向可行域的最優解，受到了研究者的廣泛重視。首先介紹了約束多目標優化問題（CMOPs）的相關定義和多目標進化算法（MOEAs）的三種分類；其次，系統地分析了當前CMOEAs中約束處理機制，凝練出當前主要的四種約束處理方法；然后，從基于支配、基于指標、基于分解三個方面對CMOEAs的研究進展進行了詳細綜述；最后，指明了CMOEAs存在的挑戰和未來研究方向。

關鍵詞：約束多目標優化問題；約束多目標進化算法；基于支配；基于指標；基于分解

中圖分類號：TP18"" 文獻標志碼：A"" 文章編號：1001-3695（2022）09-003-2582-09

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.01.0041

Research progress of constrained multi-objective evolutionary algorithms

Zhu Yawen， Zhou Hongbiao， Li Yang， Xu Haoyuan

（Faculty of Automation， Huaiyin Institute of Technology， Huai’an Jiangsu 223003， China）

Abstract：CMOEAs can deal with multiple conflicting objective functions and constraints simultaneously and guide the population towards the optimal solution in the feasible domain，which has received extensive attention from researchers. This paper firstly introduced the relevant definitions of constrained multi-objective optimization problems （CMOPs） and three classifications of multi-objective evolutionary algorithms （MOEAs）. Secondly，it systematically analyzed the current constraint processing mechanisms in CMOEAs，and condensed the current four main constraint processing methods. Then， it reviewed the research progress of CMOEAs in detail from three aspects： dominance-based，index-based and decomposition-based. Finally， it pointed out the challenges and future research directions of CMOEAs.

Key words：constrained multi-objective optimization problems（CMOPs）; constrained multi-objective evolutionary algorithms（CMOEAs）; domination-based; indicator-based; decomposition-based

0 引言

現實世界的優化問題除了具有多個相互沖突的目標函數之外，還存在各種約束條件［1］。例如：在污水處理多目標優化中，能耗和罰款是常見的兩個目標函數，出水氨氮、出水總磷等水質指標的達標排放限定值以及待優化控制變量的上下限常作為不等式約束條件［2］。此外，在車間作業調度［3］、交通路線優化［4］、金融投資［5］等領域也存在這類帶有等式或不等式約束條件的多目標優化問題，它們統稱為約束多目標優化問題（CMOPs）［6，7］。對于CMOPs的研究，主要解決以下兩個問題：a）如何尋找到一組收斂性好、分布均勻且覆蓋完整的近似Pareto解集；b）如何處理約束條件，使得種群更加容易地逼向可行域中的最優解。但是，由于實際工程問題的非線性、高階性以及不確定性［8］，傳統算法難以逼近真實Pareto前沿。此外，由于約束條件的存在，搜索空間中可行區域的結構變得更加復雜，傳統優化算法難以有效發現潛在的可行域［9］。

多目標進化算法（multi-objective evolutionary algorithms，MOEAs）一次運行能夠獲取一組待解決MOPs的Pareto最優解，受到研究者廣泛重視。根據所采用選擇策略的不同，MOEAs大體可以劃分為三類：a）基于支配的框架，即采用Pareto支配關系推動種群向真實Pareto前沿進化，典型代表有NSGA-Ⅱ［10］、SPEA2［11］、MOPSO［12，13］；b）基于指標的框架，即采用超體積（hypervolume，HV）等性能指標評價解的收斂性和多樣性，典型代表有IBEA［14］、SIBEA［15］、HypE［16］；c）基于分解的框架，即采用協作的方式將一個MOP分解成一系列的單目標優化子問題［17］，典型代表有C-MOGA［18］、MOGLS［19］、MOEA/D［20］。

上述MOEAs及其變體的開發均是用于解決無約束優化問題。考慮到實際問題一般都帶有約束條件，自然想到將約束處理技術集成到MOEAs中，從而形成約束多目標進化算法（CMOEAs）。目前，常用的約束處理技術有懲罰函數法［21］、約束和目標分離法［22］、多目標優化法［23］、混合法［24］等。這些處理技術與MOEAs的有機融合，不僅可以平衡算法的可行性、收斂性和分布性，而且可以顯著提升算法的搜索效率。然而，這些方法也存在一些缺陷，例如：懲罰函數法的懲罰參數設置十分困難［25］，約束和目標分離法需要人為設定不同的ε值；多目標優化法的計算量隨約束條件數目的增多而呈現指數式增大，混合法在如何集成不同處理機制時缺乏有效理論指導。近年來，研究者陸續提出了基于模糊規則的懲罰函數處理機制［26］、無約束搜索和約束搜索動態融合機制［27］、基于雙協作檔案的約束處理機制［28］等方法，極大地提升了算法尋找可行域最優解的能力。可見，約束處理技術對CMOPs的高效解決具有至關重要的影響。因此，對CMOEAs領域的研究成果進行整理和分析，并總結現存的問題，展望未來的挑戰，是一件非常重要也是十分必要的研究工作。

