多策略增強(qiáng)花授粉算法及其應(yīng)用

摘要：針對(duì)經(jīng)典花授粉算法容易陷入局部最優(yōu)解和收斂速度慢的缺點(diǎn)，提出一種增強(qiáng)型透鏡成像策略和隨機(jī)鄰域變異策略的花授粉算法。通過增強(qiáng)型透鏡成像策略擴(kuò)展花授粉算法的搜索空間，增加解的多樣性，有助于算法跳出局部最優(yōu)解。引入隨機(jī)鄰域變異策略，借助鄰域內(nèi)的信息指導(dǎo)算法搜索，增強(qiáng)算法的收斂精度和搜索速度。對(duì)改進(jìn)后的花授粉算法和四種其他改進(jìn)算法在CEC2013測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)證明改進(jìn)后的多策略花授粉算法不論是收斂精度還是搜索速度都比對(duì)比算法優(yōu)秀。最后把多策略花授粉算法應(yīng)用在汽車傳動(dòng)參數(shù)模型上研究該算法的實(shí)際效用，結(jié)果表明多策略花授粉算法在汽車傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化問題上都優(yōu)于對(duì)比算法。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)鄰域變異； 透鏡成像； 花授粉算法； 參數(shù)優(yōu)化； 收斂精度

中圖分類號(hào)：TP301.6文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1001-3695（2022）08-025-2388-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.02.0036

Multi-strategy flower pollination optimization algorithm for vehicle power transmission parameters

Li Dahai， Wu Zhaoqian， Wang Zhendong

（School of Information Engineering， Jiangxi University of Science amp; Technology， Ganzhou Jiangxi 341099， China）

Abstract：Classic flower pollination algorithm （FPA） can be easily exposed to the shortcomings of local optimal solution and slow convergence velocity. In view of these shortcomings， this paper proposed an FPA with an enhanced lens imaging strategy and random neighborhood-based mutation strategy. The lens imaging strategy could help the algorithm to avoid the shortcoming of local optimal solution by expanding the search space of FPA to increase the diversity of the solution. The introduction of random neighborhood-based mutation strategy could enhance the convergence accuracy and search speed of the algorithm by gui-ding algorithm search with information in the neighborhood. A comparison of the improved FPA with four other improved algorithms on CEC2013 test function found that the improved multi-strategy FPA performed better than the comparison algorithms in both convergence accuracy and search speed. To study its practical utility， this paper applied the multi-strategy FPA into the automobile transmission parameter model and the results indicate that multi-strategy FPA was better than the comparison algorithm in optimization of automobile transmission parameters.

Key words：random neighborhood variation; lens imaging; flower pollination algorithm（FPA）; parameter optimization; convergence accuracy

0引言

花授粉算法（FPA）是由Yang［1］于2012年提出的一種簡(jiǎn)單高效的元啟發(fā)式群智能優(yōu)化算法。該算法將植物的異花授粉和自花授粉過程類比到算法中的全局搜索和局部搜索，來平衡全局搜索和局部搜索之間的切換。由于FPA具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少、魯棒性和適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，其已經(jīng)應(yīng)用于諸多領(lǐng)域的復(fù)雜優(yōu)化問題求解，如無線傳感

器網(wǎng)絡(luò)布置優(yōu)化［2］、混凝土3D框架優(yōu)化［3］、醫(yī)學(xué)圖像分割［4］和切比雪夫多項(xiàng)式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化［5］。但FPA也有著和其他群智能優(yōu)化算法相同的問題，即容易陷入局部最優(yōu)解并且收斂速度慢［6］，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)FPA已經(jīng)提出諸多的改進(jìn)措施。文獻(xiàn)［7］提出一種結(jié)合克隆選擇策略的改進(jìn)FPA，通過使用隨機(jī)游走替代FPA算法中使用的Lévy飛行并且在局部授粉之前克隆最優(yōu)解，以提高最優(yōu)解的接受概率。文獻(xiàn)［8］ 提出了一種結(jié)合模擬退火策略的SFPA，該增強(qiáng)FPA利用模擬退火策略避免算法陷入局部最優(yōu)解，從而提高了算法的全局搜索能力。文獻(xiàn)［9］提出了一種基于精英對(duì)立策略的EOFPA，該算法采用了全局性精英對(duì)立和局部自適應(yīng)的貪婪策略，其中全局性精英對(duì)立的學(xué)習(xí)增強(qiáng)了群體的多樣性，局部自適應(yīng)的貪婪策略增強(qiáng)了其探索能力。文獻(xiàn)［10］提出了一種結(jié)合差分進(jìn)化變異策略的ssFPA/DE算法，該算法將FPA的搜索策略特征和差分進(jìn)化的變異策略相結(jié)合，從而增強(qiáng)算法的搜索效率。文獻(xiàn)［11］針對(duì)FPA易陷入局部最優(yōu)，后期收斂速度慢的缺點(diǎn)，提出一種基于引力搜索機(jī)制的GSFPA，通過花朵個(gè)體間的引力和本身算法的Lévy飛行共同實(shí)現(xiàn)個(gè)體位置的更新，使花朵受Lévy飛行和個(gè)體間引力的雙重影響，個(gè)體間通過共享優(yōu)化信息提高算法的尋優(yōu)能力。文獻(xiàn)［12］提出FA-FPA，在FPA的局部授粉過程中引入自適應(yīng)的變異因子，并對(duì)FPA的概率轉(zhuǎn)換進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。最后將其與螢火蟲算法相結(jié)合，實(shí)驗(yàn)表明FA-FPA具有更高的收斂性和穩(wěn)定性。

上述對(duì)于FPA改進(jìn)的算法主要集中在三點(diǎn)：a）借用策略某方面的優(yōu)越性彌補(bǔ)FPA的自身缺陷，例如模擬退火的突跳機(jī)制使其避免陷入局部最優(yōu)解，引力搜索機(jī)制調(diào)整個(gè)體位置更新；b）增加種群多樣性，例如全局性精英對(duì)立學(xué)習(xí)增強(qiáng)種群多樣性；c）融合其他算法，借用其他算法的優(yōu)秀機(jī)制增強(qiáng)FPA。

