無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法及其工程應用

收稿日期：2022-02-24；修回日期：2022-04-18" 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61673258，61075115）；上海市自然科學基金資助項目（19ZR1421600）

作者簡介：劉宇凇（1997-），男，內蒙古包頭人，碩士，主要研究方向為智能算法；劉升（1966-），男（通信作者），湖北黃石人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能計算、群智能系統、進化算法（ls6601@sina.com）.

摘 要：

針對黏菌算法搜索停滯和算法穩定性差等問題，提出了無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法。首先，使用了擬反向學習和擬反射學習兩種反向學習過程，根據原始黏菌算法勘探和開采行為的表現時機，生成同時包含擬反向和擬反射的綜合反向種群，擴大搜索范圍；其次，根據種群的多樣性程度判斷是否使用反向種群重構原始種群進行后續計算，避免固定的反向過程破壞種群本身的搜索特點，提高搜索精度；最后，引入無跡變換的西格瑪點，改進黏菌算法的基本移動模式，使無跡西格瑪點引導黏菌算法的搜索，加快收斂速度。實驗部分基于CEC2017基準測試函數，在傳統統計特征和MAE排名、Wilcoxon秩和指標上驗證算法的有效性；并在求解轎車側面碰撞的實際工程優化問題上，與新穎的高水平群智能算法、改進算法、不完全算法進行對比測試。實驗結果表明，改進策略有效且各策略間組合相得益彰，改進后算法的求解精度和魯棒性更具競爭力。

關鍵詞：黏菌算法； 擬反向學習； 擬反射學習； 無跡變換； CEC2017

中圖分類號：TP301.6"" 文獻標志碼：A"" 文章編號：1001-3695（2022）09-023-2709-08

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.02.0055

Unscented sigma point guided quasi-opposite slime mould algorithm and

its application in engineering problem

Liu Yusong， Liu Sheng

（School of Management Studies， Shanghai University of Engineering Science， Shanghai 201600， China）

Abstract：Aiming at the search stagnation and poor stability of the slime mould algorithm， this paper proposed an unscented sigma point guided quasi-opposite slime mould algorithm. Firstly， it used quasi-opposite learning and quasi-reflected learning to exploration and exploitation behaviors according the original slime mould algorithm， to generate a comprehensive opposite population that included both quasi-opposite learning and quasi-reflected learning， and expanded the search space. Secondly，according to the diversity of the population，it decided whether to use the opposite population to regenerate a new population for subsequent calculations，avoided the continuous opposite process destroying the search characteristics of the population itself，and improved the search accuracy. Finally， it used unscented transformation sigma point to improve the basic movement mode of slime mould algorithm，made the unscented sigma point guide the search，and accelerated the convergence speed. The ex-perimental part used the CEC2017 benchmark test functions，it used traditional statistical index and MAE ranking，Wilcoxon rank-sum test to verify the effectiveness of the algorithm，and used it to solve the car side impact design problem，compared and tested with the novel swarm intelligence algorithms，improved algorithms and incomplete algorithm. The experimental results show that the strategies are effective and combinations of strategies complement each other，and the improved algorithm’s solution accuracy and robustness are more competitive.

Key words：slime mould algorithm; quasi-opposite learning; quasi-reflected learning; unscented transformation; CEC2017

0 引言

在大數據和人工智能的背景下，群智能啟發式算法因其在大型復雜優化問題中優秀的表現和低廉的算力要求在近十幾年間愈發流行。黏菌算法（SMA）是2020年Li等人［1］提出的用于求解隨機優化問題的算法，其本身的移動原理簡單，但蘊涵有動態自適應、反饋權重等改進機制，同時具有廣泛的擴展定制空間，受到了國外研究者的廣泛關注。黏菌算法由自然中黏菌的振蕩模式啟發而設計，通過生物振蕩來傳遞不同位置食物信息的正向或負向反饋，從而尋找到最優的食物位置。目前該算法已成功應用于光伏模型參數優化［2］、機器學習特征篩選［3］、醫學X光圖像分割［4］、計算機視覺圖像閾值［5］等實際問題，在金融科技、數據挖掘、工業工程等領域具有廣闊的發展前景。