1 相關工作

1.1 CMOPs數學描述

不失一般性，以最小化問題為例，CMOPs可定義為

min f（x）={f1（x），f2（x），…，fm（x）}

s.t. x=（x1，x2，…，xn）∈ΩEuclid ExtraaBpn

gi（x）≤0 i=1，2，…，r

hi（x）=0 i=r+1，…，q（1）

其中：ΩEuclid ExtraaBpn是決策空間，f1（x），f2（x），…，fm（x）是實值函數；m是目標維數；gi（x）為r個不等式約束；hi（x）為q-r個等式約束。

在處理時，通常將式（1）的等式約束轉換為式（2）所示的不等式約束：

hi（x）′≡δ－|hi（x）|≥0（2）

其中：δgt;0稱為不等式約束的容忍參數。

個體x的整體約束違反程度可以由式（3）計算得出。

v（x）=∑qi=1Gi（x）（3）

1.2 CMOPs相關定義

定義1 可行解。當且僅當gi（x）≤0（i∈{1，…，r}），hi（x）=0（i∈{r+1，…，q}），稱x為CMOPs的可行解。

定義2 不可行解。不能同時滿足gi（x）≤0（i∈{1，…，r}），hi（x）=0（i∈{r+1，…，q}）的解x，稱其為不可行解。

定義3 可行域。由所有可行解組成的集合稱為CMOPs的可行域Ω，如圖1所示。

定義4 不可行域。由所有不可行解組成的集合稱為CMOPs的不可行域。

1.3 MOEAs分類

1）基于支配的MOEAs

基于支配的MOEAs通過Pareto支配關系將種群劃分成若干個層次，依層順序選出最優解以保證種群的收斂性。在同一層中，首選擁擠度值小的解遺傳到下一代，以保證種群的分布性。圖2是NSGA-II非支配排序示意圖。在圖2中，分類子集F1和F2中的所有個體均進入了新群體Pt+1，但分類子集F3中只有一部分個體可以進入新群體Pt+1。

2）基于指標的MOEAs

基于指標的MOEAs采用性能評估指標來評價解的質量，以便度量個體在種群中的收斂和分布性。圖3為Iε+指標示意圖。

以最小化為例，Iε+指標可表示為

Iε+（A，B）=minε{x2∈B x1∈A：

fi（x1）－ε≤fi（x2） for i∈{1，…，n}}（4）

其中：A、B為種群中的兩個解集；fi（i=1，2，…，n）為目標函數。

圖3中A、B分別為只包含一個個體的兩個解集。在圖3（a）中，A集合中的個體和B集合中的個體是互不支配的，此時Iε+（B，A）gt;0、Iε+（A，B）gt;0；在圖3（b）中，集合B中的個體支配集合A中的個體，此時Iε+（B，A）lt;0、Iε+（A，B）gt;0。

3）基于分解的MOEAs

2002年，Murata等人［29］首先提出了基于分解的MOEAs即細胞多目標遺傳算法（cellular multi-objective genetic algorithm，C-MOGA）。C-MOGA使用權重和（weighted sum，WS）作為聚合函數進行問題分解，其生成的后代只與當前個體比較。2007年，張青富等人提出了MOEA/D算法，其通過聚合函數將一個多目標優化問題分解為多個單目標優化子問題，并且利用一種相互協作的方式同時優化這些子問題。與C-MOGA相比，MOEA/D除了使用WS聚合函數外，還研究了切比雪夫（Tchebycheff，TCH）和基于懲罰邊界交叉的（penalty-based boundary intersection，PBI）聚合函數。此外，還引入鄰域的概念以提高種群進化效率。圖4為TCH分解方法示意圖。

2 約束處理機制

經過近二十年的發展，CMOEAs已形成多種成熟的約束處理機制。下面介紹四種常用的約束處理機制。

1）懲罰函數方法

懲罰函數方法是指對種群中違反約束條件的個體按約束違反程度進行懲罰，以減小其被選擇的概率，如式（5）和（6）所示。

Gi（x）=max{gi（x），0}"" 1≤i≤r

max|hi（x）-δ，0| r+1≤i≤q （5）

V（x）=∑qi=1Gi（x）（6）

其中：Gi（x）為個體x到第i個約束條件的距離；G（x）為個體x到可行域的距離，反映了個體x違反約束條件的程度。

由于其原理簡單、應用方便，懲罰函數法是CMOEAs領域最流行的約束處理方法。目前，已形成了死亡懲罰［30］、靜態懲罰、動態懲罰［31］、自適應懲罰［32］等多種類型的懲罰函數。

