基于切線飛行的麻雀搜索算法

摘要：為解決在臨近全局最優條件下，原始麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）存在種群多樣性降低，局部開發能力薄弱導致不容易跳出局部最優點的問題，提出基于切線飛行的麻雀搜索算法（tangent flight sparrow search algorithm，tanSSA）。首先，使用自適應t分布策略改進發現者位置更新公式，可以提高麻雀個體的尋優能力，同時防止算法早熟。然后，利用切線搜索算法中切線飛行策略所具有的可以增強算法探索搜索空間能力，且能使算法跳出局部最優解的優勢，在原始麻雀搜索算法中使用切線飛行擾動策略對最優解進行擾動。這兩種策略相結合，可以有效提升tanSSA算法的勘探與開發性能。最后，使用12個標準基準測試函數，結合Wilcoxon秩和檢驗來測試驗證tanSSA算法的優化性能，并與原始SSA算法、鯨魚優化算法、粒子群優化算法以及自適應t分布SSA算法進行比較。實驗證明，基于切線飛行的麻雀搜索算法的尋優能力和收斂速度都有顯著提升。

關鍵詞：麻雀搜索算法；自適應t分布策略；切線飛行策略；Wilcoxon秩和檢驗

中圖分類號：TP301.6文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）01-023-0141-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.06.0299

Sparrow search algorithm based on tangent flight

Zhou Yu，Fang Qian，Pei Zexuan，Chen Bo

（College of Electrical Engineering，North China University of Water Conservancy amp; Hydropower，Zhengzhou 450045，China）

Abstract：In order to solve the problem that the original sparrow search algorithm has reduced population diversity and the weak local development ability makes it difficult to jump out of the local optimum under the condition of approaching the global optimum，this paper proposed a sparrow search algorithm based on tangential flight.First of all，it used adaptive t-distribution strategy to improve the finder location update formula，which could improve the individual sparrow’s optimization ability and prevent the algorithm from maturing.Then，this paper used the tangent flight strategy in the tangent search algorithm，which could enhance the search space ability of the algorithm and make the algorithm jump out of the advantage of the local optimal solution，to disturb the optimal solution in original sparrow search algorithm.The combination of these two strategies could effectively improve the exploration and development performance of tanSSA algorithm.Finally，combining with Wilcoxon rank sum test，this paper used 12 standard benchmark functions to test and verify the optimization performance of tanSSA algorithm，and compared it with the original SSA algorithm，whale optimization algorithm，particle swarm optimization algorithm and adaptive t-distribution SSA algorithm.The experimental results show that the optimization ability and convergence speed of the sparrow search algorithm based on tangent flight have a significant improvement.

Key words：sparrow search algorithm；adaptive t-distribution strategy；tangent flight strategy；Wilcoxon rank sum test

0引言

基于仿生學的元啟發式優化算法也被稱為群智能優化算法，其基本核心思想是受大自然中一些生物的啟發，對其行為規律進行模擬仿真，在特定解空間內搜索尋找最優解［1］。近年來以其操作簡便、參數調整簡單等特點大受學者青睞，目前這些算法被廣泛應用于圖像處理［2］、訓練神經網絡［3］、信號處理［4］和特征選擇［5］等科學領域。

越來越多的群體智能優化算法被提出，目前應用廣泛且比較常見的有蟻群算法（ant colony optimization，ACO）［6］、粒子群算法（particle swarm algorithm，PSO）［7］、人工蜂群算法（artifical bee colony algorithm，ABC）［8］、灰狼優化算法（grey wolf optimization，GWO）［9］、鯨魚優化算法（whale optimization algorithm，WOA）［10］、麻雀搜索算法（sparrow search algortihm，SSA）［11］等。這些算法的提出為解決復雜的優化問題提供了更多的思路。雖然群智能優化算法種類眾多，但它們都基于勘探和開發兩個重要的階段組成。勘探階段即算法以高度隨機性進行全局搜索，隨著迭代次數的增加，算法開始在已探索的區域進行深度開發階段。因此，保證勘探和開發之間的平衡顯得尤為重要。若勘探階段比重過大，將會導致收斂速度變慢，相反則會導致過早收斂，易陷入局部極值點。

