鯨魚優化算法研究綜述

摘 要：鯨魚優化算法是一種受座頭鯨的狩獵行為啟發所提出的新型群體智能優化算法，其性能遠超傳統算法。為了跟蹤最新研究成果、促進群體智能優化算法領域的研究，首先介紹了鯨魚優化算法的基本原理，簡述了其實現步驟，并對比分析了其性能特點。針對其收斂速度慢、收斂精度低等缺點，總結分析了融入其他智能優化算法、Lévy飛行策略、混沌策略等改進方式及其優勢與局限；接著闡述了其在組合優化、圖像分割、數據預測等方面的應用及取得的效果；最后，對未來發展趨勢進行總結與展望。

關鍵詞：鯨魚優化算法；群體智能；改進策略

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）02-002-0328-09

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.06.0347

Review of whale optimization algorithm

Xu Degang1a，1b，2， Wang Zaiqing1a， Guo Yixin1a， Xing Kuijie1a

（1.a. College of Information Science amp; Engineering， b. Key Laboratory of Grain Information Processing amp; Control，Ministry of Education， Henan University of Technology， Zhengzhou 450001， China; 2. School of Computer amp; Communication， Hunan Institute of Engineering， Xiangtan Hunan 411104， China）

Abstract：Whale optimization algorithm is a new swarm intelligence optimization algorithm inspired by humpback whale hunting behavior， and its performance is far better than the traditional algorithms. In order to track the latest research results and promote the research in the field of swarm intelligence optimization algorithm， this paper firstly introduced the basic principle of whale optimization algorithm， briefly described its implementation steps， and compared and analyzed its performance characteristics. In view of its shortcomings of slow convergence speed and low convergence accuracy， this paper summarized and analyzed the improved methods including other intelligent optimization algorithms， Lévy flight strategy， chaos strategy， as well as their advantages and limitations. Then， it described its applications and effect in combinatorial optimization， image segmentation， data prediction， and so on. Finally， this paper summarized and prospected the future development trend.

Key words：whale optimization algorithm（WOA）; swarm intelligence; improved strategy

0 引言

群體智能優化算法是一類受自然界中昆蟲、獸群、鳥群和魚群等各種群體行為啟發，為尋找搜索問題的最優解進而創造出的新的計算方法。例如，麻雀搜索算法［1］受麻雀的覓食行為和反捕食行為啟發，螢火蟲算法［2］受螢火蟲的發光行為啟發，等等。受座頭鯨的狩獵行為啟發，Mirjalili等人［3］于2016年提出一種新型群體智能優化算法——鯨魚優化算法（WOA），具有操作簡單、控制參數少及跳出局部最優能力強等優點，一經提出就受到了國內外學者的關注，成為了群體智能優化算法領域新的研究熱點。本文總結了WOA從提出到現在國內外對其研究的主要成果，包括通過融入其他智能優化算法、Lévy飛行策略、混沌策略、多種群協同進化策略等對其改進，及其在組合優化［4，5］、圖像分割［6］、數據預測［7］、路徑規劃［8］、最優潮流優化［9］、無線傳感器網絡覆蓋［10］等方面的應用，為今后的應用拓展提供了豐富的資料，最后在WOA理論研究、算法改進和實際應用方面提出了新的研究方向。

1 鯨魚優化算法

1.1 算法原理

WOA模擬了座頭鯨的狩獵行為，稱為氣泡網攻擊。這種攻擊是座頭鯨包圍獵物時，沿著螺旋路徑形成獨特氣泡來完成的，如圖1所示。該算法整個過程包含包圍獵物、氣泡網攻擊（開發）、搜索獵物（探索）三個階段。

1.1.1 包圍獵物

在捕獵初期，由于最優個體在搜索空間中的位置未知，WOA假設當前最佳候選解為目標獵物。在定義了最佳搜索代理后，其他搜索代理向最佳搜索代理更新自己的位置，位置更新表達式如下：

其中：t為當前迭代次數；X為當前最佳解的位置向量；X為鯨魚個體的位置向量；D1為鯨魚個體與獵物之間的距離；｜｜為絕對值；·為逐元素相乘；A和C為系數向量，用于控制鯨魚的游走方式，且有

其中：r為［0，1］的隨機向量；a為控制參數；Tmax為最大迭代次數。

1.1.2 氣泡網攻擊

為了用數學模型模擬座頭鯨的氣泡網攻擊行為，設計了收縮包圍和螺旋更新位置兩種機制。

a）收縮包圍機制。在迭代過程中，通過將式（3）中a的值從2減小到0來實現此行為，此時A會在［-a，a］波動。當A為［-1，1］的隨機值時，鯨魚可位于原始位置與當前最優位置之間的任意位置，圖2展示了在二維空間中，0≤A≤1時（X，Y）與（X，Y）之間可能到達的位置。

b）螺旋更新位置機制。如圖3所示，首先計算鯨魚個體（X，Y）到獵物（X，Y）的距離，然后用一個螺旋方程來模擬座頭鯨的螺旋形運動，螺旋方程的數學表達如下：

其中：D2為鯨魚個體到獵物的距離；b為一個常數，用于定義對數螺旋形狀；l為［-1，1］的隨機數。

座頭鯨接近獵物時，其收縮包圍和螺旋更新位置行為是同時進行的。為了模擬這種氣泡網攻擊，假設座頭鯨各有50%的概率進行收縮包圍和螺旋更新位置，其數學模型描述如下：

1.1.3 搜索獵物

在此階段，鯨魚種群進行全局探索。當|A|≥1時，鯨魚種群不再根據當前最優解進行位置更新，而是根據隨機選擇的一條鯨魚進行位置更新，目的是增加搜索范圍，尋找最優解以保持種群的多樣性。因此，只需要對式（1）（2）進行小改動就可以得到此階段的數學模型。

