多策略改進的天鷹優化算法及其應用

摘要：為改善天鷹優化算法（aquilaoptimizer，AO）在求解復雜優化問題時存在易陷入局部最優等不足，提出一種多策略改進的天鷹優化算法（multi-strategyimprovedaquilaoptimizer，MIAO）。首先，提出鏡像單純形法策略擴大天鷹搜索范圍，提升種群多樣性和逃離桎梏能力；其次，在天鷹算法的X3階段融入社會自由覓食策略，擺脫全局平均值的束縛，提升迭代后期天鷹個體的多樣性；同時，將階梯步進策略引入X4階段，保證當前優勢個體加快向全局最優前進的趨勢，增加收斂速度；最后，改進原有開發機制，提升算法尋優能力。對10個常用基準函數以及CEC2017部分函數進行尋優實驗，實驗結果與Wilcoxon符號秩和檢驗結果均表明改進算法具有更好的尋優精度、收斂性能和穩定性。另外，通過一個機械優化設計實驗進行測試分析，進一步驗證所改進算法的優越性和實用性。

關鍵詞：天鷹優化算法；鏡像單純形法；社會自由覓食策略；階梯步進策略；CEC2017；機械優化設計

中圖分類號：TP301.6文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2023）05-011-1352-08doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.09.0482

0引言

近年來，學者們通過觀察、模擬一些生物行為和物理現象提出各種啟發式算法，如粒子群算法（particleswarmoptimization，PSO）［1］、哈里斯鷹算法（Harrishawksoptimization，HHO）［2］、灰狼優化算法（greywolfoptimization，GWO）［3］、麻雀搜索算法（sparrowsearchalgorithm，SSA）［4］、正余弦算法（sinecosinealgorithm，SCA）［5］等。采用傳統方法處理出現在工程、商業以及經濟學等領域的復雜優化問題在一定時間或精度內難以得到最優解，而運用智能啟發式算法可以很好地解決此類問題。啟發式算法已經成功應用到各個科學領域，如控制工程［6］、圖像處理［7］、電力系統［8］等。

Abualigah等人［9］受生物行為的啟發于2021年提出一種新的啟發式算法——天鷹優化算法（aquilaoptimizer，AO）。AO算法通過模擬天鷹捕獵行為實現全局搜索與局部探索，該算法具有全局尋優能力強、收斂速度快、效率高等優點，但也存在迭代后期多樣性減少、局部勘探能力弱、抗停滯能力差等缺陷。文獻［10］將AO算法的全局搜索與HHO算法的局部探索部分相結合，并引入動態反向學習策略，綜合提高算法的尋優能力；文獻［11］提出一種融合算數優化算法的AO-AOA算法模型，經實驗驗證可以有效提升算法的有效性和優越性；文獻［12］引入反向學習策略用來提升AO算法性能，并將改進后算法用于自適應模糊神經推理系統和定位最佳參數。文獻［13］將差分變異和切線飛行算法融入算法中，有效平衡改進算法全局與局部的搜索關系，通過實驗證明該算法具有更強的尋優能力和更快的收斂速度。

為彌補AO算法不足，本文提出一種多策略改進的天鷹優化算法（MIAO）。首先，采用鏡像單純形法策略，擴大搜索區域，提升種群多樣性；其次，在天鷹局部搜索模式中融入社會自由覓食搜索策略，擺脫全局平均值的束縛，提升迭代后期天鷹個體的多樣性，增強算法逃離桎梏能力；同時引入階梯步進策略，減弱隨機因子影響，加強種群間信息交流，提升搜索性能；最后，重新分配搜索機制為局部開發提供更多機會。

1天鷹優化算法分析

天鷹優化算法通過模擬天鷹四種飛行捕食行為進行建模，它可以根據不同的獵物靈活地改變狩獵策略，每個階段的具體描述如下。

1.1拓展探索（X1）

在該策略中，天鷹完成識別獵物區域以及垂直俯沖的高空飛行，選擇最佳狩獵區域。此時天鷹在高空飛行識別獵物位置，其數學模型如式（1）和（2）所示。

其中：Xt+14是X4模式下生成的t+1次解；QF用于平衡搜索策略的質量函數；G1表示在搜索獵物期間用于跟蹤獵物AO的各種運動；Xti表示t次迭代時第i個天鷹個體；G2表示從2到0的遞減值，表示AO的飛行速率。