然而黏菌算法依舊存在著搜索停滯、穩定性差、求解精度低等問題，雖然現階段對SMA算法的研究相對較少，但國內外學者仍使用不同的策略對其進行改進，獲得了不同的成果。在使用反向學習框架改進黏菌算法的方向上，文獻［6］使用混沌反向學習框架擴大算法搜索空間；文獻［7］使用隨機反向學習框架幫助算法跳出局部最優；文獻［8］使用精英反向和二次插值的綜合策略改進了黏菌算法，使其整體表現更優。在改進黏菌算法基本移動方式的方向上，文獻［3］使用名為覓食—進攻的策略，基于貪婪策略和高斯變異，針對單個個體位置每輪迭代中進行新位置的嘗試，使得求解精度大大提高；文獻［9］將人工蜂群的交叉算子引入黏菌算法，加快算法收斂速度；文獻［10］將正余弦算法的搜索方式添加進黏菌算法，提高算法的搜索效率；文獻［11］使用量子旋轉門替換黏菌算法的基礎移動方式，改善了算法搜索停滯、陷入局部最優的缺陷。在使用反向學習框架改進黏菌算法的研究中，其大多使用單一反向策略，且對反向種群重構的時機缺乏判斷和控制，在保持算法原本特征和減少算法時間復雜度上存在進一步優化空間；在改進黏菌算法基本移動方式的研究中，其主要使用經典改進策略和其他種類算法的核心移動方式替換黏菌算法移動方式，對黏菌算法不同搜索行為的階段缺乏區分和針對性調整，在保持算法原有優勢的基礎上彌補算法的局限性上存在進一步優化空間。

針對黏菌算法搜索停滯、穩定性差的問題，本文使用反向學習的策略框架改進黏菌算法，并在傳統反向學習的基礎上針對黏菌算法自身特點進行策略的調整和組合，提出了無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法（UQSMA）。其使用擬反向和擬反射的綜合反向過程跳出局部最優，保持種群多樣性；同時根據種群多樣性適時地使用反向種群重構原始種群，減少固定反向過程的運算開銷，加強算法的穩定性；使用無跡西格瑪點引導種群向理論最優逼近，針對黏菌算法不同的搜索階段使用不同的改進策略，彌補算法在面對不同實驗和不同問題時穩定性較差的局限。多種策略平衡了種群的勘探和開采階段，各策略組合后在保證單一策略有效的基礎上彌補了單一策略的局限。

1 基本黏菌算法

黏菌算法中的黏菌一般是指多頭絨泡菌，因其最初被歸類為真菌，所以命名為“黏菌”。黏菌是一種生活在寒冷潮濕地方的真核生物，黏菌的活躍動態階段是黏菌算法研究的主要階段。在該階段，黏菌使用體內的有機物尋找食物，包圍它并分泌酶來消化它。在黏菌遷移過程中，其前端會延伸成扇形，后端則連接著一個靜脈網絡，保證細胞質在其中流動，從而達到信息溝通的目的，并且根據搜尋到的食物質量和密度動態調整靜脈直徑的大小，最終將整個黏菌的位置調整至最優食物處。受到黏菌這種行為模式的啟發，Li等人設計開發了黏菌算法。

基本黏菌算法的抽象數學描述如下：假設n個黏菌分布在d維搜索空間中，第t次迭代第i個黏菌的位置可以表示為Xi（t），max_t為最大迭代次數，全局最優位置Xb表示食物位置。黏菌的覓食尋優過程分為三個階段：

a）接近食物。

黏菌可以根據空氣中的氣味接近食物，式（1）模擬了其接近食物的過程。

X（t+1）=Xb（t）+vb×（W×XA（t）－XB（t））" rlt;pvc×X（t） r≥p （1）

其中：vb是服從［－a，a］均勻分布的系數；vc為0～1線性遞增；t表示當前迭代輪次；Xb表示目前為止找到食物濃度最高的個體位置，即當前全局最優解；X代表黏菌位置；XA和Xb代表兩個從黏菌種群中隨機抽取的個體；W代表黏菌個體的權重。

