基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)有限頻域故障檢測(cè)

收稿日期：2022-02-28；修回日期：2022-04-08" 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61403168，61876073）

作者簡(jiǎn)介：朱淇（1997-），男，江蘇常州人，碩士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的故障診斷；姜順（1981-），男（通信作者），河南信陽(yáng)人，副教授，博士，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的分析與綜合（haveshun@jiangnan.edu.cn）；潘豐（1963-），男，江蘇常熟人，教授，博士，主要研究方向?yàn)樯a(chǎn)過(guò)程建模、優(yōu)化與控制．

摘 要：針對(duì)通信帶寬受限的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，引入一種基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的數(shù)據(jù)傳輸策略，研究了一類非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊下的有限頻域故障檢測(cè)問(wèn)題。首先，在考慮故障靈敏性和擾動(dòng)魯棒性的前提下，利用狀態(tài)增廣的方法將原系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成H-/H∞濾波問(wèn)題；然后，在考慮扇區(qū)有界非線性和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊的情況下，將故障的有限頻域特性考慮到H-性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)中，并結(jié)合有限頻輸入特性，給出有限頻故障輸入下的故障檢測(cè)濾波器與動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的聯(lián)合設(shè)計(jì)算法；最后，通過(guò)攪拌釜式反應(yīng)器系統(tǒng)的仿真算例驗(yàn)證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：故障檢測(cè)；網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制；有限頻域；網(wǎng)絡(luò)攻擊

中圖分類號(hào)：TP273"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2022）09-030-2757-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.02.0081

Dynamic event-triggered fault detection for networked systems in finite-frequency domain

Zhu Qi1，2，Jiang Shun1，2，Pan Feng1，2

（1.College of Internet of Things Engineering，Jiangnan University，Wuxi Jiangsu 214122，China；2.Key Laboratory of Advanced Process Control of Light Industry for Ministry of Education，Wuxi Jiangsu 214122，China）

Abstract：This paper investigated the fault detection problem in finite-frequency domain for nonlinear networked system under stochastic cyber-attack.To save limited network resource，this paper introduced a novel dynamic event-triggered scheme.Firstly，under the consideration of fault sensitivity and disturbance robustness，this paper converted the addressed fault detection problem into an auxiliary H-/H∞ filtering problem by augmenting the states of the original system and the fault detection filter.Taking sector bounded nonlinearity and stochastic cyber-attacks into consideration，the design of H- performance index inclu-ded the frequency characteristics of fault signals.Combined with finite-frequency input characteristics，this paper proposed the joint design algorithm for fault detection filter and dynamic event-triggered scheme under the finite-frequency fault input.Finally，a simulation example of stirred tank reactor system verifies the effectiveness of the proposed method.

Key words：fault detection；networked system；dynamic event-triggered scheme；finite-frequency domain；cyber-attack

0 引言

網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)是指被控對(duì)象和傳感器、控制器、執(zhí)行器以及其他系統(tǒng)組件之間通過(guò)共享通信網(wǎng)絡(luò)連接而形成的復(fù)雜控制系統(tǒng)。隨著通信技術(shù)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的高速發(fā)展，控制系統(tǒng)也向網(wǎng)絡(luò)化與智能化方向轉(zhuǎn)變，網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)逐漸被廣泛地應(yīng)用于實(shí)際工業(yè)領(lǐng)域中，如移動(dòng)無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)［1］、無(wú)人機(jī)［2］、遠(yuǎn)程醫(yī)療［3］等。然而，共享通信網(wǎng)絡(luò)為網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)帶來(lái)諸多便利的同時(shí)，也帶來(lái)了一系列挑戰(zhàn)，如網(wǎng)絡(luò)時(shí)延［4］、數(shù)據(jù)丟包［5］、通信約束［6］等問(wèn)題，甚至引起故障。近年來(lái)，隨著人們對(duì)控制系統(tǒng)可靠性與安全性要求的不斷提高，針對(duì)非理想環(huán)境下網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題已成為控制領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究問(wèn)題［7，8］。

在另一個(gè)研究前沿，為了有效地利用系統(tǒng)中有限的通信資源，事件觸發(fā)機(jī)制應(yīng)運(yùn)而生［9，10］。其主要策略是通過(guò)給出一個(gè)預(yù)先設(shè)定的事件觸發(fā)條件來(lái)判斷是否將測(cè)量輸出傳輸至濾波器，這是一種按需執(zhí)行的非等周期觸發(fā)方式。文獻(xiàn)［11，12］ 在故障檢測(cè)方法中引入了靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制，當(dāng)最新觸發(fā)時(shí)刻的測(cè)量值與當(dāng)前測(cè)量值之間的差值超出給定閾值時(shí)，更新數(shù)據(jù)傳輸?shù)挠|發(fā)時(shí)刻。然而，上述靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的低觸發(fā)參數(shù)靈活度限制了其適用范圍，因此有學(xué)者在此基礎(chǔ)上提出了動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制［13～15］。文獻(xiàn)［16］ 考慮了一類連續(xù)時(shí)間非線性隨機(jī)系統(tǒng)的故障檢測(cè)問(wèn)題，通過(guò)設(shè)計(jì)自適應(yīng)事件觸發(fā)控制率，使得觸發(fā)函數(shù)的閾值隨著測(cè)量輸出的變化動(dòng)態(tài)調(diào)整。文獻(xiàn)［17］ 針對(duì)離散時(shí)間網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，在設(shè)計(jì)故障檢測(cè)觀測(cè)器的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于集員估計(jì)的殘差評(píng)估動(dòng)態(tài)閾值，進(jìn)一步降低網(wǎng)絡(luò)資源占用且滿足更為靈活的系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求。此外，在網(wǎng)絡(luò)信道傳輸數(shù)據(jù)過(guò)程中，系統(tǒng)可能會(huì)遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊。與周期采樣機(jī)制相比，事件觸發(fā)機(jī)制下按需發(fā)送的數(shù)據(jù)包數(shù)量減少，但對(duì)系統(tǒng)性能的影響更大，若這些數(shù)據(jù)包被網(wǎng)絡(luò)攻擊竄改，則會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性［18］。因此，在針對(duì)動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下故障檢測(cè)的研究中設(shè)計(jì)抵御網(wǎng)絡(luò)攻擊的故障檢測(cè)策略至關(guān)重要。

