拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法

收稿日期：2022-02-26；修回日期：2022-04-11" 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61772013，61402201）；江蘇省青年基金資助項目（BK20190578）

作者簡介：徐杰（1993-），女，河南周口人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；魯海燕（1970-），女（通信作者），山東淄博人，副教授，博士，主要研究方向為組合最優化、智能算法（luhaiyan@jiangnan.edu.cn）；趙金金（1997-），女，河南偃師人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；侯新宇（1998-），男，山東濟南人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制；盧夢蝶（1999-），女，湖北安陸人，碩士研究生，主要研究方向為最優化與控制.

摘 要：

針對蝴蝶優化算法存在種群多樣性差、尋優精度低、收斂速度慢的不足，提出了拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法。首先利用拉丁超立方抽樣種群初始化策略以提高種群的多樣性，從而增強算法的全局搜索能力；然后引入在不同進化時期自動調節搜索范圍的自適應最優引導策略，平衡算法的全局和局部搜索能力，從而提升算法的尋優精度；最后采用高斯小孔成像策略，對最優個體進行擾動，使得種群個體向最優個體靠近，以進一步提升算法的尋優精度并加快算法的收斂速度。通過對14個基準測試函數進行仿真實驗以及Wilcoxon秩和檢驗，結果表明改進算法的尋優精度、收斂速度、穩定性和可擴展性等性能均得到了較大提高。

關鍵詞：蝴蝶優化算法；拉丁超立方抽樣；自適應慣性權重；高斯小孔成像；高維優化

中圖分類號：TP301"" 文獻標志碼：A"" 文章編號：1001-3695（2022）09-022-2701-08

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.02.0054

Self-adaptive Gaussian keyhole imaging butterfly optimization algorithm

based on Latin hypercube sampling

Xu Jiea， Lu Haiyana，b， Zhao Jinjina， Hou Xinyua， Lu Mengdiea

（a.School of Science， b.Wuxi Engineering Technology Research Center for Biological Computing， Jiangnan University， Wuxi Jiangsu 214122，China）

Abstract：Aiming at the shortcomings of Butterfly optimization algorithm，such as poor population diversity，low optimization accuracy and slow convergence speed，this paper proposed a self-adaptive Gaussian keyhole imaging butterfly optimization algorithm based on Latin hypercube sampling. Firstly，it used a Latin hypercube sampling population initialization strategy to enhance the population diversity and thereby improve the overall search ability of the algorithm. Then，it introduced the self-adaptive optimal guidance strategy，which could dynamically adjust the search range in different evolutionary periods，to balance the global and local search capabilities and hence improve the optimization accuracy of the algorithm. Finally，it adopted a Gaussian keyhole imaging strategy to disturb the optimal individuals，making the individuals of the population moving close to the optimal individuals，so as to further improve the solution accuracy and speed up the convergence of the algorithm. Through simulation experiments and Wilcoxon rank sum tests using 14 benchmark functions，the results show that the performance of the improved algorithm is greatly enhanced in terms of optimization accuracy，convergence speed，stability and scalability.

Key words：butterfly optimization algorithm; Latin hypercube sampling; self-adaptive inertia weight; Gaussian keyhole imaging; high dimensional optimization

0 引言

通過模擬自然現象的物理規律及自然界各類生物種群的生活習性和行為特點而構造的一類隨機優化算法，被稱之為智能優化算法。智能優化算法通常分為群體智能算法、進化算法和基于自然現象的算法三類［1］。群體智能算法如粒子群算法［2］、海鷗優化算法［3］等；進化算法如遺傳進化算法［4］、差分進化算法［5］等；閃電連接過程算法［6］、模擬退火算法［7］等則是基于自然現象的優化算法。這些算法為解決大量存在于計算科學、工程科學、管理科學等領域的復雜問題提供了新的求解途徑。