為了解決上述存在的問題，學者們提出了一些有效的改進方法。徐坤等人［12］提出在蟻群算法中引入萊維飛行策略改進信息素更新方式，萊維飛行所具有的隨機搜索模式使尋找全局最優解的效率有效提高，增強了全局勘探搜索能力；鄧浩等人［13］為了解決粒子群算法中參數自適應的問題，給種群中的個體賦不同參數，然后結合鄰域粒子的適應度變化和參數信息進行粒子參數更新；張業清等人［14］把模擬退火技術（SA）引入到人工蜂群算法（ABC）中，SA的概率突跳性可以保證種群多樣性，防止ABC算法過早收斂以及不易跳出局部最優的問題；劉紫燕等人［15］利用遺傳雜交策略在灰狼優化算法中產生新個體，使群體多樣性增強，在此基礎上引入蝠鲼覓食策略和動態自適應調節因子來平衡群體的多樣性，提高局部開發能力，避免算法陷入局部最優；耿召里等人［16］在鯨魚優化算法（WOA）中引入自適應慣性權重，提出一種最優最差個體混合反向學習策略并將其融入WOA，用來解決WOA處理高維復雜問題時存在收斂速度慢、全局搜索能力不足的問題。

Xue等人于2020年從麻雀尋覓食物并躲避追捕者的行為特性中得到啟發，研究出麻雀搜索算法（SSA）。和其他群智能優化算法相比，SSA的優點突出，如尋優能力強、算法性能穩定、收斂效率高、魯棒性強等［17］。然而，SSA在搜索到全局最優解附近時，不可避免地會存在種群多樣性下降，容易陷進局部最優等問題。目前已有一些對麻雀搜索算法的改進。聶方鑫等人［18］將自適應t分布策略和高斯隨機游走策略引進原始麻雀搜索算法中以提高麻雀個體的尋優能力并防止算法早熟。張曉萌等人［19］在麻雀搜索算法中使用正弦搜索策略自適應調節個體權重提高算法收斂速度，借鑒生物學中種群聚集度的概念結合柯西變異的優化方案對最優解進行擾動，使算法能夠及時跳出局部最優。李愛蓮等人［20］在麻雀搜索算法初始化種群過程中引入折射反向學習機制以形成新個體，增加種群多樣性；利用正余弦策略改進發現者位置更新公式，平衡了算法的全局探索和局部尋優能力；利用柯西變異對跟隨者位置更新過程中的最優解進行擾動，增強算法在全部解空間內搜索最優解的能力。回立川等人［21］提出一種多策略混合的改進麻雀搜索算法，利用Sine混沌映射初始化麻雀個體位置從而增加種群多樣性、引入帶有慣性權重的多樣性全局最優引導策略來加快收斂速度、采用雙樣本學習策略使算法跳出局部最優，提高種群對解空間的搜索能力。

這些改進措施對算法的尋優性能有一定的改善，但仍存在一些缺點，如算法搜索精度較低、開拓能力弱等。考慮到這些問題，本文提出了一種基于切線飛行的麻雀搜索算法（tanSSA），在麻雀覓食搜索過程中引入自適應t分布策略增強算法的全局和局部尋優能力，利用切線搜索算法（TSA）中提出的切線飛行策略對最優解進行擾動，牽引群體在搜索空間內進行大跨步的移動，很大程度上保證了空間搜索的多樣性，提高收斂精度，改進并提升原始SSA的性能。

1麻雀搜索算法

在麻雀搜索算法中，麻雀尋覓食物的行為可以看做是在特定范圍空間內尋找最優解的過程，麻雀搜索的目標則是在這個過程中搜索到全局的最優值。麻雀群體尋找食物過程的抽象化表現形式為發現者—加入者—預警者模型。發現者的覓食空間要比追隨者更加寬泛，這是因為它需要尋覓食物然后給追隨者提供可以覓食的方向。加入者跟隨發現者進行覓食以便獲得更好的食物資源，同時，部分加入者可能會監視發現者并與其爭奪食物。預警者可以察覺到危險發出警報并立即進行反捕食行為。

發現者在每次迭代期間的迭代公式如下：

Xt+1i，j=Xti，j·exp（-iα·itermax）R2lt;ST

Xti，j+Q·LR2≥ST（1）

其中：t為當前時刻迭代次數；itermax為最大迭代次數；Xti，j表示第i只麻雀在第j維中所占據的位置；α∈（0，1］是隨機數；R2和ST分別是預警值和安全值，R2∈［0，1］，ST∈［0.5，1］；Q為服從正態分布的隨機數；L為全部元素均為1的1×d矩陣。