需要注意的是，上述基于事件觸發(fā)機(jī)制的故障檢測(cè)方法只考慮了全頻域內(nèi)系統(tǒng)的整體性能，然而實(shí)際工程中的故障信號(hào)往往發(fā)生在有限頻率范圍內(nèi)，例如：緩變故障處于低頻域，卡死型故障的頻率為零［9］。為了更好地刻畫(huà)有限頻域特性，文獻(xiàn)［19］ 提出的廣義 Kalman-Yakubovich-Popov（KYP） 引理提供了一種處理故障信號(hào)頻率特性的有效方法。為了將廣義KYP引理的適用范圍推廣至非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［20］ 研究了基于靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的有限頻域故障檢測(cè)問(wèn)題，并將非線性誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一類線性時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)來(lái)處理。然而，目前基于動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的有限頻域故障檢測(cè)問(wèn)題尚未引起關(guān)注，更不用說(shuō)考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊的情況，這也是本文研究的主要?jiǎng)訖C(jī)和出發(fā)點(diǎn)。

基于以上討論，本文研究了隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊下非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的有限頻域故障檢測(cè)問(wèn)題，主要貢獻(xiàn)體現(xiàn)在：a）所設(shè)計(jì)的故障檢測(cè)濾波器同時(shí)考慮H∞擾動(dòng)魯棒性能和H-故障敏感性能；b）為了進(jìn)一步節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源，采用一種具有更高靈活度參數(shù)的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制；c）依據(jù)有限頻域不等式的時(shí)域解釋［21］，直接在時(shí)域上設(shè)計(jì)有限頻域故障檢測(cè)濾波器。

1 問(wèn)題描述

1.1 系統(tǒng)建模

考慮離散時(shí)間非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)如下：

x（k+1）=Ax（k）+Φ（k，x（k））+Bw（k）+Ff（k）

y（k）=Cx（k）+Dw（k）（1）

其中：x（k）∈Euclid Math TwoRApnx為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；w（k）∈Euclid Math TwoRApnw為外部擾動(dòng)且滿足2［0，∞）范數(shù)有界；f（k）∈Euclid Math TwoRApnf為待檢測(cè)的有限頻域故障信號(hào)；y（k）∈Euclid Math TwoRApny是測(cè)量輸出向量；系統(tǒng)參數(shù)矩陣A、B、F、C和D為已知的適維常數(shù)矩陣且（C，A）可觀測(cè)。非線性向量值函數(shù)Φ（k，x（k））滿足如下扇形有界條件：

［Φ（k，x（k））-Φ（k，（k））-S1（x（k）-（k））］T

×

［Φ（k，x（k））-Φ（k，（k））-S2（x（k）-（k））］lt;0（2）

其中：S1，S2∈Euclid Math TwoRApnx×nx為已知常數(shù)矩陣且Φ（k，0）=0。故障信號(hào)所處的頻率域可分為低頻段、中頻段與高頻段，統(tǒng)一描述為

Ωθ{θ∈Euclid Math TwoRAp|θ1≤θ≤θ2}（3）

當(dāng)0lt;θ2-θ1≤2π時(shí)，式（3）中的集合Ωθ表示中頻段，θ1和θ2分別為中頻段的下界和上界。

當(dāng)θ1=-θ2=-θl時(shí)，式（4）中的集合Ωθ表示低頻段，θl為低頻段的上界。

Ωθ{θ∈Euclid Math TwoRAp||θ|≤θl}（4）

當(dāng)θ1=θh，θ2=2π-θh時(shí)，式（5）中集合Ωθ表示高頻段，θh為高頻段的下界。

Ωθ{θ∈Euclid Math TwoRAp||θ|≥θh}（5）

定義1 考慮如下離散時(shí)間系統(tǒng)：

η（k+1）=Aη（k）+Bv（k）（6）

若在輸入信號(hào)v（k）∈2［0，∞）作用下，系統(tǒng)狀態(tài)η（k）滿足：

∑∞k=0［η（k+1）-η（k）］［η（k+1）-η（k）］T≤（2sinθl2）2∑∞k=0η（k）ηT（k）（7）

或ejθf(wàn)c∑∞k=0［η（k+1）-ejθf(wàn)1η（k）］［η（k+1）-ejθf(wàn)2η（k）］T≤0（8）

或∑∞k=0［η（k+1）-η（k）］［η（k+1）-η（k）］T≥（2sinθh2）2∑∞k=0η（k）ηT（k）（9）

則稱v（k）∈2［0，∞）分別為對(duì)應(yīng)于［-θl，θl］的低頻輸入，對(duì)應(yīng)于［θ1，θ2］的中頻輸入或?qū)?yīng)于（-∞，-θh］∪［θh，+∞）的高頻輸入。式（7）～（9）中的θf(wàn)表示故障信號(hào)f（k）的頻率，θf(wàn)1和θf(wàn)2分別表示故障頻率范圍的邊界值，θf(wàn)p=（θf(wàn)1+θf(wàn)2）/2，θf(wàn)c=（θf(wàn)2-θf(wàn)1）/2。

