具有成本約束的設備投資木桶—貪婪優化算法研究

摘 要：針對以經驗為主的混合流水車間設備購置策略所導致的生產不平衡問題，提出了一種木桶—貪婪算法。該算法在固定設備成本的約束下，以產線生產節拍最快為目標，利用木桶效應的補短板思路識別出瓶頸工序，并在此基礎上針對產線內多種類產品瓶頸工序不一致的特性引入貪婪思想。然后，基于實際產線案例對比不同算法的求解結果，木桶—貪婪算法相比窮竭搜索算法以及改進遺傳算法在求解質量和效率方面具有一定優勢。最后，以實際產線為背景，利用Plant Simulation仿真進行產線改造前后對比，驗證了提出的算法在實際生產中的可行性和有效性。

關鍵詞：成本約束；瓶頸工序；木桶—貪婪；窮竭搜索；遺傳算法；Plant Simulation

中圖分類號：TP18;TP273 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）02-014-0399-05

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.06.0301

Research on barrel-greedy optimization algorithm for equipment investment with cost constraints

Peng Ke1， Zhou Jiahui1， Dai Liqi1， Chen Zhisheng2， Song Yuqing1， Yang Chenhao1

（1.College of Engineering amp; Design， Hunan Normal University， Changsha 410081， China; 2. School of Electrical amp; Information Engineering， Changsha University of Science amp; Technology， Changsha 410004， China）

Abstract：Aiming at the problem of production imbalance caused by experience-based equipment purchase strategy in hybrid flow shop， this paper proposed a barrel-greedy algorithm. Under the constraint of fixed equipment cost， this algorithm took the fastest production cycle of the production line as the goal， and used the short board idea of barrel effect to identify the bottleneck process， and on this basis， it introduced the greedy idea for the inconsistent characteristics of the bottleneck processes of multiple products in the production line. Then， comparing the solution results of different algorithms based on the actual production line case， the barrel-greedy algorithm has certain advantages in solving quality and efficiency compared with exhaustive search algorithm and improved genetic algorithm. Finally， taking the actual production line as the background， this paper used Plant Simulation to compare the production line before and after transformation， and verifies the feasibility and effectiveness of the algorithm in practical production.

Key words：cost constraint; bottleneck process; barrel-greedy; exhaustive search; genetic algorithm; Plant Simulation

0 引言

混合流水車間指工序中含有并行機器的流水車間［1，2］，以經驗方法對混合流水車間進行產線規劃時可能導致車間內各工序環節節拍不一致，從而造成產線生產不平衡。生產平衡優化本質上是平衡車間內各工序的工序節拍，從而緩解因生產不平衡導致的生產線資源浪費。針對固定的投資成本來制定生產線設備購置策略時，關鍵是識別瓶頸工序，合理購買設備臺套數，減小瓶頸工序設備對生產線的影響，提高產能，力求在有限的投資成本下產能最大效益化。

眾多學者已經提出了多種技術和方法來解決混合流水車間生產線設計及瓶頸優化問題。宋瑩等人［3］基于實際工廠流水線，利用FlexSim仿真軟件對產線建模，并使用擬合軟件對產線進行分析優化，改善了產線的生產平衡率。Wu等人［4］提出了基于FlexSim對某面包企業的面包生產線進行仿真與優化，提出了改進建議，為生產線優化提供了改進依據，基于成本最優和產量最優兩個原則提出了兩個改進方案，縮短了生產線設計時間，降低了生產線設計成本。包建軍等人［5］基于實際農機裝配線，運用啟發式算法來進行優化，并使用FlexSim仿真軟件驗證優化方案的可行性。Dalle等人［6］以工作站數量最小、工作負載差異的最小化、工位之間工人數量的最小化為目標，使用了一種新的遺傳算法來解決多目標裝配線平衡問題，通過案例證明了該方法在尋找優化裝配序列方面的有效性。陳紅波［7］通過對某公司實地考察，總結出車間和生產線存在的問題，分別結合5W1H法、ECRS原則、流程分析法、5S現場管理、標準化管理對該產線生產平衡問題進行改善和維持。楊振［8］使用精益生產理論對針織車間混流生產線建立產線平衡問題研究方案，根據優化目標使用雙種群遺傳算法來調節生產節拍，從而改善產線生產效率。