蝴蝶優化算法（butterfly optimization algorithm，BOA）是2019年由Arora等人［8］提出的一種新的智能優化算法。由于該算法因具有原理簡單、參數較少、在求解函數最優值方面具有較好性能等優點，所以被廣泛研究并用于粒子濾波器優化、特征選擇、傳感器節點部署、支持向量機參數優化、故障診斷等實際應用問題的研究中［9～13］。但是與其他元啟發式優化算法一樣，蝴蝶優化算法自身也存在著一些不足，如算法的種群多樣性差、尋優精度不高、收斂速度慢等，這在一定程度上限制了蝴蝶優化算法的理論發展和應用范圍。為此，研究者提出了不同的改進策略。文獻［14］采用信息交叉共享機制策略使算法跳出局部最優，提高算法的收斂速度。文獻［15］提出新型模糊決策策略并且構建“虛擬蝴蝶”來提升算法的搜索能力。文獻［16］通過在花蜜位置引入瘋狂因子以增加種群多樣性，獲取更好的最優解，從而提高了算法的尋優精度。文獻［17］采用動態調整轉換概率策略以平衡全局和局部搜索，提高了算法的搜索效率。文獻［18］通過引入正余弦算法作為局部算子來提升種群多樣性，從而避免算法陷入局部最優。文獻［19］將分段權重引入蝴蝶算法中，以此來平衡全局勘探和局部開發，提升了算法的尋優精度。文獻［20］通過構建蝴蝶之間的反饋共享交流網絡，提升了算法跳出局部最優的能力。文獻［21］通過引入混合慣性權重策略來提高種群的多樣性。文獻［22］采用自適應余切慣性權重和逐維變異策略來增強算法的自適應性和種群多樣性，從而提升算法的尋優精度和收斂速度。文獻［23］通過在算法搜索階段引入正弦和余弦因子來增強算法的全局搜索能力，從而提升了算法的尋優精度。上述方法盡管對BOA的尋優能力有所提升，但算法大多都需要大量的迭代次數，同時對蝴蝶優化算法在高維函數上性能的相關研究較少，而且從未將概率統計的相關知識應用到蝴蝶優化算法性能的研究中。

針對以上問題，本文提出了拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法。首先利用拉丁超立方抽樣種群初始化策略以提高種群的多樣性，從而增強算法的全局搜索能力；然后，為平衡算法的全局和局部搜索能力，提升算法的尋優精度，引入在不同進化時期自動調節搜索范圍的自適應最優引導策略；最后采用高斯小孔成像策略，以進一步提升算法的尋優精度并加快算法的收斂速度。實驗表明，本文算法在迭代次數較少的情況下不僅提高了算法的尋優精度而且進一步提高了算法的收斂速度。

1 蝴蝶優化算法

通常情況下，自然界中蝴蝶通過嗅覺感知其他蝴蝶散發的香味強弱來調整自身的飛行方向，向著食物源移動，從而實現蝴蝶間的信息交互以此來達到蝴蝶個體自身位置的更新。由于真實的蝴蝶覓食行為有很多不確定的因素，無法在算法中具體體現出來，因此Arora等人［8］在兩個理想化的條件下建立了蝴蝶優化算法：a）假設每只蝴蝶都能產生不同程度的香味并且能嗅到來自不同方向的香味，使得蝴蝶個體之間能夠相互吸引，這種香味的強度與蝴蝶個體的距離、自然的溫度、風速等外界刺激強度的影響有關，其中刺激強度由適應度值決定，用于在蝴蝶迭代過程中分享自身的相關信息；b）假設每只蝴蝶都有一定的概率嗅到來自最優蝴蝶個體的香味并朝向最優蝴蝶位置方向移動，否則若蝴蝶嗅不到來自最優蝴蝶個體的香味，蝴蝶個體將隨機移動。蝴蝶個體向最優個體移動的階段稱為全局搜索階段，隨機移動的階段則稱為局部搜索階段。全局搜索和局部搜索相互轉換的概率稱之為轉換概率P，取值為0.8。蝴蝶產生的芳香度的具體表示如下：

fti=cti×Iai（1）

ct+1i=cti+0.025cti×max_iter（2）

其中：fti是第i個蝴蝶在t代感知到的芳香度；cti是第i個蝴蝶在t代的感知因子；I是刺激的強度；a是與感知形態有關的冪指數，表示香味的吸收變化。其中刺激強度I是由需要優化的函數的適應度值決定的，a與c的取值為［0，1］。