注釋1 定義1借鑒了文獻(xiàn)［21］對(duì)于有限頻域不等式的時(shí)域解釋。輸入信號(hào)的有限頻域特性表現(xiàn)為對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的驅(qū)動(dòng)能力，如：頻域處于［-θl，θl］的低頻輸入v（k）∈2［0，∞）滿足式（7），意味著在輸入v（k）的作用下，系統(tǒng)狀態(tài)η（k）的相對(duì)變化速率低于2 sin（θl/2）。

1.2 動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的建模

測(cè)量輸出y（k）通過(guò)帶寬有限的通信網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸，為了節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，采用如下動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制：

ki+1=infk∈N+{kgt;ki|λ1（k）+σ1yT（k）y（k）-εeTy（k）Ωey（k）≤0}

（k+1）=λ2（k）+σ2yT（k）y（k）-εeTy（k）Ωey（k）（10）

其中：ki表示第i個(gè)觸發(fā)時(shí)刻且k0=0；（k）是柔性變量且（0）≥0；λ1、λ2、σ1、σ2和ε均為給定的非負(fù)實(shí)數(shù)；y（k）為當(dāng)前測(cè)量輸出且ey（k）=（k）-y（k），表示上一觸發(fā)時(shí)刻的測(cè)量輸出（k）與當(dāng)前測(cè)量輸出y（k）之間的差值，（k）=y（ki），k∈［ki，ki+1），i，k∈Euclid Math TwoNAp。只有當(dāng)y（k）滿足觸發(fā)條件式（10）時(shí)，測(cè)量輸出數(shù)據(jù)才會(huì)被傳輸至濾波器的輸入端。圖1給出了動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下采樣和釋放瞬間的時(shí)間序列，由此可見(jiàn)，傳感器發(fā)送數(shù)據(jù)是非等周期的。

注釋2 當(dāng)λ1趨于0時(shí)，觸發(fā)條件式（10）可改寫為

ki+1=infk∈N+{kgt;ki|σ1yT（k）y（k）-εeTy（k）Ωey（k）≤0}（11）

可知式（11）退化為靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制。相比于文獻(xiàn)［11，12］ 考慮的具有固定觸發(fā)閾值的靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制，本文所考慮的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制更具一般性與靈活性。

1.3 故障檢測(cè)濾波器的設(shè)計(jì)

為了檢測(cè)系統(tǒng)中的執(zhí)行器故障，設(shè)計(jì)如下形式的濾波器：

（k+1）=A（k）+Φ（（k））+L［（k）-C（k）］

r（k）=（k）-C（k）（12）

其中：（k）∈Euclid Math TwoRApnx和r（k）∈Euclid Math TwoRApny為濾波器的狀態(tài)向量和殘差向量；L∈Euclid Math TwoRApnx×ny為待設(shè)計(jì)的濾波器增益矩陣。本文考慮網(wǎng)絡(luò)中存在虛假數(shù)據(jù)注入攻擊，其通過(guò)竄改數(shù)據(jù)包內(nèi)容而破壞數(shù)據(jù)的真實(shí)性和完整性。濾波器端在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊下的輸入信號(hào)（k）可以表示為

（k）=［1-α（k）］Cg（x（k））+α（k）（k）（13）

α（k）為服從Bernoulli分布的白噪聲序列。

P{α（k）=1}=E{α（k）}=

P{α（k）=0}=1-E{α（k）}=1-

V{α（k）}=E{（α（k）-）2}=（1-）（14）

其中：∈［0，1］是已知常數(shù)；P{·}表示事件發(fā)生概率；E{·}表示數(shù)學(xué)期望；V{·}表示方差。當(dāng)α（k）=0時(shí)，表示信號(hào)在傳輸中可能受到網(wǎng)絡(luò)攻擊干擾，其概率為1-。當(dāng)α（k）=1時(shí)，表示信號(hào)在傳輸中沒(méi)有遭受網(wǎng)絡(luò)攻擊，系統(tǒng)正常工作的概率為。越小，網(wǎng)絡(luò)攻擊出現(xiàn)的概率越高。由于網(wǎng)絡(luò)攻擊的攻擊效力是非線性的，故假設(shè)g（x（k））是一個(gè)非線性函數(shù)，且滿足下列二次約束條件：

gT（k，x（k））g（k，x（k））≤κ2xT（k）HTHx（k）（15）

其中：κgt;0為已知非線性函數(shù)g（k，x（k））的有界參數(shù)；H為常數(shù)矩陣。定義ξ（k）=［xT（k） eT（k）］T、e（k）=x（k）-（k）和ΔΦ（k）=Φ（k，x（k））-Φ（k，（k）），并結(jié)合式（1）（12）和（13），通過(guò)狀態(tài)增廣可以得到如下濾波誤差系統(tǒng)：