其中：Xrand表示從群體中隨機選取的鯨魚個體的位置向量；Drand表示隨機選取的鯨魚個體到獵物的距離。

1.2 算法步驟

基于以上介紹，WOA的實現步驟如下：a）初始化，鯨魚種群規模大小N，最大迭代次數Tmax，鯨魚種群中每個個體的位置Xi（i=1，2，3，…，n）；b）計算每頭鯨魚相應的適應度值，選取適應度值最小的n個向量作為初始種群位置，記錄最優適應度值和對應位置向量，更新參數a、A、C、l、p；c）當plt;0.5且|A|lt;1時，按式（2）更新個體位置；d）當plt;0.5且|A|≥1時，按式（10）更新個體位置；e）當p≥0.5時，按式（7）更新個體位置；f）計算適應度，并更新當前最優解；g）若達到終止條件，則輸出最優個體，即算法找到的最優解，否則，返回步驟c）。

1.3 算法分析

時間復雜度代表了算法的運行效率，主要取決于問題的重復執行次數。在WOA中，假設種群規模為N，個體位置的維度為n，記錄最優適應度值和對應位置向量的時間為t1，個體位置中每一維的初始化時間為t2，則初始化階段的時間復雜度為

進入迭代后，最大迭代次數為Tmax。假設每只鯨魚每一維的邊界條件處理時間為t3，適應度值的計算時間為f（n），更新當前最優解的時間為t4，A和C的計算時間為t5，則該階段的時間復雜度為

假設N頭鯨魚中有m1頭鯨魚搜索獵物，m2頭鯨魚包圍獵物，m3頭鯨魚氣泡網攻擊。個體進行這三種行為時，每維位置更新的時間分別為t6、t7、t8，則該階段的時間復雜度為

因此，WOA總的時間復雜度為

控制參數a的變化影響著WOA的全局探索能力和局部開發能力，a采用隨迭代次數線性遞減這一原始策略，會存在收斂速度慢、易陷入局部最優等問題。若在算法運行前期，相對增加a的值有利于提高全局探索能力，避免早熟現象；在算法運行后期，相對降低a的值則能提高局部開發能力與收斂速度。

李雅麗等人［11］對蝙蝠算法（BA）［12］、灰狼優化（GWO）［13］算法、WOA進行性能分析，說明這三種算法參數較少，準確性與計算效率較高；Mirjalili等人［3］在多個數學優化和工程優化問題上進行測試，并與螢火蟲算法（FA）［2］、果蠅優化算法（FOA）［14］相比，結果表明WOA在規避局部最優方面具有競爭力；黃松等人［15］經單峰函數和多峰函數測試表明，WOA的尋優能力明顯高于粒子群優化（PSO）［16］算法。部分算法的性能分析如表1所示，與其他群體智能優化算法相比，WOA的應用領域較廣，跳出局部最優能力較強。

算法優勢不足應用領域WOA操作簡單、控制參數少、跳出局部最優能力強收斂速度慢、收斂精度低組合優化、路徑優化、數據預測、圖像處理、無線傳感器、電力系統等

BA模型簡單、收斂速度快、參數少早熟收斂、收斂精度低、全局搜索能力較弱工程設計、分類問題、模糊聚類、神經網絡訓練、組合優化、數據挖掘、圖像處理等

GWO結構清晰、收斂精度較高早熟收斂、全局搜索能力較弱組合優化、多約束、動態不確定問題等

FOA結構簡單易實現、控制參數少對初始值較為依賴、尋優精度低、易陷入局部最優工程設計優化、股市預測等

FA概念簡單、易于實現、優化性能好收斂速度慢，優化性能依賴參數的設置，在復雜問題上易陷入局部最優組合優化、圖像處理、經濟調度、路徑規劃、天線設計等

PSO結構簡單、需要調節的參數少、容易實現算法搜索后期收斂速度變慢，易陷入局部最優多目標優化、非線性整數和混合整數約束優化、信號處理等

2 鯨魚優化算法的改進

盡管WOA憑借其獨特的性能已成功應用于諸多領域，但也存在收斂速度慢、收斂精度低等缺點。大多學者通過融入其他智能優化算法、Lévy飛行策略、混沌策略、多種群協同進化策略等改進方式以提高其性能。

2.1 混合鯨魚優化算法

混合鯨魚優化算法，即將WOA與其他智能優化算法混合，結合其他智能優化算法的優點來彌補其性能短板。

Korashy等人［17］提出結合灰狼優化（GWO）［13］算法的混合鯨魚優化算法（HWGO）。將GWO的領導層結構應用于WOA的開發階段，根據三個最佳候選解的位置調整搜索代理的位置，進而提高WOA的性能。開發階段位置更新方式調整如下：

