基于雙策略協同進化的QPSO算法及其應用

摘 要：為更好地提升量子粒子群優化算法（QPSO）的局部挖掘和全局搜索能力，提出了一種改進的QPSO算法（DSQPSO）。在改進算法中引入了雙策略協同進化的思路調整粒子的位置更新公式。為充分體現個體粒子挖掘的優勢和群體共同引導的特點，提出了兩種吸引點構造的思路，做到個體和種群更好地融合以及信息的互通；分別考慮了最優平均位置與全局最優和粒子的歷史最優之間的聯系，對粒子搜索范圍作出了重新定義；此外，在迭代過程中，借助隨機擾動機制對全局最優位置進行調整，以保持種群的多樣性。通過18個測試函數將DSQPSO算法與PSO、QPSO、RQPSO和LQPSO四種算法在收斂精度和魯棒性方面進行對比；進而在兩個具體的工程優化問題上，應用改進算法與八個智能算法進行了尋優結果比較。實驗表明DSQPSO算法無論在基準測試中還是在工程應用上，其計算精度和收斂效果均有明顯優勢。

關鍵詞：量子粒子群優化算法；協同進化；局部吸引點；最優平均位置；工程應用

中圖分類號：TP301.6 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）02-017-0418-06

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.07.0353

Double strategies co-evolutionary quantum-behaved particle swarm optimization algorithm and its application

He Guanga，b， Lu Xiaolic， Li Gaoxia，b

（a. Chongqing Key Laboratory of Social Economic amp; Applied Statistics， b. School of Mathematics amp; Statistics， c. Research Center for Economy of Upper Reaches of the Yangtze River， Chongqing Technology amp; Business University， Chongqing 400067， China）

Abstract：To improve the local mining and global search ability of quantum-behaved particle swarm optimization algorithm（QPSO）， this paper proposed an improved QPSO algorithm（DSQPSO）. DSQPSO algorithm introduced the double strategies co-evolution to adjust the particle position update formula. Firstly， in order to fully reflect the advantage of individual exploration and the characteristic of collective guidance， this paper put forward two kinds of ideas of attraction points to achieve better integration of individuals and the swarm as well as information exchange. Secondly， it redefined the search scope of the particle through considering the relationship between the optimal average position and the global optimum and individual’s historical optimum respectively. Moreover， in the iterative process， DSQPSO used the random perturbation mechanism to adjust the global optimal position in order to help the diversity of the swarm to be preserved. Based on 18 test functions， this paper compared DSQPSO with PSO， QPSO， RQPSO and LQPSO in convergence accuracy and robustness. Furthermore， in terms of the optimization results， it compared the improved algorithm with eight intelligent algorithms on two practical engineering optimization problems. Experiments indicate that whether in benchmarking or in engineering application， DSQPSO has obvious advantages in calculation precision and convergence effect.

Key words：quantum-behaved particle swarm optimization algorithm; co-evolution; local attraction point; optimal average position; engineering application

0 引言

實參優化問題廣泛出現于工程、管理、經濟以及其他社會領域，在現實中這些優化問題往往具有非線性、非連續甚至不可微的特點，這就對經典的基于導數的求解方法提出了挑戰。針對這種現狀，研究人員先后開發出大量的隨機性優化方法，包括粒子群優化算法（PSO）［1］、差分進化（DE）［2］、果蠅優化算法（FOA）［3］、鳥群算法（BSA）［4］以及最近提出的蝴蝶優化算法（BOA）［5］和哈里斯鷹優化算法（HHO）［6］等在內的各種智能算法，從而為實參優化問題的有效求解提供了新的思路和途徑。

在PSO算法的基礎上，Sun等人［7］提出了一種具有量子行為的改進粒子群優化算法（QPSO），該算法比PSO算法的參數更少、收斂速度更快、穩定性更強。自QPSO提出后，吸引了來自不同領域的學者對其進行研究和改進，提出了一些算法的改良版本，并將其應用到相應領域的優化問題中。Sun等人［8］在QPSO算法中引入混合概率分布對粒子的位置公式進行更新，有效地提高了算法的性能。Li等人［9］運用輔助群和分離的搜索空間來增強算法的多樣性，同時引入協同機制來提升粒子的進化效率。Zhang［10］采用了混沌映射、高斯分布的變異算子以及動態慣性權重等技巧對原始的QPSO算法進行改進，有效地改善了算法的多樣性，使算法具有更強的搜索性能。He等人［11］提出了一種融合混合概率分布和收縮—擴張因子非線性調整的改進算法，明顯改善了QPSO算法的尋優精度和收斂速度，并用于求解一類模糊投資組合問題。除此之外，還有一些關于QPSO算法的改進和應用方面的其他研究成果［12～16］。