此外當rlt;P時，蝴蝶處于全局搜索階段即蝴蝶個體是向適應度最好的蝴蝶也即全局最優蝴蝶所在位置的方向移動，具體位置移動表達式如下：

xt+1i=xti+（r2×g－xti）×fti（3）

其中，xti是第i個蝴蝶在第t代的位置；g是種群中最優蝴蝶的位置；fti是第i個蝴蝶在第t代感知到的芳香度；r是［0，1］的隨機數。

當r≥P時，蝴蝶處于局部搜索階段即蝴蝶個體的移動方向是隨機的，具體位置移動表達式如下：

xt+1i=xti+（r2×xtj－xtk）×fti（4）

其中：xti是第i個蝴蝶在第t代的位置；xtj、xtk分別是種群中第j、k個蝴蝶的位置；fti是第i個蝴蝶在t代感知到的芳香度；r是［0，1］的隨機數。

2 拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法

本文對蝴蝶算法進行改進，提出了拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法（self-adaptive Gaussian keyhole imaging butterfly optimization algorithm based on Latin hypercube sampling，SGLBOA）。該算法首先引入拉丁超立方抽樣初始化策略，從而提升算法的全局搜索能力；其次，引入在不同進化時期自動調節搜索范圍的自適應最優引導策略以提高算法的尋優精度；最后利用高斯小孔成像策略對最優個體進行擾動，從而進一步提升算法的尋優精度并加快算法的收斂速度。

2.1 拉丁超立方抽樣初始化策略

拉丁超立方抽樣（Latin hypercube sampling，LHS）是Mckay等人［24］于1979年提出的一種從多元參數分布中近似隨機抽樣的方法。在抽樣數不多的情況下，隨機抽樣不能很好地將樣本分散到整個區間。與隨機抽樣不同，拉丁超立方抽樣具有均勻分層的特性，以及可以在較少抽樣的情況下得到尾部的樣本值等優點［25］。

算法的收斂速度和精度在一定程度上是受初始種群好壞的影響的，隨機產生的初始種群無法保證搜索空間分布的合理性以及種群的多樣性，而拉丁超立方抽樣的均勻分層和等概率抽樣的特點可以保證其產生的變量覆蓋整個分布空間，所以將拉丁超立方抽樣應用于算法的初始化可以使初始種群個體盡可能地覆蓋整個搜索空間，以提高初始種群的多樣性，從而提升算法的尋優性能［26～28］。

由于蝴蝶優化算法的初始種群是隨機產生的，所以也難以保證搜索空間分布的合理性以及種群的多樣性。為解決這一問題，本文提出的SGLBOA通過引入拉丁超立方抽樣，將搜索空間均勻劃分，使初始種群能夠較好地覆蓋整個搜索空間，從而提高種群的多樣性，提升算法的整體搜索能力。SGLBOA種群初始化具體步驟如下：

a）確定種群規模N和維數D。

b）設定變量X區間為［lb，ub］，其中，lb、ub分別是變量的上界和下界。

c）將變量X的區間［lb，ub］劃分為N個相等的子區間。

d）在每一維里各個子區間中隨機抽取一個點。

e）將抽取的每一維的點組合形成初始種群。

為了直觀地展示拉丁超立方抽樣初始化策略的有效性，本文通過實驗分別采用隨機初始化方式和拉丁超立方抽樣初始化方式對蝴蝶種群進行初始化，得到如圖1所示的種群分布圖。

（a）隨機初始化

（b）拉丁超立方抽樣初始化

由圖1（a）可以看出，采用原BOA中隨機方式初始化種群時，種群分布較為集中，邊緣區域蝴蝶個體分布較少，此時種群多樣性較差；而使用拉丁超立方抽樣初始化得到的種群在整個搜索空間的分布則較為均勻。這從直觀上說明了拉丁超立方抽樣初始化策略的有效性，本文實驗部分也對拉丁超立方抽樣初始化策略的有效性進行了驗證。

