改進MOEA/D算法求解多目標模糊柔性車間調度問題

摘要：針對模糊柔性作業車間調度問題中關于求解多目標優化的研究中，利用模糊數表示相關參數，以最小化最大完工時間、總機器負載和最大機器負載為優化目標，提出一種改進MOEA/D算法的權重向量和初始化種群，以優化全局更新配對策略的多目標分解進化算法（I-MOEA/D）和提高算法尋優能力。與MOEA/D、NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ算法相比，該方法優于其他算法，同時引入企業工程實例進行分析，證明I-MOEA/D算法具備良好的收斂性和分布性。

關鍵詞：柔性作業車間調度；多目標優化；模糊集；MOEA/D

中圖分類號：TP18文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2023）01-031-0192-06

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.06.0290

Improved MOEA/D algorithm for multi-objective fuzzy flexible Job-Shop scheduling problems

Fan Shuning， Yu Kaichao， Wan Yusong

（Faculty of Mechanical amp; Electrical Engineering，Kunming University of Science amp; Technology， Kunming 650500， China）

Abstract：

This paper aimed at the study of solving multi-objective optimization in fuzzy flexible work workshop scheduling problems. The method used fuzzy numbers to represent relevant parameters， and the optimization objectives of minimizing the maximum completion time， total machine load and maximum machine load. This paper proposed an improved weight vector and initialization population of MOEA/D algorithm. This algorithm used initialization population of MOEA/D algorithm to optimize the global update pairing strategy. By comparing and analyzing with MOEA/D， NSGA-Ⅱ， and NSGA-Ⅲ algorithms， this study introduced enterprise engineering examples for analysis. Results reveal that the I-MOEA/D algorithm is superior than other algorithms and has excellent convergence and distribution.

Key words：flexible Job-Shop scheduling; multi-objective optimization; fuzzy sets; MOEA/D

0引言

柔性作業車間調度問題是傳統作業車間調度問題的擴展，其具備生產利潤高、管理風險低等優點，被廣泛利用在工業工程生產中［1］。在傳統調度問題中，由于實際需求的不同，在調度過程中需要優化的指標并不止一個，傳統的作業調度很難滿足市場需求。例如在生產指標方面不僅要考慮完工時間，還常常要注意加工機器的利用率、機器的總加工時間等，在考慮客戶需求時還存在優化交貨期、庫存成本等目標。在當前現有研究中，多數將最大完工時間這單一目標作為主要研究對象［2］，因此多目標柔性作業車間調度問題（multi-objective flexible Job-Shop scheduling problem，MOFJSP）的研究具有重大工程意義，但該類問題難點在于處理存在多目標沖突。

實際工業生產環境復雜多變，工序加工過程中具備模糊性和不確定性，其不確定性主要體現在信息不確定性和動態事件兩方面［3］。信息不確定性主要體現在工人操作能力差異、加工合格率不同，以及完成某個工序的準確時間難以提前預測。因此，FJSP處理此類不確定信息的方法主要依靠模糊理論獲取確定性的調度方案。其動態事件是指機器可能會出現故障、緊急訂單等不確定性事件的發生，處理此類動態事件需要更新信息重新構建調度方案。針對信息不確定性等問題，相關學者展開研究。Lei［4］利用三角模糊數表示加工時間、梯形模糊數表述交貨期用于構建模糊調度問題。Wang等人［5］針對實際調度的數據模糊性問題，開展了優化分布估計算法更新精英個體的概率模型的研究。

模糊柔性作業車間調度問題研究中，針對多目標的研究相較單目標較少［6］。李瑞等人［7］同時考慮最大模糊完工時間和總模糊機器負載作為調度目標，并指出使用模糊集時，最終將其轉換為清楚的加工順序和結果。郭晨等人［8］在FJSP上引入了模糊性和裝配約束的問題，以生產成本、拖期時間為目標，構建了模糊的柔性加工和裝配問題模型，并在分布估計算法的基礎上強化了鄰域搜索，使用反轉世代距離指標對算法解集進行比較。張聞強等人［9］對多種算法求解MOFJSO問題的運算效率進行對比，其中分解多目標進化算法（multi-objective evolutionary algorithm based on decomposition，MOEA/D）分布性較好，且不用計算支配關系，運算效率最高。

綜上所述，針對多目標優化易陷入局部最優、總體性尋優較差等問題，本文利用模糊數表示相關參數，以最小化最大完工時間、總機器負載和最大機器負載為優化目標，開展多目標模糊柔性作業車間調度問題（fuzzy multi-objective flexible Job-Shop scheduling problem，fMOFJSP）研究，并針對MOEA/D算法的權重向量和初始種群進行全局更新配對，優化進化機制，提高算法的搜索效率，設置權重向量更新策略擬合Pareto前沿面，將求解結果與其他算法對照，驗證結果表明本文方法具備良好的收斂性和分布性。

1問題描述

經典柔性作業車間可描述為：設n個工件J=（J1，J2，J3），每個加工工件相互獨立，每個工件Ji有ni個需要加工且具有工藝約束的工序，工序集合Oi，j={Oi，1，Oi，2，…，Oi，nj}需要在M臺機器設備上等待加工，機器集合M={M1，M2，…，Mm}。FJSP是給各個工序分配機器和在機器上的開始加工時間，繼而優化制造系統的各個目標至較優程度作為目標［10］。