由上述分析可知，AO算法具有較強的全局搜索能力，但其局部開發能力較弱、易陷入局部最優，在其搜索過程中過于依賴全局最優位置Xb與當前迭代的平均值XtM。該思想雖然可以保證整個種群目標一致向全局最優方向探索，使得AO算法在迭代前期搜索效果較好，但在搜索過程中若當前最優值陷入局部空間極值時，種群隨之陷入局部最優，導致算法出現停滯搜索現象，并且在迭代后期忽視了天鷹個體自身的搜索經驗，關于其他個體位置的考慮較少，缺乏種群間的交流與競爭，極易陷入局部最優解導致算法易早熟、搜索精度低。同時，原生AO算法在全局搜索性能較好的前提下，仍為其分配較多的執行時間，導致在本身局部探索性能較差的同時又缺少搜索機會，無法跳出局部最優解的范圍。

2改進天鷹優化算法

2.1鏡像單純形法策略

原生AO算法本身具有保留精英解的性能，但只是與上一代種群相比較的被動選擇，若種群陷入局部最優解范圍，則很難逃離，所以在每次開始迭代前為整個算法提供更具備開發潛質的種群顯得尤為重要。為此本文提出一種鏡像單純形法策略，實現全局搜索區域的有效擴充以及種群整體質量的提升。

單純形法［14］適用于多維優化問題，將最差個體通過反射、擴張、外收縮和內收縮操作生成一個質量更優的個體將其替代，可以有效提升算法的魯棒性和搜索能力。本文為增強種群質量，對種群內所有天鷹個體均執行單純形法，保留適應度值較優者，其運行示意圖如圖1所示，Xc是全局最優位置Xb和次優位置Xg的中心點；Xr是反射點；Xe是擴張點；Xt是外收縮點；Xw是內收縮點。

為進一步提升對種群搜索域的擴充，在原有的單純形法策略中融入鏡像反向學習策略［15］，公式如（11）所示，其中m為縮放因子。該策略的自我調節能力可以保證鏡像單純形法策略通過對最優個體的選擇，達到提升種群質量，提高算法的尋優性能的作用，即使在迭代后期也能具有良好的多樣性，避免算法早熟。將通過單純形法策略之后的優質解Xti值映射到空間中得到反向解，達到擴大算法的搜索范圍的目的，增強對優質解的搜索，為下次迭代提供更為優質的種群。

2.2社會自由覓食策略

由式（7）可知，該階段在考慮全局最優位置與平均值關系的同時參考隨機生成天鷹個體的位置信息。在迭代后期種群同化程度逐漸升高，若整個種群陷入局部最優解范圍，式（7）中的第一項式對整個種群逃離局部束縛難以起到關鍵作用，雖然新生個體的加入可以在此階段產生一定的擾動，但向全新生成的天鷹個體學習卻忽視種群間其他個體所攜帶的信息，反而會增加搜索停滯的可能。

受蝠鲼覓食優化算法（mantarayforagingoptimization，MRFO）［16］的啟發，引入社會自由覓食策略。在基礎MRFO算法中執行螺旋覓食策略的當前個體Xti不僅跟隨前一個體，同時沿著螺旋路徑朝最優個體位置移動，有效遍歷搜索空間，增加逃離局部最優解的可能。本文在保證以最優個體位置作為參考點的前提下，同時加強天鷹個體向社會個體學習的能力，使得在此階段既保證對全局最優個體位置的勘探能力，又增強了對搜索空間的覆蓋性，加強對搜索盲點的清理，提升后期種群多樣性，改進后的X3模型如式（12）～（14）所示。

2.3階梯步進策略

由式（8）～（10）可知，在此階段原生AO算法引入了過多的隨機因子與具有較強隨機性的萊維飛行步長，雖然能增加跳出局部最優的能力，但對于具備開發潛質的位置難以深度挖掘，極易錯失全局最優位置，并且萊維飛行的步幅隨機性較強，容易出現迭代后期搜索距離過大進而導致搜索精度過低。為解決此問題，本文通過改進人工水母搜索算法（artificialjellyfishsearchoptimizer，JS）［17］，提出一種階梯步進策略。

在JS算法中，水母的主動運動行為通過在種群中隨機選取一只水母位置，計算當前水母與之距離，并通過兩者之間的適應度值判斷當前水母的前進方向，對于具備深度開發潛質的位置具有較強的主觀性，在迭代后期可以有效提高算法精度。本文在此基礎上保留AO的全局最優部分作為引導，通過競爭方式有效篩選出待開發質量更高的個體，使其以更為靈活的步長逐漸向最優位置移動，并由QF控制隨迭代時間變化的最優解身上攜帶的學習信息，保證個體前進的方向的同時，推動種群間的信息交流，減少原有隨機因子對算法魯棒性的影響，充分提高了后期的收斂速度與算法的精度，與X3策略交替遍歷搜索空間，進一步增加算法逃離桎梏能力，該階段的數學模型如式（15）和（16）所示。