ξ（k+1）=（1-（k）2）ξ（k）+（1-（k）2）w（k）+

f（k）+（1-（k）2）ey（k）+3Φ（k，x（k））+

4ΔΦ（k）+（1+（k）2）g（k，x（k））

r（k）=（1+（k）2）ξ（k）+（1+（k）2）w（k）+

（5+（k）6）ey（k）+（3-（k）4）g（k，x（k））

y（k）=2ξ（k）+2w（k） （16）

其中：0代表適當(dāng)維數(shù)的零矩陣；I代表適當(dāng)維數(shù)的單位矩陣。其余參數(shù)矩陣為1=A0

（1-）LCA-LC，2=00

LC0，1=B

B-LD，2=0

LD，1=0

-L，2=0

L，3=I0，4=0

I，=FF，1=0（-1）LC，2=0LC，1=（-1）CC，2=C0，1=D，2=D，5=I，6=I，3=（1-）C，4=C，（k）=α（k）-。

本節(jié)的目的是設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制與故障檢測(cè)濾波器，使得濾波誤差系統(tǒng)式（16）均方漸近穩(wěn)定且滿足H-/H∞性能指標(biāo)，即滿足下列要求：a）濾波誤差系統(tǒng)式（16）是均方漸近穩(wěn)定的；b）當(dāng)f（k）=0時(shí)，系統(tǒng)滿足如下H∞性能指標(biāo)：

∑∞k=0‖r（k）‖2≤γ2∑∞k=0‖w（k）‖2（17）

并使得γ盡可能小，γ越小，擾動(dòng)信號(hào)對(duì)殘差越魯棒；c）當(dāng)w（k）=0時(shí)，系統(tǒng)滿足如下H-性能指標(biāo)：

∑∞k=0‖r（k）‖2≥β2∑∞k=0‖f（k）‖2（18）

并使得β盡可能大，β越大，故障信號(hào)對(duì)殘差越敏感。

1.4 殘差評(píng)估機(jī)制

結(jié)合故障檢測(cè)濾波器生成的殘差，選取殘差評(píng)價(jià)函數(shù)J（k）與閾值Jth來(lái)檢測(cè)故障。J（k）與Jth分別為

J（k）=E{∑ks=0rT（s）r（s）}1/2，Jth=supw∈2，f=0J（T）（19）

其中：T表示有限的評(píng)估時(shí)間長(zhǎng)度。通過(guò)比較J（k）與Jth的大小來(lái)判斷故障是否發(fā)生：

J（k）gt;Jth故障報(bào)警J（k）≤Jth無(wú)故障（20）

2 主要結(jié)果

本章以線性矩陣不等式的形式給出了使得濾波誤差系統(tǒng)式（16）滿足H∞性能指標(biāo)γ與H-性能指標(biāo)β的充分條件，并通過(guò)求解凸優(yōu)化問(wèn)題得到濾波器的參數(shù)。下面給出推導(dǎo)過(guò)程中將用到的引理。

引理1［22］ 對(duì)于一個(gè)向量值函數(shù)Φ（k，x（k））和已知常數(shù)矩陣不等式S1，S2∈Euclid Math TwoRApn×n，若存在：

［Φ（k，x（k））-S1x（k）］T［Φ（k，x（k））-S2x（k）］lt;0（21）

則有式（22）成立。

［xT（k） ΦT（k，x（k））］12

*Ix（k）

Φ（k，x（k））lt;0（22）

其中：1=（ST1S2+ST2S1）/2；2=-（ST1+ST2）/2。

引理2［23］ 對(duì)于矩陣A，Q=QT和Pgt;0，矩陣不等式-Q+ATPAlt;0成立當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)矩陣G，滿足：

-QATGGTAP-G-GTlt;0（23）

2.1 穩(wěn)定性及殘差對(duì)擾動(dòng)的魯棒性條件

定理1 給定滿足0lt;λ1≤λ2、λ1+λ2lt;1、0≤σ1≤σ3和εgt;0的實(shí)數(shù)λ1、λ2、σ1、σ2和ε，如果存在正定對(duì)稱矩陣Pd，矩陣W1、X和濾波器參數(shù)矩陣L，使得如下矩陣不等式成立：

［Np，q］15×15lt;0（24）

則稱濾波誤差系統(tǒng)式（16）均方漸近穩(wěn)定，且滿足H∞性能指標(biāo)γ。其中，對(duì)稱矩陣Np，q中的非零項(xiàng)如下：N1，1=-Pd1+κ2HTH-S^1，N1，2=-Pd2，N1，6=-2，

N1，9=-ATW11-μ1（1-）CTX，N1，10=-ATW12-（1-）CTX，

N1，11=μ1CTX，N1，12=CTX，N1，13=CT，N1，14=-（1-）CT，N1，15=CT，N2，2=-Pd3-1，N2，7=2，N2，9=-μ1ATW11+μ1CTX，N2，10=-ATW+CTX，N2，14=CT，N3，3=-γ2I，N3，9=-BTW11-μ1BTX+μ1DTX，N3，10=-BTW12-BTW+DTX，N3，11=μ1DTX，N3，12=DTX，N3，13=DT，N3，14=DT，N3，15=DT，N4，4=-2εΩ，N4，9=μ1X，N4，10=X，N4，11=μ1X，N4，12=X，N4，14=I，N4，15=I，N5，5=（λ1+λ2-1）I，N6，6=N7，7=N8，8=-I，N6，9=-W11，N6，10=-W12，N7，9=-μ1W，N7，10=-W，N8，9=μ1（1-）CTX，N8，10=（1-）CTX，N8，11=-μ1CTX，N8，12=-CTX，N8，14=（1-）CT，N8，15=-CT，N9，9=N11，11=Pd1-W11-WT11，N9，10=N11，13=Pd2-W12-μ1WT，N10，10=N12，12=Pd3-W-WT，N13，13=-（σ1+σ2）-1I，N14，14=N15，15=-I。

