基于改進的NSGA2算法考慮病患公平性及醫院運作成本的病床配置優化研究

摘要：針對目前醫院病床調度存在運營成本較大以及醫患關系之間公平性的問題，提出一個考慮醫院運作成本和病患公平性下單科室病床分配的多目標隨機規劃模型。首先，基于醫院的相關政策，提出一個考慮響應性與準入性的權重測度指標來反映醫患關系的公平性，并考慮醫院的運作成本建立多目標隨機規劃模型；其次，為方便算法求解，采用線性化方法將復雜模型處理成混合整數線性模型；最后，采用改進后的NSGA2算法對多目標問題求解，并對算例進行不同的數值實驗。通過調整不同的參數進行相對應的靈敏度分析，改進后的算法提升了算法的收斂性與多樣性，實驗結果驗證了模型的有效性和適用性。

關鍵詞：改進的NSGA2； 醫院病床； 公平性； 多目標隨機規劃； 權重測度指標

中圖分類號：R197.32文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2022）08-029-2414-08

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2021.12.0688

Bed allocation based on improved NSGA2 considering patient equity and hospital costs

Chen Long， Liu Qinming， Ye Chunming， Li Jiaxiang

（Business School， University of Shanghai for Science amp; Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract：To address the problems of large operating costs and fairness between doctors and patients in the current hospital bed scheduling， this paper proposed a multi-objective stochastic programming model for single department bed allocation considering hospital operating costs and patient fairness. Firstly， this paper proposed a weighted measure of responsiveness and access to reflect the fairness of the doctor-patient relationship based on relevant hospital-based policies， and established a multi-objective stochastic programming model considering the operational cost of the hospital. Secondly， to facilitate the algorithm solution， it introduced a linearization method to process the complex model into a mixed integer linear model. Finally， the improved NSGA2 algorithm solved the multi-objective problem， enhanced the convergence and diversity of the algorithm. The experimental results verify the validity and applicability of the model by adjusting different parameters for different numerical experiments.

Key words：improved NSGA2; hospital beds; equity; multi-objective stochastic programming; equity measure index

0引言

在醫院診療階段，病人需依據自身病情接受診療，然而病人無序地排隊通常會導致醫療資源的浪費。其中，病床資源作為醫療資源中的關鍵環節，能否合理配置直接影響了醫院的收容水平、運作水平、服務水平等。考慮到資源有限性，內部可使用面積以及運營成本等問題，如何對病床資源優化成為一個亟需解決的問題［1］。醫院作為國家醫療衛生體系的基礎，還需考慮不同類型患者就診的公平性［2，3］，醫院在日常運作過程也需要控制成本［4，5］。因此，在保證患者就診公平性的同時也要考慮到醫院的運作成本情況成為一個難點。

針對醫院的病床分配優化問題，國內外學者們提出了許多不同的解決方法。目前病床分配問題主要分為單一科室的病床資源優化［6］以及多科室或考慮其他因素的聯合優化。對于前者，諸多學者主要采用排隊論以及其衍生的相關模型來解決諸如手術室、重癥監護室、術后觀察室等單科室病床的分配問題。安佰玲等人［7］根據某眼科醫院的病床安排指標，采用了休克療法的思想建立非線性模型，在對指標進行評分后采用蒙特卡羅法仿真求解。Song等人［8］根據病患在醫院中的分布情況，設計了基于排隊論的急診室就診系統，系統會根據病人的診療結果進行病床分配，有效地緩解了患者排隊擁堵的情況。周雄偉等人［9］為了解決患者在就診過程中等待時間過長、排隊擁堵等方面的問題，總結分析了醫院的單一門診資源調度的最優策略。上述的研究主要集中在醫院單一科室的病床分配問題，然而不同科室的病人就診情況差異較大，通常會導致某一科室的病床閑置，而另一科室的病床緊張的情況。因此在提升醫院病床利用率方面，單一對某一科室的病床分配往往效率不高。