2.4MIAO實現步驟

原生AO算法將總迭代次數的2/3T作為全局搜索，但AO算法的全局搜索效果極佳，占用過多的迭代機會，也是致使算法早熟的原因之一。本文將重新分配全局與局部的迭代占比，將全局搜索占比改為1/3T。綜合上述改進方法，本文改進天鷹優化算法流程如圖2所示。

MIAO實現步驟如下所示：

a）設置種群規模N，定義迭代次數T，空間維度D等參數，并初始化種群；

b）計算天鷹個體適應度值并排序，更新天鷹全局最優位置與次優位置；

c）當t≤1/3T時，算法根據式（1）和（3）交替進行全局尋優階段；當tgt;1/3T時，算法根據式（12）和（15）交替搜索進行局部尋優階段；

d）MIAO根據2.1節鏡像單純形法策略更新Xti；

e）判斷是否達到結束條件，若是則結束程序輸出全局最優值，否則跳轉步驟b）。

2.5時間復雜度分析

由文獻［9］可知，AO計算時間復雜度通常依賴于解的初始化、計算適應度值函數和解的更新三個規則，設種群為N，O（N）是種群初始化的過程計算，O（T×N）+O（T×N×D）是解的更新過程的計算復雜性。因此，AO算法的總時間復雜度為O（N×（T×D+1））。

本文增加的社會自由覓食策略和階梯步進策略均替換原有的模型，故上述兩種改進策略不增加時間復雜度。設鏡像單純形法產生四種位置更新以及鏡像位置的時間分別為η0～η4，則鏡像單純形法策略的時間復雜度為

綜上可知，MIAO與標準AO算法的時間復雜度一致，針對AO算法的特性和不足所提出的改進策略沒有增加時間復雜度。

3算法性能測試

3.1實驗設計與測試函數

為了實驗結果的公平性，所有測試均在同一環境下進行。實驗環境為Windows10，64位操作系統，處理器為IntelCoreTMi5-9300HCPU@2.40GHz，RAM為8.0GB，編程軟件為MATLABR2019a。選取10個基準測試函數［18］，其中4個單峰函數（f1～f4）、3個多峰函數（f5～f7）和3個固定維度的多峰函數（f8～f10），如表1所示。

3.2改進策略對算法性能影響分析

為驗證本文所提出的三種改進策略均能有效提高算法的尋優性能，更詳細地分析不同策略對算法性能的影響，將AO、MIAO、僅采用鏡像單純形法策略的AO-1、僅采用社會自由覓食策略的AO-2以及僅采用階梯步進策略的AO-3在以上10個基準測試函數上進行對比實驗。其中種群大小N=30，迭代次數T=500，除固定維度函數外，其余函數空間維度D=30，通過最優值、最差值、平均值和標準差四個指標評判算法尋優性能，實驗結果如表2所示。

首先，通過理論最優值可以看出MIAO在函數f1、f2、f3均能找到理論最優值，對于函數f5是具有山谷狀的多峰函數，全局最優位于山谷底端尋優難度較大，并且原生AO算法對該函數的尋優精度較好，所以其他算法對該函數的尋優精度未能有所提升。對于單峰函數f4表面存在大量的局部極值點較難尋優，以及更為復雜的多峰函數f6、f7雖未能找到全局最優值，但可以明顯看出三種改進策略相比較原生AO算法均有不同程度提升。

其次，觀察平均值可以看出鏡像單純形法策略（AO-1）在三種改進策略中占據主導地位，說明在迭代中提升種群質量，可以較好地提升算法性能；只融入階梯步進策略（AO-3）在三種改進策略中對AO性能的提升有限，與改進性能位列第二的社會自由覓食策略（AO-2）在迭代后期交替進行局部開發，可以有效避免算法陷入局部最優，逃離局部最優解的束縛，提升算法收斂性能。

在固定維度f9函數上，除了原生算法AO外，其余函數均能找到理論最優值，縱然AO-3的平均值略遜一籌，但其精度以及標準差卻高于原生AO算法；在函數f8和f10中，MIAO、AO以及單一策略改進算法的精度均已無限接近理論最優值；而MIAO的魯棒性在其中表現最優，單一策略改進算法次之，均強于AO算法；盡管在函數f10中AO-2平均精度略低于原生AO算法，但與其他改進策略相結合仍能提高算法性能。總體而言，三種單一改進策略相比原生算法都有所提高，但又次于綜合改進的MIAO，說明每個策略都發揮了作用，體現各階段改進策略間的協作互補性，使得尋優性能得到全面的提升。