證明 構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函

Vd（k）=ξT（k）Pdξ（k）+（k）（25）

沿系統(tǒng)式（16）的軌跡求偏差可知：

E{ΔVd（k）}=E{Vd（k+1）}-E{Vd（k）}=

ξT（k+1）Pdξ（k+1）-ξT（k）Pdξ（k）+（k+1）-（k）=

［ξT（k）（T1-（k）T2）+wT（k）（T1-（k）T2）+（k）+

eTy（k）（T1+（k）T2）+gT（x（k））（T1+（k）T2）］×

Pd［（1-（k）2）ξ（k）+（1-（k）2）w（k）+（k）+（1+（k）2）ey（k）+（1+（k）2）g（x（k））］-ξT（k）Pdξ（k）+（λ3-1）（k）+σ3yT（k）y（k）-eTy（k）Ωey（k）（26）

根據(jù)扇形有界條件式（2）和引理1可得：

［Φ（k，x（k））-S1x（k）］T［Φ（k，x（k））-S2x（k）］=

［Φ（k，x（k））-S17ξ（k）］T［Φ（k，x（k））-S27ξ（k）］=ηT（k）Λ1η（k）lt;0（27）

［ΔΦ（k）-S1e（k）］T［ΔΦ（k）-S2e（k）］=［ΔΦ（k）-S18ξ（k）］T［ΔΦ（k）-S28ξ（k）］=ηT（k）Λ2η（k）lt;0（28）

其中：ηT（k）=［ξT（k） wT（k） eTy（k） T（k） ΦT（k，x（k）） ΔΦT（k） gT（x（k））］，（k）=1/2（k），S^1=（ST1S2+ST2S1）/2，S^2=-（ST1+ST2）/2。

Λ1=T717000T7200

000000

00000

0000

I00

00

0，

Λ2=T8180000T820

000000

00000

0000

000

I0

0

其中：7=［I 0］，8=［0 I］。結(jié)合式（26）～（28），動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制式（10）和引理2可推導(dǎo)出：

E{ΔVd（k）}=E{ΔVd（k）}+gT（k，x（k））g（k，x（k））-gT（k，x（k））

g（k，x（k））≤

E{ΔVd（k）}+κ2ξT（k）HT0H0ξ（k）-gT（k，x（k））

g（k，x（k））-

ηT（k）Λ1η（k）-ηT（k）Λ2η（k）-ξT（k）Pdξ（k）+（λ1+

λ2-1）

（k）+（σ1+σ2）yT（k）y（k）-2εeTy（k）Ωey（k）=ηT（k）

［Ξ11-Ξ12Ξ22ΞT12-diag{0，-γ2I，0，0，0，0，0}-Ξ13Ξ33ΞT13］η（k）（29）

當(dāng)w（k）=0時(shí)，等式ηT（k）diag{0，-γ2I，0，0，0，0}η（k）=0成立。根據(jù)Schur補(bǔ)引理及式（29），可知Ξ11-Ξ12Ξ22ΞT12-Ξ13Ξ33ΞT13lt;0成立的充分條件為

Ξ11Ξ12Ξ13Ξ14Ξ2200Ξ330Ξ44lt;0（30）

其中：Ξ11=Ξ0000-T72-T820-γ2I00000

-2εΩ0000

（λ1+λ2-1）I000

-I00

-I0

-I

Ξ0=-Pd-T717-T818+κ2HT0H0

Ξ12=T1-T2

T1-T2

T1-T2

00

T30

T40

T1T2，

Ξ13=T2

T2

00000，Ξ14=T1T2T1T2

T5T6000000T3-T4

Ξ22=diag{-P-1d，-P-1d}，Ξ33=-（σ1+σ2）-1IΞ44=diag{-I，-I}，H0=［H 0］，=α-（1-α-）

故有Ξ11-Ξ12Ξ22ΞT12-Ξ13Ξ33ΞT13-ηT（k）diag{0，-γ2I，0，0，0，0，0}η（k）lt;0成立。因此，濾波誤差系統(tǒng)式（16）均方漸近穩(wěn)定。為了證明濾波誤差系統(tǒng)式（16）在零初始條件下滿足期望的H∞性能指標(biāo)γ，考慮如下評(píng)估指標(biāo)函數(shù)：

J∞=E{∑∞k=0rT（k）r（k）-γ2wT（k）w（k）}≤

E{∑∞k=0rT（k）r（k）-γ2wT（k）w（k）}-E{Vd（0）}+E{Vd（∞）}=

E{∑∞k=0rT（k）r（k）-γ2wT（k）w（k）+ΔVd（k）}=

ηT（k）［Ξ11-Ξ12Ξ22ΞT12-Ξ13Ξ33ΞT13-Ξ14Ξ44ΞT14］η（k）（31）

根據(jù)Schur補(bǔ)引理和式（30），可得Ξ11-Ξ12Ξ22ΞT12-Ξ13Ξ33ΞT13-Ξ14Ξ44ΞT14lt;0，則評(píng)估指標(biāo)函數(shù)滿足J∞lt;0，即

∑∞k=0rT（k）r（k）≤γ2∑∞k=0wT（k）w（k）（32）

因此，濾波誤差系統(tǒng)式（16）滿足期望的H-性能指標(biāo)β。結(jié)合Shur補(bǔ)引理和引理2可知，式（30）可改寫為如下矩陣不等式：

Ξ1112Ξ13Ξ14

2200

Ξ330

Ξ44lt;0（33）

其中，12=

WT11WT11WT110WT13WT14WT11-WT12-WT12-WT12000WT12，22=diag{Pd-W1-WT1，Pd-W1-WT1}。將Pd=Pd1Pd2