2.2 自適應最優引導策略

為了更好地平衡雞群算法的全局和局部搜索能力，文獻［29］引入了非線性遞減的自適應慣性權重因子，其表達式如下：

a（t）=t×lnwmax－lnwmintmax－lnwmax（5）

w（t）=e－（a（t））（6）

其中：tmax為總迭代次數；w（t）為第t次迭代的慣性權重因子；wmax和wmin為慣性權重因子的最大值和最小值（wmax=0.9，wmin=0.4）。

受文獻［29］的啟發，本文將上述自適應慣性權重因子進行改進后引入蝴蝶優化算法中以平衡算法的全局和局部搜索能力，改進后的自適應慣性權重因子為

w1（t）=e－（a1（t））（7）

a1（t）=t×lnwmaxlnwmin－lnwmax（8）

其中：wmax=0.9，wmin=0.4。在算法迭代前期，權重因子較大，從而使蝴蝶個體有較大的搜索范圍，不僅能擴大搜索區域，還能有利于跳出局部極值；而在算法后期搜索階段權重因子較小，有利于提高蝴蝶群體的局部搜索能力，從而有利于找到全局最優值。

蝴蝶優化算法在全局搜索式（4）中引入最優蝴蝶個體g，引導蝴蝶向最優個體方向移動。受此啟發可知，要提高蝴蝶優化算法的收斂速度和收斂精度，需要充分發揮最優蝴蝶個體g的作用，引導種群個體盡可能地向最優個體的方向移動。同時為了避免蝴蝶個體陷入局部最優，引入自適應慣性權重w（t）加以平衡。從而改進后的蝴蝶優化算法的全局搜索公式為

xt+1i=w（t）×g*+（r2×g*－xti）×fti（9）

對于蝴蝶優化算法局部搜索階段，為避免算法因較大的隨機性而導致搜索效率較低和收斂速度較慢，因此在局部搜索階段一方面引入最優蝴蝶對蝴蝶個體進行引導，另一方面采用定向變異策略，同時引入判定系數η，經多次實驗可知η取0.9時，收斂速度和收斂精度最好，故本文中取η=0.9。如果rgt;η，則在局部搜索公式中引入擾動因子θ以避免因當前最優值的引入而導致算法在局部搜索階段陷入局部極值；如果r≤η，則在局部搜索公式中引入自適應慣性權重因子w（t）和黃金比例系數0.618，使蝴蝶個體自適應地朝著最優個體移動，加快收斂速度。局部搜索階段的具體表達式為

當rgt;η時

xti=θ×g+（r2×xtj－xtk）×fti（10）

θ=1+trnd（1）×tan（π×（r－12））（11）

當r≤η時

xt+1i=w（t）×g*+0.618×（r2×xtj－xtk）×fti（12）

其中：trnd（1）是柯西隨機數，有助于增加擾動因子θ的靈活多樣性；r是［0，1］的隨機數。

2.3 高斯小孔成像策略

小孔成像是一種常見的物理光現象，光源通過小孔從板的一側傾斜到另一側，在屏幕上形成倒映像，通過調整小孔屏與物體之間的距離，接收屏上像的大小也會隨之發生化［30］。

為了使算法尋找到更廣的反向位置，將小孔成像原理簡化到反向學習策略中。假設某一空間中，有一個高度為h的火焰p在X軸上的投影為全局最優位置g，坐標軸的上下限為a、b（當前解空間的上下限）。在基點O上放置一個有小孔的小孔屏，火焰通過小孔可以在接收屏上得到一個高度為h′的倒映像p′，此時在X軸得到通過小孔成像產生最優位置g的反向點g′，如圖2所示。

