具有非馬爾可夫旅途感染的流行病傳播模型研究

摘 要：針對旅途中的接觸可以擴大流行病傳播規模的問題，在集合種群網絡中考慮一種時滯旅行行為和旅途中的疾病傳播和恢復過程，構建具有非馬爾可夫旅途感染的傳播模型并利用計算機仿真模擬系統中的傳播過程。基于微觀馬爾可夫鏈方法，構建預測疾病流行閾值的理論框架。仿真結果表明，旅途感染可以促進流行病在旅途中的傳播，抑制其在種群內的傳播；旅途時長和旅途接觸概率能夠改變流行病的演化趨勢。這些結果有助于理解旅途感染如何影響流行病的傳播。

關鍵詞：流行病傳播建模； 旅途感染； 微觀馬爾可夫鏈方法； 計算機仿真

中圖分類號：TP391.9 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）06-022-1739-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.11.0560

Research on epidemic spreading model with non-Markovian travel infection

Chen Yushu Liu Ying Tang Ming

（1.School of Computer Science， Southwest Petroleum University， Chengdu 610500， China; 2.Big Data Research Center， University of Electronic Science amp; Technology of China， Chengdu 610054， China; 3.a.School of Physics amp; Electronic Science， b.Shanghai Key Laboratory of Multidimensional Information Processing， East China Normal University， Shanghai 200241， China）

Abstract：Considering that the contacts between travelers promote the epidemic spreading， this study constructed a spreading model with non-Markovian travel process and used computer simulation technology to simulate the epidemic spreading， where the time delay travel process and the infection and recovery during travel were considered on the metapopulation network. Based on the microscopic Markovian chain approach （MMCA） ， this paper developed a theoretical framework to predict the epidemic threshold. Simulation results indicate that the travel infection promotes the infection in travel but inhibits the infection within the subpopulations， and the travel time and the travel contact rate may change the time evolution of prevalence. These results help to understand the influence of travel infection on epidemic spreading.

Key words：modeling epidemic spreading; travel infection; microscopic Markovian chain approach; computer simulations

0 引言

作為一門新興的交叉學科，復雜網絡能夠很好地描述真實世界的復雜系統，如人類社交網絡、科學家合作網絡、電網、生物網絡等［1，2］。復雜網絡理論及方法被廣泛應用到社會學、計算機、生物學、金融等領域，并在網絡拓撲結構、傳播動力學、魯棒性、同步以及博弈等方向上取得了顯著的進展［3～5］。

基于網絡的流行病傳播動力學研究是復雜網絡領域的一個熱門方向［6，7］。如何構建揭示現實世界中流行病傳播規律的模型是研究者關注的一個重點。最初的研究基于單層網絡，將個體看做網絡中的節點，節點間的連接表示個體之間的關系。發現在熱力學極限下，均勻網絡和隨機網絡中存在爆發閾值［8］，在無標度網絡中爆發閾值會消失［9］。基于網絡的流行病傳播模型還被應用到描述其他傳播現象，例如在線社交網絡上的信息傳播［10］和社會行為傳播［11］。

考慮到真實世界中個體間的接觸受空間位置影響而變得多樣，以及不同的空間位置間又相互影響共同構成更復雜的系統，研究人員將具有空間結構和個體遷移的集合種群網絡應用到流行病傳播研究中［12～14］。在這類網絡中，節點表示子種群，節點之間的連邊表示兩個子種群間存在遷移路徑，邊上的權值表示遷移的規模;個體在節點（子種群）內發生疾病傳播的反映過程，在節點間發生移動的擴散過程。一些研究根據真實的航空網絡或者國家交通網構建集合種群模型來擬合諸如流感、新型冠狀病毒的大流行［12，14，15］，發現子種群內的屬性（如人口規模、接觸強度、遷移個體停留時長等）、子種群間的連邊結構和擴散模式是影響流行病傳播動力學的重要因素［16，17］。集合種群網絡還被應用于追溯流行病在子種群間的傳播路徑［18］和非病源子種群的“零號病人”首達時間［19，20］。