Pd3，W1=W11W12

μ1WW，X=LTW代入式（33），可得式（24）成立。定理證畢。

2.2 殘差對(duì)有限頻域故障的敏感性條件

定理2 給定滿足0lt;λ1≤λ2、λ1+λ2lt;1、0≤σ1≤σ3和εgt;0的實(shí)數(shù)λ1、λ2、σ1、σ2和ε，如果存在正定對(duì)稱矩陣Pf、Qf，使得如下不等式成立：

110341

-20-20002

I000000T

Ξf110341

-20-20002

I000000+

1050003

206000-4

0I00000T

Πf1050003

206000-4

0I00000+

Γ0000-T72-T820

000000

-2εΩ0000

（λ1+λ2-1）I000

-I00

-I0

-Ilt;0（34）

則系統(tǒng)式（16）滿足有限頻域H-性能指標(biāo)‖r（k）‖2≥β‖f（k）‖2。其中，Γ0=（σ1+σ2）T22+κ2HT0H0-HT21H2，Πf=-I00

-I0β2I，Ξf在不同頻域率下的取值如表1所示。

證明 首先考慮無(wú)外部擾動(dòng)下濾波誤差系統(tǒng)式（16）的中頻段情況。分別對(duì)式（35）左乘和右乘矩陣η（k）=［ξT（k）fT（k） eTy（k） ΦT（k，x（k）） ΔΦT（k） gT（x（k）） T（k）］及其轉(zhuǎn)置，并結(jié)合跡運(yùn)算關(guān)系式uTQv=tr（QvuT），可以推導(dǎo)出：

-ξT（k）Pfξ（k）+ξT（k+1）Pfξ（k+1）-rT（k）r（k）+β2fT（k）f（k）+tr ［Qf·（e-jθf(wàn)pξ（k+1）ξT（k）+ejθf(wàn)pξ（k）ξT（k+1）-

2 cosθf(wàn)cξ（k）ξT（k））］+

κ2ξT（k）HT0H0ξ（k）-gT（k，x（k））g（k，x（k））-ηT（k）

（Λ1+Λ2）η（k）+（λ1+λ2-1）（k）+（σ1+σ2）

yT（k）y（k）-2εeTy（k）Ωey（k）≤0（35）

表1 集合θ與矩陣Ξ在不同頻域的取值

Tab.1 θ and Ξ for different frequency ranges

頻域θΞf

低頻|θ|≤θlPf0Qf

Pf0

-Pf-2 cos（θf(wàn)l）Qf

中頻θ1≤θ≤θ2Pf0ejθf(wàn)pQf

Pf0

-Pf-2 cos（θf(wàn)m）Qf

高頻|θ|≥θhPf0-Qf

Pf0

-Pf+2 cos（θf(wàn)h）Qf

考慮到非線性項(xiàng)的扇形有界條件、網(wǎng)絡(luò)攻擊函數(shù)的二次約束條件以及動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制式（2），對(duì)于k∈［ki，ki+1），可推導(dǎo)出

ξT（k+1）Pfξ（k+1）-ξT（k）Pfξ（k）+（k+1）-（k）-

rT（k）r（k）+β2fT（k）f（k）+tr ［Qf·（e-jθf(wàn)pξ（k+1）ξT（k）+

ejθf(wàn)pξ（k）ξT（k+1）-2 cos θf(wàn)cξ（k）ξT（k））］≤0（36）

選取Lyapunov-Krasovskii泛函為Vf（k）=ξT（k）Pfξ（k）+（k），則有

ΔVf（k）-rT（k）r（k）+β2fT（k）f（k）+tr ［Qf·（e-jθf(wàn)pξ（k+1）·

ξT（k）+ejθf(wàn)pξ（k）ξT（k+1）-2 cosθf(wàn)cξ（k）ξT（k））］≤0（37）

在零初始條件下，對(duì)式（37）兩邊同時(shí)取k從0到∞進(jìn)行累加可得：

∑∞k=0［-rT（k）r（k）+β2fT（k）f（k）］+tr（QfM）≤0（38）

其中：M：=∑∞k=0［-e-jθf(wàn)pξ（k+1）ξT（k）-ejθf(wàn)pξ（k）ξT（k+1）+2 cos θf(wàn)cξ（k+1）ξT（k+1）］。根據(jù)歐拉公式，-M可以在計(jì)算后轉(zhuǎn)換為定義1中不等式（8）的左側(cè)項(xiàng)，故M是半正定的。由于Qfgt;0，當(dāng)式（38）成立時(shí)，式（38）左側(cè)的最后一項(xiàng)為非負(fù)項(xiàng)。因此，可以得到∑∞k=0rT（k）r（k）≥β2∑∞k=0fT（k）f（k），即定義1中的有限頻域H-性能指標(biāo)β得到滿足。

同理，令θf(wàn)1=-θf(wàn)2=-θf(wàn)l可以得出執(zhí)行器故障發(fā)生在低頻段時(shí)的結(jié)果；令θf(wàn)1=θf(wàn)h和θf(wàn)2=2π-θf(wàn)h可得出執(zhí)行器故障發(fā)生在低頻段時(shí)的結(jié)果，其證明過(guò)程與上述中頻段類似。定理證畢。

注釋3 式（34）給出了有限頻域H-故障敏感性的設(shè)計(jì)條件，是廣義KYP引理在事件觸發(fā)機(jī)制與系統(tǒng)存在非線性項(xiàng)情況下的推廣。