在現有的改進QPSO算法中，大多改進措施側重于從種群初始化設置、早熟預防、融合其他智能算法改進粒子的位置迭代公式等方面開展工作，而圍繞局部吸引點的重新構造以及粒子搜索范圍的調整研究較少。在原始的QPSO算法中，局部吸引點雖然能夠體現出個體和群體信息的融合，然而在單個粒子局部搜索方面的信息利用不夠，對尋優精度的挖掘有待深入；另外，在粒子搜索范圍公式中雖然考慮了個體當前位置和平均最優位置的結合，但是在粒子歷史經驗的運用和種群經驗的相互借鑒上仍顯不足，在多樣性的保持上存在進一步的提升空間。為進一步提升QPSO算法的局部挖掘和全局搜索能力，增強算法的收斂精度，本文提出一種改進的QPSO算法（DSQPSO）。在改進算法設計中，引入了雙重策略共同調整粒子的位置更新公式。a）為充分體現個體粒子挖掘的優勢和群體共同引導的特點，提出了兩種吸引點構造的思路，做到個體和整體更好地融合以及信息的互通；b）在粒子搜索范圍的更新上，分別考慮了最優平均位置與全局最優和單個粒子的歷史最優之間的聯系，提出了優化探索空間的改進公式；c）在迭代過程中，借助隨機擾動機制對全局最優位置進行調整，以增強算法的多樣性。通過18個基準函數的性能測試和兩個工程問題的應用，展示DSQPSO算法的改進效果和計算優勢。

1 原始的QPSO算法

與PSO算法相比，在QPSO系統中每個粒子以一定概率出現在搜索空間中的任意位置，從而每個個體能在更大的范圍內進行探索，使得算法的全局搜索能力更強。在QPSO算法中，假設種群規模為N，搜索空間維數和最大迭代次數分別為D和T。粒子在搜索過程中會趨近于一個局部吸引點Pi=（Pi，1，Pi，2，…，Pi，D）：

其中：i=1，2，…，N；φ表示0～1均勻分布的隨機數；pi， j（t）表示在t次迭代時第i個粒子的歷史最優位置pi（t）的第j維；pg， j（t）表示在t次迭代時全局最優位置pg（t）的第j維。

在分析算法的智能化搜索過程中，Sun等人［7］發現人類的智能行為與量子空間中粒子的行為很類似。于是在算法中引入了量子態粒子行為，運用Monte Carlo方法得到粒子位置公式如下：

其中：u表示0～1均勻分布的隨機數；Li， j（t）用于確定粒子的搜索范圍。

通過借鑒人類群體的大眾思維，在QPSO算法中引入了最優平均位置m（t），定義如下：

其中：β稱為收縮—擴張因子，mj（t）表示在t次迭代時最優平均位置的第j維。當ugt;0.5時，式（5）中取“+”，否則取“-”。

2 基于雙策略協同進化的QPSO算法

根據QPSO算法的位置式（2）可見，Pi， j（t）和Li， j（t）在粒子位置更新過程中起著重要的作用，其中局部吸引點Pi， j（t）用于調整粒子的運動趨勢，Li， j（t）則影響粒子搜索的范圍。

2.1 吸引點公式的改進

由吸引點式（1）可知，粒子的運動趨勢受到自身歷史最優位置和全局最優位置的雙重影響。因此式（1）采用了交叉操作的思想，能夠有效地利用粒子和種群的歷史信息，考慮了pi， j（t）和pg， j（t）兩者的共同作用，對Pi， j（t）不斷進行淘汰、更新，增強了粒子有效運動的趨勢。