已有基于復雜網絡和集合種群網絡的研究都假設個體在種群間的遷移是一個瞬間過程，忽略了遷移過程中的傳播。然而科研人員根據真實的流行病傳播數據，采用流行病學分析和統計學方法，發現在飛機、高鐵等旅途過程中存在疾病傳播的風險［21～23］。最近，一些新型冠狀病毒的傳播建模工作已經開始在模型中融入旅途感染。Li［24］將中國300多個城市之間的交通系統建模為一個多層集合種群網絡，在流行病傳播中考慮旅途中的交叉感染，模型很好地擬合了新型冠狀病毒在中國不同城市內的早期傳播趨勢。Mo等人［25］根據公交車刷卡數據建立時序的公共交通接觸網絡，擬合新加坡新型冠狀病毒的爆發趨勢并提出抑制大流行的公交車運營策略。Qian等人［26］構建考慮旅途感染的空間SEIR模型，發現旅途感染能夠擴大傳播規模和促進城市內不同地區的同步傳播，并擬合紐約2020年早期新型冠狀病毒的爆發趨勢。這些工作在傳播建模中引入旅途感染，能夠準確擬合新型冠狀病毒的流行趨勢并提供和旅行有關的防控建議。個體的移動不僅能夠改變宿主的空間位置，還能夠在旅途過程中加速感染過程和擴大感染規模，定量地研究旅途感染對流行病傳播的影響是具有意義的。

目前，大多數工作將旅行行為簡化為一個馬爾可夫過程，即當前時刻的旅行狀態只由上一個時刻決定。個體旅行的開始和結束都由固定的速率參數建模。然而真實世界中，旅途感染主要發生在大容量的交通工具（如飛機、高鐵和游輪）上。這類交通工具都有固定的班次和固定的旅途時長。在旅途中只有乘坐同一交通工具的人們才會相互接觸，接觸時間和該交通工具的旅途時長有關。因此，可以將旅行行為建模為具有記憶效應的非馬爾可夫過程［27～29］。研究發現非馬爾可夫傳播過程和馬爾可夫傳播過程具有明顯的差異［30～32］。鑒于此，本文構建雙耦合種群網絡上具有非馬爾可夫旅途感染的傳播模型，定量地研究旅途感染如何影響系統的疾病傳播動力學。模型中的每個子種群內存在一定數量的旅行者。旅行者可以通過非馬爾可夫旅行行為往返于子種群間，并在旅途中停留一定的時間。模型用旅行年齡表示個體在一次旅途中已經花費的時間，用旅途時長和旅途接觸概率表示子種群間需要花費的旅行時間和旅途中個體間的接觸頻率。疾病的傳播和恢復的過程既發生在子種群內又發生在旅途過程中。基于微觀馬爾可夫鏈的方法，推導一個能預測疾病流行閾值的理論框架，理論和仿真結果吻合。本文的研究定量地揭示了旅途感染如何影響整個系統的疾病傳播，有助于更好地理解人類旅行行為如何影響疾病傳播的時空演變規律。

1 非馬爾可夫旅行感染模型

2 基于微觀馬爾可夫鏈的理論推導

采用考慮到每個個體的狀態變化的微觀馬爾可夫鏈方法來建立模型對應的理論框架。在推導流行病在系統中的離散動力學演化方程組前，本文先計算旅行穩態時不同位置的旅行者數量。通常，兩個城市間往來的人數在一段時間內都比較穩定，而疾病出現在系統中屬于突發事件。所以模型假設在疾病傳播開始時系統就達到旅行穩態，需要先計算旅行穩態時旅行者的位置分布，再在其中考慮流行病傳播。