盡管目前已經(jīng)提出了諸多的改進(jìn)FPA，仍存在諸多的改進(jìn)空間。本文提出一種基于多策略的MSFPA，其主要從以下兩方面改進(jìn)FPA：

a）通過增強(qiáng)型透鏡成像策略增強(qiáng)算法的種群多樣性。透鏡成像策略是一種基于光學(xué)原理的反向?qū)W習(xí)策略，該策略能夠增強(qiáng)種群的多樣性改善算法的搜索范圍，幫助算法跳出局部最優(yōu)解。本文提出一種增強(qiáng)型透鏡成像策略，以10次迭代為一回合。在標(biāo)準(zhǔn)透鏡成像生成反向解的基礎(chǔ)上，再利用算法生成的最優(yōu)解和透鏡成像的反向解兩者之間的笛卡爾積生成精英集合，對(duì)精英集合內(nèi)部的有序?qū)Ψ謩e求適應(yīng)值，精英集合內(nèi)部始終保持10個(gè)個(gè)體，新的優(yōu)質(zhì)解會(huì)替代劣質(zhì)解。

b）引入差分進(jìn)化算法的鄰域變異策略。由于鄰域變異策能夠平衡全局和局部搜索，所以本文提出將隨機(jī)鄰域變異策略和FPA的搜索策略相結(jié)合，并且為了適應(yīng)FPA的全局搜索和局部搜索的隨機(jī)切換，將變異因子F改為自適應(yīng)，減小不合適的變異因子對(duì)算法的影響程度，最后借用鄰域集合內(nèi)部的信息指導(dǎo)搜索，加快收斂速度和收斂精度。

通過對(duì)比FPA、TMFPA、HLFPA、ISSA四種算法在CEC2013測(cè)試函數(shù)上的性能，驗(yàn)證本文算法的有效性，并把算法應(yīng)用到汽車傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的工程問題上，進(jìn)一步驗(yàn)證算法優(yōu)化復(fù)雜問題的能力。

1花授粉算法（FPA）概述

FPA借鑒自然界花授粉的過程，基本模擬了自然界花的自花授粉和異花授粉的行為。授粉的媒介分為生物和非生物兩種。生物授粉的過程視為異花授粉，一般由動(dòng)物或者昆蟲充當(dāng)載體，可在大范圍內(nèi)傳播；非生物的自花授粉視為自花授粉，通常是借助風(fēng)實(shí)現(xiàn)傳播。為了更好地利用FPA解決優(yōu)化問題，Yang在算法中假定每一株植物只開一朵花，每朵花只有一個(gè)花粉胚子，一個(gè)胚子對(duì)應(yīng)優(yōu)化問題中的一個(gè)解。此外還需假定以下四條規(guī)定：

a）植物的異花授粉對(duì)應(yīng)算法的探索階段，全局搜索通過生物充當(dāng)載體，并遵循Lévy飛行規(guī)律來實(shí)現(xiàn)。

b）非生物的自花授粉對(duì)應(yīng)算法的開發(fā)階段，局部搜索是同種類植物不同花朵之間通過風(fēng)實(shí)現(xiàn)傳粉。

c）繁衍概率對(duì)應(yīng)花的特性，兩朵花（個(gè)體）的相似和關(guān)聯(lián)性成比例。

d）概率轉(zhuǎn)換參數(shù)p∈［0，1］對(duì)FPA的探索（全局授粉）和開發(fā)（局部授粉）之間的相互轉(zhuǎn)換進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于受到位置、風(fēng)等因素影響，整個(gè)授粉過程中，局部授粉的概率更大。

由上述可知，異花授粉（全局授粉）和自花授粉（局部授粉）為FPA的核心。FPA的全局授粉按式（1）進(jìn)行。

xt+1i=xti+γL×（xti－g）randgt;p（1）

其中：xt+1i、xti為第t+1和t代的解；g為全局最優(yōu)解；γ是步長控制因子；L是Lévy飛行的主步長［13］，步長計(jì)算公式為

L≈λΓ（λ）sin（πλ2）π×1s1+λsgt;s0gt;0（2）

其中：λ=3/2；Γ（λ）是標(biāo)準(zhǔn)的伽馬函數(shù)。由于按式（1）更新xti，所以整個(gè)全局搜索階段都是朝著當(dāng)前全局最優(yōu)解g的方向探索，并使用Lévy飛行每一次都隨機(jī)調(diào)整步長，以確保整個(gè)種群的多樣性。通過此方式獲取的每一代的最優(yōu)解g充當(dāng)下一次迭代的基向量，保證最優(yōu)解基因的傳承。

FPA的局部授粉按式（3）進(jìn)行。

xt+1i=xti+ε×（xtj－xtk）rand≤p（3）

其中：ε是［0，1］上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)；xtj、xtk代表與xti不同的隨機(jī)選取的花粉。其目的是確保算法在局部搜索階段具有較好的開發(fā)性，且用ε擾動(dòng)確保每次獲取的解都具有隨機(jī)性。

2多策略花授粉算法（MSFPA）

FPA作為一種群智能優(yōu)化算法，同樣面臨如何平衡算法種群多樣性、收斂速度和收斂精度的問題。本文提出利用增強(qiáng)型透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略和基于隨機(jī)鄰域變異策略兩項(xiàng)措施改進(jìn)FPA，以進(jìn)一步加強(qiáng)算法的收斂速度和精度。

2.1增強(qiáng)型透鏡成像反向?qū)W習(xí)策略

凸透鏡成像規(guī)律是一種光學(xué)定律。如圖1所示，假設(shè)物體P在x軸上的投影為x，高度為h，通過凸透鏡可以獲得一個(gè)實(shí)像P*，設(shè)實(shí)像P*在x軸上的投影為x*，投影x和x*在x軸上的投影落于［a，b］，則x和x*滿足式（4）的關(guān)系。