隨著學者們對病床資源分配的進一步深入研究，多目標優化方法也成為學者們求解多科室分配優化問題常用的方法之一，但是醫療資源的復雜性經常導致多個目標函數之間產生沖突［10～12］，對此國內外學者根據病床資源的特性提出了許多目標分配優化策略。Green［13］指出醫院在病床分配的過程中應著重平衡病床資源過剩以及病床資源緊張的問題。Wang等人［14］建立以醫院拒絕病人就診次數最少和等待時所花成本最少為目標的非線性規劃模型并采用元模型仿真優化。徐雷等人［15］在考慮病人等待和轉診成本的前提下，根據患者信息建立混合整數線性規劃的病床分配調度模型。宋鴻芳等人［16］考慮患者不能準時入院或提前出院兩種因素，構建排隊指標多部門間的病床分配模型，利用動態規劃的方法取得最優解。周曉鳴等人［17］在考慮臨時床位與固定床位的情況下提出一個兩階段模型，采用遺傳算法求解聯合分配問題。Bhattacharjee等人［18］提出對病床資源分配和患者住院時間相結合的聯合優化，能更好地完善患者排隊系統。上述研究主要討論的是關于病床資源的多目標分配優化方法，能較好地刻畫患者以及醫院的實際情況。在實際情況下要考慮的因素更為復雜，多目標模型的關鍵之處在于所考慮的因素能否準確地描述患者接受醫療服務的過程。目前研究主要考慮患者的因素較多，優化的目標集中在降低運營成本以及患者被拒絕就診方面，對于院方與患者之間的關系、醫院與患者之間的公平性以及從醫院方因素考慮的研究較少，有較大的研究空間。

綜上所述，本文著重在考慮病患公平性以及降低成本的角度進行多目標的分配優化研究。在體現患者公平性方面，本文根據相關的醫院衛生政策［19～21］以及醫院運營管理政策［22，23］創新性地引入一個權重測度指標作為公平性的判斷標準。從院方角度，本文選取醫院的運作成本作為保障醫院日常運作的因素。在模型的建立過程中，除了設置運作成本以及公平權重最優化兩個目標函數，結合病房的總容量，病人的診療費用以及系統的穩定性等約束條件構建一個多目標隨機規劃模型MOP（multi-objective programming），并通過算例分析驗證了模型在實際運用過程中的有效性。

1問題描述

本文研究的是考慮病患的公平性以及醫院的運作成本兩個因素，對醫院單科室內的特殊病人與普通病人的病床進行分配的問題。病人根據診療要求的診療服務分為普通病人和特殊病人。醫院住院部內的病房依照病人需求類型進一步分類為公共病房與私人病房?？紤]到病房分配是一個較為長期的過程，需要在一個有界定的時間范圍內解決，因此限定醫院的病房類型在半年至一年的時間內不會改變。

醫院日常運作成本主要體現在醫院工作人員的開支以及醫療設備購買維護上。為了方便模型的建立，本文匯總醫院運作產生的成本費用，再針對每種不同類型的病人進行成本平均化處理，即服務單位病人所需的成本。在反映公平性方面，不同病人的病情具有復雜性、不確定性，不能很好地度量來體現醫院的服務質量，因此本文不考慮是否要預留一定的床位來保證急診病人的病床供給。本文設立一個權重測度指標來衡量病床分配公平性，權重測度指標主要從病人入院等待時間以及患者所能接受的最大等待天數兩方面來考慮。

問題的主要難度在于如何平衡醫院的運作成本與患者公平性，因此需要建立一個多目標隨機規劃模型平衡成本與公平，并采取數值檢驗該模型的有效性以及實用性。

2符號說明和假設

2.1符號說明

模型參數說明如表1所示。

2.2模型假設

假設A1不同類型的患者相對獨立，同一類型的患者所能接受最大等待天數相同，按照先到先得的原則接受醫院診療。病人因個人原因的延誤治療以及中途退出等因素不予考慮。

假設A2每種類型的病人只會分配到對應的病房。不考慮病房里的病床容量的具體份額。只要任何類型病房的空間里至少有一張床位，病人即可入住。不考慮相同性別的患者一定要住在同一間病房。

3模型建立

3.1權重測度指標

本文設立了結合準入性公平以及響應性公平的權重測度指標來衡量病床分配的公平性。根據醫療政策［19～21］和醫院運營策略考量［22，23］，設立一個指數K作為準入性公平的度量指標，即入院患者確診為住院患者的比例。此外設一個病人所能接受的最大等待天數τ∈R+，不確定函數變量為θ，等待的時間為W（θ），CVaRα（conditional value-at-risk）［24］為條件風險值，顯示了醫院患者確診為住院患者的轉換率，其次根據病人的等待時間分布以及所接受的最大等待天數設立指數α作為響應性公平度量指標，定義如下：