加入者位置更新如下：

Xt+1i，j=Q·exp（Xtworst-Xti，j）i2igt;n2

Xt+1P+|Xt+1i，j-Xt+1P|·A+·L其他（2）

其中：XP表示發現者所擁有的最優位置；Xworst表示全局最差位置；A表示矩陣內元素會隨機賦值為1或-1的1×d的矩陣，A+=AT（AAT）-1。

警戒者最初在種群中的位置是隨機分布的，其位置更新按照如下公式更新：

Xt+1i，j=Xtbest+β·|Xti，j-Xtbest|figt;fg

Xti，j+K·（|Xti，j-Xtworst|（fi-fg）+ε）fi=fg （3）

其中：Xbest是全局最優位置；β和K都是步長控制參數，β是服從正態分布的隨機數，K∈［-1，1］也是隨機數；fi則是當前麻雀個體的適應度值；fg和fw分別是全局最佳和最差的適應度值； 為了避免分母變成0，取最小的常數ε。

2改進麻雀搜索算法

2.1自適應t分布策略

有研究已經證明，高斯分布（Gaussian distribution，GD）可以增強個體在最優點附近的搜索能力，加快算法的收斂速度。柯西分布（Cauchy distribution，CD）能夠提高個體在全部解空間內的探索能力，增加群體多樣性。兩者都可以有效地提升算法的優化能力，而t分布同時具有GD和CD這兩者的優點［22］。t分布概率密度函數如式（4）所示，其中，m為自由度參數。

Pt（x）=Γ（m+12）mπΓ（m2）（1+x2m）-m+12-∞lt;xlt;+∞（4）

其中：Γ（m+12）=∫+∞0xm+12-1e-xdx為第二型歐拉積分；m影響著曲線的形態，具體表現為

t（m→∞）→N（0，1），t（m→1）→C（0，1）（5）

其中：N（0，1）為高斯分布；C（0，1）為柯西分布。

本文把迭代次數iter作為t分布的自由度參數，在算法初始迭代過程中，t分布類似于CD，隨著iter增加，t分布逐漸由CD慢慢轉變為GD。在文獻［11］中，對算法性能進行測試，分析之后可知，在求解有離原點較近的最優解的函數時，麻雀搜索算法比其他群智能優化算法的性能優越很多，反之麻雀搜索算法的性能稍有下降。基于以上描述，由于不能肯定最優解在實際全局尋找最優解過程中存在的位置，且發現者在種群中處于領導位置，所以采用自適應t分布策略改進發現者的位置更新公式，可以幫助發現者更快地搜索到最優點，從而改善麻雀搜索算法在最優解遠離原點時尋優精度不高的問題，改進公式如式（6）所示。

Xt+1i，j=Xti，j·（1+（iter））R2lt;ST

Xti，j+t（iter）·η·LR2≥ST（6）

其中：η=1-i/itermax，itermax為最大迭代次數。

在迭代初期，t分布與CD相似，發現者在搜索空間中具有較強的全局搜索能力；在迭代中期，t分布在CD和GD之間，可以使算法的收斂性和種群多樣性在迭代過程中保持平衡；在迭代后期，t分布和GD類似，此時發現者可以在最優點附近進行搜索，具備良好的局部開發性能，可以使算法極快地收斂到最優值。

2.2切線飛行策略

2021年，一種新的基于種群的優化算法——切線搜索算法［23］（tangent search algorithm，TSA）問世。在TSA中，一個基于切線函數的數學模型可以將給定的解移向更好的解。無論是基于導數還是基于微分的最優化算法都是類似于式（7）的下降等式。

Xt+1=Xt+step×d（7）

其中：step是移動的大小；d是移動的方向。最優化算法最大的區別在于如何計算步長，基于導數的方法使用梯度下降法或海森矩陣；然而基于微分的方法中，例如元啟發式算法，它們使用隨機步收斂到全局最優。比如，遺傳算法使用高斯變異作為步長；在差分進化算法中計算種群個體之間的差值可以得到步長；布谷鳥搜索算法則是通過萊維飛行函數來計算步長。

步長的優化對于算法的優化極為關鍵，對于步長的取值，大值有利于探索，小值有利于開發。TSA中提出了一種基于切線函數的新的步長，稱之為切線飛行，切線函數有助于有效地探索搜索空間。全局和局部游走相結合的探索搜索方程由式（8）表示。

Xt+1=Xt+step×tan（θ）（8）

從數學邏輯上講，越接近π/2的θ，切值越大，得到的解離當前解越遠；越接近0的θ，切值越小，得到的解越接近當前解。探索搜索方程應用于概率為1/D的每個變量，其中D為問題的維數。