其中：X1、X2、X3分別為開發階段的三個最佳候選解的位置。

呂昊等人［18］提出一種結合模擬退火算法［19］的混合鯨魚退火算法（HWSA）。模擬退火算法的主要作用是定義一個新種群，利用Metropolis判別準則進行判別，若新種群的適應度相較于原種群更優，則新種群位置替代原種群位置，反之以一定概率接受新種群，有效地降低了算法的早熟概率。判別依據的表達式如下：

Strumberger等人［20］提出一種WOA與人工蜂群（ABC）［21］算法、螢火蟲算法（FA）［2］結合的混合算法（WOA-AEFS）。在每次迭代結束后通過觸發ABC的探索階段來改進WOA的探索階段，能在算法早期提高收斂速度并保持種群多樣性，其改進如式（17）所示；引入探索影響率eir（式（18））來控制一種新的探索階段；使用FA的搜索方程（式（19））和WOA的螺旋方程等概率開發，提高了算法的收斂速度。

其中：Xji為第i個解的第j個決策變量；θ為［0，1］的均勻分布數；β0為r=0時的吸引力；γ為吸引力的變化；α為FA的隨機化參數；Xk為一個隨機解；ri，k為兩解之間的距離。

Luo等人［22］提出一種基于改進差分進化算法的混合鯨魚優化算法（MDE-WOA）。改進差分進化由局部模型和全局突變模型組成，為了探索可行搜索空間的未知區域，局部模型利用當前搜索代理的一個小鄰域內的最優解進行變異，而全局模型考慮對整個種群的全局最優解進行變異，有助于盡快收斂到接近最優解；采用二項式交叉操作增加種群多樣性；利用貪婪選擇機制，在目標向量和實驗向量之間選擇較優個體。Lee等人［23］提出一種基于遺傳算法和熱交換優化算法的混合鯨魚優化算法（GWOA-TEO），將遺傳算法的強探索能力與熱交換優化算法的強開發能力融入WOA中，收斂速度、開發與探索能力明顯提升。

2.2 基于Lévy飛行策略的鯨魚優化算法

Lévy飛行是一類特殊的隨機游走，其步長滿足重尾穩定分布，由于其采用長期小步長和偶爾長距離跳躍的搜索方式，有助于WOA進行全局探索與局部開發。

為了提升WOA的局部最優規避、開發和探索能力，文獻［24，25］提出一種Lévy飛行鯨魚優化算法（LWOA），利用Lévy飛行策略來調整位置更新后的座頭鯨的位置，其數學表達式為

其中：μ為一個符合均勻分布的隨機數；sign［rand－1/2］具有-1、0或1三個值；⊕表示點乘；Levy飛行服從Lévy分布；s為隨機步長。

何小龍等人［26］采用Lévy飛行策略替代WOA的螺旋更新位置機制，能快速跳出局部最優，提高種群的多樣性和算法的全局尋優能力。為了更有效地開發搜索空間并跳出局部最優，Sun等人［27］使用Lévy飛行策略取代WOA的收縮包圍機制。

2.3 混沌鯨魚優化算法

混沌映射是一種在非線性系統中表現出復雜和動態行為的映射，由于其動態行為能防止WOA陷入局部最優，提高搜索全局最優的質量，在優化領域被廣泛應用。

張永等人［28］使用分段Logistic混沌映射初始化種群，提高了種群的多樣性，此過程的表達式為

Kaur等人［29］提出一種混沌鯨魚優化算法（CWOA），考慮使用各種混沌映射調整WOA的控制參數，有助于控制探索與開發階段，提高算法的全局收斂速度。在多個測試函數上對所提算法進行基準測試，結果表明混沌映射（尤其是帳篷映射）能明顯改善WOA的性能。Prasad等人［30］使用Logistic混沌映射對WOA的控制參數進行調整，實驗結果表明，早熟收斂問題得到了有效的緩解。王堅浩等人［31］使用不同的混沌映射策略改進WOA，采用混沌反向學習策略對種群初始化，以提升種群的多樣性；對控制參數和慣性權重采用非線性混沌擾動的協同更新策略，以平衡算法的全局探索能力和局部開發能力；對最優個體采用混沌搜索策略，降低了出現早熟收斂現象的概率。

2.4 多種群協同進化的鯨魚優化算法

在WOA初期，種群的個體之間沒有顯著差異，但隨著算法的迭代，通常只有較優的鯨魚個體被保留，因此種群的多樣性將減少。通過引入多種群協同進化機制，將種群中的個體分組，易規避局部最優，提高WOA的開發和探索能力。