綜上所述，以往基于經驗為主的生產線設備購買方法在投產后很容易出現生產不平衡的情況，目前大部分研究對于生產不平衡問題主要通過仿真、算法、工業工程等方法來進行求解，也取得了不錯的效果，但目前這幾種方法還存在以下不足：仿真建模方法對于復雜生產線的建模難度較大；算法求解方法容易陷入局部最優且計算量較大；工業工程方法前期調研準備周期較長，并且大部分研究都是針對在生產線建成投產后出現生產不平衡問題時再進行優化改進，改進方法大多數都是通過調整生產人員、生產任務及庫存來對產線進行平衡，缺少在產線建設前通過設備的合理購買策略方面的研究。

為防止經驗購置設備導致生產不平衡問題的產生，本文基于前人研究，以產線建設前合理進行設備購買策略為背景，基于生產中生產不平衡問題出現時，瓶頸工序會產生堵塞的現象，以木桶理論［9，10］中的補短板行為作為依據，提出了木桶算法來增加瓶頸工序上的并行機器以減小算法的計算復雜度，由于需要使設備投資成本效益達到最大化，所以在木桶算法基礎上結合貪婪思想設計了木桶—貪婪算法來防止算法陷入局部最優。為證明本文算法的優越性，通過仿真軟件對實際產線優化前后進行建模分析，并與其他算法進行對比驗證。

1 問題描述與模型

1.1 問題描述

流水車間生產線中各個工序之間存在較強的關聯性，當上下兩個相鄰工序間工序節拍存在失調時，此時生產線上的產品就會使下一工序上的設備處于閑置狀態或堵塞情況，造成資源浪費，并且導致生產線維護成本增加。

本文為解決生產線前期設備投資分配問題，以生產線上工序設備的數量為研究對象，提出了一種基于設備投資成本約束條件下，結合貪婪思想的木桶算法來對設備臺套數進行調整，結合生產線生產節拍最快目標，對各工序的設備臺套數進行了優化，得出在此條件下的最優設備臺套數。

為便于描述模型問題，首先確定工廠生產線設備總購置成本預算為w萬元，再在此約束條件下確定各工序設備數目X=［x1，x2，…，xn］，并使瓶頸工序節拍C.T達到最小。根據問題描述設定的符號和參數定義如表1所示。

1.2 數學模型

1）目標函數

該模型的目標函數可以表示為

其中：式（1）表示各種類當前瓶頸工序節拍與目標函數f成反比，工件種類權重與目標函數f成正比；式（2）為瓶頸工序節拍求解表達式；式（3）表示設備成本預算w至少要滿足生產線每個工序都能購買一臺設備；式（4）表示瓶頸工序節拍應大于生產產品j的所有工序節拍；式（5）表示生產原料各權重不能大于1。

3）生產平衡率

生產平衡率（balancing rate，BR）作為一個衡量生產線中各個生產環節的作業負荷及作業效率平衡的重要參數，計算公式為［11～13］

根據式（6）可得，生產線上各工序間工序節拍的平均程度將直接關系到該產線生產平衡率的值。即工序節拍越平均生產平衡率越大，工序節拍越分散生產平衡率越小。

2 求解算法

瓶頸工序作為影響生產線平衡的關鍵因素，對于生產線平衡率的影響起著重大作用。瓶頸工序的判定一般為生產過程工序節拍最大的環節即確定為瓶頸工序，所以要提高生產線平衡率，使各工序節拍盡可能平均，首先需要提高瓶頸工序的生產效率。

2.1 木桶—貪婪算法

瓶頸工序設備數量優化問題可歸結于木桶理論，木桶的最大容量卻決于木桶上最短的木板即短板，生產線作為木桶，瓶頸工序作為短板，所以要提高生產線生產效率，關鍵在于提高瓶頸工序的工序節拍。本文在基于設備投資成本一定的約束條件下，對瓶頸工序設備臺套數進行調整，結合生產線生產節拍為最快目標，對各工序的設備臺套數進行了優化。

貪婪算法的核心思想在于貪婪，以迭代的方式求解出符合當前狀態下的最優選擇，將大規模求解問題分解簡化為規模最小的子問題。貪婪算法在每一個階段都作出當前最優的決策，作出貪婪決策的依據稱為貪婪準則［14］。

對于實際工廠生產線設備來說，通常需要用于多種種類工件的加工，由于工件類別不同，加工所需要的時間等參數也不盡相同，瓶頸工序的位置也會有影響，使用上述木桶算法會出現存在多種可行解的情況，所以在木桶算法的基礎上引用了貪婪思想。