在死亡懲罰方法中，當某個解違反任何約束時，都視該個體為不可行解，將拒絕該個體參與算法進化。在靜態懲罰方法中，懲罰因子在進化過程中保持不變。在動態懲罰方法中，懲罰因子通常會隨進化代數變化。通常，在進化前期使用較小的懲罰因子，以便擴大搜索區域，提高種群的多樣性；在進化后期使用較大的懲罰因子，以便在可行域集中搜索，提高種群的收斂性。自適應懲罰方法一般需要從進化過程中獲取約束違反信息，并利用這些反饋信息來自適應地調整懲罰因子。

懲罰函數法是帶參數的約束處理方法，參數過大或過小都會影響算法的性能，并且參數調整過程極其費時費力［33］。因此，懲罰函數法的主要難題是如何設計自適應策略以快速高效確定合適的懲罰因子。

2）約束和目標分離方法

約束和目標分離方法是將目標值與約束違反程度分開來處理。Deb等人［34］提出了在替換過程中進行個體比較時要遵循的三個可行性準則，用來保持可行解與不可行解間的平衡。準則內容如下：a）如果兩個個體均可行，則根據目標函數值評估它們的優劣；b）如果一個個體可行，另一個不可行，則選擇可行個體；c）如果兩個個體均不可行，則選擇約束違反程度較低的個體。

可行性準則不僅操作簡單，并且無須設置參數，因此更易于找到可行解。但是，可行性準則過于強調可行解，而忽略了不可行解中可能攜帶的有用信息，容易使算法陷入局部最優。

除了可行性準則外，其他代表性方法還有約束支配原則（constraint dominance principle，CDP）、隨機排序法［35］ （stochastic ranking，SR）和ε約束處理法［36］。

在CDP方法中，制定了以下準則來評價解x和y的優越性，以便進行替換操作：a）如果x可行，而y不可行，則不用y替換x；b）如果解x不可行，而解y可行，則用y替換x；c）如果解x和y均不可行，則用約束違規度小的解替換大的解；d）解x和y均可行，則用某性能度量值好的解替換差的解。

在SR方法中，通過設置概率參數pf來決定算法根據哪個指標（目標函數值、約束違反程度）來評價任意兩個解的優劣。SR方法在搜索過程中有效取得了約束違反程度和適應度值之間平衡，不僅最大程度利用了可行解提供的有用信息，而且挖掘出了不可行解攜帶的潛在信息，有力推動算法逼近可行域中的最優值。SR的偽代碼見算法1。

算法1 隨機排序

開始

for i=1 to N

for j=1 to P-1

u=random（0，1）; // u為（0，1）生成隨機概率系數

if 約束違反值為0 or 隨機概率系數ult;設定的pf值

if 第j個元素適應度值gt;第j+1個元素適應度值

交換第j元素與第j+1個元素的順序;

else

if 第j個元素約束違反度gt;第j+1個元素約束違反度

交換第j元素與第j+1個元素的順序;

end for

if 元素不發生交換

退出for循環;

end for

結束

在ε約束處理方法中，使用分段函數來控制ε值。根據總約束違反度將個體劃分到不同的區域，并采用不同的評價標準，具體公式如下：

ε（0）=v（xθ）（7）

ε（t）=ε（0）（1－tTc）cp" 0lt;tlt;Tc

0t≥Tc （8）

其中：t為當前代數；Tc為控制代數；cp控制ε減小的速率；v（xθ）為種群中第θ個體違反約束條件的程度。

根據（f（x），v（x））集合上的順序關系定義ε級別比較。設f（x1）、f（x2）和v（x1）、v（x2）分別為解x1和x2的目標值和約束違反程度。對于任何滿足ε≥0的情況，ε級別比較ε的定義如下：

（f（x1），v（x1））ε（f（x2），v（x2））

f（x1）f（x2）" if v（x1）≤v（x2）

f（x1）f（x2）if v（x1）=v（x2）

v（x1）lt;v（x2）otherwise

（9）

3）多目標優化法

多目標優化方法核心思想是將約束條件轉換為目標函數，從而將CMOPs轉換為MOPs。通常有兩種方式：a）將約束優化問題轉換為兩目標優化問題，其形式為min F（x）=（f（x），G（x）），其中f（x）為原問題的目標函數，G（x）為解違反（r+q）個約束條件的總程度；b）將約束優化問題轉換為有（r+q+1）個目標的多目標優化問題。盡管多目標優化法在處理CMOPs時表現出良好的收斂性，但是算法的計算復雜度也成倍增大。

4）混合方法

混合方法通常采用以下三種操作范式：a）多機制策略，即運用兩種或兩種以上的約束處理機制；b）多階段策略，即將搜索過程分為多個階段，在不同階段運用不同的約束處理機制；c）協同進化策略，即多機制之間相互協作，能夠有效解決復雜約束優化問題。