Jiang等人［32］提出一種鯨魚優化算法（WAROA），將種群劃分為一個搜索組和一個深層獵物組，搜索組中最優個體被選為指揮官，指導深層獵物組尋找潛在的局部最優解，兩個小組相互合作，提高了算法的開發和探索能力。Hemasian-Etefagh等人［33］引入了鯨魚分組的新思想（GWOA），將種群劃分成若干組，在每次迭代中從每組中隨機選擇一個成員，用調整后的收縮包圍機制對其進行位置更新，能規避局部最優，平衡算法的探索和開發能力。劉小龍［34］提出一種多種群縱橫雙向學習的種群劃分思路，將種群劃分為多個相互獨立的子群，通過橫向和縱向種群的最優值影響子群的個體，以避免陷入局部最優，平衡算法的開發和探索能力；使用一種線性下降概率的個體置換策略，將縱向種群的所有個體與橫向隨機個體所在子群的最差個體置換，以提升子群間的信息溝通能力和算法的收斂速度。Sun等人［35］提出一種多種群改進的鯨魚優化算法（MIWOA），將種群分成較優和較差的群體，為提高算法的開發能力和求解精度，將較優的個體用于開發、較差的個體用于探索，保證了種群的多樣性，提高了算法的探索能力。Kaveh等人［36］提出WOA與碰撞體優化算法結合的混合算法（WOA-CBO），將種群劃分為探索鯨組和模仿鯨組，探索鯨會根據當前最優解的位置來更新自己的位置，以尋找更優的解，而模仿鯨則通過跟隨探索鯨來更新自己的位置，提高了算法的求解精度和收斂速度。

2.5 多策略結合的鯨魚優化算法

Li等人［37］提出一種混合鯨魚優化算法（HWOA），采用自適應權重因子與高斯隨機擾動相結合的混合策略調整位置更新規則，以提升全局探索能力，防止陷入局部最優；對當前最優個體采用Lévy飛行機制，以提高局部開發能力。位置更新規則調整為

Li等人［38］提出一種基于帳篷混沌映射和錦標賽選擇策略改進的鯨魚優化算法（MWOA），使用帳篷混沌映射初始化種群，使其均勻分布，擴大鯨魚的搜索范圍；采用自適應混沌搜索策略尋找局部最優解，以提高搜索精度；采用錦標賽選擇策略為鯨魚選取食源，以平衡算法的開發和探索能力。Chen［39］提出一種改進的鯨魚優化算法（IWOA），采用改進的伯努利移位映射初始化種群，以保持種群的多樣性；使用Lévy飛行機制優化探索階段，以提高全局探索能力；使用觸發規則篩選個體，以保持個體活力，提高算法的整體性能。Guo等人［40］提出一種基于隨機跳變更新策略和隨機控制參數策略的改進鯨魚優化算法（PAWOA），通過隨機跳變更新策略調整鯨魚的位置更新，以提高算法的收斂速度；引入隨機控制參數策略，能避免過早陷入局部最優，平衡算法的開發和探索能力。Zhang等人［41］提出一種改進的鯨魚優化算法（IWOA），引入高斯變異算子，使個體的位置信息發生突變，提高了算法的全局探索能力；利用差分進化提高算法的收斂速度；引入人工魚群算法中擁擠度因子的概念，防止個體過早聚集在最優值附近而導致出現早熟現象。Liu等人［42］提出一種基于Lévy飛行策略與差分進化算法的混合鯨魚優化算法（WOA-LFDE），將Lévy飛行策略融入到探索階段，以提高算法的收斂速度和全局探索能力；差分進化算法會創建一個包括當前種群和歷史種群最優個體的外部存檔集，大多數使用差分進化搜索策略新生成的個體都會在外部存檔集的指導下進行位置更新，提高了算法的局部開發能力。Jin等人［43］提出一種基于隨機進化策略和特殊強化策略的改進鯨魚優化算法（REWOA），將不同的進化策略整合到算法的不同維數中，以提高算法的收斂精度；利用隨機高斯分布的隨機化操作來增加種群的多樣性；對位置更新機制進行特殊強化，以提升算法的探索和開發能力。Li等人［44］提出一種基于多領導引導的多目標鯨魚優化算法，使用基于對立的學習策略來改善初始種群的分布；使用網格機制將搜索代理分為領導鯨群和普通鯨群，領導鯨引導普通鯨群搜索稀疏空間，以實現更均勻的探索；另外，分別采用差分進化算法和WOA生成領導鯨和普通鯨的后代，實現了探索與開發間的平衡。

2.6 其他改進方法

Wang等人［45］將反向學習的思想引入WOA中，優化種群的初始分布，能使算法快速跳出局部最優，加快收斂速度。Chakraborty等人［46］設計了一種基于饑餓搜索的鯨魚優化算法（HSWOA），將饑餓驅動搜索的概念與座頭鯨的狩獵行為相結合，借助饑餓鯨魚的捕獵特征來提高WOA的性能。Kaveh等人［47］提出一種增強鯨魚優化算法（EWOA），由于只調整了位置更新規則，保持了WOA的簡單性，同時求解精度、搜索可靠性和收斂速度明顯提高。Wu等人［48］采用不同的基于反正弦函數的非線性控制策略優化距離控制參數a，提高了WOA的探索和開發能力。Saha等人［49］提出一種余弦修正鯨魚優化算法（CamWOA），利用余弦函數來選擇控制參數a，并采用修正因子減小位置更新過程中的步長，適當平衡了算法的開發和探索能力。