定義1當滿足

CVaRα（θ）=E［W（θ）∣W（θ）gt;qα］，

K（W（θ）≤qα）=α，α∈［0，1］

則ατsup{α≤0∣CVaRα≤τ}

其中：ατ用做衡量病人等待診療時間，指的是在α右側檢驗條件分布中的預期等待時間，指標ατ（θ）是指滿足α的右側檢驗下病人預計等待診療時間不超過病人的容忍閾值的最大值。該指標從預計等待時間這個角度反映了醫療服務的水平。指標ατ（θ）有如下性質：

a）假設W（θ1）≥W（θ1），則ατ（θ1）≤ατ（θ1）；

b）假設W（θ）≤τ，則ατ（θ）=1；

c）假設E［W（θ）］gt;τ，則ατ（θ）=0；

d）ατ（θ）≤K（W（θ）≤τ）。

證明a）假設W（θ1）≥W（θ1），有任意α∈［0，1］，CVaRα（θ1）≥CVaRα（θ2），則ατ（θ1）≤ατ（θ1）；

b）假設W（θ）≤τ，則有CVaR1（θ）≤τ，那么ατ（θ）=1；

c）假設E［W（θ）］gt;τ，則有CVaR0（θ）=E［W（θ）］gt;τ，那么ατ（θ）=0；

d）令α0=K（W（θ）≤τ），CVaR0（θ）=E［W（θ）|W（θ）gt;τ］gt;τ，則有ατ（θ）≤K（W（θ）≤τ）。

定義2結合準入性指標K以及響應性的指標α，將公平性的指標定義為Kα，Kα=K×α。

準入性指標K和響應性指標α是分別用來衡量入院和確診服務的兩個連續過程，兩者相乘可得一個衡量公平性的權重測度指標。Kα權重測度指標表現了病人入院概率與病人的預期等待確診時間的關系，為保障多個目標之間的平衡，將Kα作為公平最大化衡量標準。

3.2多目標隨機規劃模型

3.2.1目標函數

式（1）表示了醫院的運作成本最低的目標函數。目標函數表示了在預期時間窗T內完成診療的所有類型患者之和Dij（T，θ）與診療單位病人的成本費用rij相乘的總和。

min f1=∑i∈I ∑j∈JrijEθ［Dij（T，θ）］（1）

由于本文要達到公平性最優，所以取最大值來表示權重測度指標可提高的最大限度，以最大程度地提升醫院的公平性。Kij、αij 如3.1節所述，分別代表了權重測度指標Kijαij里的準入性公平指數與響應性公平指數，即病人的就診率以及集合病人等待時間分布的病人等待閾值。式（2）描述了公平性權重測度指標最優的目標，Kijαij為準入性公平指數與響應性公平指數的乘積。

max f2=mini∈I，j∈J{Kijαij}（2）

3.2.2約束條件

a）式（3）表示了關于病房總容量的約束，確保分配的病房的容量Nij不超過病房的總數N0。

∑i∈I ∑j∈JNij≤N0（3）

b）式（4）表示診療時間T結束前完成治療的ij型患者的數量。由于患者的計劃到達率與住院的時間分布沒有規律性，所以很難采用具體的封閉函數表達式來描述這種函數關系，暫用函數Q來表示這段閉合函數關系式。在接下來的線性化求解中進行進一步求解。

Dij（T，θ）=Q（Nij，γij，gij（x），hij（x）） i∈I，j∈J（4）

c）式（5）（6）是3.1節所提到過的公平性權重測度指標。用簡寫C來代替CVaRα。設立病人所能接受的最大等待天數τ∈R+為一個容忍閾值，不確定函數變量為θ，等待的時間為W（θ）。式（5）表示了通過檢驗后的響應性指標。式（6）中右側的變量內容分別為ij型病患間隔到達時間、住院時間、預計到達率分布、以及i類型的病人分配到的j型病房的數量，表示患者的確診率。

αij=sup{α≥0∣C（Wij（θ））≤τij}i∈I，j∈J（5）

C（Wij（θ））=C（Nij，γij，gij（x），hij（x））i∈I，j∈J（6）

3.2.3系統的穩定性約束

為了保持整個多目標隨機規劃模型以及整個醫院診療流程的穩定性，需要保證式（7）的服務強度要小于1.0，即ij型病患的服務接收率要遠遠小于在公共病房中所有患者類型的接收率。式（8）表示醫院接收每一類病人的診療程度由患者的日均到達率和預計到達率的除積體現。