3 CMOEAs分類研究

根據選擇機制的不同，這里分別從基于支配、基于指標、基于分解三個大類對CMOEAs進行闡述。

3.1 基于支配的CMOEAs

首先介紹懲罰函數法在基于支配的CMOEAs中的應用情況。周紅標等人［37］提出一種基于Pareto支配和分解的混合多目標骨干粒子群優化算法（HBBMOPSO）。該方法采用自適應懲罰函數法構建了包括能耗、罰款在內的約束多目標函數。為了提高Pareto最優解集的收斂性和多樣性，該方法利用分解策略選取個體引導者，利用Pareto支配和擁擠距離法維護外部檔案。Azzouz等人［38］提出動態非支配排序遺傳算法（dynamic nondominated sorting genetic algorithm Ⅱ，DNSGA-Ⅱ）用來處理目標函數、約束條件或問題參數隨時間變化的動態約束問題。該方法利用當前種群中可行解的比例自適應地調節懲罰項來處理動態約束。實驗結果表明DNSGA-Ⅱ在大多數測試問題中收斂性和多樣性均優于原始算法。

除了有參的懲罰函數法，還有一些無參數的懲罰函數法。Jadaan等人［39］提出一種將非支配排名遺傳算法（non-dominated ranked genetic algorithm，NRGA）與無參數懲罰函數法相結合的約束多目標進化算（PP-NRGA）。該方法運用無參數的懲罰系數rg，不需要問題的先驗知識，并在適應度函數中引入秩使算法更容易逼近全局Pareto前沿。實驗結果表明PP-NRGA能在保持多樣性的同時提高收斂速度。Ning等人［40］提出一種新穎的約束非支配排序（constrained non-dosorting，CNS）的約束處理方法。該方法利用約束違反程度和Pareto等級將種群中的每個個體都被分配一個受約束的非支配等級，可取得可行性和最優性之間的平衡。為了有效解決CMOPs，將CNS嵌入到MOEA/DM2M當中形成非常具有競爭力的cMOEA/H算法。

由于懲罰參數設置困難，帶有懲罰函數法約束處理機制的CMOEAs性能難以得到保證。所以，研究者更加關注約束和目標分離方法中可行性準則方法。

Zhang等人［41］為處理最優測試資源分配問題（optimal testing resource allocation problems，OTRAPs）的約束，提出一種基于NSGA-Ⅱ的約束處理方法（NSGA-Ⅱ testing resource allocation，NSGA-Ⅱ-TRA）。該方法利用啟發式算法修復導致約束違反的元素值，采用基于z-score的歐氏距離來評估個體之間的差異。根據敏感性分析結果，NSGA-Ⅱ-TRA具有良好的穩健性。Jiao等人［42］提出了一種帶有可行解引導策略的改進NSGA-Ⅱ算法。該方法利用個體的違反約束值和真實目標函數值來修改個體的目標函數值，利用當前種群反饋的可行解比值來保持算法平衡，利用不可行解在可行個體的指導下確定可行方向，能夠從可行空間和不可行空間兩方向搜索Pareto最優解。實驗結果表明該算法在收斂性和多樣性方面表現出優越性。Fan等人［43］提出了一種基于支配的新型聚類方法，采用不可行的解處理CMOPs，并利用差分進化的交叉算子以便快速收斂到Pareto前沿。

在約束和目標分離方法中，Ray等人［44］提出一種基于非支配的CMOEAs。通過使用非支配性來處理約束和目標，消除了懲罰函數法中存在的縮放和聚合問題。該算法將約束與目標分開單獨處理，在目標域和約束域中使用Pareto排序概念。實驗結果表明該算法在獲得一組Pareto最優解的同時能夠保持其多樣性。Elarbi等人［45］提出基于孤立解的約束NSGA-Ⅲ算法（constrained non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅲ，ISC-NSGA-Ⅲ），通過選擇與孤立子區域（即權重向量或參考點）相關的不可行解來提高算法的多樣性和收斂性。Yang等人［46］提出一種基于支配和ε約束處理切換機制的多目標差分進化算法（MODE-CHS）來解決CMOPs中可行性、收斂性和分布性的平衡問題。該算法通過引入ε約束技術在獲得可行解的同時最大程度地加速種群收斂。實驗結果表明MODE-CHS在解決CMOPs方面非常具有競爭力。Cuate等人［47］提出了一種基于NSGA-Ⅱ和Pareto追蹤器（Pareto tracer，PT）相結合的兩階段混合進化算法（ε-NSGA-Ⅱ/PT）以解決等式CMOPs。PT策略能夠沿著Pareto前沿追蹤最優解以及處理約束條件。實驗結果表明ε-NSGA-Ⅱ/PT比現有的方法具有更強的優越性。