計算p的公式為

p=tanh|S（i）－DF|（2）

其中：i∈1，2，…，n；S（i）表示黏菌個體的適應度值；DF表示所有迭代輪次中找到的最優適應度。

計算vb的公式為

vb=［－a，a］（3）

其中：a為隨迭代次數減小的動態參數，用來收縮隨機數vb的生成范圍。以此模擬黏菌接近食物源過程中靜脈逐漸收縮提高尋優精度的過程，a的計算公式為

a=arctanh－tmax_t+1（4）

計算權重W的公式為

W（SmellIndex（i））=1+r×log（bF－S（i）bF－wF+1）" condition

1－r×log（bF－S（i）bF－wF+1） others （5）

SmellIndex=sort（S）（6）

其中：選擇分支的判斷條件condition為適應度排名位于前一半種群；r為［0，1］的一個隨機數；max_t表示最大迭代次數；bF表示當前輪次獲得的最優適應度值；wF表示當前輪次獲得的最差適應度值；SmellIndex表示按照適應度值大小排序的黏菌個體索引（在求解最小值問題時使用升序排序方法）。

b）纏繞食物。

該階段模擬了黏菌搜索食物過程中靜脈結構的收縮模式，當黏菌靜脈接觸到的食物濃度越大，其通過生物振蕩反應產生的波就越強，細胞質流動就越快，靜脈細胞質粘稠程度也就越高。式（5）描述了黏菌在搜索區域基于食物濃度或質量的判斷獲得的反饋，若該位置的食物濃度處于整個種群截至目前所有搜索結果的上位，則給予該位置黏菌正向反饋，反之給予下位黏菌反向反饋，以此方式充分利用適應度的計算結果信息來調整不同位置黏菌的權重，進一步調整整個種群的搜索方式。同時，隨機數r保證了黏菌個體間的多樣性。

基于上述理論，黏菌的位置更新為

X*=rand×（UB－LB）+LB""""" randlt;z

Xb（t）+vb×（W×XA（t）－XB（t））rlt;p

vc×X（t） r≥p（7）

其中：LB和UB表示搜索空間的上下邊界約束；rand和r表示［0，1］的隨機數；轉換概率z在Li的參數實驗中被證明設置為0.03時整個算法表現最好，故本文中z同樣設置為固定值0.03。

c）振蕩反應。

黏菌依靠生物的振蕩反映來調整靜脈中細胞質的流動，從而調整自身位置搜索最優食物位置。黏菌算法中的參數W、vb、vc用來模擬黏菌的振蕩反應，W根據適應度選擇不同振蕩模式的行為模擬了黏菌個體根據其他位置個體搜索到的食物情況選擇自身下一步行為的搜索模式，vb動態調整振蕩過程中使用其他個體信息的口徑模擬了黏菌靜脈直徑變化的過程，vc線性變化模擬了黏菌對自身歷史信息保留程度的變化。

2 無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法

2.1 反向學習策略

Tizhoosh［12］首次提出了反向學習（opposition-based lear-ning，OBL）的概念，其廣泛應用于群智能算法的改進策略中，同時反向學習也具有許多擴展和變體形態。反向學習策略有助于擴大搜索空間、加速算法收斂、維持種群多樣性。反向學習的核心機制是同時評估原始種群和反向種群的適應度，并從中挑選適應度更優的個體組成新的種群參與后續計算。傳統反向點生成的數學表達式為

xoj=LBj+UBj－xj（8）

擬反向學習（quasi-opposition-based learning，QOBL）［13］和擬反射學習（quasi-reflection-based learning，QRBL）［14］是反向學習的兩種變體，擬反向和擬反射點生成的數學表達式為

xqoj=randLBj+UBj2，（LBj+UBj－xj）（9）

xqrj=randLBj+UBj2，xj（10）

文獻［15］使用了哈里斯鷹算法（HHO）中控制種群實施不同搜索行為的參數，控制通過擬反向和擬反射過程生成的反向種群，證明了擬反向學習過程可以規避傳統反向學習位置轉換過大導致精度不高的問題，同時可以相對地擴大搜索空間，加速種群收斂；擬反射學習可以擴大個體位置附近的搜索空間，提高種群的搜索精度。圖1展示了一維空間內擬反向學習和擬反射學習相對于傳統反向學習的搜索空間。

標準的群智能算法框架中存在著明確的勘探和開采行為的區分，若使用單一的反向學習策略，生成的反向種群特征也較為單一，對算法勘探和開采階段的輔助效果會不同，且會存在一個效果相對不好的階段。為了更有效地構建反向種群，本文在黏菌算法進行勘探時使用大步長粗糙搜索的擬反向學習過程生成反向個體，在開采時使用小步長精細搜索的擬反射學習過程生成反向個體，最終生成完整的綜合反向種群，提升反向學習框架針對不同搜索空間特征的優化效果。在黏菌算法中，參數p控制著種群的勘探和開采行為，本文在黏菌進行勘探時使用擬反向過程生成反向個體，在黏菌進行開采時使用擬反射過程生成反向個體，數學表達式如下：