2.3 濾波器參數(shù)計(jì)算

結(jié)合定理1、2，使用MATLAB中的YALMIP工具箱求解如下凸優(yōu)化問(wèn)題，可以獲得最優(yōu)濾波器參數(shù)L，以及H-/H∞性能指標(biāo)γmin和βmax：

minPdgt;0，Pfgt;0，Qfgt;0γ-β s.t.式（24）（34）（39）

其中：濾波器增益矩陣可由L=W-TXT計(jì)算求得。

注釋4 為了降低事件觸發(fā)機(jī)制式（10）的數(shù)據(jù)發(fā)送率觸發(fā)閾值參數(shù)，ε應(yīng)取較小值，然而ε取值較小可能導(dǎo)致定理1、2中的約束條件無(wú)解。因此，為了在保證故障檢測(cè)性能的前提下獲得較低數(shù)據(jù)發(fā)送率，提出濾波器式（12）與動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制式（10）的聯(lián)合設(shè)計(jì)算法如下：

算法1 有限頻故障輸入下的H-/H∞故障檢測(cè)濾波器與動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的聯(lián)合設(shè)計(jì)

a）初始化事件觸發(fā)參數(shù)λ1、λ2、σ1、σ2、ε0和步長(zhǎng)增量Δε。

b）若定理1、2中的線性矩陣不等式可解，保存ε=ε0、Ω、L，進(jìn)入步驟c）；否則，重置步驟a）中參數(shù)。

c）計(jì)算ε=ε+Δε，若定理1、2中條件可行且εgt;0，更新ε、Ω、L，重復(fù)步驟c）；否則，進(jìn)入步驟d）。

d）輸出動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制式（10）的參數(shù)（ε，Ω）、濾波器參數(shù)L以及H-/H∞性能指標(biāo)γmin和βmax。

e）選取殘差評(píng)價(jià)函數(shù)J（k）與閾值Jth，并通過(guò)式（21）進(jìn)行故障檢測(cè)決策，判斷故障是否發(fā)生。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本章以攪拌釜式反應(yīng)器系統(tǒng)［24］為例來(lái)說(shuō)明所提方法的有效性，其平衡方程為

dCAdt=FV（CA0-CA）-k1CAe-ERT

dCBdt=-FVCB+k1CAe-ERT-k2CBe-ERT

dTdt=FV（T0-T）+kωARρVCp（Tc-T）-k1CAΔHABR+k2CBΔHBCRρCpe-ERT（40）

其中：CA為反應(yīng)物濃度；CA0為進(jìn)料濃度；CB為生成物濃度；CB為生成物濃度；T為反應(yīng)溫度；Tc為冷卻劑溫度；V為反應(yīng)器容積；F為容積流量；ρ為液體密度；E/R為反應(yīng)激活能；AR為熱交換系數(shù)；ΔH為反應(yīng)熱。選取x（t）=［x1（t） x2（t） x3（t）］T作為狀態(tài)變量，其中x1（t）表示進(jìn)料物A在t時(shí)刻的濃度，x2（t）表示出料物B在t時(shí)刻的濃度，x3（t）表示t時(shí)刻反應(yīng)室的溫度。圖2為攪拌釜式反應(yīng)器系統(tǒng)的示意圖。

取步長(zhǎng)Δt=0.1 s對(duì)系統(tǒng)式（40）進(jìn)行歐拉離散化處理，可得形如系統(tǒng)式（1）的狀態(tài)空間表達(dá)式：

x（k+1）=Ax（k）+Φ（k，x（k））+Bw（k）+Ff（k）

y（k）=Cx（k）+Dw（k）

其中：參數(shù)矩陣為A=0.387 20.022 20.018 3

0.244 40.389 70.000 7

-0.068 50.971 10.400 8，B=0.009 5

0.647 4

0.677 9，F(xiàn)=-0.15

0.07

-0.01，C=［1 0 0］，D=0.2。

仿真過(guò)程中，假定執(zhí)行器故障發(fā)生在低頻域|θ|≤π/10，選取參數(shù)λ1=0.1，λ2=0.3，σ1=0.1，σ2=2，ε0=3，κ=1，非線性函數(shù)Φ（x（k））=0.5（S1+S2）x（k）+0.5（S2-S1）x（k）·sin（x（k））， sin（x（k））：=diag{sin（x1（k）），sin（x2（k）），sin（x3（k））}，S1={0.1，0.15，0.2}，S2={0.05，0.1，0.15}，H=［1 0 0］，隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊的函數(shù)為g（x（k））=-tanh［0.3xT1（k） 0.2xT2（k） 0.1xT3（k）］T，系統(tǒng)的狀態(tài)初值與濾波器初值分別為x（0）=［0 -1 0.8］T，（0）=［0 0 0］T，外部擾動(dòng)信號(hào)為

w（k）=0.2e-0.02ksin（0.8k） 0≤klt;500（41）

通過(guò)求解凸優(yōu)化問(wèn)題式（40），可以得到最優(yōu)性能指標(biāo)γ=0.083 9與β=0.819 4，濾波器增益矩陣為L(zhǎng)=［-0.252 9 0.021 7 -0.441 8］T。此外，為了驗(yàn)證本文方法的有效性，將故障檢測(cè)結(jié)果與不考慮故障頻率特性的H∞濾波器（參考文獻(xiàn)［16］）進(jìn)行對(duì)比，選取與上述有限頻域方法相同的γ值，即γ=0.083 9，求得濾波器增益矩陣為L(zhǎng)full=［-0.472 0 0.021 7 -0.079 5］T。