KijλijbjNijμijlt;1i∈I，j∈J（7）

Kij=γijλiji∈I，j∈J（8）

式（9）為式（1）～（8）的所有變量的取值范圍。

Nij∈Euclid ExtraeBp;Kij，αij∈Euclid ExtraaBp;0≤Kij，αij≤1i∈I，j∈J（9）

模型中雖然考慮了病房的數量，但是病房有時候需要進行擴容或者翻新等處理，式（3）也可以由每個房間所需要的日常運營成本來呈現，但是在本文中不予考慮。

3.3線性化轉換

式（4）（6）缺乏確定的函數表達式，所以本文根據模型之間各個變量的關系使用線性化方法將多目標隨機規劃模型轉換成混合整數線性規劃模型。當ij型病患的預計到達率γij和i型病人住在j型病房的數量Nij已知時，Dij（T，θ）和CVaRα（Wij（θ））的關系如式（10）所示。進一步對ij型病患的預計到達率進行分解，式（11）采用0-1變量表示Nij。

γij=∑Mm=0Kijmλijm;λijm=mλijM;∑Mm=0Kijm=1; Kijm∈{0，1}

i∈I， j∈J，m∈{0，1，…，M}（10）

Nij=∑N0n=0Nijnn; ∑N0n=0Nijn=1; Nijn∈{0，1}

i∈I，j∈J，n∈{0，1，…，N0}（11）

其中：λijm表示ij型患者的離散到達率，而Kijm和Nijn的組合都代表著病房病床的容量和病人到達率的組合。通過前文參數來對應地計算Eθ［Dijmn（T，θ）］和αijmn。令ijmn=Eθ［Dijmn（T，θ）］，將上述的參數關系之間的線性化轉換如式（12）～（21）所示。只要病人預計到達率的離散程度M夠大，則該模型的解近似于原來多目標隨機規劃模型的解。

min f1=∑i∈I ∑j∈J ∑Mm=0 ∑N0n=0rijxijmnDijmn（12）

max f2=ξ（13）

∑i∈I ∑j∈J ∑N0n=0Nijnn≤N0（14）

ξ≤∑Mm=0 ∑N0n=0xijmnmMαijmni∈I，j∈J（15）

λij∑Mm=0mMKijmlt;μijbj∑N0n=0nNijni∈I，j∈J（16）

xijmn≤Kijm i∈L，j∈J，n∈{0，1，…，N0}，m∈{0，1，…，M}（17）

∑Mm=0Kijm=1，∑N0n=0Nijn=1，∑Mm=0 ∑N0n=0xijmn=1i∈I，j∈J（18）

xijmn≥Kijm+Nijn－1i∈I，j∈J，n∈{0，1，…，N0}，m∈{0，1，…，M}（19）

ξ∈Euclid ExtraaBp，0≤ξ≤1; Kijm，Nijn，xijmn∈{0，1}i∈I，j∈J，n∈{0，1，…，N0}（20）

m∈{0，1，…，M}（21）

4算法設計

為求解3.3節的多目標整數線性化模型，采用多目標算法是一種較好的選擇。其中，NSGA2算法被廣泛運用于復雜的、非線性的多目標優化問題［25～27］。但NSGA2在遺傳種群迭代的收斂性、運算效率、防止陷入局部最優等方面還需改進。本文通過在快速非支配排序中結合擁擠度信息和種群內部分布性保持方法兩個因素定義新的個體快速支配強度排序賦值，在精英保留策略的引入偽適應度，在交叉變異過程中根據種群個體的排序賦值信息重新改進交叉算子等方面對原算法進行改進。

4.1編碼

根據醫院單科室病床分配的特點，本文在編碼中選擇病人的計劃到達率以及醫院科室的病床分配能力作為兩個決策變量進行編碼。病床的容量以及病人的離散化計劃到達率既可用整數表示，也可用編碼的方式呈現。因為NSGA2算法無法直接對問題空間內的參數進行處理，所以本文對連續性變量進行離散化后的離散型變量浮點數編碼。染色體分成兩組，X=［A，B］。

A={ai∈A∣1≤i≤N，0≤ai≤1}

B={bi∈B∣1≤i≤N，0≤bi≤1}

其中：A表示患者的到達率，即一組1×N的矩陣，N為到達醫院的患者數量；ai為表示i個患者的分配優先級；B表示每個患者在接受診療之后分配到各個病房的集合，也是一組1×N大小的矩陣，N為接受診療后的患者數量；bi為判斷第i個患者分配到私人病房或公共病房。

4.2改進的快速支配排序

在NSGA2中采用的是快速非支配排序法，但在求解高維復雜的混合整數規劃模型時由于多目標的數量眾多導致排序時間過長，且非支配解集中存在大量的無效非支配解降低了種群分層排序的收斂效率。本文采用改進的快速支配排序，將原有的比較個體數增加為兩個，并引入新的支配判別強度指標θ判別種群的優越性。指標計算公式如下：