在多目標優化法中，Isaacs等人［48］提出一種基于改進的NSGA-Ⅱ約束處理方法（constraint handling evolutionary algorithm，CHEA）。該方法將具有k個目標的原始約束優化問題轉換為具有k+1個目標的無約束優化問題，并通過自定義的參數α控制要保留在群體中的不可行解的數量，利用不可行空間搜索最優解，增加了解的多樣性。實驗結果表明，CHEA可以快速地搜索到可行域最優解集。

在混合方法的應用中，Deb等人［49］提出了一種雙目標進化算法與懲罰函數法相結合的CMOPs處理方法。該方法將違反約束的最小化作為附加目標，并與雙目標進化優化策略相結合，利用獲取的Pareto前沿估計問題的懲罰參數R，利用經典的局部搜索方法求解懲罰函數，促進算法收斂。實驗結果表明帶有懲罰函數法約束處理機制的進化算法可以快速、準確地找到約束問題的最優解。Venkatraman等人［50］提出了一個基于遺傳算法的兩階段框架以解決CMOPs。在第一階段，將約束優化問題作為無約束問題處理，找到可行的解；在第二階段，將優化目標函數和約束條件視為一個雙目標優化問題。實驗結果證明該算法與問題無關，具有較高的魯棒性。Woldesenbet等人［51］提出了一種基于自適應懲罰函數和距離度量的混合約束處理技術。該方法原理簡單、無調整參數，顯示出了更好的處理結果。

實際工程中的問題大多具有動態特性，即目標函數、決策參數和約束條件均隨時間發生變化。對于這類動態CMOPs，Azzouz等人［52］結合自適應懲罰函數和可行性驅動策略，提出了一種基于NSGA-Ⅱ的CMOEAs算法（dynamic constrained multi-objective evolutionary algorithm，DC-MOEA）。在DC-MOEA中，可行性驅動策略能夠根據環境變化引導搜索向新的可行解方向收斂?；谥涞腃MOEAs的研究總結見表1。

還有一些研究是利用CMOEAs解決實際工程的問題。Ji等人［53］通過將約束違反轉換為目標函數方式，形成了改進的NSGA-Ⅱ算法，并用其解決連續泊位分配問題（continuous berth allocation problem，BAPC）。Gadhvi等人［54］利用帶有約束處理機制的NSGA-Ⅱ、SPEA2和PESA-Ⅱ等算法處理車輛被動懸架系統的約束多目標優化問題。

Sorkhabi［55］提出一種基于NSGA-Ⅱ的新型約束處理方法，其采用懲罰函數和約束編程（constraint handling via constraint programming，CHCP）來平衡局部和全局探索，提高了優化效率，解決了多目標風約束電場布局優化問題。AbulWafa［56］提出了一種多目標受控制精英NSGA-Ⅱ算法，以便處理多目標經濟/環境調度問題。Bora等人［57］使用約束NSGA-Ⅱ和強化學習來解決多目標風電調度問題。Song等人［58］采用約束轉向規則設計了一種改進的NSGA-Ⅱ算法，并用其解決多目標土地分配空間優化問題。Rathnayake等人［59，60］利用二元錦標賽約束處理技術改善NSGA-Ⅱ處理約束問題的能力，并將算法用于下水道系統多目標控制當中。實驗結果顯示該約束處理機制比其他約束處理技術的處理效果更好。周紅標等人［61］提出一種基于約束多目標骨干粒子群的污水處理過程智能優化控制方法。表2列出了基于支配的CMOEAs在工程中的應用研究。

3.2 基于指標的CMOEAs

相比基于支配的CMOEAs，基于指標的CMOEAs的研究較少，主要成果如下：

García等人［62］提出一種基于指標的MOEAs。該方法利用參考集引導種群搜索，利用IGD值推動種群收斂，最終達到利用性能指標獲取約束邊界可行解的目的。

在約束和目標分離法中，Scimemi等人［63］提出一種基于超體積指標的約束處理方法，該方法將單目標優化問題的SR方法擴展到多目標優化問題，實驗結果表明所提方法的適用性。

在混合方法中，Said等人［64］提出了基于指標的協同進化遷移算法（indicator-based co-evolutionary migration based algorithm，IB-CEMBA），以解決帶約束的雙層多目標優化問題。雙層優化問題包括上級（領導者）和下級（跟隨者），下級（跟隨者）優化問題作為上級（領導者）優化問題的約束出現。IB-CEMBA采用基于指標的方法來衡量下級發送給上級的解是否具有最佳指標貢獻度。Guo等人［65］提出一種基于指標的IBEA與可滿足性模理論（satisfiability modulo theories，SMT）相結合的混合MOEAs（satisfiability modulo theories indicator-based evolutionary algorithm，SMTIBEA），用于解決現實軟件產品線配置優化問題。Antonio等人［66］提出了一種基于超體積指標的新的合作協同進化MOEA（indicator-based multi-objective evolutionary algorithm，IBMOEA）以解決CMOPs。