在設備投資成本的約束下，以瓶頸工序節拍最快為目標，合理規劃各工序設備數量為設計思路，算法流程如下：

a）在滿足生產線設計前提和成本下，將各工序的設備臺套數定為每工序一臺，令X=［1，1，…，1］。

b）計算各產品的目標函數f，取f最大值的產品瓶頸工序，并確定為瓶頸工序，設為z。

c）增加一套瓶頸工序設備，即Xz=X′z+1。

d）判斷在增加瓶頸工序臺套數后的設備總成本是否大于設備投資預算，超過直接輸出各工序設備臺套數X′，不超過則重復執行步驟b）～d）。

e）判斷X′剩余購買成本是否大于成本最小的工序設備，小于則輸出最終設備策略，大于則返回上一步迭代設備購買策略，并對此時所有的購買策略進行窮舉。

f）取目標函數最優的購買策略為最終購買策略。

2.2 算法驗證

為驗證木桶—貪婪算法的正確性及貪婪選擇性質，下文使用某車間生產線案例結合MATLAB R2018b計算工具，分別使用木桶—貪婪算法和窮竭搜索算法［15］求解來進行驗證。

2.2.1 窮竭搜索算法

生產流水線設備臺套數調整問題具有貪婪選擇性質，為驗證木桶—貪婪算法的準確性，下文提出窮竭搜索算法來對其進行驗證，算法具體設計思路如圖1所示。

令X=［1，1，…，1］，在保證每道工序都存在1臺設備，且滿足不大于設備總投資成本w的約束下，依次增加第n道工序的設備臺套數，數量記為max（n），再令（n-1）道工序設備臺套數為2，逐次增加第n道工序的設備臺套數，在滿足設備投資成本w約束下，第n道工序的設備最大數目為Z，逐次進行迭代，并求出每次迭代增加設備臺套數后的瓶頸工序節拍，最終比較并輸出最小瓶頸工序節拍min_C.T及此時最小瓶頸工序節拍對應的設備臺套數方案X。

2.2.2 驗證案例描述

該生產線總共有三道工序，設備投資成本w=300（萬元），三道工序的設備單價分別為［10，20，15］，生產A、B、C、D四種產品，產品占比P=［0.07，0.07，0.43，0.43］；加工不同產品的額定重量和加工時長分別為矩陣N（單位kg）和矩陣T（單位min）。

N=201520211618121619211816，T=102015203018245025224018

N13=20 kg表示工序3單次加工A產品的重量為20 kg，T13=15 min表示工序3單次加工A產品時間為15 min。

2.2.3 貪婪性質驗證

窮竭搜索算法求得各工序設備臺套數X=［6，9，4］，目標函數f=3.42 kg/min，木桶—貪婪算法求得各工序設備臺套數X=［6，9，4］，目標函數f=3.42 kg/min。兩組數據經對比分析，木桶—貪婪算法得出的設備臺套數為最優方案，下文通過算法的迭代過程來分析結果產生的過程。

由于窮竭搜索算法迭代次數過于龐大，本文只描述了木桶—貪婪算法的迭代過程，木桶—貪婪算法設備臺套數迭代過程如表2所示，目標函數迭代過程如表3所示。

本文以表2序號12為例，對應表3序號12，Bucket_f1=2.53，Bucket_f2=2.85，Bucket_f3=2.85，可知此時購買一臺工序2設備，對目標函數的影響最大，目標函數為2.85，故由表2中序號11中［4，6，4］調整為［4，7，4］，即表2中序號12的設備臺套數分配情況。

設備臺套數迭代到表2序號16時，根據此時的表3序號16可知購買一臺工序2設備對目標函數f的影響最大，此時由于∑3i=1Kixigt;w，并且計算得目前剩余設備投資成本只能購買一臺工序1的設備。

木桶—貪婪算法最后一次迭代∑3i=1Kixigt;w，設備購置策略為（5，8，5），設備購買費用為285萬元，剩余設備購買成本為15萬元，依據表3中序號16數據可知，應購買工序2設備。由于剩余設備購買成本無法購買工序2設備，返回上一步迭代購置策略即（5，8，4），此時剩余設備購買成本為30萬元，對可能的設備購置策略進行窮舉，有以下四種情況（8，8，4）（5，8，6）（6，9，4）（6，8，5），最后取目標函數最優的購置策略，即最優解為（6，9，4）。