θt=∑Nk=1fk（j）-fminkfmaxk-fmink（22）

其中：N為目標的個數；fmaxk和fmink分別表示解集中第k個目標的最大值和最小值。通過式（21）排除解集中的無效支配解，在非支配解集中單個個體的支配強度越小，則優化效果越好，確保優異個體能進入遺傳迭代。

4.3改進的擁擠度計算

NSGA2算法采用計算擁擠度來保障種群的多樣性，一般將種群中某個點的周圍定點的密度稱做擁擠度［28］。雖然擁擠度能保持種群的均勻分布，但如圖1所示，個體a和b之間的距離相較于a和b另一點的距離更短，a和b的擁擠度距離計算較大且相似，可能會同時保留或淘汰。該策略會導致分布較好的某些個體淘汰，而分布較差的個體保留。

為了保持種族的分布性，采用一種考慮擁擠度方差的擁擠距離計算方法，公式如下：

S=∑nk=1fi+1k-fi-1k1n∑nk=1fi+1k-fi-1k-∑nk=1|fi+1k-fi-1k|n2-1+1（23）

其中：分子∑nk=1|fi+1k-fi-1k|為原有擁擠度計算公式；fi+1k和fi－1k分別表示個體i+1、i-1在對目標排序后在第k個子目標上的目標函數值。

4.4改進的精英保留策略

在NSGA2算法中，精英保留策略依照非支配關系進行排序，支配等級低的個體填充到新的父代集合中，直到種群數量達到N，較大程度地保留進化過程優秀個體并防止其流失。但由于傳統的精英策略保留是固定值，非支配解集收斂效果不佳。為了提高解集的收斂效率，引入偽適應度值f［29］，增加精英的保留規模，f越小則說明個體越優秀，計算公式如下：

f=k+1-∑ni=1SiN（24）

其中：k為帕累托前沿的階數；S為擁擠度距離；N為目標函數的數量。通過改進，在種群迭代前期非支配解集較少時，較好地保留精英個體，在后期非支配解集較多的情況下能擴大精英個體保留的規模，使得種群快速收斂。

4.5交叉和變異

由于傳統的SBX（simulated binary crossover）交叉算子的全局搜索能力較弱［30］，為了更好地保證種群的多樣性，采用算術交叉分子替代傳統的SBX交叉算子，計算公式如下：

αc=BrankArank+Brank（25）

s1=0.5［（1+α）S1+（1－α）S2］（26）

s2=0.5［（1－α）S1+（1+α）S2］（27）

其中：Arank和Brank分別表示個體A與B的非支配排序值；交叉算子系數αc表示每個個體在快速支配排序強度中的排序關聯度。在運算前期α的變化較大，非支配排序值較小的個體占據較大數量；隨著運算的推進，群內的個體逐漸收斂于同一帕累托前沿，α趨近于0.5。式（25）（26）選取父代個體S1、S2交叉得到子代s1、s2。

變異操作則從父代種群中隨機選取父代個體S3，產生子代s3，多項式變異公式如下：

s3=S3+［αm－1］（xmax－xmin）（28）

其中：αm為變異分布指數；xmax和xmin為變量的上下限。

4.6算法步驟

a）對所有參數初始化，隨機生成含有N個個體的種群S，任意選定一個個體作最優解，記為b。

b）引入快速支配強度排序法對父代種群S1的內部個體排序，根據排序支配等級選取個體保留到外部集合。

c）對種群S1中個體進行改進的擁擠度計算，賦予個體相應的非支配等級F，計算個體擁擠度。

d）運用偽適應度值的精英保留策略對種群S1進行排序，對種群S1交叉變異后得到包含N個個體的新子種群，記為Q，將這兩個種群合并，得到個體數為原來2倍的種群S，挑選出前N個個體組成第S+1代種群，并將其產生的最優個體記為b1。

e）將b1與b進行比較，若b1優于個體b，則選用個體b1。

f）判斷是否達到最大迭代次數，如果是，則執行步驟g）；否則執行步驟b）。

g）輸出個體最優解。

算法步驟流程如圖2所示。

5算法測試和算例分析

5.1多目標算法性能評價指標

為驗證改進后的算法性能，本文選用文獻［31］中的ZDT1、ZDT2、ZDT3和ZDT6測試函數進行實驗，并與NSGA2測試結果進行比較。同時為了檢驗改進后的算法在求解混合整數線性問題時的全局搜索優化和約束處理能力，選用DTLZ1、DTLZ4、DTLZ6、DTLZ7函數測試NSGA2-DS在求解過程的收斂性與多樣性［32］。在評價NSGA2-DS方面選取三個指標來分析改進后算法的收斂性、多樣性以及綜合性。