2.7 改進算法總結

為了提高WOA的性能，學者們已經提出了多種改進方式，表2展示了不同的改進方式及其優勢與局限?；旌霄L魚優化算法是將WOA與其他智能優化算法進行混合，通過融合其他智能優化算法的優點提高WOA的性能。模擬退火算法的融入能有效降低算法早熟概率，避免陷入局部最優，但初始溫度的設置與退溫方式會影響算法的性能［19］。改進差分進化算法的融入，易使算法跳出局部最優，提高了種群的多樣性，但在處理多峰函數時，算法會出現耗時過長的問題［22］。

在搜索獵物過程中若一直使用同樣的搜索方式，將非常影響算法的收斂速度。基于Lévy飛行的改進策略［24～27］能有效地提高算法的收斂速度，避免早熟，但是如果步長太大，可能會忽略局部最優解。

基于混沌策略［28～31］的遍歷性和不重復性，將其引入WOA中，提高了算法的收斂速度和全局尋優能力。大多學者都利用混沌策略對WOA的控制參數進行調整，能有效緩解算法的早熟收斂問題，但是選擇合適的混沌映射會十分耗時。

多種群協同進化策略［32～36］是對種群中的個體進行分組，易規避局部最優，提高WOA的開發和探索能力，但在算法后期，存在尋優速度較慢的問題。多策略結合［37～44］是將多種策略融入到WOA中，能有效解決其收斂速度慢、收斂精度低和易陷入局部最優等問題，但同時也會增加算法的復雜度。

3 鯨魚優化算法的應用

自WOA提出以來，諸多學者已經將其應用于組合優化、圖像分割、數據預測、路徑規劃、最優潮流優化、無線傳感器網絡覆蓋等領域，并取得了理想的成果。

3.1 組合優化

組合優化問題是在給定有限集合的所有子集中尋找某種最優子集的問題。特征選擇問題、車間調度問題等都是典型的組合優化問題。WOA可以高效地求解這些問題，所以在這個領域得以廣泛應用。

3.1.1 特征選擇問題

特征選擇是一種重要且具有挑戰性的預處理技術，有助于從數據集中只識別出相關的特征，從而在降低特征維數的同時提高分類精度。

Tawhid等人［50］提出一種基于二進制鯨魚優化算法的特征選擇算法，從隨機選擇特征開始，根據一個傳遞函數改變鯨魚的位置，提升了算法的搜索能力，有效地獲取了特征子集。Sayed等人［51］使用一種混沌鯨魚優化算法解決特征選擇問題，為了有效地選擇具有較高分類性能且數量較少的相關特征，WOA結合了多個混沌映射對特征選擇進行全局優化。Agrawal等人［52］將量子鯨魚優化算法用于特征選擇，通過種群的量子比特表示，提高了此特征選擇方法的多樣性和收斂性。Too等人［53］提出一種基于空間邊界策略的鯨魚優化算法，旨在合理調節鯨魚種群中每個解的維度，從而發揮從高維特征空間中尋找潛在特征的作用。Khaire等人［54］設計了一種基于改進鯨魚優化算法的特征選擇模型，利用改進算法優化邏輯函數的參數，并以交叉熵損失函數為目標函數，在每次迭代中接收一組基于單個輸入數據的選定特征。Vijayanand等人［55］將遺傳算法的算子融入WOA中，從網絡數據中選取信息量最大的特征，進而有助于準確檢測入侵。Mafarja等人［56］利用灰狼優化算法與WOA設計了一種基于包裝器的特征選擇方法，實驗結果表明，與灰狼優化算法和WOA相比，該方法在選擇特征數量方面具有明顯的優越性。

算法改進類型算法名稱改進方式優勢局限混合鯨魚優化算法HWSA［18］定義一個新種群，以一定概率接受較差解避免陷入局部最優，降低算法的早熟概率初始溫度設置和退溫方式會影響算法性能

WOA-AEFS［20］引入探索影響率，調整開發和探索階段位置更新方式避免早熟，平衡了算法的開發和探索能力算法復雜度較大，解決大規模全局優化問題有待驗證

MDE-WOA［22］嵌入改進差分進化算子易跳出局部最優，提高了種群的多樣性在處理多峰函數耗時較長

GWOA-TEO［23］在開發和探索階段引入新的位置更新規則算法具有良好的全局優化能力、收斂速度算法的魯棒性、計算時間和復雜性需提高，泛化能力有待測試

基于Lévy飛行策略的鯨魚優化算法LWOA［24，25］利用Lévy飛行軌跡來調整位置更新后的鯨魚的位置提升了算法的收斂速度和全局尋優能力，避免算法早熟步長太大時可能會導致忽略局部最優解