根據相似三角形原理可得

（a+b）/2－gg′－（a+b）/2=hh′（13）

令h/h′=n，則g的反向解為

g′=（a+b）2+（a+b）2n－gn（14）

將慣性權重w（t）以及均值為0，方差為1的高斯隨機數normrnd（0，1）引入到g′*中，得到g*的最終反向解為

g″=w（t）×（a+b）2+（a+b）2n－normrnd（0，1）×gn（15）

其中：n為參數，經多次實驗可知n取2 000時，收斂速度和收斂精度最好，故本文中取n=2 000。

對于蝴蝶優化算法，在搜索后期蝴蝶個體越來越多地聚集在最優蝴蝶的周圍，因此BOA傾向于早熟收斂。而引入小孔成像反向學習策略可以增加種群的多樣性，從而提升蝴蝶優化算法的全局搜索能力。

2.4 SGLBOA流程及時間復雜度分析

2.4.1 SGLBOA流程

SGLBOA流程如圖3所示。

2.4.2 SGLBOA的時間復雜度分析

由文獻［31］可知蝴蝶優化算法在種群大小為N、維數為D時的時間復雜度為

T=O（D+f（D））

在SGLBOA中，種群大小N、維數D、各參數設置的時間t1、求解適應度值的時間f（D）、新舊蝴蝶個體適應度值比較替換的時間t6、計算香味濃度的時間復雜度T2、記錄最優解的時間復雜度T5和更新感覺形態階段的時間復雜度T6都與文獻［31］相同。拉丁超立方抽樣初始化階段的時間復雜度為

T0=O（N×D）

因此，迭代前期的總體的時間復雜度為

T′1=T0+O（t1+Nf（D））+max_iter×（T2+T5+T6）=

O（D+f（D））

在全局搜索階段，SGLBOA在蝴蝶個體的全局位置更新公式中引入了自適應慣性權重w（t），假設有m（0≤m≤N）只蝴蝶進入全局搜索，由式（7）和（8）產生w（t）的時間為k1，根據式（9）進行位置的逐維更新的時間為k2，則全局搜索階段的時間復雜度為

T′2=O（k1+NDk2+Nf（D）+t6）=O（D+f（D））

在局部搜索階段，假設滿足rgt;η的蝴蝶有q只（0≤q≤N-m），則滿足r≤η的蝴蝶個數為N－m－q。假設由式（11）產生擾動因子θ的時間為k4，按照式（10）進行位置更新的時間為k5，則此時的時間復雜度為

T′3=O（k4+NDk5+Nf（D）+t6）=O（D+f（D））

當滿足r≤η時，假設由式（12）對蝴蝶個體進行逐維位置更新的時間為k6，則此時的時間復雜度為

T′4=O（NDk6）=O（D）

此外，假設由式（14）（15）產生g的小孔成像反向解g″的時間為k7，則

T′5=O（k7）

因此，可得SGLBOA的時間復雜度為

T′=T′1+max_iter×（T′2+T′3+T′4+T′5+T′6）=

O（D+f（D））

基于以上分析可知，本文所提出的SGLBOA和BOA相比，時間復雜度并未增加。

3 實驗仿真及結果分析

實驗環境為Windows 10，算法基于MATLAB 2020b。為了測試SGLBOA算法的魯棒性和有效性，引用14個基準測試函數進行測試分析，函數具體特征如表1所示。

3.1 種群規模N的選取

在SGLBOA中，種群規模N的不同取值將影響算法的尋優精度和收斂速度。為了在算法中設置合適的N值，選取單峰函數F1和F5，多峰函數F9和F12對N值進行敏感性實驗。實驗中分別取N=20、N=30、N=40、N=50和D=30。實驗結果如圖4所示。

由圖4可知，無論是對于單峰函數F1和F5還是對于多峰函數F9和F12，對于相同的迭代次數，N=30時SGLBOA尋優精度最好；對于相同的尋優精度，N=30時SGLBOA所需的迭代次數最少。綜上所述，當種群規模N=30時，SGLBOA能達到較好的尋優精度和收斂速度，因此本文后續實驗中取N=30。