1）收斂性的評價指標世代距離（GD）

GD表示解集到真實的帕累托前沿上最近參考點的最小歐氏距離［33］以評估算法的收斂性，計算公式如下：

gi=minp∈PF（xi）-F（p） xi∈S（29）

GD（S，P）=∑|S|i=1g2i|S|（30）

其中：gi表示xi與帕累托近似前沿P上的距離最近的參考點p之間的歐氏距離；S為算法所求得的解集，世代距離值越小表示算法收斂性越好。

2）多樣性的評價指標空間指標（SP）

選用Schott［34］提出的空間指標度量解集內各個解到其他解之間最小距離的標準差來衡量解在空間的分布情況，計算為

gi=min（∑mk=1|Fk（xi）-Fk（xj）|） xi∈S，xi≠xi（31）

spacing（P）=1|S|-1∑|S|i=1（-gi）2（32）

其中：gi表示xi到xj這兩個連續解之間的曼哈頓距離；g表示所有gi的均值；SP為第gi個解到其他解的最小距離，SP的值越小，解集的多樣性越好。

3）綜合性的評價指標改進后的反向迭代距離（IGD+）

反向迭代距離［35］（inverted generational distance）表示帕累托前沿上的每個參考點到解集中鄰域內最近的解的均值距離，在計算過程中當參考點較少時，如圖3所示，解集S2中的所有解都受到解集S1的支配并且解集S1的質量明顯高于解集S2，如果采用IGD評價會得到解集S2的質量高于解集S1的情況。

因此，本文引入改進后的IGD+［36］，計算公式如下：

d+=∑|P|i=1（d+i）2（33）

IGD+（P，S）=d+|P|（34）

IGD+在原有IGD計算參考點p到解x的距離的同時考慮支配關系；d+是考慮解的支配關系的帕累托前沿上參考點p到與之最近的解的歐氏距離，IGD+在缺少帕累托前沿參考集的情況下也一樣適用，在實際優化過程中的適用性更高。IGD+的值越小，說明算法的綜合性能更好。

5.2算法測試

5.2.1測試參數設置

為檢驗改進后的算法在收斂性、多樣性、分布性等方面的性能，將算法與原來的NSGA2進行對比。對兩種算法均做如下實驗參數設置：種群規模N設置為100，種群交叉分布指數αc=1，交叉參數設置為20，交叉概率為0.9，種群變異分布指數αm=1，變異參數設置為20，變異概率為0.1，最大迭代次數maxFE為500次。在NSGA2-DS算法中偽適應度值設置為f∈［0.2，0.8］，保證精英個體的增長規模。對ZDT系列測試函數中的ZDT1和ZDT2的變量個數設置為30，ZDT3與ZDT6的變量個數設置為10，DTLZ系列測試函數的變量目標設置為5，每組實驗測試獨立運行30次。

5.2.2實驗測試結果及分析

兩種算法在ZDT系列測試函數的數值仿真結果如圖4～7所示，DTLZ系列測試函數的數值仿真結果如圖8～11所示。由于ZDT系列函數的決策變量數目較多，適合比較高維的決策變量的混合整數線性規劃問題。由圖4～7可知，ZDT1、ZDT2、ZDT3測試函數的求解結果顯示NSGA2-DS算法和NSGA2算法都能得到較好的收斂效果，但是改進的算法明顯比NSGA2收斂結果更接近帕累托前沿；在求解ZDT6測試函數時，NSGA2-DS的收斂效果明顯優于NSGA2算法且NSGA2求解結果中存在較多非支配解。

如圖8～11所示，漸變色塊為DTLZ系列測試函數的真實帕累托邊界，NSGA2-DS和NSGA2算法在求解DTLZ4測試函

數時的收斂效果較好；在求解DTLZ1、DTLZ7測試函數的結果中，NSGA2-DS的收斂性、所求解分布均勻性、多樣性均優于NSGA2，但在DTLZ6測試函數的所求解收斂性與分布性均差于NSGA2算法，存在較多偽支配解不能收斂。