原始QPSO算法中pi， j（t）和pg， j（t）前面的參數選擇了隨機數，雖然能夠體現出個體和群體融合的優點，然而在粒子局部搜索方面的針對性不夠，對尋優精度的挖掘有待深入，這表現為對一些單模函數的尋優結果欠佳。于是在算法進化過程中，考慮相應的吸引點設計，側重體現出個體粒子挖掘的優勢和群體共同引導的特點，這里提供兩種吸引點構造的思路。

a）分階段凸顯歷史最優和全局最優的主導地位。考慮吸引點的公式如下：

其中：α1=（0.9－0.4）（T－t）/T+0.4。由式（6）可知，在算法迭代初期α1的取值較大，表明每個粒子按各自的運行軌跡進行自主搜索，自身的歷史最優位置具有很好的參考價值，主要借助pi， j（t）的情況進行迭代更新，此時粒子歷史最優位置的影響占比較大；當進入迭代后期時，α1的取值逐漸減小，種群的主流趨勢則表現出更多的影響力度，為了促進算法的收斂，提升粒子的聚集速度，此時更多地依賴pg， j（t）的情況來調整吸引點的位置，從而在進化后期全局最優位置的影響更大。

b）明確pg， j（t）在吸引點構造中的影響地位，同時兼顧pi， j（t）的參與。迭代過程中的全局最優位置代表著種群中精英粒子出現之處，意味著其他粒子需要追隨的標桿。隨著迭代的推進，多數粒子跟從優秀的粒子不斷進行更新，向最優點附近聚集，進而實現算法的收斂。為了更好地發揮出這些優秀個體的領導優勢，在整個迭代過程中穩定地指引著種群的運動方向。現將pg， j（t）的權重設為α2，在實驗中基于測試函數依次考慮α2取值分別為0.3、0.5、0.7和0.9的情況，然后根據綜合表現明確α2的最終取值；同時，仍然需要pi， j（t）的積極參與，汲取個體粒子的歷史經驗，共同推進算法的有效進化。因此，第二種吸引點公式如下：

其中：r表示0～1均勻分布的隨機數。

2.2 粒子搜索范圍的調整

在原始QPSO算法中，|mj（t）－xi， j（t）|反映了當前粒子與最優平均位置之間的距離差，其表達式中采用了各個粒子歷史最優位置的平均值，雖然考慮了個體和種群的結合，但是在粒子自身經驗的運用和種群經驗的吸收方面仍顯不足，當面臨高維的多模函數時算法的計算能力較弱。基于此，在距離差的刻畫中，將從種群經驗和個體自身經歷兩個方面進行調整，具體如下：

a）找準各粒子的最優平均位置與全局最優位置之間的差距，不斷優化搜索范圍。在算法運行過程中，全局最優位置不斷進化，進而影響粒子接下來的運動方向和調整幅度，并在指定條件下完成最終收斂。現對Li， j（t）作出以下調整：

其中：收縮—擴張因子β1用于調整粒子隨后進行搜索的幅度，進而影響收斂的速度，在實驗中將基于測試函數依次考慮β1取值分別為0.3、0.5、0.7和0.9的情況，然后根據綜合表現選擇最終的取值；同時|mj（t）－pg， j（t）|體現了種群最優位置與平均最優位置之間的關系，兩者之間的差值隨著迭代的進行不斷縮小和優化，導致粒子的運行方向逐漸往局部吸引點靠近，于是算法的收斂精度得到提升。

b）結合粒子歷史位置和最優平均位置的差距，逐步調整粒子的探索空間。最優平均位置能夠有效反映當前種群的平均落點情況，如果僅僅關注當前粒子本身和平均位置的關系，容易忽略一些有用的歷史數據。為了更好地結合粒子當前和歷史位置的經驗，能夠在迭代過程中有效吸取歷史位置的數據，在距離差的公式中采用隨機粒子的歷史最優位置，每次迭代時能夠在所有粒子的歷史最優位置中進行隨機選擇，從而避免依賴固定粒子的歷史信息容易陷入早熟的困境，增強種群進化的有效性、確保種群的多樣性。具體公式如下：