OX=randLB+UB2，（LB+UB－x）" rlt;p

randLB+UB2，x r≥p（11）

其中：參數p隨著迭代輪次的增加而減小，即生成的綜合反向種群在算法前期以擬反向個體為主，在算法后期以擬反射個體為主，從而動態平衡反向種群內個體勘探和開采的數量比例。

2.2 線性多樣性度量

文獻［16］提出了度量進化算法中種群多樣性的度量方式，其數學表達式為

Dd（Pt）=1D∑Dd=1（xdt）2－（xdt）2（12）

其中：

（xdt）2=1NP∑NPi=1（xdi，t）2（13）

xdt=1NP∑NPi=1xdi，t（14）

其中：D為問題維度；d為當前維度；NP為種群規模。

傳統反向學習中，每輪迭代生成的反向種群都會與原始種群一起進行比較從而生成新種群，不僅會大大提升運算時間開銷，新種群位置的重置還會打斷原始種群的收斂過程，導致算法在多次獨立實驗時表現出不穩定的問題，因此適時地進行反向重構種群才能夠最大程度地發揮反向學習策略的優勢。

受文獻［17］啟發，本文設置一個種群多樣性閾值（diversity threshold，DT）用于調控當前種群是否需要通過上述綜合反向種群生成新種群。若計算得出的種群多樣性大于閾值，則生成新種群；若種群多樣性小于閾值，則不生成新種群。由于黏菌算法本身具有維持自身種群多樣性的能力，故當種群多樣性變小時可能表明種群處于收斂過程。在實驗中發現，即使黏菌算法陷入局部最優，其種群多樣性并不會始終維持低水平，而是會在高低水平間振蕩波動，此時若種群多樣性超過多樣性閾值，綜合反向種群便可以通過生成新種群幫助原始種群擴大搜索范圍，跳出局部最優。該機制以較小的計算量達到了縮減反向重構過程的效果，顯著地減少了運算時間開銷；同時由于種群多樣性與種群的收斂與否具有較強相關性，所以通過設定閾值對種群狀態進行篩選后重構得到的新種群也可以在一定程度上對應種群的不同收斂狀態，從而在種群陷入停滯時進行幫助，在種群快速收斂時不進行干擾。

2.3 無跡西格瑪點引導策略

文獻［18］首次提出了使用無跡變換（unscented transformation，UT）生成一系列無跡西格瑪點幫助原始種群逼近理論最優點位置。通過修正原始算法的步進方式，豐富種群搜索的方式，提高算法面對不同問題時的泛用性，避免算法陷入停滯，無跡西格瑪點數學表達式為

ξ′0=

ξ′d=xd+σd"" d=1，2，…，D

ξ′d+D=xd－σd d=1，2，…，D（15）

其中：xd為維度d上位置的平均值；σd為維度d上位置的標準差。

由式（15）可知無跡西格瑪點共2D+1個。本文使用第一個無跡西格瑪點，即種群位置的均值來引導黏菌算法的勘探階段；使用剩余無跡西格瑪點，即使用標準差和均值運算得出的新位置來引導黏菌算法的開采階段，幫助算法在反向學習擴展后的搜索空間中引導算法逼近理論最優。式（7）為黏菌算法的核心搜索框架。其中rlt;p時種群表現出勘探的行為，其基本移動方式為在使用最優位置部分信息的基礎上再使用兩個隨機個體位置信息生成步長，本文將XA替換為X，減少步長生成的隨機性，使用均值引導種群在勘探時快速收斂；r≥p時種群表現出開采的行為，其基本移動方式為對自身位置的衰減，本文將其替換為均值與方差生成的新位置，同時保留參數vc以保證一定的隨機性，幫助黏菌算法在開采階段具有逼近理論最優點的能力，同時設定轉換概率，不全部計算2D個無跡西格瑪點，節省運算開銷。本文使用無跡西格瑪點改進后的式（7）為