有些成果是結合多種優化算法來處理約束優化問題。BenMansour等人［67］提出基于蟻群優化算法和鄰域方法（局部搜索）互補的組合算法（indicator weighted based local search with ant colony optimization，IWBLS/ACO）來處理多目標多維背包問題。該方法采用蟻群優化創建初始解，采用局部搜索方法和ε指標實現空間搜索，能在探索和開發之間取得更好的折中。Mansour等人［68］提出了一種基于指標的蟻群優化算法用于解決多目標背包約束問題。

為了防止種群在處理CMOPs時容易陷入局部最優，Yuan等人［69］提出一種基于自定義的指標的約束處理技術（indicator-based constrained multi-objective algorithm，ICMA）。該方法首先引入距離度量來衡量目標空間中解之間的擁擠程度，引導種群充分探索不同區域，然后利用該度量和整體約束違反程度設計可行解和不可行解的評估指標，有效引導種群探索有潛力區域，防止陷入局部最優。實驗結果表明ICMA優于其他CMOEAs。Liu等人［70］開發了一個基于指標的CMOEA框架，該框架可以方便地集成基于指標的CMOEAs（HypE、IBEA和ISDE）和三個約束處理技術（可行性準則、SR、ε-約束方法）。實驗結果表明基于指標的CMOEAs在處理CMOPs時具有較強競爭力。Wang等人［71］基于SATIBEA提出了改進的SATIBEA+方法，該方法通過為每個特征引入二進制變量并將約束映射到公式，可以將特征選擇問題映射為SAT問題。以最小化無效約束的數量定義為搜索過程的目標，在搜索過程中通過將無效配置替換為有效配置或“更好”的配置（約束違規較少）來減少特征違規的數量并增加有效配置的百分比。實驗結果表明，SATIBEA+優于SATIBEA。

Shi等人［72］提出了一種基于指標的并行投資組合方法（indicator-based evolutionary algorithm parallel portfolio approach，IBEAPORT），該方法通過將SAT求解以不同方式合并到IBEA中來組成三種算法變體（SATIBEAv1、SATIBEAv2 和SATIBEAv3），并利用并行化技術執行這些變體。實驗結果表明，IBEAPORT利用了不同算法的探索能力，并能在有限時間預算內提高最優性?；谥笜说腃MOEAs的研究總結見表3。

在工程應用方面，Li等人［73］為了平衡網狀AC/VSC-MTDC系統的經濟性和安全性，先是提出了一種校正安全約束多目標潮流模型，然后開發了一種基于指標的并行雙準則進化算法（parallel bi-criterion evolution indicator based evolutionary algorithm，PBCE-IBEA）。實驗結果表明PBCE-IBEA能夠有效地實現網狀AC/VSC-MTDC系統的經濟性和安全性之間的權衡。Tangpattanakul等人［74］提出一種基于指標的多目標局部搜索方法（indicator-based multi-objective local search，IBMOLS）用于解決與地球觀測衛星選擇和調度相關的CMOPs。表4列出了基于指標的CMOEAs在工程問題中的應用研究。

3.3 基于分解的CMOEAs

本小節主要以MOEA/D為例，介紹基于分解的CMOEAs的研究現狀。

有些方法在處理CMOPs的過程中利用可行解或不可行解。Miyakawa等人［75］提出一種帶有定向交配和存檔的約束MOEA/D的算法（constrained MOEA/D with directed mating and archive，CMOEA/D-DMA）。該方法采用定向交配機制選擇有用的不可行解，其具有比可行解更好的標量函數值作為父項，并將它們保存在檔案中。通過連續mCDTLZ和多目標離散背包問題進行測試，結果表明該算法有更高的搜索性能。Elarbi等人［76］提出了一種基于隔離解的約束MOEA/D方法（isolated solution-based constrained MOEA/D，ISC-MOEA/D），利用不可行解處理具有各種復雜特征的超多目標優化問題（constrained many-objective optimization problems，CMaOPs）。先通過基于隔離解決方案的更新程序IS處理具有復雜特征的CMaOPs，然后選擇與隔絕子區域相關的以及具有較小約束違反值的不可行解決方案。實驗結果表明，ISC-MOEA/D有更好的競爭力。