3.3MIAO收斂性分析

根據實驗數據繪制MIAO與單一改進策略的收斂曲線，可以更為直觀地觀察出改進策略的有效性，反映出算法的收斂速性、穩定性以及算法逃離局部最優值的能力。

如圖3（a）～（f）所示，MIAO與AO-1在1/3T階段搜索性能相當，這是因為在MIAO的搜索前期只有鏡像單純形法策略起作用，并且由于前三個單峰函數較為簡單，僅在全局搜索階段就可以達到理論最優值。雖然AO-2和AO-3在前三個函數中的提升效果一般，但從（d）～（f）三幅圖中可以看出，AO-2和AO-3局部開發階段相比于AO有明顯跳出局部最優的能力，說明所融入策略能有效逃離局部最優點，與AO-1策略相結合且在重新分配搜索機制的情況下能盡快收斂至理論最優值。鏡像單純形法（AO-1）可以為下次迭代開始提供更為優質的天鷹種群，所以融入該策略的算法性能在三種改進策略中效果最佳，配合原生AO算法中的全局開發階段，既能保證收斂精度的提高，又能保留一定收斂速度。為了避免迭代資源的浪費，在MIAO中將原來的2/3T全局搜索次數改為1/3T，為后期逃離局部最優提供充足的機會，使之在相同的迭代次數下具有更高的求解精度和更快的收斂速度。事實證明，融入三種改進策略以及修改搜索機制的MIAO算法可以大幅度提高原生算法的收斂精度以及逃離桎梏能力，提升算法綜合尋優性能。

3.4MIAO與群智能算法及改進算法對比

為驗證本文所提出的MIAO在求解優化問題時的有效性和魯棒性，將MIAO算法與AO算法、麻雀搜索算法（sparrowsearchalgorithm，SSA［4］）、最新改進的天鷹優化算法（hybridaquilaandHarrishawksoptimizationalgorithmwithdynamicopposition-basedlearning，DAHHO［10］、hybridaquilaoptimizerwitharithmeticoptimizationalgorithmforglobaloptimizationtasks，AO-AOA［11］）、其他改進的海鷗優化算法（seagulloptimizationalgorithmcombininggoldensineandsigmoidcontinuity，GSCSOA［19］）共6種算法，在50/200/500三個維度上對單峰和多峰基準測試函數進行尋優對比，引用文獻［10］實驗數據，并復現文獻［4，11，19］實驗。其中各算法的主要參數設置如表3所示，種群數均設為30，迭代次數為500，為了降低實驗的偶然性，增加實驗結果的說服力，各個算法分別獨立運行30次。

由實驗結果表4可知，MIAO在函數f1～f3上三個維度中均能尋到理論最優值，在函數f4上的高維尋優結果出現了小幅度精度降低現象，但其尋優精度和穩定性能仍優于其他對比算法。f5保持與低維條件下相同的水平，表明具有較強尋優能力。對于本身存在較多局部最優值的多峰函數f6和f7，由于維度的增加函數復雜度也隨之增加，搜索范圍不斷擴大使得尋優時需要作出更多調整，導致在高維上MIAO的尋優精度出現一定量的下降，但其表現性能仍位于第一。可以證明MIAO在求解低維和高維問題上具有極強的尋優性能和穩定性，說明MIAO在求解復雜函數優化問題時具有顯著的競爭優勢。對于平均耗時指標，在較易尋優的函數上MIAO與AO的耗時大致相同，甚至優于AO算法，在較難尋優的f2、f6和f7函數上所有算法均需要較長的運行時間，其中MIAO耗時最高，AO次之。這是由于鏡像單純形法策略的融入，為種群提供質量更高的迭代種群，較好規避了局部極值以及較差解對算法尋優的不利影響，導致運行時間變長。MIAO雖然增加耗時，考慮到尋優精度優于其余對比算法，所增加的計算耗時也在可接受范圍之內。

由表5可知，MIAO在三個固定維度函數上均達到最高尋優精度，且標準差位于第一；在函數f9上與AO-AOA、DAHHO均尋到理論最優值，同時MIAO的標準差相比最差函數高出十個數量級，具有更好的穩定性。

3.5Wilcoxon符號秩和檢驗

為進一步驗證改進算法的性能，對30次獨立運算下的MIAO算法與其他4種算法的最佳結果進行Wilcoxon符號秩和檢驗。在p值小于0.05時，表明兩種算法具有顯著性差異，符號+、-和=分別表示MIAO的性能優于、劣于和相當于對比算法，N/A表示算法結果接近，無法進行顯著性判斷。如表6所示，MIAO的性能在9個測試函數上優于AO和AO-AOAO算法，在7個測試函數上優于SSA和GSCSOA算法，且MIAO的p值基本都處于負十次方以上，表明MIAO的優越性在統計上是顯著的，即相比于其他算法具有更好的尋優性能。