X*=rand×（UB－LB）+LB""""nbsp; randlt;z

Xb（t）+vb×（W×X（t）－XB（t））rlt;p

X（t）+vc×σ（t）r≥p r′gt;0.5

X（t）－vc×σ（t）r≥p r′≤0.5（16）

2.4 無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法

本文提出了無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法（unscented sigma point guided quasi-opposite slime mould algorithm，UQSMA）。首先，根據原始黏菌算法勘探和開采的不同階段，使用擬反向學習和擬反射學習過程生成綜合反向種群，在黏菌種群不同的空間特征搜索階段使用不同的反向過程，有助于放大黏菌在不同搜索行為時的傾向，強化黏菌算法本身的行為特征，加速算法的啟動；其次，使用線性多樣性度量計算種群多樣性，并根據種群的實時多樣性判斷是否使用綜合反向種群加入原始種群生成新種群，保證算法精度、節約運算開銷、提高算法的穩定性；最后，使用無跡西格瑪點替換原始黏菌算法的基本移動方式，引導種群逼近理論最優解，豐富搜索的路徑，使算法保持最優解的更新和優化，避免算法停滯。

2.5 改進算法的步驟法

UQSMA算法的流程如圖2所示。

2.6 時間復雜度分析

假設種群規模為NP，搜索空間維度為D，最大迭代次數為T，原始SMA算法的時間復雜度主要來源于初始化、適應度計算和位置更新，其時間復雜度為

O（SMA）=O（NP）+O（NP×T）+O（NP×D×T）（17）

UQSMA算法主要由擬反向和擬反射學習組成的綜合反向學習框架和無跡西格瑪點引導機制兩個改進策略組成。反向過程需要根據NP個個體生成NP個反向個體，增加計算NP個反向個體的適應度，對所有2NP個個體進行排序并生成新種群，該過程時間復雜度為O（NP×D+2NP+2NPlg 2NP），與標準反向學習算法相同；無跡西格瑪點生成過程不增加時間復雜度，則UQSMA算法的時間復雜度為

O（UQSMA）=O（NP+（NP×D+2NP+2NPlg 2NP））+

O（NP×T）+O（（2NP×D+2NP+2NPlg 2NP）×T）=

O（NP×（3+D+2lg 2NP+T（3+2D+2lg 2NP）））（18）

UQSMA算法實際運行時，由于存在適應度閾值判斷是否進行綜合反向過程，故根據實際問題的不同算法的總時間復雜性有不同程度的降低，即O（（2NP×D+2NP+2NPlg 2NP）×T）部分在實際運算過程中會更小，故式（18）是UQSMA算法時間復雜度的理論最大值。

2.7 收斂性分析

UQSMA算法本質是一種隨機搜索算法，可由概率測度法證明UQSMA的全局收斂性。全局收斂性準則及定理［19］闡述了算法滿足全局收斂性需要滿足兩個條件：

條件1 f（D（z，ξ））≤f（z），且若ξ∈S，則f（D（z，ξ））≤f（ξ）。

其中： f為適應度函數；D為隨機搜索算法；z為解空間RN子集S的其中一個點，該點能使適應度函數取得最小值或在S上產生可接受的函數值下確界；ξ為算法D在迭代搜索過程中得到的解。

條件2 對于S中任意的Borel子集A，若其概率測度V［A］gt;0，則有

∏∞k=0（1－μk（A））=0

其中：μk（A）=P（xk∈A|x0，x1，…，xk－1）為算法D第k次迭代結果在集合A上的概率測度，{xk}∞k=1。該假設表明，對于S中任意滿足V［A］gt;0的子集A經過算法的無窮次迭代后，錯過解空間S的任意的Borel子集A的概率為0，即滿足上述條件的算法在無窮次搜索后無法達到近似全局最優點的概率為0。

引理1 隨機優化算法全局收斂定理［19］。若函數f可測，搜索空間S是Rn上的可測子集，若算法滿足條件1和2，則有

limk→∞P［xk∈R］=1

其中：R是全局最優點集合；P［xk∈R］是算法第k次搜索迭代結果落在R中的概率。

定理1 UQSMA滿足條件1。

證明 本文算法最優位置更新包含原始黏菌算法的位置更新和擬反向與擬反射學習的位置更新，故可將算法D抽象定義為

D（Gt，Xi，t）=Gt""" f（g（Xi，t））≥f（Gt）g（Xi，t）f（g（Xi，t））lt;f（Gt）

和 D（Gt，Xi，t）=Gt""" f（h（Xi，t））≥f（Gt）h（Xi，t）f（h（Xi，t））lt;f（Gt）

其中：g對應擬反向與擬反射學習過程，與標準反向學習過程在位置更新步驟上的邏輯一致；Xi，t表示RN中第t代個體i的樣本空間；g（Xi，t）表示第t次迭代中通過擬反向和擬反射學習生成的綜合反向種群與原始黏菌種群整合后更新的個體i的位置；h（Xi，t）表示黏菌個體i經過位置移動后第t次更新后的位置；Gt為當前得到的全局最優位置。由上述表達式可知，Gt所對應的全局最優適應度單調不增，且逐漸向解空間的下確界收斂。