（a+b）/2－xx*－（a+b）/2=hh*（4）

令n=h/h*，并稱n為縮放因子。對(duì)式（4）進(jìn)行變換即可得到

x*=a+b2+a+b2n－xn（5）

若將x作為一維優(yōu)化問題的某個(gè)解（或者解的坐標(biāo)），則x*可以視為解x的反向解。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，可將式（5）簡(jiǎn)化成式（6）的形式，即一般的反向?qū)W習(xí)策略。

x*=a+b－x（6）

在透鏡成像中可以通過調(diào)整縮放因子n的大小來動(dòng)態(tài)獲取某個(gè)解的反向解，對(duì)一般的D維優(yōu)化問題，設(shè)D維向量x為該優(yōu)化問題的某個(gè)解（或者解的坐標(biāo)）。設(shè)xj為向量x的第j維分量，按式（7）得xj的反向分量x*j，x*j作為解x的透鏡反向解。

x*j=aj+bj2+aj+bj2n－xjn（7）

其中：aj、bj為搜索空間在第j維的上下界。

綜合以上的透鏡成像原理，本文提出一種增強(qiáng)型的透鏡成像策略。首先將開始10次迭代生成的當(dāng)前最優(yōu)解保存在S1集合中，將其由透鏡成像生成的反向解保存在集合S2中，并生成S1和S2的笛卡爾乘積集合Q，如式（8）所示。

Q=S1×S2={（x1，x2）|x1∈S1andx2∈S2}（8）

在隨后的算法迭代中，如果當(dāng)前迭代次數(shù)不是10的倍數(shù)，則將S1、S2記錄個(gè)體的適應(yīng)值分別和當(dāng)前最優(yōu)解及其反向解的適應(yīng)值進(jìn)行對(duì)比，并更新集合S1和S2。每隔10次迭代，再按式（8）重新生成集合Q。

集合S1和S2分別記錄了當(dāng)前已知的適應(yīng)值最好的10個(gè)解和其反向解，而集合Q記錄了最多100個(gè)由S1和S2的解構(gòu)成的有序?qū)Α?/p>

由于透鏡成像中的n控制著原生解和鏡像之間的距離，較小的n生成的鏡像范圍更大，而較大的n生成的鏡像范圍更小。通過上述的改進(jìn)之后，固定的n值已經(jīng)很難適應(yīng)FPA全局和局部搜索隨機(jī)轉(zhuǎn)換的機(jī)制，因此需要改變n的取值方式，具體公式為

n=（1+（t/T）1/2）k（9）

其中：t代表當(dāng)前迭代次數(shù)；T代表最大迭代次數(shù)；k為控制常數(shù)，控制曲線變化趨勢(shì)，因此k值能夠控制縮放因子的大小，即控制原生解和鏡像解之間的距離。為了精確控制常數(shù)k的取值，選取Rastrigin’s函數(shù)作為對(duì)比不同k值的測(cè)試函數(shù)，如圖2所示。三次對(duì)比，k分別取5、10、15。可以看出，當(dāng)k取10時(shí)效果最佳。

n作為縮放因子在迭代初期，n值在放大鏡像的取值范圍時(shí)就被放大，算法的探索區(qū)域也隨之變大，有利于算法的全局搜索和探索速度。隨著迭代次數(shù)的增加，n也隨之變小，相應(yīng)的鏡像取值范圍也變小，加強(qiáng)了算法的搜索精度，同時(shí)也有利于幫助算法跳出局部最優(yōu)解。其次如果算法迭代到后期，當(dāng)前輪和上一輪獲取的解有可能會(huì)一樣，那么存儲(chǔ)在S1中的解會(huì)重復(fù)。但是通過自適應(yīng)收縮因子n計(jì)算不同輪的反向解是不一樣的，也就避免了重復(fù)存儲(chǔ)的弊端。

相較于基本的透鏡成像策略，增強(qiáng)型透鏡成像策略改變了每一次迭代生成當(dāng)前解的反向解模式。以每10次迭代為一回合，通過把每次迭代生成的解和反向解存入S1和S2集合中，并且按式（8）生成集合Q。集合Q與S1和S2的關(guān)系就是一種映射，可以通過集合Q中的二元組映射到S1和S2內(nèi)的個(gè)體。通過把集合Q內(nèi)部二元組映射的解與反向解和當(dāng)前解與反向解作對(duì)比，將勝出者作為更新種群的向量。相較于基本的透鏡成像策略的每一輪生成一個(gè)當(dāng)前解的反向解，增強(qiáng)型透鏡成像策略可以每一回合生成100個(gè)有序?qū)Γㄟ^搭配不同輪的反向解找尋到最合適的反向解。因此增強(qiáng)型透鏡成像策略在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)大了搜索空間，有利于算法的多樣性。并且對(duì)比透鏡成像策略的固定縮放因子n，本文的增強(qiáng)型透鏡成像策略采取自適應(yīng)的縮放因子，使得策略可以更好地適應(yīng)整個(gè)搜索過程。

為了對(duì)比增強(qiáng)型透鏡成像和透鏡成像策略的優(yōu)劣性，以基本FPA為基礎(chǔ)，選取經(jīng)典測(cè)試函數(shù)sphere、Matyas、Rastrigin’s和Ackely’s作為參照，詳細(xì)內(nèi)容如表1所示，適應(yīng)值如圖3所示。