由上述可知木桶—貪婪算法與窮竭搜索結果一致，木桶—貪婪算法對于此類問題來進行求解時，主要影響因素為設備投資成本w，且木桶—貪婪算法在求解設備投資成本約束條件下的生產線設備臺套數調整問題具有了一定的貪婪選擇性質。

3 案例求解

3.1 案例設計

為驗證本文提出的木桶—貪婪算法對求解此類問題的準確性及普適高效性。本文以WC-Co類硬質合金混合料實際生產線作為優化背景，通過使用該實際生產線相關數據作為數據支撐，將生產線數據分別代入木桶—貪婪算法、窮竭搜索算法及改進遺傳算法［13］中，求出設備臺套數購置策略來進行對比驗證，考慮到對實際生產線改造驗證的經濟性，以及周期性等問題，本文采用Plant Simulation進行仿真建模分析。

Plant Simulation可以將常見的加工機器、傳送帶等模型集成并可視化，以構建完整的計算機仿真系統，形成物理模型與虛擬模型相互統一的仿真環境。本文主要通過將木桶—貪婪算法優化前后的各設備數量分別代入仿真模型進行求解，結合設備臺套數優化前后工序仿真狀態統計圖進行分析，從而驗證該算法對于處理此類問題的有效性和準確性。

3.2 案例數據及參數

WC-Co硬質合金粉末加工生產線總共有三道工序，分別是配粉—濕磨—噴霧干燥，三道工序的原設備數量分別為配粉設備4臺，球磨機72臺，噴霧干燥4臺，配粉工位額定載荷為500 kg，濕磨工位額定載荷為800 kg，噴霧干燥工位額定載荷為500 kg，設備單價分別為25（萬元）、15（萬元）、150（萬元）。以原產線設備成本為投資成本預算依據，即w=1 780萬元。

該生產線需加工超細顆粒、中粗顆粒以及超粗顆粒三種類型WC-Co硬質合金粉末料，三種原料占比分別為25%、70%、5%。三種類型WC-Co硬質合金粉末料在各工序的加工時間如表4所示。

3.3 仿真模型驗證及分析

將3.2節數據分別代入木桶—貪婪算法及窮竭搜索算法中，窮竭搜索算法與木桶—貪婪算法所求解一致，所求解為配粉設備2臺，濕磨75臺，噴霧干燥4臺。算法對應瓶頸工序目標函數值也都為975.13 kg/h。由上述數據得出結論，本案例中木桶—貪婪算法所求解為準確解且最優解。

將木桶—貪婪算法得出的解在Plant Simulation中建立仿真模型，運行仿真模型得到總加工時間為9天5小時1分鐘，設備數量優化后的各工序工位設備狀態統計圖如圖2～4所示，設備優化前后產線參數對比如表5所示。

通過比較原生產線狀態統計圖分析，優化后的各工序設備利用率有了較大的提升，產線的生產平衡率也有了一定的提升，但從優化后的統計圖中還可以看出各工序存在一定的等待現象，并且在優化后配粉工序和濕磨工位狀態統計圖中還存在堵塞現象。通過運行仿真模型觀察發現，Plant Simulation將工件上下料離散成相互獨立的事件，當設備卸料事件還未開始時，標記為堵塞狀態，設備開始卸料但是還未完全卸完時，設備被標記為等待狀態，且部分堵塞情況也會標記為等待狀態，即偽等待狀態。

通過數據可知配粉工位狀態統計圖中存在著“偽等待”狀態，即配粉工位此時仍然存在著較嚴重的堵塞情況。濕磨工位造成堵塞的主要原因是，經過濕磨工序后的半成品產品數量大于噴霧干燥工序設備加工能力。所以為改善濕磨工序的堵塞現象，可在配粉工序與濕磨工序間增加緩沖區容量。增加配粉工序與球磨工序之間緩沖區為244后再進行仿真驗證，球磨工序設備狀態統計圖如圖5所示。