混沌鯨魚優化算法CWOA［29，30］調整WOA的控制參數提高了算法的全局收斂速度低維問題優化效果不太好，選擇合適的混沌映射十分耗時

多種群協同進化的鯨魚優化算法

WAROA［32］定義一個新種群，調整開發和探索階段位置更新方式局部收斂速度更快，收斂精度更高，計算復雜度更低可擴展性與應用領域需進一步研究

GWOA［33］對種群進行分組，調整收縮包圍機制的位置更新方式克服了早期收斂問題，平衡了探索和開發能力，避免局部最優群體的分組數量不確定，普適性較低

MIWOA［35］對種群進行劃分，調整開發和探索階段的位置更新方式算法的求解精度、收斂速度和執行時間得到明顯提升算法在一些測試函數上不能穩定地收斂到全局最優

多策略結合的鯨魚優化算法

MWOA［38］依據概率選擇獵物，調整種群的初始化、開發階段搜索方式減少了陷入局部最優的可能，提高了算法的魯棒性解決低維問題時時間復雜度較高

IWOA［39］調整種群的初始化、控制參數、開發和探索階段的搜索方式算法具有良好的全局探索能力和局部開發能力算法在后期會陷入局部優化，算法的復雜度較高

WOA-LFDE［42］引入差分進化算子，調整開發和探索階段位置更新方式提高了算法的全局探索能力和局部開發能力在解決大型、難解實例方面存在一些不足

REWOA［43］優化算法結構，強化開發和探索階段位置更新機制算法的收斂速度更快，穩定性和可靠性更好在求解定維多模態問題時存在收斂精度低、收斂速度慢的局限性其他改進方法

HSWOA［46］引入饑餓的概念，調整開發和探索階段位置更新規則提高了算法的全局探索能力和局部開發能力算法計算復雜度略高，理論基礎較差，未研究參數的靈敏度分析

EWOA［47］修改概率p的定義，調整開發和探索階段的位置更新方式保持了算法的簡單性，提高了求解精度、搜索可靠性和收斂速度算法可能會陷入局部最優

CamWOA［49］調整控制參數，使用修正因子減少步長平衡了算法的開發和探索能力算法執行時間略有增加

3.1.2 車間調度問題

由于車間調度在采購、生產、設計、配送、運輸等方面的重要作用，近年來受到了廣泛的關注。

在求解置換流水車間調度時，WOA表現良好，但穩定性仍然較低，優化效果也不是很好，因此，Li等人［57］使用混沌鯨魚優化算法進行求解，并利用改進的局部搜索算法優化作業序列，從而找到了最小完工時間。Abdel-Basset等人［58］采用混合鯨魚優化算法解決置換流水車間調度問題，結果表明混合算法比WOA更具競爭力。

Liu等人［42］使用一種基于Lévy飛行策略和差分進化算法的混合鯨魚優化算法解決了作業車間調度問題。Luan等人［59］采用一種新穎的編碼機制來表示機器分配和作業排序這兩個子問題，并使用離散鯨魚優化算法解決了低碳柔性作業車間調度問題。為了使車間能耗成本和完工時間成本之和最小，Jiang等人［60］使用離散鯨魚優化算法求解綠色作業車間調度問題。他們還采用改進鯨魚優化算法求解節能型作業車間調度問題［61］，研究結果表明，與遺傳算法和WOA相比，該算法能在可接受的時間內獲得最佳值。

3.2 圖像分割

圖像分割被認為是圖像處理中的一個重要步驟。Tongbram等人［62］提出一種模糊C均值算法與WOA結合的混合圖像分割方法，實驗結果表明所提方法比現有的基于聚類的分割技術更有效。Hussien等人［63］將進化策略和高斯隨機漫步增強的鯨魚優化算法應用于圖像分割，測試結果表明，該算法比WOA具有更顯著的分割效果。

多級閾值分割技術是計算機視覺領域中的一種有效而又不可或缺的圖像分割技術，閾值的正確選擇直接影響分割圖像的質量。為了優化多級彩色圖像閾值選取，Yan等人［64］提出一種基于Kapur熵的鯨魚優化算法，通過將WOA的目標函數最大化以獲得最佳閾值。Anitha等人［65］采用一種改進的鯨魚優化算法選擇彩色圖像多級閾值的最優閾值，利用OTSU和Kapur函數作為算法的適應度函數，在選擇閾值時能最大化。Abd等人［66］提出一種排球超級聯賽算法與WOA結合的混合算法，通過最大限度地利用OTSU函數定義的類間方差來選擇各種圖像的最佳閾值。Abdel-Basset等人［67］使用融合黏菌算法與WOA的混合方法尋找最優閾值，克服了圖像的多閾值分割問題。Lang等人［68］提出一種融合差分進化算法與WOA的混合算法，并使用基于Kapur熵的混合算法解決多級彩色圖像分割問題。實驗結果表明，與粒子群算法、蝙蝠算法和WOA相比，混合算法的分割效果更優。

3.3 數據預測

通過使用WOA優化神經網絡，能更有效地預測數據。Murali等人［69］將廣義自回歸條件異方差統計模型與WOA優化的循環神經網絡相結合，通過WOA對循環神經網絡的權值和閾值進行優化，提高了預測甘蔗產量的準確率。Yan等人［70］使用WOA優化S_Kohonen神經網絡的輸入層與競爭層之間的權值，實現了銀行電話營銷結果的預測，并有效識別了潛在客戶。為解決城市交通擁堵問題，Du等人［71］使用改進的鯨魚優化算法對小波神經網絡的初始參數進行優化，能更有效地預測交通流，彌補小波神經網絡預測精度低、響應慢的缺陷。