為了定量比較算法性能，對兩個算法在求解系列測試函數的GD、SP、IGD+指標進行統計，每個測試函數都進行30組的運算。如表5所示，本文給出了部分NSGA2-DS算法在計算IGD+指標的實驗數據，表2～4分別統計兩個測試函數的GD、SP、IGD+指標均值與均方差。由表2可知，除了ZDT3、ZDT6、DTLZ7的NSGA2-DS均值大于NSGA2的求解結果，NSGA2-DS的收斂性結果總體優于NSGA2；均方差中除了DTLZ4和DTLZ6，NSGA2-DS的結果明顯小于NSGA2，具有更強的魯棒性。同理，由表3可得NSGA2-DS解的多樣性與分布性總體優于NSGA2，表4的IGD+指標對比中可看出NSGA2-DS的綜合收斂性、多樣性、延展性均優于NSGA2。雖然改進后的算法在各個指標上的表現總體優于改進前，但是對比分析后得出NSGA2-DS由于引入偽適應度值的改進精英選擇策略在求解前期的非支配解較多，精英個體保留數量較大導致收斂過快易造成局部最優，但總體上NSGA2-DS的性能優于NSGA2，在求解復雜高維問題上明顯優于NSGA2。

5.3算例結果及分析

本文選取某家公立醫院數據作為數據來源，數據時效性為一個月。采用NSGA2-DS和NSGA2算法求解出多目標整數規劃模型的結果。另外，本文還引入吳濤等人［37］提出的改進的黑洞進化算法（multi objective black hole）對算例進行求解。黑洞算法多目標進化算法是一種基于信息熵自適應化策略的粒子群算法，在收斂速度、種群的多樣性、種群的收斂性具有較好的性能，因此將MOBH算法與改進后的NSGA2-DS算法的求解結果進行對比，驗證算法的前沿性以及有效性?？紤]到帕累托最優解的情況，本文中設置種群規模為100，交叉概率為0.8，變異概率為0.2，最大迭代次數為500。本文數值實驗均在Intel CoreTM i5-7300HQ處理器上進行，CPU為2.50 GHz。

不同類型的病人有不同類型的住院時長、所能接受的最大等待天數、到達率，同時醫院服務不同的病人所需的成本也不同。部分病人的基本信息如表6所示，病房總數為300個。

其次改變病房的總量參數進行靈敏度分析，以體現醫院在注重公平性時的帕累托最優解的情況，改變醫院診療單位病人所需的成本費用來表現醫院追求成本最小化時的最優化解的情況。表7反映的是將要進行的參數變動。

根據上述的基礎數據設置，病人預計到達率的離散度M的變化也會影響解的變化。雖然M較大時問題的近似解會更加接近于原多目標隨機規劃模型的求解，但是所耗費的時間也更長。在不同的M值下，成本的變動幅度不大，但是公平權重指數的變化較大。隨著M的增加，NSGA2-DS算法所求解的成本的最低標準一直保持在2.33左右，公平的權重在0.5左右，即在當前的容量內可以接收所有的患者。當Mgt;100時，問題的解并沒有發生太多的變化，因此在NSGA2-DS算法中將M設置在100，圖12也顯示了使用NSGA2與MOBH算法所求得的帕累托最優解，求解結果與NSGA2-DS相比較。結果顯示在總體求解結果上NSGA2-DS算法與MOBH算法求解結果均優于NSGA2。NSGA2-DS算法所求得的最優解效果最好，雖然MOBH算法的求解耗時比NSGA2-DS短且較快收斂，但求解結果比NSGA2-DS略差，在公平權重0.5相鄰段時運作成本相較于NSGA2-DS算法波動幅度較大。

在多目標隨機規劃模型中設置了兩個目標函數，對應于橫縱坐標軸，分別為醫院單科室的運作成本以及公平性權重指數。由于兩個目標函數之間存在關聯性，在針對其中一個目標函數進行最優化時必然會導致另一目標函數的變動，所以最優解以解集的方式呈現。

5.4靈敏度分析

接下來分別對病房數量以及醫院服務單位病人所需成本進行調整，對病房的總數量、診療單位病人的成本這兩個關鍵參數進行靈敏度分析。表8和9給出了在假設兩點E1和E2分別代表成本最小化和公平最大化下兩個端點的決策。圖13和14分別給出了三種算法在不同參數變動下的求解結果對比。