對比優化配粉工序與球磨工序之間緩沖區數量可知，優化后的球磨機的利用率有了一定的提升，但是還存在一定的等待狀態，造成該現象的主要原因是流水車間加工性質為后道工序需要等待前道工序的完成才能進行工作，次要原因由表5可知設備臺套數優化后的方案生產平衡率為81%，根據生產線生產平衡率評價標準，當生產平衡率為70%≤BR≤85%時，說明該生產線基本在科學管理原則下進行管控，為BR≥85%時，說明該生產線為一件流生產模式［16，17］，所以優化后的設備購置方案雖然達到基本在科學管理原則下進行管控的評價標準，但是該方案下各工序工序節拍仍不完全相等，未能達到BR≥85%一件流標準。

3.4 算法對比分析

將案例數據代入改進遺傳算法來對比驗證木桶—貪婪算法的性能。設置初始種群大小20，選擇概率0.3，雜交概率0.7，變異概率0.001，迭代次數設為2 000次，分別進行三次計算，觀察目標函數的進化過程，如圖6所示。

通過對比三次目標函數進化過程，經過改進后的遺傳算法可以得到一個較好的購買策略，三次計算的目標函數分別為956.86 kg/h、933.76 kg/h、963.55 kg/h，三次結果的差異較小，選取第三次目標函數為963.55 kg/h的購買策略［6，78，3］，計算此購買策略下的生產平衡率為72.5%，雖然較優化前生產線有所改善，但是遠小于木桶—貪婪算法所求的81%。

進一步利用收斂曲線來驗證算法的性能，收斂曲線作為衡量算法性能的重要指標，能夠很好地反映算法陷入局部最優解的時間和次數［18，19］，圖7為木桶—貪婪算法與改進后遺傳算法的收斂曲線。

由收斂曲線及數據可知，木桶—貪婪算法在迭代78次后可得最優解，能以更快的速度收斂；改進后的遺傳算法過早陷入局部極值，難以跳出束縛，導致迭代結束時候收斂精度相對木桶—貪婪算法較低。

綜上，通過木桶—貪婪算法優化設備數量后的生產線在生產的各個環節設備利用率及生產平衡率都有了很大的提升，同時該產線的產品完工時間有了一定的減小，提高了產能，相對于智能算法木桶—貪婪算法在求解速度及準確性方面具有一定的優勢，所以木桶—貪婪算法在解決基于設備投資成本約束下的設備購買方案制定是可行和有效的。通過與窮竭搜索算法及改進后的遺傳算法進行對比驗證，木桶—貪婪算法在解決此類問題方面是準確及高效的。

4 結束語

本文對生產線前期設備投資分配問題進行了分析，并建立了基于設備投資成本約束的數學模型，提出了一種木桶—貪婪算法來解決此類問題，算法分為兩個階段逐步解決問題，首先利用木桶理論補短板思想找出瓶頸工序，然后利用貪婪思想，在木桶算法中求出的瓶頸工序中，選取單品類在生產中對整體瓶頸節拍影響最大的瓶頸工序，并為此瓶頸工序增加設備。本文主要貢獻是：a）提出了在設備成本約束下混合流水車間生產平衡優化問題；b）建立了成本約束下產線設備數量優化的數學模型；c）設計了基于成本約束的木桶—貪婪優化算法，該算法通過對產線內并行機的數量進行調整從而對產線的生產平衡進行優化。為驗證木桶—貪婪算法的性能，本文引入了窮竭搜索算法和改進后的遺傳算法來對其驗證。數據實驗表明，本文算法對于處理此類問題更具有適用性，且高效準確。雖然木桶—貪婪算法對生產線生產平衡率有一定的提升，但是還未能達到一件流的標準，所以該算法對于生產平衡率提升方面還需進一步加強，這也是后續重點研究內容。

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收稿日期：2022-06-28；修回日期：2022-08-15 基金項目：湖南省自然科學基金資助項目（2021JJ30732）

作者簡介：彭可（1973-），男（通信作者），湖南株洲人，教授，碩導，博士，主要研究方向為智能算法、機電一體化控制（77547113@qq.com）；周稼輝（1996-），男，湖南邵陽人，碩士研究生，主要研究方向為智能算法、生產仿真；代禮奇（1998-），男，湖北監利人，碩士，主要研究方向為生產仿真、調度優化；陳志盛（1975-），男，廣東信宜人，副教授，博士，主要研究方向為模糊控制、魯棒控制等；宋雨情（1996-），女（苗族），湖南懷化人，碩士研究生，主要研究方向為機電一體化；楊陳浩（1996-），男，湖南常德人，碩士研究生，主要研究方向為機電一體化.