為了制定滿足能源需求的長短期發展規劃，Rajamoorthy等人［72］提出一種基于旗魚優化與鯨魚優化的深度長短期記憶模型，通過數據轉換、技術指標提取、特征選擇和用電需求預測四個步驟對能源需求進行預測。為了幫助中國有效制定碳峰目標完成計劃，Cui等人［73］提出一種改進鯨魚優化算法優化梯度推進決策樹的碳排放預測模型，通過結合四種優化方法預測精度得到了明顯提升。Singhrova［74］使用增強的鯨魚優化算法優化基于最小二乘支持向量機函數估計的訓練模型預測網絡流量，仿真結果表明，優化后模型的流量預測精度高達98.10%。為了準確地預測天然氣負荷，Qiao等人［75］提出一種融合改進的鯨魚優化算法與關聯向量機的混合預測模型，仿真結果表明，在數據量較大或較小時混合模型都具有較高的預測精度。

3.4 路徑規劃

路徑規劃是一個比較復雜的全局優化問題，也是近年來的研究熱點問題。郭啟程等人［76］使用一種基于Lévy飛行策略的鯨魚優化算法解決了在城市環境下，基于覆蓋效益和能耗效益的無人機三維路徑規劃問題。蔡雨岑等人［77］將一種基于和聲二次優化的平衡鯨魚優化算法應用于不同環境下地面無人車輛全局路徑規劃，仿真實驗驗證了該算法的可行性和有效性。Yan等人［78］采用一種基于前視聲納的鯨魚優化算法實現自主水下航行器的二維最優路徑規劃，獲得了一個最優或接近最優的復雜海洋戰場環境，研究結果表明，與花授粉算法、蝙蝠算法和粒子群算法相比，該算法的收斂速度、計算精度和魯棒性明顯提升。Kumar等人［79］使用一種模糊邏輯與WOA結合的算法，保證了機器人在無碰撞的前提下以最短路徑更快地到達目標，實驗結果表明，該算法可適用于任何類型的多機器人進行路徑規劃和控制。Wang等人［80］提出一種結合差分進化算法的改進鯨魚優化算法，使用包括每一關節的沖擊度和總時間表達式在內的目標函數實現磨削機器人的最優軌跡，仿真結果表明，與遺傳算法、差分進化算法和WOA相比，使用改進算法的機器人運動路徑更平滑，速度更快。

3.5 最優潮流優化

最優潮流是通過考慮目標函數和系統約束條件來優化電力系統控制參數的重要工具，盡管WOA可用于解決復雜問題，但隨著最優潮流測試系統尺寸的增加，其性能會下降。為此，Nadimi-Shahraki等人［81］提出一種求解最優潮流問題的有效鯨魚優化算法，仿真結果表明，該算法能夠有效地解決單目標和多目標最優潮流問題。Venkatesan等人［82］利用WOA增強人工神經網絡學習過程，成功解決了混合可再生能源系統的最優潮流問題，仿真實驗驗證了此方法的有效性。Devarapalli等人［83］使用一種WOA與正余弦優化算法相結合的混合算法求解最優潮流，在IEEE30總線系統上進行測試，結果表明混合算法比WOA有更好的魯棒性。

Prasad等人［84］提出一種混沌鯨魚優化算法，用于解決電力系統中考慮多重偶發事件的暫態穩定約束最優潮流問題，研究結果表明，與人工蜂群算法、差分進化算法和WOA相比，所提算法在解的質量、有效性和收斂速度方面更有競爭力。Prasad等人［30］以最小化總燃料成本為目標函數，使用混沌鯨魚優化算法解決電力系統中與溫度相關的最優潮流問題，測試結果表明，該算法在穩定性、效率和收斂速度方面都優于WOA。

3.6 無線傳感器網絡覆蓋

無線傳感器網絡中節點覆蓋問題的關鍵是部署有限數量的傳感器節點以實現最大覆蓋。Wang等人［45］使用改進鯨魚優化算法優化無線傳感器網絡節點覆蓋模型，實現了感興趣區域的全覆蓋。zda等人［85］提出一種基于軌跡的鯨魚優化算法的動態部署方法，目的是通過執行區域分布后傳感器的動態部署，優化網絡的覆蓋率以及區域內每個目標點的K-覆蓋度。Zhang等人［86］提出一種融合蛙跳算法、差分進化算法與WOA的混合算法，用于求解網絡節點覆蓋問題，仿真結果表明，所提算法在實際三維地形下對提高網絡的信號覆蓋率有很好的效果。

Deepa等人［25］利用一種基于Lévy飛行策略與K-近鄰算法的鯨魚優化算法，解決了給定區域的覆蓋優化問題。Toloueiashtian等人［87］在考慮覆蓋網絡目標和延長網絡生命周期的情況下，使用一種改進的鯨魚優化算法解決了網絡覆蓋問題。Yue等人［88］使用改進的鯨魚優化算法求解異構無線傳感器網絡覆蓋優化模型，得到了最優覆蓋方案。測試結果表明，與WOA相比，改進算法的適應性更強，網絡覆蓋率提升了8%。