其中：β2=（0.9－0.4）×（T－t）/T+0.4；k為1～N的隨機整數。

接著，根據式（6）～（9）給出粒子位置的更新公式：

隨后，比較x1i（t+1）和x2i（t+1）的適應值，選擇適應值更好的作為粒子的當前位置。

2.3 全局最優位置的隨機擾動

在QPSO算法的迭代后期，由于多樣性的缺失會導致算法陷入局部最優，這一情況在處理高維多模函數時表現得尤為明顯，所以在迭代過程中需要增加和保持多樣性以提高算法性能。

在進化過程中，粒子之間逐漸聚集，種群適應度方差σ2越來越小，當σ2小于臨界值λ時，認為算法多樣性減小，出現早熟。方差σ2的計算公式如下：

其中：fi（t）為第i個粒子的適應度；m（t）為當前種群的最優平均位置；F為歸一化因子，max|fi（t）－m（t）|≤1時，F=1，否則取值為max|fi（t）－m（t）|；σ2反映了當前種群的離散程度，值越小表明種群越聚集，當收斂的點不是全局最優解時，算法會出現早熟。

根據以上判定機制，當σ2lt;λ時，引入隨機擾動機制，方法如下：

其中：r1表示0～1均勻分布的隨機數；l為1～N的隨機整數。進而采用如下方式對pg（t）進行調整：

改進后的算法簡記為DSQPSO，其算法流程如下：a）設定種群規模N、搜索維數D和最大迭代次數T，當前迭代次數t=0，初始化種群中各粒子的位置；b）計算每個粒子的適應度，記錄下粒子的歷史最優pi（t）和全局最優pg（t）；c）通過式（6）（7）分別計算局部吸引點P1i， j（t）和P2i， j（t）；d）由式（10）（11）計算粒子的兩個位置，并通過比較適應值，更新當前粒子的位置；e）借助比較原則，更新粒子的歷史最優位置pi（t）和全局最優位置pg（t）；f）當σ2lt;λ時，用式（13）（14）更新全局最優pg（t）；g）t=t+1，若滿足迭代終止條件，輸出最優解，否則，轉入步驟c）。

2.4 算法的時間復雜度

作為判斷算法性能的一個重要指標，時間復雜度反映了算法的收斂速度。設種群規模為N，搜索空間維數為D。QPSO算法中，在初始化階段，設產生粒子位置分量的時間為t1，計算目標函數適應值的時間為f（D）；在進入迭代過程中，設粒子位置分量的計算時間為t2，適應值的計算時間為f（D），pi（t）和pg（t）的比較和更新時間為t3。于是，QPSO算法進行一次迭代的時間復雜度為

相比而言，DSQPSO算法主要增加了吸引點公式的改進和粒子搜索范圍的調整，實際上在粒子位置計算上的時間復雜度并沒有變化；同樣在全局最優位置作出的隨機擾動也不會改變時間復雜度，因此改進算法與原始QPSO算法的時間復雜度是一樣的。

3 性能測試

3.1 測試函數及參數設置

將DSQPSO算法與PSO［1］、QPSO［7］、RQPSO［8］和LQPSO［11］進行性能對比分析。所有18個基準測試函數信息如表1所示。其中， f1～f6為單模函數，用于測試算法的局部挖掘能力； f6～f12為多模函數，用于測試算法的全局探索能力； f13～f18為混合函數，用于測試算法的均衡能力。參數設定方面，對于PSO，學習因子c1=c2=2，慣性權重w由0.9線性遞減到0.4；對于QPSO，收縮擴張因子β由0.9線性變化至0.4；對于RQPSO，參數α=0.6，β由0.9線性變化至0.4；對于LQPSO，收縮擴張因子β由1變化至0.5，隨機步長k=1.5，初始化率δ=0.1；對于DSQPSO，參數α1由0.9線性變化至0.4，α2=0.7，β1=0.7，β2由0.9線性變化至0.4，λ=0.01。五種算法的粒子總數均為50個，最大迭代次數均為1 000次，搜索空間為10維和30維。各算法在每個測試函數上獨立運行30次，其結果取均值（mean）、標準差（std）以及最好值（best）。實驗結果如表2、3所示。