從圖3中可以很明顯地看出，在四個(gè)測(cè)試函數(shù)上，增強(qiáng)型透鏡成像FPA比透鏡成像FPA有更好的收斂性和收斂速度。

2.2基于隨機(jī)鄰域變異策略的搜索方式

在解決復(fù)雜問題時(shí)，隨著算法進(jìn)入探索后期，一旦陷入局部最優(yōu)解，F(xiàn)PA往往很難跳出局部最優(yōu)。一般的解決方案是在搜索過程中盡量增加候選解的多樣性，如混沌映射［14］、模擬退火［15］等。近年，因差分進(jìn)化算法（DE） ［16］的變異策略的高效性和參數(shù)簡(jiǎn)單，已經(jīng)被許多學(xué)者用來和其他算法結(jié)合。DE算法使用的基本變異策略有DE/rand/1和DE/best/1［17］兩種。在前者策略中，基向量從種群中隨機(jī)選擇，這意味著具有更好的探索性，但開發(fā)性較差；后者則獲取種群中最好的候選解作為基向量，從而具有較好的開發(fā)性，但探索性相對(duì)較差。Das等人［18］進(jìn)一步提出了基于鄰域的變異策略（DE/neighbor/1），該策略引入鄰域的信息指導(dǎo)搜索，以加快收斂的速度和精度。對(duì)于種群中的每個(gè)個(gè)體在每一代，DE/neighbor/1隨機(jī)地從群體中選擇鄰域集合，并以基礎(chǔ)向量中當(dāng)前個(gè)體鄰域中的最好一個(gè)作為基向量。DE/neighbor/1變異策略可以表述為

Vi=xnbest+F×（xr1－xr2）（10）

其中：xnbest為鄰域內(nèi)最優(yōu)個(gè)體；xr1和xr2為鄰域內(nèi)剩余個(gè)體中隨機(jī)挑選的個(gè)體。

本文提出了一種基于DE/neighbor/1的改進(jìn)變異策略，并將其應(yīng)用于FPA的局部搜索。改進(jìn)變異策略表述如下：

randlt;q：xt+1i=x*+rand（xtj－xti）+rand（xtl－xtk）（11）

randgt;q：xt+1i=xtnbest+F（xtj－xti）+F（xtl－xtk）（12）

其中：q∈［0，1］的常數(shù)；xt+1i、xti代表第t+1、t次的值；x*是全局最優(yōu)解；xtnbest是鄰域內(nèi)最優(yōu)解。式（11）中xtj、xtl、xtk都是從個(gè)體中隨機(jī)選取的，而式（12）中xtj、xtl、xtk都是從鄰域內(nèi)隨機(jī)選取的個(gè)體。

對(duì)于鄰域的劃分以當(dāng)前解為中心，按歐氏距離由小到大選取鄰域集合，n維的歐氏距離公式為

d=∑nj=1（xm，j－xn，j）2（13）

需要注意，每一代鄰域內(nèi)有數(shù)量限制，而算法迭代過程中xi需選擇合理的鄰域個(gè)體數(shù)量Ni，對(duì)平衡全局和局部搜索能力、提高算法尋優(yōu)能力起著重要作用。受文獻(xiàn)［19］啟發(fā)，鄰域數(shù)量按式（14）設(shè)置。

Ni=Nlb+（Nub－Nlb）×f（xi）－fmin∑NPj=1（f（xj）－fmin）

（14）

其中：Nlb和Nub分別代表N的下限和上限；fmin代表當(dāng)前種群適應(yīng)值的最小值；f（xi）為個(gè)體i當(dāng)代的適應(yīng)值。

算法初期，種群中優(yōu)質(zhì)個(gè)體數(shù)量較少，能夠?qū)さ萌肿顑?yōu)的概率較小，所以前期需要加強(qiáng)全局搜索能力，以獲得較多的優(yōu)質(zhì)個(gè)體，提高全局尋優(yōu)的能力。根據(jù)式（14）可知，初期∑NPj=1（f（xj）－fmin）遠(yuǎn)大于f（xi）－fmin，Ni趨向于Nlb。此時(shí)算法具有較好的全局搜索能力，從而加速搜索能力。隨著迭代次數(shù)的增加，種群中優(yōu)質(zhì)個(gè)體不斷增加，∑NPj=1（f（xj）－fmin）和f（xi）－fmin均趨向于0，Ni趨向于Nub，此時(shí)該算法具有較好的局部開發(fā)能力，從而根據(jù)鄰域信息尋找最優(yōu)解。

式（10）相較于差分進(jìn)化算法中的單個(gè)向量的策略，通過使用兩個(gè)差分向量的變異策略可以提高種群的多樣性，并且能夠幫助算法跳出局部最優(yōu)解；而且使用全局最優(yōu)解作為當(dāng)代的基向量，有利于解的優(yōu)良基因被繼承。式（12）中的F代表變異因子，是一個(gè)實(shí)常數(shù)因數(shù)，起到控制差分向量縮放的作用。對(duì)于算法而言，F(xiàn)如果取固定值太小或者太大都會(huì)導(dǎo)致算法過早收斂。因此使用自適應(yīng)變異因子［20］去避免不合理的參數(shù)設(shè)置帶來的影響，具體公式為

F=Fmax－（Fmax－Fmin）×fi－fminfmax+fminfi≥f

Fmax+rand×Fminfilt;f （15）

其中：Fmax和Fmin分別為F的上下限；rand是［0，1］的隨機(jī)值；fi為個(gè)體xi的適應(yīng)度值；fmax、fmin為當(dāng)前種群中最大、最小的適應(yīng)度值； f為當(dāng)前種群的平均適應(yīng)值。

式（15）在文獻(xiàn)［20］的自適應(yīng)因子的基礎(chǔ)上作出改動(dòng)，當(dāng)filt;f時(shí)，不再是固定的Fmax，而是一個(gè)以Fmax為下限的隨機(jī)值，增加算法的隨機(jī)性。自適應(yīng)變異因子能夠平衡算法尋優(yōu)能力，一定程度上降低算法對(duì)參數(shù)的敏感程度，保證收斂速度和避免早熟。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證策略的有效性，把加入隨機(jī)鄰域變異策略的FPA和標(biāo)準(zhǔn)FPA進(jìn)行比較，測(cè)試函數(shù)如表1所示，對(duì)比情況如圖4所示。

