基于花崗巖三軸試驗(yàn)的廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的驗(yàn)證與討論

摘要：為驗(yàn)證廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則對巖土材料強(qiáng)度準(zhǔn)則適用性和精確性，用花崗巖真三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算對比驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對比發(fā)現(xiàn)：廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平均誤差△χi=0.05，M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算平均誤差△χi=0.17，廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平均誤差更低。廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則均方根誤差η=39，M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則均方根誤差η=189，廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則均方根誤差更低。綜上所述，廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則對巖土材料的適用性的精度性優(yōu)于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則，可用于巖土工程強(qiáng)度計(jì)算。

關(guān)鍵詞：強(qiáng)度準(zhǔn)則；M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則；廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則；三軸試驗(yàn)

0 " 引言

Mohr-Coulomb強(qiáng)度理論于1900年建立，至今發(fā)展已過百年。近百年，各種不同的強(qiáng)度模型或強(qiáng)度理論被眾多學(xué)者提出，每一種理論都只適用于某種獨(dú)特情況下，存在著或多或少的缺陷，目前還沒有一種強(qiáng)度理論能被所有學(xué)者所接受并適用于所有領(lǐng)域[1-2]。

強(qiáng)度理論研究材料在各種復(fù)雜應(yīng)力狀況下的破壞與屈服，屈服、破壞準(zhǔn)則都屬于強(qiáng)度準(zhǔn)則。只要材料中的某一個(gè)點(diǎn)符合屈服理論的條件，材料會(huì)由彈性狀態(tài)變化為塑性狀態(tài)。于巖土工程材料類而言，找到一種適用性廣泛且精度相對較高的強(qiáng)度準(zhǔn)則有十分重要的意義。

M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則考慮到了最大、最小主應(yīng)力對材料屈服、破壞的影響，而中間主應(yīng)力的影響未考慮到，由此導(dǎo)致存在不符合能量守恒的可能?；跓崃W(xué)第一定律提出的廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則[3-5]精度相對更高，也更符合能量守恒理論。

現(xiàn)階段許多學(xué)者對M-C修正進(jìn)行了相關(guān)研究，如蔣磊[6]等將對廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服函數(shù)進(jìn)行修正，利用Willian-Warnke橢圓角隅模型消除M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上屈服軌跡的奇異點(diǎn)。修正后的廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服軌跡明顯光滑且無尖點(diǎn)，能夠直接嵌入數(shù)值軟件，并提高了其計(jì)算精度。鄧楚鍵[7]等基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，通過引入羅德角參數(shù)及Mohr-Coulomb準(zhǔn)則平面應(yīng)變等效廣義Mises準(zhǔn)則，推導(dǎo)了平面應(yīng)變條件下材料屈服時(shí)的中主應(yīng)力公式，并給出其與基于SMP準(zhǔn)則（Spatial Mobiliaztion Piane）的平面應(yīng)變中主應(yīng)力公式之間的關(guān)系式，對平面應(yīng)變條件下的條形地基進(jìn)行了有限元數(shù)值模擬。

1 " 廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則

土的本構(gòu)關(guān)系，反應(yīng)的是土在巖土受力作用下，其應(yīng)力與應(yīng)變的反應(yīng)規(guī)律，現(xiàn)階段材料的本構(gòu)模型有許多種，有彈性本構(gòu)模型、彈塑性本構(gòu)模型、蠕變本構(gòu)模型等。巖土工程中同性材料的本構(gòu)強(qiáng)度準(zhǔn)則可用統(tǒng)一表達(dá)式（1）表示，此強(qiáng)度主要由材料參數(shù)，以及第一不變量與應(yīng)力偏量組成。

（1）

式中：I1為應(yīng)力張量第一不變量，J3為應(yīng)力偏量第三不變量，K1、K2、K3為材料參數(shù)。

M-C本構(gòu)模型適用范圍較廣，在國內(nèi)大部分地區(qū)均較為常用，許多本構(gòu)深化也采用M-C本構(gòu)進(jìn)行深化，形成了以江浙為代表的修正M-C本構(gòu)。作為較為常用的本構(gòu)模型，M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的表達(dá)式為：

（2）

式中：c、φ分別為材料的粘聚力和內(nèi)摩擦角，由M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則確定。θσ為羅德角。

本文對M-C模型進(jìn)行合理擴(kuò)展，采用廣義M-C模型，其強(qiáng)度準(zhǔn)則的表達(dá)式為：

（3）

式中：ν為擬合泊松比，區(qū)別于泊松比μ，其計(jì)算主要通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合所得，詳情可見文后參考文獻(xiàn)[8][8]。