3.2 測試分析

根據表2中展示的測試結果可見，在低維情況下DSQPSO算法除了函數f7和f12外，在其余16個函數測試中都取得了最好的均值，同時在大多數測試函數中取得了最小的標準差和最好值。在單模函數上，對于f1～f3和f5，PSO算法表現較差，算法的局部搜索能力明顯較弱，不能很好地收斂到最優值附近，而四種QPSO算法則表現較好，其中DSQPSO算法的搜索結果已經近似為理論最優值；在測試函數f4和f6上，PSO的尋優結果表現最差，QPSO、RQPSO和LSQPSO三種算法在精確度和穩定性方面比較接近，同時DSQPSO算法的表現最好。DSQPSO算法在所有單模函數上表現優異，主要是因為在吸引點的構造上加強了種群的歷史最優位置對粒子搜索范圍的引導，使得粒子更快地向最優點逼近，從而提高了算法的收斂精度。在多模函數方面，在f7上，LQPSO算法的全局搜索能力更強，能夠搜索到理論最優值，雖然DSQPSO算法性能稍弱，但是比其他三種算法更好；五種算法均在函數f8上成功收斂到理論最優值；在f9～f11上改進算法均取得了最好的均值和標準差；在f12上，四種QPSO算法結果比較接近，均優于PSO算法。DSQPSO算法在大多數多模函數上展現出更佳的尋優結果，這是因為在粒子搜索范圍的迭代公式中考慮了粒子歷史最優位置的相關信息，同時運用隨機選擇粒子的方式，增強了種群的多樣性，從而防止算法出現早熟現象。在六個混合函數上，DSQPSO均取得了最優的均值，同時在其中五個函數上取得了最小的標準差。從低維函數的測試結果來看，改進算法在局部挖掘和全局探索上的表現更為優異，整體性能更佳。

通過表3的高維函數測試結果可以看到，DSQPSO算法在大多數測試函數中均取得了最佳的表現。在六個高維的單模函數中，DSQPSO算法表現突出，這是因為在粒子搜索范圍的迭代公式中引入了種群歷史最優位置的相關信息，加快了粒子向局部吸引點運動的趨勢，提高了粒子的局部挖掘能力，從而搜索到的最優值和算法的穩定性明顯優于其他四種算法。對于高維的多模函數，在函數f7、f8和f11上，LQPSO算法表現最好，DSQPSO算法在均值和標準差結果上緊隨其后，但是改進算法在f7上有一定的概率搜索到理論最優值；在函數f10上，DSQPSO算法比三種QPSO算法表現稍差；在f9和f12上，DSQPSO算法的收斂能力優于其他四種算法，這是因為在迭代過程中加入了隨機擾動機制，有助于保持種群的多樣性，在擺脫早熟方面有更好的表現。在六個高維的混合函數方面，除了f13和f16以外，DSQPSO算法在其他四個混合函數上均取得了最好的均值和最小的標準差。從高維函數的測試結果來看，DSQPSO算法的性能更為出色，尋優效果有明顯的提升。

綜合來看，改進算法無論在低維還是高維函數測試中都取得了更佳的尋優精度和更穩定的收斂結果，說明其整體性能更為均衡，在局部挖掘和全局搜索兩方面表現更為優異。

3.3 統計檢驗

為了驗證DSQPSO算法的有效性，將改進算法與其他四種算法分別進行Wilcoxon符號秩檢驗，計算出配對算法的概率p值。同時，通過Friedman檢驗計算五種算法的秩均值，進而得出各個算法的最終名次。具體的非參數檢驗結果如表4所示。

由表4可知，在Wilcoxon檢驗中，DSQPSO與四種算法配對比較的概率值均小于0.01，意味著在1%的顯著水平下，DSQPSO算法和其他算法有顯著差異。從Friedman檢驗的排名結果可見，DSQPSO算法在所有測試算法中的綜合排名最高，說明其整體性能更均衡。

4 應用舉例

在實際應用方面，將DSQPSO算法用于求解兩個具體的工程問題。為了體現DSQPSO算法的優勢，將其與八種著名的智能算法EA2［17］、EA3［18］、QPSO［7］、ESs［19］、CPSO［20］、GWO［21］、WOA［22］和HHO［6］進行對比。在對比實驗中，DSQPSO算法的設置與前面性能測試中相同，其他八種算法的參數設置均來源于相關文獻。所有算法的種群規模均為50，進化次數均為1 000，每種算法獨立運行30次后，記錄下相應的最優解和最優值。