在約束和目標分離的方法中，Fan等人［77］提出一種基于角度的約束優勢原則（angle-based constrained dominance principle，ACDP）的MOEA/D（MOEA/D-ACDP）。ACDP利用兩個解之間的角度信息和可行解的比例來調整優勢關系，從而同時保持種群良好的收斂性、多樣性和可行性。Asafuddoula等人［78］提出一種基于MOEA/D自適應約束處理方法。該方法包含一個約束違反閾值自適應設置機制，當不可行解的約束違反值小于該閾值時，此不可行解將與可行解等同。Fan等人［79］在MOEA/D的框架中應用了改進的ε約束處理機制。實驗結果表明，所提出的ε約束處理機制在收斂性和多樣性方面都非常有效。Martinez等人［80］提出了一種基于ε約束處理方法的新型選擇機制，通過MOEA/D鄰域信息以獲得使可行區域內目標函數最小化的解。實驗結果顯示所提新型ε約束處理方法能夠在可行解生成和向Pareto最優前沿加速收斂之間取得最佳平衡。

此外，約束條件可能導致算法陷入兩種停滯狀態：a）由于CMOPs的可行區域一般是由不相連的可行子區域組成，算法在搜索時容易陷入可行子區域中，而子區域中可能沒有全局Pareto最優解；b）一個約束違反函數可能包含許多非零極小點，它會使搜索陷入一個不可行的區域。為了解決這兩個問題，Zhu等人［81］基于MOEA/D設計了一種檢測和逃避策略（detect-and-escape，DAE），以幫助約束處理方法擺脫不可行區域和局部最優Pareto前沿，其約束處理機制流程如圖5所示。

在基于多目標優化的約束處理方法中，Zapotecas-Martínez等人［82］提出了一種基于MOEA/D的多目標約束處理方法。該方法構建了一個以標量函數和約束違反度作為目標函數的雙目標問題，通過標量函數來選擇最佳解，提升了使用不可行解來逼近CMOPs的Pareto前沿的可能性，能在收斂性、多樣性和可行性之間保持平衡。Peng等人［83］同樣也提出一種基于MOEA/D的多目標約束處理方法。該方法將約束違反度轉換為一個目標函數，利用分布在不可行區域的一部分權重來選擇不可行的非支配個體，這些權重隨著進化進程動態變化，從而尋找具有更好目標值和較小約束的不可行非支配個體，以提高種群的收斂性和多樣性。Wang等人［84］基于MOEA/D提出一種權向量調整策略，以實現對約束條件的多目標處理。

還有一些文獻使用ε約束針對MOEA/D中常用的分解方法可能會導致多樣性的喪失或對PF的形狀敏感的問題進行改進。

Cai等人［85］提出了一種網格約束分解方法（constrained decomposition with grids，CDG），名為CDG-MOEA。其中，CDG可看做ε約束方法的擴展，它具有反映解之間鄰域結構信息的固有特性。在CDG中，選擇一個目標函數進行優化，而其他所有目標函數通過設置上限和下限將其轉換為約束。該方法在收斂性和多樣性方面都優于比較算法，且對Pareto前沿的形狀具有魯棒性。之后，基于之前在CDG方面的工作，Cai等人［86］提出一種基于動態網格分解約束框架（dynamic constrained decomposition with grids，DCDG）的多目標模因算法（DCDG multi-objective memetic algorithm，DCDG-MOMA），用于種群規模動態變化的組合CMOPs。此外，DCDG可以動態增加網格的數量以獲得更多的非支配解，提高了解多樣性。經實驗對比該算法明顯優于其他算法。Cai等人提出這兩種方法的不同之處如表5所示。

在使用混合方法求解CMOPs中，Chen等人［87］提出一種基于分解的具有ε-約束框架的MOEA（decomposition-based MOEA with the ε-constraint，DMOEA-εC）。該方法將ε-約束納入分解策略，選擇一個目標作為主要目標，將其他目標轉換為約束，并采用可行性準則優化子問題。經實驗對比該算法明顯優于其他算法，并且在解決0-1背包問題方面也顯示出明顯的優勢。Liu等人［88］提出一種具有邊界搜索和歸檔功能的MOEA/D進化算法用于處理CMOPs?；诜纸獾腃MOEAs研究總結見表6。

文獻［87］綜合分解策略與ε-約束法分解為一系列標量約束優化子問題并采用可行性準則協同優化子問題ZDT1-3、ZDT4、ZDT6、DTLZ1-4、DTLZ6、UF1-10、LZ1、LZ3、LZ4、LZ7、LZ9、WFG1-9、MOKPs

文獻［88］將約束優化問題劃分為多個子問題，以協作方式處理約束CTP1-8、CF1-10在工程應用方面，Zhu等人［89］利用帶有懲罰函數約束處理機制的MOEA/D處理風火電系統的經濟排放調度問題。Biswas等人［90］利用帶有可行解優越性（superiority of feasible solutions，SF）約束處理機制的MOEA/D處理電力系統的約束多目標最優潮流問題。Zhou等人［91］利用帶有可行性準則約束處理機制的MOEA/D處理污水處理過程的約束多目標優化控制問題。Li等人［92］利用改進MOEA/D來解決MEMS布局優化問題。Hu等人［93］提出了一種基于MOEA/D和約束規劃的MOEAs用于解決具有時間窗口的多目標團隊定向越野問題（multi-objective TOPTW，MOTOPTW）。Li等人［94］考慮提出一種問題結構和客觀特征引導的MOEA/D（problem-specific heuristics MOEA/D，PH-MOEAD）以解決混合流水調度批次流問題。表7列出了基于分解的CMOEAs在工程問題中的應用研究。