圖4中，sphere和Matyas函數(shù)分別選取了第100代和第300代的解作為對(duì)比，Rastrigin’s和Ackely’s選取的是第800和1 000代的數(shù)據(jù)作為對(duì)比。選取的對(duì)比函數(shù)包含單峰和多峰，充分對(duì)比策略對(duì)于不同類型函數(shù)的適應(yīng)性。需要注意的是，隨機(jī)鄰域變異FPA在sphere和Matyas函數(shù)上只有一個(gè)點(diǎn)，因?yàn)閮纱稳≈迭c(diǎn)重合了，而等高線上沒有FPA的點(diǎn)是由于FPA獲取的解超出了范圍，即隨機(jī)鄰域變異FPA在第100次迭代時(shí)已經(jīng)收斂到0附近了，而同一時(shí)期的FPA離最優(yōu)點(diǎn)很遠(yuǎn)。對(duì)于Rastrigin’s和Ackely’s函數(shù)而言，分別取了第800和1 000代作比較，可以看見兩次取值都不如隨機(jī)鄰域變異FPA。

通過自適應(yīng)鄰域數(shù)量策略，動(dòng)態(tài)調(diào)整種群鄰域的數(shù)量，MSFPA充分利用種群中隨機(jī)信息和鄰域內(nèi)最優(yōu)信息，合理地平衡了算法的全局和局部搜索能力，加速了信息的交換速度，增加了種群的多樣性，避免算法陷入局部最優(yōu)解的同時(shí)，加速了算法的尋優(yōu)速度，而且沒有引入其他參數(shù)，算法的復(fù)雜度沒有增加。

2.3MSFPA的全局和局部搜索能力分析

算法的全局和局部搜索能力通常作為衡量算法性能的兩個(gè)指標(biāo)。全局搜索代表算法前中期的收斂能力，依靠全局搜索算法可以收斂到全局最優(yōu)解大致的位置。而局部搜索是后期提升算法的搜索精度，能夠讓算法計(jì)算出的解無限接近全局最優(yōu)解。FPA依靠概率轉(zhuǎn)換因子p去切換全局和局部搜索，全局搜索通過Lévy飛行增加算法的隨機(jī)性，有利于算法前中期的探索能力，最后通過式（1）更新種群，有利于算法朝著全局最優(yōu)解方向探索。局部搜索通過式（3）更新種群，從種群中選擇最好的候選解作為基向量，保證算法的局部搜索階段具有較好的開發(fā)性。而MSFPA引入增強(qiáng)型透鏡成像，通過統(tǒng)計(jì)10輪的當(dāng)前解以及對(duì)應(yīng)反向解的排列組合后選擇出全局最優(yōu)解。相較于透鏡成像只是對(duì)比當(dāng)前解和反向解，增強(qiáng)型透鏡成像策略擁有更多的候選解供其選擇，增加了算法的全局搜索能力以及種群的多樣性，并且通過對(duì)縮放因子n采取自適應(yīng)的方式控制當(dāng)前解和反向解的距離，使其適應(yīng)整個(gè)搜索階段。另外增加了隨機(jī)鄰域變異策略，在花授粉的局部搜索階段，對(duì)比常數(shù)因子q和rand決定以何種方式更新種群。式（12）因?yàn)槭褂萌肿顑?yōu)解作為基向量，使其偏向于全局搜索的方式，保證了算法即使在局部搜索階段也保持一定的收斂速度。式（13）使用鄰域集合作為基向量，并且集合內(nèi)部的數(shù)量會(huì)隨著迭代變化更好地適應(yīng)算法前期收斂速度快，后期收斂精度高的需求；并且配合自適應(yīng)的變異因子控制算法的平衡性，使得MSFPA有著更好的綜合尋優(yōu)能力。

2.4MSFPA的時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)需要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為f（x），解空間的維度為d，根據(jù)FPA的步驟，其時(shí)間復(fù)雜度為O（d+f（d））。根據(jù)MSFPA步驟，種群規(guī)模為n，初始化個(gè)體位置的時(shí)間復(fù)雜度為O（nd），根據(jù)初始位置生成適應(yīng)值的時(shí)間為f（d）。全局搜索中基于Lévy飛行生成步長的時(shí)間為ξ1，根據(jù)當(dāng)前位置產(chǎn)生下一代的時(shí)間為ξ2，局部搜索中的變異策略產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的時(shí)間為ξ3，根據(jù)當(dāng)前位置產(chǎn)生下一代的時(shí)間為ξ4，設(shè)置變異因子F的時(shí)間為ξ5，設(shè)置鄰域集合的時(shí)間為ξ6。

全局搜索的時(shí)間復(fù)雜度為

O（nd）+O（n（f（d）+ξ1d+ξ2d+f（d）））=O（d+f（d））（16）

局部搜索的時(shí)間復(fù)雜度為

O（nd）+O（n（f（d）+ξ3+ξ4+ξ5+ξ6+f（d）））=O（d+f（d））（17）

假設(shè)得到新的適應(yīng)值與當(dāng)前適應(yīng)值比較的時(shí)間為σ1，經(jīng)過比較后作為當(dāng)前適應(yīng)值的時(shí)間為σ2，后續(xù)生成精英集合以及對(duì)比過后生成新適應(yīng)值作為全局適應(yīng)值的時(shí)間為σ3，則算法總的時(shí)間復(fù)雜度為

2×O（d+f（d））+O（n（σ1+σ2+σ3））=O（d+f（d））（18）

可以看到MSFPA與FPA的時(shí)間復(fù)雜度屬于同一個(gè)數(shù)量級(jí)別，增強(qiáng)型透鏡成像以及隨機(jī)鄰域的搜索策略并沒有增加算法的時(shí)間復(fù)雜度。