問題1 壓力容器設計（圖1）。該問題的目的是使壓力容器的生產成本最小化，其中涉及具有四個變量的線性和非線性不等式約束，即殼體的厚度Ts （x1）、半球形部分的厚度Th （x2）、內半徑R（x3）和圓柱零件的長度L（x4）。其數學模型表示如下：

通過表5展示的計算結果可見，在最優值的獲取上GA2、GA3、ESs、CPSO、GWO和WOA六種智能算法在尋優結果上比較接近，而HHO和QPSO算法的表現則更進一步，改進算法DSQPSO在所有九種算法中表現最佳，體現出良好的尋優能力。

問題2 拉伸/壓縮彈簧設計問題（圖2）。該問題的目的是最小化彈簧重量，受到導線直徑d（x1）、平均線圈直徑D（x2）和有效線圈數P（x3）的限制。其數學模型表示如下：

根據表6中的計算結果可知，針對這個非線性的低維優化問題，各算法在尋優效果方面比較接近，其中GA2和QPSO算法的表現稍差，而其他七種算法的精度需要在小數點后第5位才能有所差別。在求解彈簧設計問題上，HHO表現優異，DSQPSO則在尋優精度上更進一步，表現出在局部搜索方面的優勢。

5 結束語

為進一步提升QPSO算法的局部挖掘和全局搜索能力，增強算法的收斂精度和抗早熟能力，提出了一種改進的QPSO算法（DSQPSO）。在改進算法設計中，引入了雙重策略共同調整粒子的位置更新公式。a）在吸引點更新上，提供了兩種構造吸引點的方式，既考慮了迭代過程中粒子個體信息的不斷更新，也兼顧了整個種群信息對個體更新的影響，做到個體和整體更好地融合以及信息的互通；b）在粒子搜索范圍的確立方面，在考慮平均最優位置與全局最優位置差距的同時，也分析了平均最優位置與粒子的歷史最優位置的差異，做到兩者共同進化，相互借鑒；c）在迭代過程中借助隨機擾動機制對種群的全局最優位置進行及時調整，以增強種群多樣性，從而提高算法的抗早熟能力。在18個函數的性能測試中顯示，無論在計算精度還是在穩定性方面，DSQPSO算法表現更好。在實際應用方面，提供了兩個具體的工程應用案例，通過與八個智能算法之間的對比，結果顯示改進算法在尋優能力上的表現更為優異。

雖然改進算法在低維函數上尋優能力表現優異，但是針對一些高維的多模函數仍然存在提升的空間。如何融合其他智能算法的特點進一步提升算法的全局搜索能力，增強QPSO算法在復雜環境下的收斂精度，是接下來值得思考的問題。

參考文獻：

［1］Kennedy J，Eberhart R C. Particle swarm optimization ［C］// Proc of IEEE International Conference on Neural Networks. Piscataway，NJ： IEEE Press，1995： 1942-1948.

［2］Das S，Suganthan P N. Differential evolution： a survey of the state-of-the-art ［J］. IEEE Trans on Evolutionary Computation，2011，15（1）： 4-31.

［3］Pan Wentao. A new fruit fly optimization algorithm： taking the financial distress model as an example ［J］. Knowledge-Based Systems，2012，26（2）： 69-74.

［4］Meng Xianbing，Gao Xiaozhi，Lu Lihua，et al. A new bio-inspired optimisation algorithm： bird swarm algorithm ［J］. Journal of Experimental and Theoretical Artificial Intelligent，2015，28（4）： 1-15.

［5］Arora S，Singh S. Butterfly optimization algorithm： a novel approach for global optimization ［J］. Soft Computing，2019，23（3）： 715-734.

［6］Heidari A A，Mirjalili S，Faris H，et al. Harris hawks optimization： algorithm and applications ［J］. Future Generation Computer Systems，2019，97（1）： 849-872.

［7］Sun Jun，Feng Bin，Xu Wenbo. Particle swarm optimization with particles having quantum behavior ［C］// Proc of IEEE Congress on Evolutionary Computation. Piscataway，NJ： IEEE Press，2004： 325-331.