2 " 花崗巖三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證

為計(jì)算M-C本構(gòu)模型與廣義M-C本構(gòu)模型的強(qiáng)度實(shí)用公式，本次針對巖石進(jìn)行有效的計(jì)算論證。本次計(jì)算擬選用花崗巖真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別采用M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算理論值并與實(shí)際試驗(yàn)值進(jìn)行對比。

最大主應(yīng)力按式（4）計(jì)算，三軸應(yīng)力狀態(tài)下試件的彈性模量E和泊松比μ按式（5）和（6）計(jì)算。

（4）

（5）

（6）

文獻(xiàn)[8]研究了花崗巖在高應(yīng)力條件下屈服破壞規(guī)律，展開了真三軸試驗(yàn)?；◢弾r試樣為50mm×50mm×

100mm的巖塊。花崗巖密度在之間，平均縱波在之間。

實(shí)驗(yàn)在真三軸試驗(yàn)環(huán)境下，做強(qiáng)度屈服試驗(yàn)，獲取強(qiáng)度屈服破壞點(diǎn)，同時(shí)分析各特征點(diǎn)，計(jì)算其主應(yīng)力值，并計(jì)算巖土參數(shù)粘聚力c和摩擦角φ。試驗(yàn)過程中，應(yīng)以巖石發(fā)生明顯的破壞為終止條件。

由真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算得粘聚力c和摩擦角φ見表1。以最大主應(yīng)力σ1為縱坐標(biāo)，最小主應(yīng)力σ3為橫坐標(biāo)，將試驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制σ1-σ3到直角坐標(biāo)系中，用最小二乘法繪制曲線，由式（7）和（8）可得一次函數(shù)中c、φ的值。

（7）

（8）

式中：k為一次函數(shù)中曲線斜率，b為一次函數(shù)在縱坐標(biāo)軸上的截距，一次函數(shù)見式（9），曲線擬合見圖1。

（9）

σ1與σ3的關(guān)系如公式（10）所示。將文獻(xiàn)[8]中真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)分為兩組，σ2、σ3較小的為第一組，σ1、σ3較大的為第二組。利用真三軸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中的σ2、σ3和c、φ，可分別計(jì)算出第一組和第二組數(shù)據(jù)的σCTi（第i樣品理論計(jì)算最大主應(yīng)力）。

（10）

計(jì)算時(shí)，取對應(yīng)第一組和第二組的最佳擬合泊松比ν1=0.55、ν2=0.62。將GM-C計(jì)算值、M-C計(jì)算值、三軸試驗(yàn)數(shù)值列于表2和表3中。

3 " 試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證誤差

根據(jù)M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算最大主應(yīng)力后，再分別計(jì)算平均誤差和均方根誤差，見表4。

由式（11）、（12）、（13）可計(jì)算出平均誤差和均方根誤差。

（11）

（12）

（13）

式中：△χi為i試樣理論值與試驗(yàn)值的計(jì)算誤差；△χi為第試樣理論值與試驗(yàn)值計(jì)算誤差的平均值；σTi為三軸試驗(yàn)最大主應(yīng)力值；σCTi為不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的最大主應(yīng)力；η為均方誤差根。

將表3與表4中試驗(yàn)數(shù)據(jù)、M-C計(jì)算數(shù)據(jù)、GM-C計(jì)算數(shù)據(jù)，分別在圖2、圖3中用散點(diǎn)和曲線表示。由計(jì)算結(jié)果可知：GM-C的△χi為5%，遠(yuǎn)小于M-C的17%：GM-C的η為39，遠(yuǎn)小于M-C的116：二者均實(shí)現(xiàn)了約3倍的收斂，精度更高，可信性更強(qiáng)，在各向同性巖土本構(gòu)計(jì)算過程中，GM-C較M-C更真實(shí)，更合理。

綜上所述，根據(jù)均方根誤差和平均誤差結(jié)果可得出，廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則對花崗巖真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合精確度更高。

4 " 結(jié)論

針對M-C本構(gòu)存在的強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算平均誤差較大，且均方根誤差大的問題，本文對其進(jìn)行研究，同時(shí)采用真三軸試驗(yàn)儀器對花崗巖結(jié)構(gòu)進(jìn)行強(qiáng)度驗(yàn)算，獲取了更為合理的廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則，具體結(jié)論如下：

根據(jù)花崗巖真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則精確性進(jìn)行了驗(yàn)證，并與M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則精確度進(jìn)行了對比。M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算平均誤差△χi=0.17，均方根誤差η=116；廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平均誤差△χi=0.05，均方根誤差η=39。廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則可以較好的應(yīng)用于計(jì)算最大主應(yīng)力，且有較高的精度。

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