證明成立。

定理2 UQSMA滿足條件2。

證明 若算法滿足條件2，種群規模為NP的黏菌種群的樣本空間必須包含S，即

S∪Ni=1Mi，t

其中：Mi，t為第t次迭代中個體i的樣本空間支撐集。

對于UQSMA中擬反向和擬反射學習過程的位置更新機制，有

g（Xi，t）=randLB+UB2，（LB+UB－Xi，t）" rlt;p

randLB+UB2，Xi，t r≥p

由此可知，g（Xi，t）為RN中不同于Xi，t的樣本空間，即經過擬反向和擬反射學習過程后，Xi，t到達g（Xi，t）的概率大于零。因此隨著迭代次數的增加，每個g（Xi，t）的閉包V［g（Xi，t）］與其并集∪Ni=1g（Xi，t）的閉包V［∪Ni=1g（Xi，t）］都在逐漸擴大，因此存在一個整數t1，當tgt;t1時

S∪Ni=1g（Xi，t）

同理，原始黏菌算法的位置更新過程得到的樣本空間并集的閉包V［∪Ni=1h（Xi，t）］也在逐漸擴大。因此存在一個整數t′，當tgt;t′時

（∪Ni=1h（Xi，t））∪（∪Ni=1g（Xi，t））S

令S的Borel子集D=（∪Ni=1h（Xi，t））∪（∪Ni=1g（Xi，t）），有V［D］gt;0，μi（D）=∑Ni=1μi，t（D）=1，即

∏∞k=0（1－μt［D］）=0

證明成立。

綜上，由引理1得，UQSMA具有全局收斂性，且由于擬反向和擬反射學習過程生成的新樣本空間不同于原始黏菌種群的樣本空間，該策略可以擴大整個種群在一次迭代中搜索的樣本空間，故收斂速度相對于原始黏菌算法有一定加快。

3 仿真實驗及結果分析

實驗環境為Windows 10，64位操作系統，CPU為AMD Ryzen 7 5800H，主頻3.20 GHz，內存16 GB，算法基于MATLAB 2020b編寫。

實驗1 為了充分驗證本文UQSMA在求解函數優化問題時的求解精度和穩定性，將UQSMA算法與其他算法在CEC2017測試函數上進行求解，并進行實驗結果對比。對比算法包括最新的改進黏菌算法AFSMA［3］、動態反向改進的黏菌算法DOLSMA、精英反向與其他策略結合改進的鯨魚優化算法EGSWOA［20］、原始的黏菌算法SMA［1］、同一科研團隊提出的哈里斯鷹算法HHO［21］和經典的鯨魚優化算法WOA［22］。

為保證每種算法對比時的公平性，實驗中種群規模設置為30，最大迭代次數設置為500，并獨立運行30次計算得出統計結果。對比算法參數設置均來源于對應文獻設置，如表1所示。

本文選用了如表2所示的29個CEC2017基準測試函數，其類型包含單峰（unimodal，UM）、多峰（multimodal，MM）、混合（hybrid，H）及復合（composition，C），維度可選用10、30、50、100，此處實驗使用標準維度30維，02號函數由于高維的不穩定性，習慣上不使用。

表3為UQSMA與第一部分算法進行對比的實驗結果。總體上看，UQSMA在29個CEC2017基準測試函數中，在21個函數上平均求解精度的表現優于其他所有對比算法，說明本文改進策略能夠使算法保證持續的搜索效果和搜索效率，克服原始黏菌算法搜索停止的局限。在此基礎上，UQSMA算法的求解精度均高于傳統反向改進的黏菌算法算法DOLSMA，說明擬反向和擬反射學習的組合對于黏菌算法效果的提升優于傳統的動態反向學習。同時，UQSMA算法的方差整體低于其他算法，說明了本文策略的組合對于算法穩定性的提升是有效的，對于算法最終求解精度和魯棒性具有一定的效果。