［8］Sun Jun，Xu Wenbo，Fang Wei. Quantum-behaved particle swarm optimization with a hybrid probability distribution ［C］// Proc of the 9th Pacific Rim International Conference on Artificial Intelligence. Berlin： Springer-Verlag，2006： 737-746.

［9］Li Yangyang，Bai Xiaoyu，Jiao Licheng，et al. Partitioned-cooperative quantum-behaved particle swarm optimization based on multilevel thresholding applied to medical image segmentation ［J］. Applied Soft Computing，2017，56（7）： 345-356.

［10］Zhang Feng. Intelligent task allocation method based on improved QPSO in multi-agent system ［J］. Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing，2020，11（2）： 655-662.

［11］He Guang，Lu Xiaoli. An improved QPSO algorithm and its application in fuzzy portfolio model with constraints ［J］. Soft Computing，2021，25（6）： 7695-7706.

［12］胡章芳，孫林，張毅，等. 一種基于改進QPSO的機器人路徑規劃算法 ［J］. 計算機工程，2019，45（4）： 281-287. （Hu Zhangfang，Sun Lin，Zhang Yi，et al. A robot path planning algorithm based on improved QPSO ［J］. Computer Engineering，2019，45（4）： 281-287.）

［13］于國龍，趙勇，吳戀，等. QPSO算法的改進及其在DBN參數優化中應用 ［J］. 計算機工程與應用，2021，57（10）： 154-162. （Yu Guolong，Zhao Yong，Wu Lian，et al. Improvement of QPSO algorithm and its application in DBN parameter optimization ［J］. Computer Engineering and Applications，2021，57（10）： 154-162.）

［14］袁小平，金鵬，周國鵬. 基于改進QPSO算法的電動汽車模糊控制器參數優化 ［J］. 計算機應用研究，2019，36（12）： 3690-3696. （Yuan Xiaoping，Jin Peng，Zhou Guopeng. Parameter optimization of fuzzy controller for electric vehicle based on improved QPSO algorithm ［J］. Application Research of Computers，2019，36（12）： 3690-3696.）

［15］Yang Zhenlun，Wu A. A non-revisiting quantum-behaved particle swarm optimization based multilevel thresholding for image segmentation ［J］. Neural Computing and Applications，2020，32（2）： 12011-12031.

［16］Peng Chao，Yan Jia，Duan Shukai，et al. Enhancing electronic nose performance based on a novel QPSO-KELM model ［J］. Sensors，2016，16（4）： 520-534.

［17］Deb K. Optimal design of a welded beam via genetic algorithms ［J］. AIAA Journal，1991，29（11）： 2013-2015.

［18］Coello C A C，Montes E M. Constraint-handling in genetic algorithms through the use of dominance-based tournament selection ［J］. Advanced Engineering Informatics，2002，16（3）： 193-203.

［19］Montes E M，Coello C A C. A simple multi membered evolution stra-tegy to solve constrained optimization problems ［J］. IEEE Trans on Evolutionary Computation，2005，9（1）： 1-17.

［20］He Qie，Wang Ling. An effective co-evolutionary particle swarm optimization for constrained engineering design problems ［J］. Enginee-ring Applications of Artificial Intelligence，2007，20（1）： 89-99.

［21］Mirjalili S，Mirjalili S M，Lewis A. Grey wolf optimizer ［J］. Advance in Engineering Software，2014，69（3）： 46-61.

［22］Mirjalili S，Lewis A. The whale optimization algorithm ［J］. Advance in Engineering Software，2016，95（5）： 51-67.

收稿日期：2022-07-26；修回日期：2022-09-19 基金項目：國家自然科學基金資助項目（11901068）；重慶市科委資助項目（cstc2016jcyjA0564）；重慶市教委資助項目（KJQN202100815，18SKJD034）；重慶工商大學科研平臺開放課題（KFJJ2016008）

作者簡介：何光（1981-），男，重慶人，副教授，博士，主要研究方向為智能算法及其應用（heguang6896@163.com）；盧小麗（1981-），重慶人，講師，博士研究生，主要研究方向為優化算法及應用；李高西（1988-），重慶人，副教授，博士，主要研究方向為最優化理論及算法.