本章主要考慮兩種類型的執(zhí)行器故障，分別為突變故障和緩變故障。首先，假設(shè)執(zhí)行器在時(shí)刻130≤klt;300內(nèi)發(fā)生幅值為0.4的突變故障，表達(dá)式為

f（k）=0.4130≤klt;300

0其他（42）

圖3給出了殘差信號(hào)在有故障和無(wú)故障時(shí)的波動(dòng)情況，對(duì)比可以看出在系統(tǒng)發(fā)生故障的時(shí)間段130≤klt;300內(nèi)，殘差信號(hào)有較為明顯的波動(dòng)。圖4表示在突變故障發(fā)生前后殘差評(píng)價(jià)函數(shù)J（k）隨時(shí)間變化的曲線。系統(tǒng)在k=130時(shí)刻發(fā)生故障后，J（k）逐漸超過(guò)閾值Jth，實(shí)線表示有限頻域故障檢測(cè)方法下的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)，虛線表示無(wú)故障時(shí)的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)，根據(jù)殘差評(píng)價(jià)機(jī)制式（19）（20）進(jìn)行計(jì)算比較可得J（134）=0.364 9gt;Jth=0.364 3，即4個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)檢測(cè)出故障的發(fā)生。黑色點(diǎn)畫(huà)線表示全頻域故障檢測(cè)方法下的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)，6個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后檢測(cè)出故障。如圖5所示，在500個(gè)評(píng)估時(shí)刻內(nèi)，采樣的次數(shù)為500次，而傳感器發(fā)送數(shù)據(jù)的次數(shù)為217次，意味著數(shù)據(jù)傳輸率僅有43.4%，節(jié)約了56.6%的網(wǎng)絡(luò)資源。

其次，考慮執(zhí)行器在時(shí)刻k=130后發(fā)生緩變故障，表達(dá)式為

f（k）=0.005（k-130）130≤klt;200

0.35+0.03sin（0.3π（k-200））200≤klt;300

0其他（43）

與突變故障類似，緩變故障同樣處于低頻域段。在系統(tǒng)發(fā)生故障的時(shí)間段130≤klt;300內(nèi)，圖6中的殘差信號(hào)有明顯的波動(dòng)。圖7表示在緩變故障發(fā)生前后殘差評(píng)價(jià)函數(shù)J（k）隨時(shí)間變化的曲線。系統(tǒng)在k=130時(shí)刻發(fā)生故障后，J（k）逐漸超過(guò)閾值Jth，紅色實(shí)線表示有限頻域故障檢測(cè)方法（H-/H∞濾波器） 下的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)，藍(lán)色虛線表示無(wú)故障時(shí)的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)（見(jiàn)電子版），根據(jù)殘差評(píng)價(jià)機(jī)制式（19）（20）進(jìn)行計(jì)算比較可得J（135）=0.954 7gt;Jth=0.954 2，即5個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)檢測(cè)出故障的發(fā)生。黑色點(diǎn)畫(huà)線表示全頻域故障檢測(cè)方法（H∞濾波器） 下的殘差評(píng)價(jià)函數(shù)，12個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)后檢測(cè)出故障。結(jié)合圖4與7可知，相比于傳統(tǒng)的全頻域方法［16］采用的H∞濾波器，本文中有限頻域故障檢測(cè)方法選用的H-/H∞濾波器能夠充分考慮故障的頻率特性，所生成的殘差對(duì)故障有更大的敏感度且能更快速地檢測(cè)出故障的發(fā)生。

此外，圖8給出了緩變故障下的觸發(fā)時(shí)刻與觸發(fā)間隔。如圖8所示，500個(gè)評(píng)估時(shí)刻內(nèi)，采樣的次數(shù)為500次，而傳感器發(fā)送數(shù)據(jù)的次數(shù)為208次，意味著數(shù)據(jù)傳輸率僅有41.6%，節(jié)約了58.4%的網(wǎng)絡(luò)資源。圖9、10給出在緩變故障的影響下，周期性事件觸發(fā)機(jī)制與靜態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下的觸發(fā)時(shí)刻與觸發(fā)間隔。對(duì)比圖8～10可知，事件觸發(fā)機(jī)制避免了每個(gè)采樣周期都傳輸測(cè)量輸出數(shù)據(jù)，且動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制能進(jìn)一步降低傳輸率。相應(yīng)地，表2給出了本文方法與不同傳輸機(jī)制下的故障檢測(cè)方法的數(shù)據(jù)傳輸率對(duì)比?？梢钥闯?，在突變與緩變故障情況下本文采用的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制均能更顯著地節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。

綜上所述，本文所設(shè)計(jì)的H-/H∞故障檢測(cè)濾波器可以將故障的有限頻域特性考慮到H-性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)中，且快速地檢測(cè)網(wǎng)絡(luò)攻擊下攪拌釜式反應(yīng)器系統(tǒng)中故障的發(fā)生。表3清晰地呈現(xiàn)了本文仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。此外，引入的動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)傳輸策略可以進(jìn)一步地減少輸出測(cè)量數(shù)據(jù)向?yàn)V波器的發(fā)送量，更顯著地節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制下非線性網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的有限頻域故障檢測(cè)方法。在考慮扇區(qū)有界非線性和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)攻擊的情況下，將故障的有限頻域特性考慮到H-性能指標(biāo)的設(shè)計(jì)中，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法得到故障檢測(cè)濾波器存在的充分條件，并使用凸優(yōu)化方法獲取最優(yōu)濾波器參數(shù)。仿真結(jié)果表明，與全頻域故障檢測(cè)方法相比，有限頻域方法對(duì)故障更加敏感，具有更快的檢測(cè)速度，且動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制能更顯著地節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源。此外，將本文所提出的故障檢測(cè)方法推廣至多智能體系統(tǒng)［25］與信息物理系統(tǒng)［26］，是下一步需要研究的問(wèn)題。

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