3.7 在其他方面中的應用

Lee等人［89］將WOA應用于帶棱角的非理想導體的逆散射。首先基于矩量法求解散射積分方程，將逆散射問題轉換為非線性優化問題；為了處理有棱角的目標并實現逆散射，利用三次樣條插值對目標形狀函數進行建模。數值模擬結果表明，使用WOA求解的逆散射不但精確，而且收斂速度較快。Tian等人［90］將改進鯨魚優化算法應用于水輪機空載模型參數識別，為了解決估計參數范圍的不確定性，使用一種自適應修正方法自適應地調整搜索空間。測試結果表明，與遺傳算法、免疫算法和WOA相比，改進算法的收斂速度更快、精度更高。Abdel-Basset等人［91］提出一種結合禁忌搜索的鯨魚優化算法用于解決二次分配問題，根據二次分配問題的組合特性，將WOA生成的連續值通過最大實值映射轉換為離散值，并通過定義一組鄰域解的局部搜索增強算法，仿真結果表明，所提算法比WOA有更高的求解精度。Lara-Valencia等人［92］提出一種基于WOA的線性調諧質量阻尼器優化設計方法，通過減小建筑的最大水平峰值位移和均方根響應提高了建筑的抗震安全性。測試結果表明，與差分進化算法相比，由WOA設計的調諧質量阻尼器控制的建筑的動力響應實現了樓層最大位移減少了多達43%。

為解決無限脈沖響應系統識別問題，Luo等人［93］提出一種基于排序變異算子的鯨魚優化算法，通過提高選擇較優解的概率，增加將這些較優解傳播到下一代的機會，進而提高識別精度。仿真結果表明，在收斂速度、求解精度和穩定性方面，所提算法都優于蝙蝠算法、粒子群算法與WOA。

Thennarasu等人［94］采用WOA改進云計算的工作流調度約束，通過高效的任務分配來平衡資源間的負載，提高了云計算的資源利用率。實驗結果表明，與蟻群算法、遺傳算法、粒子群算法和灰狼算法進行比較，WOA在解決云環境的多目標優化問題時取得了較好的效果，更適用于實時應用。Yan等人［95］使用改進的鯨魚優化算法解決了以經濟效益最大、水資源短缺最小為目標的水資源配置優化模型。測試結果表明，與WOA和粒子群算法相比，改進算法的收斂速度和精度都有較大提高，并在求解多目標水資源配置優化模型時具有較高的可靠性和適用性。

標準定期航班停飛時間（SBT）的設置是民航總局和國內航空公司非常關心的問題，Wang等人［96］采用改進鯨魚優化算法解決了兼顧公平性與可靠性的SBT設置數學模型，研究結果表明，該算法對民航總局確定標準績效指標具有很大的應用潛力。

4 結束語

盡管使用WOA解決復雜優化問題相較于其他群體智能優化算法有很多優勢，但也發現了一些問題。因此，WOA未來的研究工作可以從以下幾個方面展開：

a）理論研究。至今，國內外學者對WOA的理論研究較少，未來可從理論上分析控制參數的敏感性、收斂速度與收斂精度的影響因素，如何有效地平衡算法的局部開發能力和全局探索能力等，為WOA的實際應用提供理論支撐。

b）算法改進。控制參數a的設置容易影響算法的性能，為設計出更高效的參數調整策略，可以考慮將其他智能優化算法的參數研究經驗引入到WOA中。算法的種群多樣性較差，可以采用新的種群初始化方法或者多種群協同進化方法提高WOA的種群多樣性。鯨魚個體在搜索獵物過程中若一直使用同樣的搜索方式，將十分影響算法的收斂速度，可考慮在開發和探索階段融入其他生物行為的搜索策略，以提高WOA的收斂速度。多策略的融合可能會增加算法的復雜度，也可能影響適用領域，所以在提高算法性能時，也要考慮算法的復雜度和普適性。未來可考慮將一些其他的智能優化算法（如果蠅優化算法［14］、花授粉算法［97］等）與WOA混合，融合其他智能優化算法的優點以提高WOA的性能。

c）算法應用。盡管大多學者對算法進行了改進，并成功應用于各個領域，但是在求解一些離散優化、多目標優化、動態優化及大規模優化等復雜優化問題時，仍有一定的挑戰性，例如可以通過降維的方式來解決多目標優化問題，通過融合其他優化算法的搜索策略來解決動態優化問題等。未來的研究工作可在量子計算、數據挖掘、線性天線陣列等其他領域不斷拓展。

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收稿日期：2022-06-25；修回日期：2022-08-09 基金項目：國家重點研發計劃資助項目（2017YFD0401003-4）；湖南省自然科學基金資助項目（2021JJ50114）

作者簡介：許德剛（1978-），男，河南鄭州人，教授，博導，博士，主要研究方向為系統工程理論與優化、群智能優化；王再慶（1998-），男（通信作者），河南濮陽人，碩士研究生，主要研究方向為群智能決策（616902676@qq.com）；郭奕欣（1995-），女，河南安陽人，碩士研究生，主要研究方向為深度學習；邢奎杰（1998-），男，河南周口人，碩士研究生，主要研究方向為深度學習.