算法特點工程應用MOEA/D+EED ［89］機會約束規劃方法解決包括隨機變量在內的約束風火電系統經濟排放調度MOEA/D-SF ［90］可行解優越性約束處理機制電力系統最優潮流約束多目標優化

AMOEA/D ［91］可行性準則約束處理機制處理出水水質約束條件污水處理過程約束多目標優化控制

cMOEA/D［92］動態分配計算資源給更有希望的子問題MEMS布局優化

CPMOEA/D ［93］集成分解方法處理約束組合優化問題團隊多目標定向優化

PH-MOEAD［94］考慮子批次排列的變異啟發式算法提高開發能力混合流水車間批次流調度

4 結束語

本文主要從基于支配、基于指標、基于分解三個角度分別對CMOEAs的研究成果進行了總結，并詳細分析了懲罰函數法、約束和目標分離法、多目標優化法、混合法等四種典型的約束處理機制在算法中的具體運用?？v觀這十幾年的研究發展趨勢，CMOEAs的理論愈加豐富，約束處理效果愈加突出，工程應用領域持續拓展，但是仍然存在一些亟待解決的難題：

a）復雜約束條件的處理。

為了尋找可行解，常將等式約束條件轉換為不等式約束條件來處理，但對于非線性、離散等具有復雜等式約束條件的約束優化問題，進化算法很難找到可行解。在離散約束優化中，最優解容易陷入可行域的局部最優。因此，如何合理利用復雜約束條件尋找可行解，防止算法陷入局部最優仍然是一個開放性難題。進一步的研究，可以考慮綜合運用現有的約束處理技術，設計混合約束處理機制，以應對復雜的搜索環境；也可以將種群劃分多個子群，利用子群之間的協同演化，實現不同進化階段的約束處理。

b）約束與目標間的不平衡。

在解決CMOPs時，過于注重約束條件可能會遺漏Pareto最優解，過于注重目標函數可能會使種群偏離可行域。例如：在污水處理多目標優化問題中，如果特別強調水質參數必須全部達標排放，那么處理所需的電力消耗帶來的成本將十分高昂；如果只追求能耗最低，那么出水水質參數約束得不到基本保證，則會對水環境造成重大危害。因此，根據工程問題特點，兼顧約束條件與目標函數之間的平衡就顯得極其重要。進一步的研究，可以考慮根據決策者的偏好獲取感興趣的Pareto前沿，或決策出違反約束條件但卻是急需的解。

c）許多目標問題。

現實生活中的問題常常需要考慮諸多因素。當目標維數大于3時，隨著目標維數增多，傳統的Pareto支配關系對區分個體優劣的能力降低，導致收斂速度的下降，無法很好地收斂到Pareto前沿面。因此，針對約束許多目標優化問題，設計一個具有選擇壓力與約束處理同步的進化機制也是一個極具挑戰性的難題。進一步的研究，可以考慮分階段處理收斂性和多樣性，比如在第一階段采用弱支配關系促進種群收斂，在第二階段采用強支配關系提升種群多樣性，在提供強大選擇壓力的同時，考慮采用雙檔案策略處理約束條件。

d）測試函數。

現實問題復雜多變，現有的用于CMOEAs性能驗證的約束測試函數集已不能滿足實際工程需求，因此設計出能反映實際工程問題特征的基準測試函數是非常有必要的。進一步的研究，可以考慮設計具有可控參數的測試函數生成器。

綜上所述，約束多目標進化算法在處理CMOPs時仍面臨著諸多的挑戰。隨著科學技術和智能進化算法的發展，CMOEAs的約束處理效果和優化性能仍有可挖掘的空間?，F在大部分成果主要是針對原始算法進行性能改善，新的算法理論及約束處理技術仍有待進一步深入研究；現實問題通常是動態的約束優化問題，常與時間或環境相互影響，迭代后產生的最優解也會隨時間或環境的變化而動態變化，因此針對動態約束多目標優化問題仍需從算法框架、參數控制、處理機制等方面進行研究；設計滿足探索和開發需求的自適應學習機制，或與時下先進的機器學習理論（如深度學習、遷移學習、強化學習）等相結合，設計知識驅動型約束多目標進化算法以提高種群自組織學習能力也是值得關注的研究方向。

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