改進(jìn)的MSFPA偽代碼如下所示。

算法1MSFPA

輸入：目標(biāo)函數(shù)f（x）；種群規(guī)模NP；轉(zhuǎn)換概率p和概率因子q；變異因子F上下限（Fmax，F(xiàn)min）；最大迭代次數(shù)MaxIter。

輸出：全局最優(yōu)解。

初始化種群，在初始化種群中找到全局最優(yōu)解x*。

for t=1：MaxIter

for i=1：NP

if randgt;p 進(jìn)行全局授粉階段

繪制服從式（2）分布的隨機(jī)步長向量L

按照式（1）對(duì)xt+1i位置進(jìn)行更新

else 進(jìn)行局部授粉

if randlt;q

在當(dāng)前種群中隨機(jī)選取三個(gè)個(gè)體按照式（12）對(duì)xt+1i位置進(jìn)行更新

else

if 當(dāng)前解的適應(yīng)值≥mean（適應(yīng)值）

按式（16）fi≥f部分設(shè)置變異因子F

else

按式（16）filt;f部分設(shè)置變異因子F

end

按式（15）設(shè)置鄰域大小N

按式（14）計(jì)算距離，選取離當(dāng)前最優(yōu)解最近的N個(gè)解

在當(dāng)前種群中隨機(jī)選取三個(gè)個(gè)體

按式（13）對(duì)xt+1i位置進(jìn)行更新

end

end

按式（10）定義縮放因子

for i=1：NP

按式（8）生成當(dāng)前解的反向解并進(jìn)行越界處理

對(duì)比當(dāng)前解和反向解的適應(yīng)值，最小的作為當(dāng)前解的適應(yīng)值

end

if tlt;10

把當(dāng)前解存入S1集合

把當(dāng)前解的反向解存入S2集合

else if mod（t，10） ～= 0

把當(dāng)前解和當(dāng)前解的反向解與S1和S2中的解對(duì)比，淘汰劣質(zhì)解

else if mod（t，10） == 0

得到S1和S2下標(biāo)的有序?qū)螿

for j=1：size（Q，1）

求Q集合二元組對(duì)應(yīng)S1和S2內(nèi)部個(gè)體的適應(yīng)值并記錄兩者適應(yīng)值之和最小的一組有序?qū)樽顑?yōu)組

if 最優(yōu)組第一元素的適應(yīng)值gt;最優(yōu)組第二元素的適應(yīng)值

第二元素映射的S2中個(gè)體作為當(dāng)前解

else

第一元素映射的S1中個(gè)體作為當(dāng)前解

end

end

end

對(duì)比種群個(gè)體，x*=最優(yōu)個(gè)體，作為全局最優(yōu)解x*

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果和分析

為了研究多策略花授粉算法的有效性，選取CEC2013測(cè)試函數(shù)集進(jìn)行測(cè)試，依次對(duì)30/80維度進(jìn)行測(cè)試，各算法獨(dú)立運(yùn)行10次，記錄最優(yōu)值、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差，并與基本的花授粉算法和其他改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比。參與對(duì)比的算法如表2所示，測(cè)試函數(shù)基本信息如表3所示，適應(yīng)度曲線和最優(yōu)解分布如圖5、6所示。測(cè)試函數(shù)分為：f1～f5為單模態(tài)函數(shù)、f6～f12為多模態(tài)函數(shù)、f13～f15為復(fù)合函數(shù)三類。

a）單模態(tài)函數(shù)（f1～f5）。主要特征是在搜索區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)局部最小值。

b）多模態(tài)函數(shù)（f6～f12）。這些函數(shù)具有多個(gè)局部最優(yōu)值，但是與每個(gè)函數(shù)相對(duì)應(yīng)的單個(gè)全局最優(yōu)值。經(jīng)典導(dǎo)數(shù)的優(yōu)化算法在此類函數(shù)上不能取得滿意效果，因?yàn)樗鼈儠?huì)陷入局部最優(yōu)解。此類別的七個(gè)函數(shù)有以下特征：在任何地方都是不可分離的、不對(duì)稱、連續(xù)的，但僅在一組點(diǎn)上是可區(qū)分的；在任何地方都是連續(xù)的，但在任何地方都是可微分的；具有從局部最優(yōu)到全局最優(yōu)的狹窄谷，具有大量的局部最優(yōu)值，并且最佳和次最優(yōu)解距離較遠(yuǎn)。

c）復(fù)合函數(shù)（f13～f15）。每個(gè)復(fù)合函數(shù)均由多個(gè)基本函數(shù)組成。三個(gè)復(fù)合函數(shù)都是多模態(tài)，是不可分離和不對(duì)稱的，并且圍繞不同的局部最優(yōu)具有不同特征。

在實(shí)驗(yàn)中，每個(gè)函數(shù)都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的全局最優(yōu)值，該最優(yōu)值不會(huì)隨著問題的維度變化。實(shí)驗(yàn)所有函數(shù)的可變范圍固定為［－100，100］D，本次實(shí)驗(yàn)對(duì)15個(gè)函數(shù)測(cè)試每種算法，并且上述函數(shù)反復(fù)隨機(jī)運(yùn)行10次。

表4、5分別給出了30、80維的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從表4中數(shù)據(jù)可以看出，f1～f15的函數(shù)MSFPA都是第一，這意味著該算法在整個(gè)搜索過程中尋優(yōu)的精度和穩(wěn)定性都要好于對(duì)比函數(shù)，并且在其他對(duì)比算法搜索已經(jīng)停滯的時(shí)候，MSFPA依舊在向下探索，說明基于笛卡爾積的透鏡成像策略和隨機(jī)鄰域的變異策略可以幫助MSFPA跳出局部最優(yōu)解。在f13～f15復(fù)合函數(shù)上均是排名第一，這說明MSFPA在處理復(fù)雜問題的尋優(yōu)能力也強(qiáng)于對(duì)比函數(shù)，并且對(duì)比其他算法，MSFPA的收斂速度和精度都要更高。在30維測(cè)試情況下，MSFPA的ave rank為1，排名第一。這表明融入多策略后該算法的低維度尋優(yōu)能力得到了提升，并且搜索精度方面得到了加強(qiáng)。