SSA雖然在全局優化方面具有很好的優勢，但在迭代后期的搜索過程中種群多樣性下降，因此局部開發能力較弱，導致經常陷入局部最優。針對上述SSA的缺陷，綜合考慮真實麻雀群體的覓食規律及其運動飛行軌跡，結合切線飛行有大概率進行大跨步移動的特性對麻雀的搜索覓食機制進一步改進，提出了一種基于切線飛行策略的麻雀搜索算法——tanSSA。切線飛行有利于跳出局部最優解并進行大范圍的搜索，使得麻雀獲得更多的捕食機會。圖1是模擬切線飛行的隨機游走示意圖。

2.3tanSSA時間復雜度分析

時間復雜度分析通常依賴于三個規則，即種群初始化、計算適應度函數和更新解。設N為種群規模，D為空間維度，itermax為最大迭代次數，種群參數初始化時間為t0，每一維隨機數的生成時間為t1，求解適應度值的時間為f（D），則SSA初始化過程的時間復雜度表示為

T0=O（t0+N（f（D）+t1D））=O（f（D）+D）（9）

在發現者階段，麻雀種群中發現者的數量為r1N，r1為發現者比例，根據式（1）更新發現者位置的時間為t2，則該階段時間復雜度為T1=O（r1Nt2D）。

在跟隨者階段，麻雀種群中跟隨者的數量為（1-r1）N，根據式（2）更新跟隨者位置的時間為t3，則該階段時間復雜度為

T2=O（（1-r1）Nt3D）（10）

在警戒者階段，麻雀種群中警戒者的數量為r2N，r2為警戒者比例，按式（3）進行警戒者位置更新的時間為t4，則該階段時間復雜度為T3=O（r2Nt4D）。

綜上，SSA總的時間復雜度為

T=T0+（T1+T2+T3）itermax=O（f（D）+D）（11）

tanSSA在種群初始化階段、發現者、跟隨者和警戒者位置更新階段與基本SSA具有相同的時間復雜度，在切線飛行策略變異階段，設計算切線飛行公式時間為t5，計算麻雀適應度值和擇優更新目標位置的時間分別為t6、t7，則這個階段的時間復雜度為

T4=O（t5+N（f（D）+t6D）+t7）（12）

tanSSA總的時間復雜度為

T′=T0+（T1+T2+T3+T4）itermax=O（f（D）+D）（13）

因此，tanSSA與基本SSA的時間復雜度相同，說明在基本SSA中引入自適應t分布策略和切線飛行擾動策略并沒有使時間復雜度增加，也沒有以降低運行效率為代價來提升算法性能。

2.4改進麻雀搜索算法步驟

基于自適應t分布策略以及切線飛行擾動策略，本文所提出tanSSA的算法偽代碼如下。

算法1tanSSA的運行框架

輸入：麻雀種群數量N、麻雀發現者比例PD、警戒者比例SD、預警值ST、最大迭代次數為itermax。

輸出：最優麻雀位置Xbest及其適應度值fMin。

隨機初始化種群，在搜索區域內生成N只麻雀個體，計算每只麻雀的適應度值并記錄最佳和最差麻雀個體位置；

while（tlt;itermax）

根據式（6）更新發現者位置；

根據式（2）更新跟隨者位置；

根據式（3）更新警戒者位置；

根據適應度值更新位置，記錄當前所有麻雀找到的最優位置Xbest；

生成隨機數r，設置概率p，若rlt;p，則根據式（8）使用切線飛行策略對最優解進行擾動，生成新的麻雀位置；

評估新位置的適應度值，若更優則替換Xbest；

t=t+1；

end while

3仿真實驗與結果分析

3.1實驗設計與基準函數

為驗證tanSSA的可行性和優越性，將tanSSA與鯨魚優化算法（WOA）、粒子群算法（PSO）、原始麻雀搜索算法（SSA）以及自適應t分布麻雀搜索算法（tSSA）進行算法性能測試，在算法中設置PD=0.7，SD=0.2，ST=0.8，種群規模N=30，迭代次數itermax=500。為保證測試的公平與合理性，在常見基準測試函數集中選擇12個測試函數對上述算法進行性能實驗，運用MATLAB R2020a循環運行30次。所選測試函數如表1所示，5個高維單峰函數f1～f5用于檢查算法的局部開發能力，3個高維多峰函數f6～f8用于檢查算法的全局勘探能力，以及4個低維多峰函數f9～f12。使用多種類別的測試函數進行仿真實驗可充分證明tanSSA的尋優能力。

3.2尋優精度分析

將每一種算法分別在12個測試函數上獨立運行30次的實驗結果記錄下來，取各算法的最優值、平均值以及標準差作為性能評價指標，實驗結果如表2所示。對其最好的結果加粗表示。