為了進一步驗證改進算法的有效性，需要對群智能算法結果進行統計檢驗［23］，本文選擇Wilcoxon秩和檢驗進行統計檢驗，顯著性水平設置為5%。表3展示了UQSMA算法與其他算法的檢驗結果，每列最后一個符號為UQSMA算法與算法成對比較結果的勝負標記，其中“+”代表均值結果優于比較算法且Wilcoxon秩和檢驗證明兩算法結果分布具有差異，即UQSMA算法綜合優于對比算法；“=”代表無論均值優劣且Wilcoxon秩和檢驗證明兩算法結果分布不具有明顯差異，即UQSMA算法綜合與對比算法相似；“-”代表均值結果劣于比較算法且Wilcoxon秩和檢驗證明兩算法結果分布具有差異，即UQSMA算法綜合劣于對比算法。最后一行為優于、相似與劣于的函數數量合計。表3結果表明，UQSMA算法對于每個CEC2017基準測試函數的求解結果完全不劣于DOLSMA、HHO、WOA三個對比算法；相較于改進算法EGSWOA僅在一個測試函數處于劣勢和在一個測試函數上表現相似，其他函數均處于優勢；相較于AFSMA和原始SMA，UQSMA僅在少數測試函數上處于劣勢；相較于原始SMA，接近半數的測試函數結果分布無明顯差異。分析可知，UQSMA算法通過設定種群多樣性閾值適時地進行反向過程重構原種群，保留了原始SMA的搜索特征，但在此基礎上最終的求解結果多數優于原始SMA算法，說明本文策略間組合可以達到在不改變原始SMA算法搜索特征的基礎上幫助算法持續搜索，防止算法停滯，從而提高最終的算法求解精度，可以證明UQSMA的持續搜索效果在求解CEC2017基準測試函數上表現更優。

為了形象地觀察改進算法的收斂情況與穩定性，繪制UQSMA與上述對比算法的收斂曲線和箱線圖。圖3給出部分基準測試函數的收斂曲線圖，為了便于觀察高精度的曲線收斂情況，縱坐標取以10為底的對數繪制所有曲線圖像。圖4給出部分基準測試函數帶均值的箱線圖。觀察可得，UQSMA算法具有前期收斂快、后期保持持續搜索的優勢，說明了擬反向過程和擬反射過程在前中期擴大了搜索空間，從而使算法快速地找到更優的尋優方向從而加速收斂；無跡西格瑪點對于種群搜索行為的修正幫助算法在迭代后期依舊能夠保持持續的精進，避免算法搜索停滯。同時，UQSMA在保證精度的情況下，重復計算間的方差更小、穩定性更強，說明反向學習擴大搜索空間的特點有助于保持算法的穩定，即使反向過程增加了種群的多樣性、無跡西格瑪點引入了新的隨機性，組合后算法得益于根據多樣性進行反向重構的策略依舊具有優于對比算法的穩定性。直觀來看，本文改進策略的組合對防止算法停滯和加強算法穩定性有積極影響。

為了綜合、簡明地評估UQSMA與其他算法對比的競爭性，使用平均絕對誤差MAE對上述算法進行排序［24］。表4展示了所有算法基于29個CEC2017基準測試函數的MAE。MAE計算公式為

MAE=1NF∑NFi=1|fi－f*i|（19）

其中：NF為函數個數；fi為算法在第i個函數上求解結果的平均值；f*i為第i個函數的理論最優值。

由表4可知，UQSMA排名第一，并且UQSMA的MAE值明顯小于其他算法，更加綜合地表明了該算法的有效性和魯棒性。

實驗2 為了驗證UQSMA算法改進的有效性，需要對比分析不完全算法［25］，使用CEC2017基準測試函數的維度30將UQSMA與其不完全算法無跡西格瑪點引導的黏菌算法USMA、

單純使用擬反向學習改進的黏菌算法QOSMA、單純使用擬反射學習改進的黏菌算法QRSMA進行對比，表5展示了更加綜合和簡潔的MAE排名結果。

由表5可知，UQSMA算法排名第一，QOSMA算法排名第二且優于原始SMA算法，USMA和QRSMA排名第三、四且劣于原始SMA算法，說明了無跡西格瑪點策略在單一使用時由于引入新的隨機性會導致算法精度下降，固定持續的擬反向過程同樣會破壞算法的搜索、降低精度。但擬反射和擬反向與無跡西格瑪點策略的組合使得算法表現最優，一方面綜合的反向過程和適時的反向重構彌補了無跡西格瑪點帶來的隨機性，提高了算法的穩定性；另一方面無跡西格瑪點引入的新搜索行為可以幫助算法精進搜索細致性，彌補反向學習擴大搜索空間后不易捕捉到精進方向的盲目性，防止算法停滯。多種策略的結合相輔相成，既規避了單獨策略使用時的缺陷，同時策略的組合使得策略發揮出更好的效果，有利于算法持續搜索效率和穩定性的提升。