2.1 旅行穩態的旅行者數量分布

2.2 傳播動力學演化方程組

3 仿真分析

3.1 旅途感染對最終感染規模和流行閾值的影響

在傳播速率β大于0.035和0.075時，旅途感染模型的最終感染規模反而低于均勻混合模型和MIR模型，可以推測旅途感染對整個系統的流行病傳播不是單一的促進作用，還可能存在抑制作用。旅途感染會促進旅途中的疾病傳播，但由于旅行者不會固定地停留在某一子種群內，其又會抑制子種群內的傳播。子種群內的疾病傳播對系統最終感染規模的影響隨β的增大而增大，所以圖4顯示出當β小于0.035和0.075時，旅途感染模型的最終感染規模分別高于均勻混合模型和MIR模型。當β大于0.035和0.075時，旅途感染模型的最終感染規模分別低于均勻混合模型和MIR模型。可以得出以下結論：由于旅途感染促進流行病在旅途中的傳播，旅途感染模型的流行閾值低于均勻混合模型；由于旅途感染抑制流行病在子種群內的傳播，在傳播速率較大時，旅途感染模型的爆發規模反而低于其他模型。這些現象表明，在疾病傳播建模中考慮旅途感染是有必要的。

3.2 旅行時長的影響

3.3 旅行接觸能力的影響

旅途接觸概率可以看做旅途過程中個體間的接觸頻率，這可以受到管控因素的影響。例如，在旅途過程中實施乘客必須佩戴口罩和間隔位子乘坐等非藥物干預措施。在旅途中實施越嚴格的干預措施將會使得旅途接觸概率大大降低。相較于城市內部實施嚴格的非藥物干預措施，在旅途中實施會更加容易。故考慮旅途接觸概率的影響可以研究只在旅途過程中嚴格實施非藥物干預措施能否有效地抑制疾病傳播。

4 結束語

為了更好地獲得人類旅行行為對疾病傳播的影響，本文考慮旅途感染這一因素，構建雙耦合種群網絡上具有非馬爾可夫旅途感染的傳播模型。模型中的每個子種群內存在一定數量的旅行者，不同子種群之間通過旅行者的旅行行為產生耦合作用。旅行者可以通過旅行往返于子種群間，并在旅途中產生接觸。通過旅途時長和旅途接觸概率兩個參數來描述子種群間的旅行行為，并假設在旅途中存在疾病的傳播和恢復的過程。基于微觀馬爾可夫鏈的方法建立疾病流行閾值的非馬爾可夫離散動力學方程，理論預測的流行閾值和仿真結果一致。

本文的主要發現如下：

a）旅行對整個系統疾病傳播的影響體現在促進旅途中的疾病傳播，抑制子種群內的疾病傳播。考慮旅途感染將降低整個系統的疾病流行閾值;同時由于其會抑制子種群內的疾病傳播，當傳播速率較大時，旅途感染模型的疾病爆發規模低于均勻混合模型。

b）城市間的旅途時長越大，疾病在這個系統中的傳播就會受到抑制。另外，旅途時長的增加會使得疾病隨時間演化趨勢發生變化，主要表現在疾病的爆發峰值降低、達到峰值的時間更晚和持續時間更長。這表明城市間的旅途時長越小，開始采取控制措施的時間點必須越早。

c）對于旅途接觸概率而言，只有將旅途接觸概率降低到非常小的值時，才能有效地降低整個系統的疾病爆發規模。這表明只有在旅途中實施非常嚴格的非藥物干預措施才能很好地降低疾病的最終感染規模。換句話說，只在旅途過程中控制人群的接觸對于控制系統中的疾病傳播是不夠的。

本文的結果表明，在疾病傳播建模中考慮非馬爾可夫旅途感染是有必要的，能夠捕捉到一些有趣的疾病傳播現象。為了簡化模型，本文只構建兩個相同規模的耦合子種群來研究兩個城市間考慮旅途感染對疾病傳播的影響。然而，真實世界城市內的個體接觸和城市間的人員往來通常是較為復雜的。在將來的研究中，可以考慮具有多個子種群或旅行者數量異質分布的集合種群網絡。此外，還可以將旅途感染考慮到其他網絡模型上，例如具有連邊結構的多層網絡或動態的活動驅動網絡，或者將旅途感染模型用于研究其他問題，如疾病防控。

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