3.6MIAO求解CEC2017測試函數

為了更好地驗證MIAO的性能，本文選用表7所列的10個CEC2017［20］基準測試函數，其中包括單峰（unimodal，UM）、多峰（multimodal，MM）、混合（hybrid，H）、復合（composition，C）類型共10個函數，每個算法分別獨立運行30次，結果如表8所示，其中為了增加實驗對比性引入基于混沌透鏡成像學習的哈里斯鷹算法及其應用（FLHHO）［15］和無跡西格瑪點引導的擬反向黏菌算法及其工程應用（UQSMA）［20］中的實驗數據。

由表8可知，MIAO在所選取的10個CEC2017測試函數中，7個函數的平均求解精度優于其他所有對比算法。四種類型函數中，MIAO在混合函數上表現最優，其收斂精度和魯棒性顯著優于其他6種算法。在復合函數上，雖然MIAO有2個函數收斂精度沒有達到最優，但其精度僅次于最高精度位列第二。在多峰函數CEC07上，MIAO收斂精度較好，驗證其具有較強避免陷入局部最優的能力。MIAO在單峰函數上稍遜于SSA算法，但其精度遠高于其他算法。MIAO在5個函數上保證收斂精度最高的同時穩定性也相對最優，綜上進一步闡明MIAO算法可以克服原生AO算法的不足，提升算法的搜索效果與效率。

為了綜合、簡明地評估MIAO與其他算法對比的競爭性，使用平均絕對誤差MAE［20］對上述算法進行排序。表9展示了所有算法對10個CEC2017基準測試函數的MAE值與排名，計算如式（19）所示。

由表9可知，MIAO算法的MAE排名第一，且數值明顯優于其余算法，綜合證明了該算法的有效性和穩定性。

4機械優化設計問題

優化問題作為工程設計與應用領域中經常出現的數值約束問題，傳統的機械方法難以解決非線性甚至高維的數值優化問題。區別于傳統方法，本文將所提MIAO用于優化焊接梁設計問題［21］，進一步驗證改進算法的可行性和實用性。

4.1焊接梁設計問題案例分析

焊接梁設計問題是一個最小化問題，其中優化算法是為了降低設計的制造成本，該優化問題可以描述為尋找滿足切應里（τ）、彎曲應力（θ）、梁條彎曲載荷（Pc）、末端偏差（δ）以及邊界條件約束的四個設計變量，即梁條長度（l）、高度（t）、厚度（b）和焊縫厚度（h）、使得制造焊接梁的費用最小，因此焊接梁問題是一個典型的非線性規劃問題，其數學描述如下：

4.2測試結果與分析

本文將AO、MIAO、SSA、AO-HHO、GSCSOA和AO-AOA共六種算法進行實驗比較，選取種群規模為30，最大迭代500次，每個算法獨立運行30次并取平均值。各算法焊接梁設計的優化結果如表10所示，對應的收斂曲線如圖4所示。

由表10可知，MIAO在求解焊接梁設計實驗中與其他算法相比取值最優，且魯棒性最強；由圖4可以看出MIAO具有較快的收斂速度和跳出局部極值的能力，進一步證實MIAO在實際應用中的可行性和實用性。

5結束語

本文通過分析原生天鷹優化算法的進化機制，提出一種多策略改進的天鷹優化算法（MIAO）。首先，提出鏡像單純形法策略，增強每代種群質量，提升種群的收斂速度與收斂精度；其次，融入社會自由覓食策略，擺脫原有的平均值束縛；然后，合并階梯步進策略，增加種群中個體的競爭力，兩種改進策略在搜索空間交替并行，增加逃離桎梏能力，保證迭代后期的收斂速度。同時，改進原生AO算法的迭代機制，在保留原有全局搜索性能的前提下，為后續的兩種改進局部搜索策略預留更多的搜索機會。通過10組基準測試函數及Wilcoxon符號秩和檢驗和部分CEC2017函數實驗，驗證MIAO算法具有更高的尋優性能和更強的魯棒性。最后，對焊接梁設計優化進行測試分析，驗證了改進算法在實際工程中的有效性和適應性。

在未來研究中，會進一步加強對天鷹優化算法的改進和實驗，提高該算法針對更復雜問題的適用性，并將其應用到深度學習領域。

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