實驗3 為了驗證UQSMA算法在實際工程應用中的效果，使用UQSMA求解轎車側面碰撞優化問題［26］，本問題主要考慮了B柱內徑、B柱加固、地板內徑、橫梁、門梁、門帶加固、車頂縱梁的厚度、護欄高度、撞擊位置等設計變量，相較于其他經典工程優化問題，該問題維度更高、約束更為復雜。其目標函數、約束條件和決策變量取值范圍如下所示。

f（X）=1.98+4.90x1+6.67x2+6.98x3+4.01x4+1.78x5+2.73x7

subjected to：

g1（X）=1.16－0.3717x2x4－0.00931x2x10－

0.484x3x9+0.01343x6x10－1≤0

g2（X）=0.261－0.0159x1x2－0.188x1x8－0.019x2x7+

0.0144x3x5+0.0008757x5x10+0.08045x6x9+

0.00139x8x11+0.00001575x10x11－0.32≤0

g3（X）=0.214+0.00817x5－0.131x1x8－0.0704x1x9+

0.03099x2x6－0.018x2x7+0.0208x3x8+

0.121x3x9－0.00364x5x6+0.0007715x5x10－

0.000535x6x10+0.00121x8x11－0.32≤0

g4（X）=0.074－0.061x2－0.163x3x8+0.001232x3x10－

0.166x7x9+0.227x22－0.32≤0

g5（X）=28.98+3.818x3－4.2x1x2+0.0207x5x10+

6.63x6x9－7.7x7x8+0.32x9x10－32≤0

g6（X）=33.86+2.95x3+0.1792x10－5.057x1x2－11.0x2x8－

0.0215x5x10－9.98x7x8+22.0x8x9－32≤0

g7（X）=46.36－9.9x2－12.9x1x8+0.1107x3x10－32≤0

g8（X）=4.72－0.5x4－0.19x2x3－0.0122x4x10+

0.009325x6x10+0.000191x211－4≤0

g9（X）=10.58－0.674x1x2－1.95x2x8+0.02054x3x10－

0.0198x4x10+0.028x6x10－9.9≤0

g10（X）=16.45－0.489x3x7－0.843x5x6+0.0432x9x10－

0.0556x9x11－0.000786x211－15.7≤0

where 0.5≤x1－x7≤1.5， 0.192≤x8－x9≤0.345，

－30≤x10－x11≤30（20）

實驗中種群規模設置為30，最大迭代次數設置為500，并獨立運行30次計算得出統計結果。對比算法及參數設置與實驗1相同，由于邊界控制方式不同EGSWOA算法沒有使用。求解結果如表6所示，觀察可知，UQSMA算法雖在重復計算中最優值略遜于原始SMA算法及其改進算法，但多輪重復計算的均值優于所有對比算法，且方差較小，說明了UQSMA在實際優化問題中的穩定性和魯棒性更好。

4 結束語

針對SMA算法存在的不足，本文使用了擬反向和擬反射學習過程組成的綜合反向和無跡西格瑪點引導兩個策略對原始SMA進行改進，提出了無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法UQSMA，并將該算法應用于CEC2017測試函數進行求解。改進的反向學習框架將不同的反向生成過程按照特性融合于黏菌算法的勘探與開采過程中，擴大了原始黏菌算法的搜索空間，加速了勘探階段的收斂速度，提高了算法的穩定性，對不同特點的測試函數具有普遍適用性；迭代過程中，使用無跡西格瑪點引導黏菌算法種群的基本移動方式，使其移動方向更加逼近理論最優解，避免算法的停滯。此外，為了多維度綜合評估改進算法的有效性和同其他算法相比的競爭力，本文使用了Wilcoxon秩和檢驗、MAE等指標，同時對轎車側面碰撞的實際工程應用問題進行了求解和比較，多角度地證明了本文算法的求解精度、魯棒性和實用性。

在未來的研究中，希望對黏菌算法進行進一步的改進和測試，提高該算法針對更多樣、更復雜問題的適用性，并將其應用于機器學習模型參數優化和投資組合問題求解等領域，進一步落實群智能算法的實際應用。

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