表5列出了各算法在80維測(cè)試函數(shù)上的測(cè)試數(shù)據(jù)。基本和30維數(shù)據(jù)相似，除了f5和f10，其他的單模態(tài)、多模態(tài)和復(fù)合函數(shù)上MSFPA都優(yōu)于對(duì)比算法，最后的ave rank值為1.33，排名第一。其ave rank值和30維接近，說明維度提升并沒有降低MSFPA的性能。

圖5是在30維的情況下，各類算法的收斂情況，可以明顯地在列出的圖集中看出，在單模態(tài)、多模態(tài)和復(fù)合函數(shù)上，MSFPA的收斂精度都要優(yōu)于大部分的改進(jìn)算法。MSFPA利用透鏡成像和隨機(jī)鄰域的變異策略擴(kuò)展搜索范圍和改進(jìn)搜索精度。例如f5～f10，其他函數(shù)都基本停滯時(shí)，MSFPA還在向下搜索。這表明改進(jìn)后確實(shí)對(duì)算法的尋優(yōu)精度有顯著提升，而且MSFPA的收斂速度對(duì)比其他算法也相對(duì)較快。

圖6是所有算法1 000次迭代獲取最優(yōu)解的箱線圖，f1、f6、f8、f10和f13中的MSFPA箱體較寬，代表它的所有最優(yōu)值波動(dòng)情況大，也就是算法收斂速度較快，導(dǎo)致每一代的最優(yōu)解之間跨度較大。其他的測(cè)試函數(shù)中箱體比較窄，代表算法從開始搜索到迭代結(jié)束獲取的所有解變化不大。從圖7可以看出，MSFPA在f1、f2、f6～f8、f11、f13、f15中箱體的下限比其他算法更低，也就代表它的搜索精度更高。

在15個(gè)測(cè)試函數(shù)中，30維有15個(gè)，80維有13個(gè)測(cè)試函數(shù)是優(yōu)于FPA、HLFPA、TMFPA、ISSA。這可以說明增強(qiáng)型透鏡成像策略和隨機(jī)鄰域的變異策略有助于跳出局部最優(yōu)解，并能夠指導(dǎo)算法后續(xù)的探索。

為了驗(yàn)證MSFPA和其他算法的顯著性差異，采用Friedman檢驗(yàn)［24］對(duì)算法進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)。Friedman檢驗(yàn)是一種非參數(shù)雙向方差檢驗(yàn)方法，一般用來檢測(cè)數(shù)據(jù)之間的顯著性差異，多用來進(jìn)行單目標(biāo)之間的優(yōu)劣比較。一般實(shí)現(xiàn)步驟如下：

a）收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；b）列出每個(gè)問題i的最好與最差結(jié)果排名，rji（1≤K≤j）；

c）求出所有算法的平均排名，并計(jì)算出最終排名，Rj=（1－n）∑ni－1rji，秩平均值越小則代表算法性能越好。

Friedman統(tǒng)計(jì)值計(jì)算公式如式（12）所示，F(xiàn)f的值越小，各算法之間的差異性就越大，當(dāng)n和k足夠大時(shí)（一般ngt;10，kgt;5），它是服從k-1自由度的χ2分布。

Ff=12nk（k+1）［∑jR2j－k（k－1）2/4］（19）

檢驗(yàn)MSFPA和對(duì)比算法在30、80維的情況，檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示。表中的P-value表示漸進(jìn)顯著性，是用來判斷是否存在顯著性差異的重要指標(biāo)，如果小于0.01，則表示各項(xiàng)數(shù)據(jù)之間存在顯著性差異。其他值表示各算法的秩平均值。表中的30、80維的P-value值明顯小于0.01，這表明MSFPA和其他對(duì)比算法存在顯著性差異，這種差異有可能是多策略帶來的解的多樣性以及搜索能力的加強(qiáng)。各算法的秩平均值中，MSFPA在每個(gè)維度都是最小的，因此MSFPA在各維度上的優(yōu)化能力都得到了提升。

4汽車動(dòng)力傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化

由內(nèi)燃機(jī)理論可知，汽車的動(dòng)力性和燃油經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)是相互矛盾的，即無法脫離汽車的動(dòng)力性而單純追求燃油經(jīng)濟(jì)性，也無法擺脫燃油經(jīng)濟(jì)性追求動(dòng)力性，因此只能在汽車的動(dòng)力性和燃油經(jīng)濟(jì)性中選擇一個(gè)平衡方案。而汽車動(dòng)力性燃油經(jīng)濟(jì)性的綜合評(píng)價(jià)體系和指標(biāo)包括：

a）動(dòng)力性能發(fā)揮程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)為驅(qū)動(dòng)功率損失率；

b）經(jīng)濟(jì)性能發(fā)揮程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)為有效效率利用率；c）汽車動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)匹配的綜合指標(biāo)為汽車能量利用率。

優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)變量選為

X=［X1，X2，X3，X4，X5，X6］T=［ig1，ig2，ig3，ig4，ig5，i0］T（20）

其中：igj為變速器第j檔的傳動(dòng)比（j=1，2，…，5）;ig1∈［1，5］，ig2∈［1，4］，ig3∈［0.5，3］，ig4∈［0.5，2］，ig5∈［0.3，1］，i0∈［2，6］為主減速器傳動(dòng)比。

4.1目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)為

F（X）=λ1f1（x）+λ2f2（x）（21）

其中：λ1為動(dòng)力性發(fā)揮程度加權(quán)因子；λ2為經(jīng)濟(jì)性加權(quán)因子；

f1（x）為動(dòng)力性分目標(biāo)函數(shù)； f2（x）為經(jīng)濟(jì)性分目標(biāo)函數(shù)。選擇0lt;λ1lt;λ2lt;1，取加權(quán)因子λ1=0.2，λ2=0.8。