在相同的測試函數下，平均值可以反映算法的收斂速度，標準差可以反映算法的穩定性。從測試結果可以看出，tanSSA在函數f1、f2、f3、f4、f7上的尋優效果達到100%，可以直接搜索到對應測試函數的最優值；在函數f1、f2、f3、f4、f7、f8上的標準差為0，說明tanSSA具有較強的魯棒性；在求解f5、f6函數時，tanSSA雖然沒有直接搜索到最優值，但其尋優精度仍高于其他對比算法；在函數f9、f10上，雖然tanSSA的穩定性略低于SSA，但其仍可以直接搜尋到最優解。通過分析也可知，對于每一種算法，單峰函數的求解精度比多峰函數要高，低維函數比高維函數的求解精度要高，但不論單峰多峰、高維低維函數，tanSSA 相比其他四種算法，不僅在尋優精度上有相對應的提升，并且穩定性更優。

3.3收斂曲線分析

收斂曲線可以清晰地展示算法的收斂速度和陷進局部最優值的次數。為了直觀地對五種算法的性能優劣進行比較，圖2（a）～（l）列出了五種算法對上述12個基準測試函數的收斂曲線對比圖。觀察圖中各算法的收斂曲線可以發現，在整個迭代過程中，tanSSA的收斂速度要快于其他四種算法，收斂精度也是最高的。觀察f8收斂曲線可知，tanSSA的收斂精度和收斂速度遠高于PSO和WOA。而且tanSSA在僅30次迭代就達到了最優值，基本SSA和tSSA在之后多迭代了幾十次才尋到最優，且在迭代后期適應度不斷地發生變化。這說明SSA和tSSA在尋優高維函數時頻繁陷入局部最優，收斂速度受到影響明顯降低。tanSSA采用自適應t分布增強局部開發能力，使算法快速收斂到最優值附近，提高了收斂精度，然后利用切線飛行策略對最優個體進行擾動，使得算法具備快速跳出局部最優的能力，最終收斂到全局最優值。

3.4Wilcoxon秩和檢驗

僅從最優值、平均值和標準偏差這三種指標出發衡量各算法的優化性能效果還遠遠不足，需要進一步進行統計檢驗以證明引入自適應t分布和切線飛行策略改進后的算法比其他現有算法具有顯著的改進優勢。本文使用Wilcoxon秩和檢驗在5%的顯著性水平下對每一次實驗的結果進行獨立比較，判斷tanSSA是否顯著與其他四種算法的最佳結果不同。其結果分析如表3所示，其中“p”表示檢驗結果，“h”表示顯著性判斷結果。當p＜0.05時，h顯示為“1”，表示tanSSA的顯著性強于其他算法；當p＞0.05時，h顯示為“0”，表示tanSSA的顯著性弱于其他算法；當p顯示為“N/A”時，表示無法進行顯著性檢驗，tanSSA顯著性可能與其他算法相同。將tanSSA與PSO、WOA、SSA、tSSA獨立運行30次的最優值進行Wilcoxon秩和檢驗。

從表3中的統計結果可以看出，大部分的p值均小于0.05，表明tanSSA與其他算法存在顯著差異，并且tanSSA的性能在多個函數上優于對比算法。

4結束語

本文提出一種融合自適應t分布策略和切線飛行擾動策略的麻雀搜索算法——tanSSA，在算法迭代過程中使用自適應t分布策略改進發現者位置更新公式后可以增強算法全局搜索能力和局部開發能力；利用切線飛行策略可以增加算法在隨機游走的過程中出現大跨步的概率，有利于算法跳出局部最優，提高算法的尋優質量；最終通過在12個基準測試函數上進行對比實驗，得到結論：tanSSA的優化性能對比其他優化算法有明顯改善。然而本文所提改進算法的有效性僅選擇了12個基準函數優化問題進行實驗，還需要大量的實例驗證，因此下一步考慮將tanSSA應用到實際問題的建模中，例如機器學習各種預測分類算法中超參數的優化。

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收稿日期：2022-06-23；修回日期：2022-08-10基金項目：國家自然科學基金資助項目（U1504622，31671580）；河南省高等學校青年骨干教師培養計劃項目（2018GGJS079）

作者簡介：周玉（1979-），男，安徽樅陽人，副教授，碩導，博士，主要研究方向為智能控制與決策、模式識別、智能計算等（zhouyu_beijing@126.com）；房倩（1998-），女，河南鄧州人，碩士研究生，主要研究方向為模式識別、智能計算；裴澤宣（1998-），男，山西安澤人，碩士研究生，主要研究方向為智能計算與模式識別；陳博（1999-），女，河南信陽人，碩士研究生，主要研究方向為模式識別．