首先通過改變病房總數N的數量求解。將病房總數設置為4個參數變量280、290、300、310。從圖13可以看出，在增加N的同時，公平的比重以及運作成本在不斷地增加。病房總容量的增加意味著任意類型的病人都可以獲得相對應的床位，選擇權也更多，同時容量的增加也會提升響應性以及醫院病房的接受率，從而提高公平的權重。但隨著病床數的增加，醫院的運作成本也呈上升趨勢?？傮w上NSGA2-DS求解的曲線相對于NSGA2與MOBH來說更加平緩，在相同的公平權重指數下成本更低，但MOBH算法的求解所耗時以及收斂速度要略快于NSGA2-DS算法，在求解結果上不如NSGA2-DS，解集波動幅度較大。正如表8所示，隨著容量增加，病房的接收率并沒有降低，從圖13的趨勢中可以看出病房數達到一定的最大值時，兩種算法都會趨近于一個最優解，在這種情況下成本與公平都會達到平衡。

其次，在其他參數不變的情況下，通過改變醫院服務各種類型單位病人所需成本檢驗其對最優解集產生的影響。將單位成本的倍率依次調整為1.2、0.9、0.8、0.6。如圖14所示，三種算法求得的結果在公平權重指數波動時運作成本的變化幅度明顯小于改變病房容量下所求結果，大多數情況下NSGA2-DS所求的成本在相同公平指數下低于其他兩種算法，所求結果最優，解的穩定性較強，但在收斂速度上略慢于MOBH算法。

從表9和圖14可以看出在所有的最優解中E1和E2的決策是相同的，在成本呈現倍數變化的同時，決策變量略微受到影響且不如病房總量變化對求解結果的影響大，帕累托邊界上的最優解的數量隨著成本的增加而減少。由于運作成本是由服務單位病人所需成本與病人總數相乘，同時病人總數與醫院的接受率有關，所以總成本會隨著單位成本的減小而降低，而公平權重指數基本保持不變。

本文在對多目標隨機規劃模型進行線性化成混合整數線性規劃的基礎上采用NSGA2-DS算法進行求解，為了驗證NSGA-DS算法的有效性和前沿性，與原有的NSGA2算法以及引入的MOBH算法進行比較，圖13和14顯示NSGA2-DS算法所得解都優于其他兩種算法。三種算法所得求最優解的解距隨著病房總數的增加而減少。根據圖13與14的趨勢分析，當病房數量達到一定的最大值時，三種算法都會求得最優解，使得成本與公平達到平衡，而單位成本對于整體運作成本的影響較大，對公平性幾乎沒有影響。

6結束語

本文提出了一種以每位患者所能接受的最低等待天數作為影響因素，考慮準入性與響應性公平的權重測度指標來反映醫院與患者的公平性，并結合醫院運作成本以及公平性最佳為目標建立多目標隨機規劃模型。針對多目標隨機規劃模型的復雜性，采用線性化將原有復雜模型轉換成方便求解的混合整數線性化模型。對NSGA2算法在求解高維復雜問題上全局搜索能力較差、收斂性不高、分布性較差的局限性進行改進，設計改進后的NSGA2-DS算法。最后先通過實驗檢驗了NSGA2-DS算法的性能，算法在測試函數和文章的問題方面效果均優于NSGA2與MOBH算法；其次調整不同病房容量、服務不同病人下的單位成本等參數進行靈敏度分析，得出參數的變化與目標之間的關聯，進一步驗證了模型的有效性以及適用性。

本文研究的方向主要是針對單科室的病床分配，未來的研究方向可以進一步拓展。一方面在完全公平情況下，考慮預留一定的私人病房床位給VIP病人，同時病人的類型更豐富，病人的行為和等待時間的復雜關系等，這是難點所在；另一方面不僅局限于單科室，可以考慮復雜多科室乃至醫院集群方面的臨床資源聯合優化，為實際的醫療資源提供更多參考。

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收稿日期：2021-12-14；修回日期：2022-02-04基金項目：國家自然科學基金資助項目（71632008，71840003）；上海市自然科學基金資助項目（19ZR1435600）；教育部人文社會科學研究規劃基金資助項目（20YJAZH068）；上海理工大學科技發展項目（2020KJFZ038）；2021年上海市大學生創新創業訓練計劃資助項目（SH2021078）

作者簡介：陳龍（1997-），男，福建廈門人，碩士研究生，主要研究方向為醫療調度；劉勤明（1984-），男（通信作者），山東日照人，副教授，博士，主要研究方向為維護調度、人工智能等（lqm0531@163.com）；葉春明（1964-），男，安徽宣城人，教授，博導，博士，主要研究方向為生產調度；李佳翔（2001-），男，河北石家莊人，本科生，主要研究方向為醫療管理.