動(dòng)力性分目標(biāo)函數(shù)為

f1（x）=∫u0dt=∫u0δ×m（Ft－Ff－Fw）du（22）

其中：δ=1.06+0.04i2g；Ft、Ff、Fw分別為汽車的驅(qū)動(dòng)力、滾動(dòng)阻力和空氣阻力。

經(jīng)濟(jì)性分目標(biāo)函數(shù)（在速度ua下行駛某段距離ΔS的耗油量）為

ΔQ=K×Pe×ge×（ne，Pe）102×ua×ρ×ΔS（23）

其中：ρ為燃油重度（N/L），取值為7.0；K為加權(quán)系數(shù)，等速時(shí)取1，加速時(shí)取1.05；ua∈［10，20，30，40，50］為汽車行駛加速（km/h）。發(fā)動(dòng)機(jī)的燃油消耗率變化如圖7所示。

4.2參數(shù)優(yōu)化約束條件

燃油汽車優(yōu)化需滿足動(dòng)力性需要，之后滿足燃油經(jīng)濟(jì)性［25］：

g1（X）=ual－uamax≤0（24）

其中：ual∈［0，50］，汽車行駛車速（km/h）。

g2（X）=il－imax≤0（25）

其中：il為汽車最大爬坡度要求的下限值。

g3（X）=Dl－Dlmax≤0（26）

其中：Dl為汽車最大動(dòng)力因數(shù)要求的下限值。

g4（X）=Dnl－Dnmax≤0（27）

其中：Dnl為汽車最高擋的最大動(dòng)力因數(shù)要求的下限值。

g5（X）=Ttqmaxig1ig0ηTr－Fzφφ≤0（28）

其中：Ttqmax=132，發(fā)動(dòng)機(jī)最大轉(zhuǎn)矩（N·m）;FZφ=G/4，驅(qū)動(dòng)輪上的法向反作用力（N）;φ=0.7為地面附著系數(shù)。

g6（X）=0.85×q－ig1/ig2≤0（29）

其中：公比q=5-1ig1/ig5。其他約束如下所示。

g7（X）=ig1/ig2－1.20q≤0（30）

g8（X）=0.80q－ig2/ig3≤0（31）

g9（X）=ig2/ig3－1.10q≤0（32）

g10（X）=0.75q－ig3/ig4≤0（33）

g11（X）=ig3/ig4－1.05q≤0（34）

g12（X）=0.70q－ig4/ig5≤0（35）

g13（X）=ig4/ig5－1.0q≤0（36）

g14（X）=ig2/ig3－0.95ig1/ig2≤0（37）

g15（X）=ig3/ig4－0.95ig2/ig3≤0（38）

g16（X）=ig4/ig5－0.95ig3/ig4≤0（39）

g17（X）=Xl－X≤0（40）

g18（X）=X－Xh≤0（41）

其中：Xh和Xl為變速器和主減速器傳動(dòng)比上下限值構(gòu)成的向量。

4.3汽車傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

在算法性能的基礎(chǔ)上，對(duì)多策略的花授粉算法（MSFPA）在汽車動(dòng)力傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化問題，結(jié)合之前的測(cè)試算法進(jìn)行綜合對(duì)比，以此表明該算法在實(shí)際應(yīng)用問題上的可適用性。具體的目標(biāo)函數(shù)和約束條件已在第2章中詳細(xì)描述。對(duì)比結(jié)果如圖8所示，具體優(yōu)化后的值如表7所示。

圖8為了方便展示放大了前70次迭代部分，從中可以看出，MSFPA的收斂速度最快，僅在第5次迭代左右就已經(jīng)到達(dá)最低點(diǎn)，而FPA雖然初始時(shí)是最低的，但是后續(xù)的收斂速度明顯很慢，而其他的算法不管是在收斂精度還是在收斂速度上都遜色于MSFPA。

根據(jù)表7優(yōu)化后參數(shù)的結(jié)果可以看出，五種對(duì)比算法最后適應(yīng)值最小的是MSFPA，為374，其他算法略大于該算法。而汽車傳動(dòng)系統(tǒng)的變速箱的速比和主減速器的速比X1～X6，MSFPA值都優(yōu)于對(duì)比算法。因此MSFPA在汽車動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方面相較于對(duì)比算法有一定的優(yōu)越性，在這一類問題上具有參考價(jià)值。

5結(jié)束語

為了改善MSFPA的收斂速度、收斂精度以及容易陷入局部最優(yōu)解的問題，提出一種結(jié)合笛卡爾積透鏡成像和隨機(jī)鄰域變異策略的花授粉算法，利用透鏡成像策略增加解的多樣性，幫助算法跳出局部最優(yōu)解，引入隨機(jī)鄰域變異策略加強(qiáng)算法的局部搜索能力。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比四種不同的算法，MSFPA對(duì)各類單模態(tài)、多模態(tài)、復(fù)合、低維、高維都具有更好的搜索精度和收斂速度，最后結(jié)合汽車傳動(dòng)參數(shù)優(yōu)化問題進(jìn)一步驗(yàn)證MSFPA的實(shí)際應(yīng)用能力，結(jié)果表明該算法具有一定的研究意義，為求解復(fù)雜問題提供了一種新的思路和解決辦法。

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收稿日期：2022-02-09；修回日期：2022-03-25基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61563019，61562037）

作者簡(jiǎn)介：李大海（1975-），男，山東乳山人，副教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)榉植际较到y(tǒng)服務(wù)質(zhì)量、強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法、粒子群算法；伍兆前（1993-），男，江西南昌人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)椴┺恼摗⒘Ｗ尤核惴ǎ?94085330@qq.com）；王振東（1982-），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)闊o線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)覆蓋、定位與路由、人工智能及網(wǎng)絡(luò)安全.