3.2 三種改進策略的有效性分析

為了驗證拉丁超立方抽樣初始化策略，自適應最優引導策略以及高斯小孔成像反向學習策略的有效性和可行性，本文利用上述12個函數對LBOA、LQBOA以及SGLBOA進行測試。這里LBOA是在BOA中引入拉丁超立方抽樣初始化策略，LQBOA是在LBOA中引入自適應最優引導策略，SGLBOA是在LQBOA中引入高斯小孔成像反向學習策略。各策略對應的算法參數設置均與BOA相同，即轉換率P=0.8，冪指數a=0.1，初始感知形態c0=0.01。在N=30、max_iter=100、D=30的條件下，各算法均獨立運行30次。實驗結果如表2所示。

由表2可知，LBOA在均值和標準差方面整體上優于BOA，這說明加入拉丁超立方抽樣初始化策略提升了算法的收斂精度和穩定性，而LQBOA在均值和標準差方面比LBOA更好，整體達到了最優，這表明加入自適應最優引導策略進一步提升了算法的收斂精度和穩定性。對于函數F2、F4、F5、F7、F9、F10、F12和F14，SGLBOA的求解結果均為理論最優值0，同時標準差也為0，另外在時間方面，SGLBOA也優于LBOA和LQBOA，這表明高斯小孔成像策略進一步提升了算法的尋優精度以及算法的穩定性并加快算法的收斂速度。

3.3 與其他群體智能算法對比分析

為了更全面地驗證SGLBOA的有效性，本文選取了最近兩年新出現的新型群體智能算法麻雀算法（SSA）［32］和算術優化算法（AOA）［33］，在函數尋優方面性能較好的鯨魚算法（WOA）［34］和灰狼算法（GWO）［35］以及經典群體智能算法即粒子群算法（PSO）［2］作為對比算法。對比算法參數設置與其對應文獻一致。在N=30、max_iter=100、D=30的條件下，各算法均獨立運行30次。實驗結果如表3所示。

由表3可知，對上述測試函數，除函數F8、F13和F14外，SGLBOA均能收斂到函數對應的理論最優值。對于函數F8，SGLBOA也收斂到了此函數常見的最優值8.88E-16。此外，對于函數F1～F6和F8～F10，SGLBOA收斂到理論最優值所用時間相比于其他對比算法而言都較短，并且除函數F8外，均值和標準差也都求解到理論最優值0。由此可知，SGLBOA在尋優精度、尋優速度方面以及算法穩定性方面均有較好的效果。

3.4 改進蝴蝶優化算法在高維測試函數上的性能分析

為了驗證SGLBOA在高維問題上的有效性，將SGLBOA與BOA的其他改進算法作對比。為保證算法對比的時效性，本文選取新近出現的在求解函數最優值方面性能較好的蝴蝶改進算法作為對比算法，即CFSBOA［20］、MSBOA1、MSBOA2和SIBOA［23］。其中MSBOA1和MSBOA2在對應的文獻［21，22］中都被記為MSBOA，本文為了便于區分將其分別記為MSBOA1和MSBOA2。在N=30，max_iter=100，算法中的其余參數與對應參考文獻中設置一致的條件下，將六種算法分別在D=1 000、D=3 000和D=5 000時獨立運行30次，得到的最優值、平均值、標準差、平均耗時的實驗數據如表4～6所示。

由表4可知，在D=1 000時，對于函數F1～F7，F9～F12，SGLBOA的求解結果均為理論最優值0，這表明SGLBOA在收斂精度上遠遠高于其他對比算法。而對于函數F8，雖然沒有收斂到理論最優值0，但也收斂到了常見的最優值8.88E-16。此外，對于大多數函數，相比于其他改進算法，SGLBOA尋優時間最短。因此，SGLBOA在收斂速度上具有一定的優勢。

為了直觀地驗證算法的收斂性能，圖5給出了六種算法在D=1 000時部分測試函數的收斂圖。由圖5可知，對于單峰函數F1、F4～F6以及多峰函數F9和F10，SGLBOA在20代左右已達到收斂，即使對于較為復雜的多峰函數F11和F12，SGLBOA在40代左右也已收斂，然而對于這些函數，其他對比算法在100代時也遠未達到收斂；另外，對于相同的迭代次數，其他對比算法的尋優精度也都低于SGLBOA。這表明SGLBOA在收斂速度和尋優精度方面都明顯優于其余五種對比算法。

由表5可知，在D=3 000時，對于函數F1、F2、F4～F7、F9～F12，SGLBOA的求解結果均為理論最優值0，而對于函數F8而言，同樣是收斂到了常見的最優值8.88E-16。同時，對于函數F2、F8、F9～F11，SGLBOA是五種算法中尋優時間最短的，這表明SGLBOA收斂速度較快。對于函數F4～F6以及F12，SGLBOA雖然尋優時間上不及其他四種算法，但均值和方差是五種算法中最小的，這表明SGLBOA具有較好的穩定性。

由表6可知，在D=5 000時，對于函數F1、F2、F4～F7、F9～F12，SGLBOA的求解結果均為理論最優值0，而對于函數F8，依舊是收斂到了常見的最優值8.88E-16。此外，對于函數F2、F8～F11，雖然五種算法的求解結果均為理論最優值0，但SGLBOA尋優時間最短。而對于函數F1、F4、F6、F12，SGLBOA的尋優時間雖然不是五種算法中最短的，但SGLBOA的尋優精度和穩定性卻是五種算法中最好的。

此外，由表4～6可知，對于大多數函數，改進算法CFSBOA［20］、MSBOA1、MSBOA2、SIBOA［23］以及SGLBOA相比于BOA，平均耗時都有所增加，但SGLBOA的平均耗時增加量最小，而且SGLBOA在尋優精度、收斂速度、穩定性以及可擴展性方面均有大幅度提升。

圖6給出了SGLBOA在不同維數D時部分測試函數的收斂圖，通過該圖可以直觀地看到隨著測試函數維度的升高，SGLBOA依然保持著較好的尋優性能。這表明SGLBOA具有良好的可擴展性。

綜合以上分析可知，SGLBOA在高維問題上的求解結果整體優于其他五種對比算法，表明SGLBOA在高維函數優化問題上具有較好的尋優精度、收斂速度、穩定性和可擴展性。

3.5 Wilcoxon秩和檢驗

對于改進算法，通常需要利用統計檢驗來驗證，相對于現有算法而言，改進算法是否具有顯著性。為判斷SGLBOA的尋優結果是否在統計上與其他算法的最佳結果顯著不同，Wilcoxon秩和檢驗在5%的顯著性水平下進行，即當p值小于5%時，“R”為“+”，即拒絕H0假設，說明兩種算法的差異性顯著；否則就是接受H0假設，說明兩種算法在整體上是相同的。表7給出了在14個基準測試函數下，SGLBOA對BOA［8］、CFSBOA［20］、MSBOA1、MSBOA2以及SIBOA［23］的秩和檢驗p值。從表7中可以觀察到大多數的p值是小于5%，因此總體上說明SGLBOA與其他五種算法之間差異性顯著，SGLBOA明顯優于其他五種對比算法。

4 結束語

本文在蝴蝶優化算法的基礎上提出了拉丁超立方抽樣的自適應高斯小孔成像蝴蝶優化算法。通過將概率統計中的拉丁超立方抽樣策略應用于算法的種群初始化，提高種群的多樣性，以提升算法的全局搜索能力；自適應最優引導策略的引入能夠自動調節不同進化時期的搜索范圍，較好地平衡了算法的全局和局部搜索能力，從而提升算法的尋優精度；引入高斯小孔成像策略，進一步提升了算法的尋優精度并加快算法的收斂速度。14個測試函數的仿真實驗結果表明，SGLBOA具有較好的尋優精度、收斂速度、穩定性以及可擴展性。同時由于SGLBOA算法在高維優化問題上具有較好的性能，未來可進一步研究將算法應用于大規模優化問題中。

參考文獻：

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