在未知情況下，考慮到實際目標通常會與常規情況下有所不同，本文首先對常用驗證算法性能的三個目標進行模糊化，得到f1最小化最大完工時間Tmax、 f2總機器負載WT和f3最大機器負載Wc的三個優化目標的函數表達式如式（1）～（3）所示。

f1=min（max1≤i≤nTi）（1）

f2=min（∑mk=1wk）（2）

f3=min（max1≤k≤mwk）（3）

其中：Ti代表工件Ji的完工時間；Wk代表加工機器Mk的負載。

生產調度領域通常用三角模糊數A=（a1，a2，a3）表示加工時間。其中，估計完工時間區間用［a1，a3］表示；最可能完工時間用a2表示。如表1所示，以一個4臺機器2個工件模糊柔性作業車間工序加工時間為算例。

表1中，O1，1、O1，2和O1，3表示工件J1加工工序；O2，1、O2，2和O2，3表示工件J2加工工序；M1、M2、M3和M4表示四臺加工機器；“-”表示該工序無法在這臺機器上加工。為了快速便捷地確定模糊情況下的工序加工時間Ti，j，k（a1，a2，a3），其中，a1為最早完成時間；a2為最可能時間；a3為最遲完成時間。在交貨期的模糊參數（d1，d2，d3，d4）上面，設定d2和d3為約定交貨期，d4為以超出交貨期最高違約金日期。d1確定方式相對主觀。

2算法理論

模糊多目標FJSP的規模擴大后，其解空間的復雜度較高，則需要搜索規模較大的fMOFJSP以提高MOEA/D算法的收斂性能。為了保證種群的多樣性和初始化的有效性，本文針對權重向量和初始種群設計了全局更新的配對策略，同時優化進化機制，提高算法的搜索效率，并設置權重向量更新策略擬合Pareto前沿面。

2.1初始化配對策略

若將初始化的子問題和解看做兩個不同集合，則MOEA/D的子問題和解可視為同一個匹配問題。

MOEA/D初始化種群后每單一個體將產生隨機順序編號，同理，權重向量亦同。更新迭代過程中，向量λi及其相近鄰居對應的個體集合進行信息交換，通過計算權重方向上的子問題，將向量λi對應的個體逐步優化至子問題最優，保證種群和權重的均勻分布，但首次種群更新過程中，由于權重向量和種群具有一定隨機性，子問題和解的匹配度稍差。

更新過程中，隨機匹配會淘汰對應最優解，在迭代搜索的初始階段造成種群的多樣性損失，降低整個種群的搜索能力。針對初始化的權重向量和種群設計相應匹配策略，為均勻分布的權重向量選擇合適的子問題，需保證每個向量能在整個種群中找到對應解，同時防止部分優良初始解占據過多向量導致種群多樣性降低。基于上述思路，本文匹配機制流程如算法1所示。

算法1初始化匹配策略

輸入：目標數量M；分解子問題的數量N（種群規模）；每個權重向量λ鄰居的數量T；多目標問題F（x）。

輸出：解集EP。

初始化權重向量、鄰集L{i}、種群X、空集Xnew和參考點Z*（Z1，Z2，…，ZM）；

for i=1 to N do

for j=1 to N do

更新相鄰解決方案：將計算個體xj在分解方向λi上gi=min（gi，gte（xj|λ，z*）），若gi更新，將min（gi）將對應的個體xk復制至Xnew{i}；

end

令種群索引K（i）=k，個體更新子問題后不再參與循環，以保證種群的多樣性；

end

用Xnew替換掉原種群X，匹配結束

2.2種群進化機制

MOEA/D進化過程利用交叉產生新個體，并計算適應度更新個體，迭代更新速度快，易陷入局部最優，全局搜索能力弱。

針對上述缺陷，本文采取種群更新時采用交叉機制取代替換機制，其進化過程步驟如下：

a）輸入預定種群迭代次數S，總體種群X和空集Xnew及相關參數，若N＜c×S，跳轉至步驟b），反之，跳轉至步驟e）。

b）子問題對應向量λi及對應鄰集L{i}，隨機選擇兩個不同的鄰居交叉操作，生成新個體Xnew1和Xnew2。

c）計算新個體Xnew1適應度，依次在每個鄰集向量上和鄰集對應個體xk比較子目標gte（x|λk，z*），若Xnew1為最優解，則Xnew1與xk進行交叉生成新個體，選擇該子目標方向上的最優個體xk作為λk解決方案，將解決方案反饋至Xnew1。同理，計算新個體Xnew2的適應度，與鄰集決策是否執行交叉，決策完畢后單個子問題進化結束。

d）跳轉至步驟b），直至所有子問題全部搜索完畢，最終將集合替換掉更新前種群，單次迭代結束。

e）整體流程參照步驟b）～d），其區別為新個體Xnew1在鄰集向量子目標gte（x|λk，z*）優于鄰集對應個體xk時直接替換。

在整個進化過程中，迭代次數S決定進化方式，前期提升MOEA/D算法收斂速度，避免陷入局部最優，用交叉操作代替直接替換，二次交叉產生的新個體能最大程度保留原個體的部分信息。構建空集Xnew防止初期滾雪球式的信息更新，將每個子目標的新個體存放于空集Xnew，全部子目標迭代后再整體更新種群，提升保留潛力個體基因信息的概率。

2.3權重向量更新

MOEA/D的基本假設：目標空間內分布合理的權重向量能保證獲取Pareto解集的多樣性。本文通過計算向量的距離獲取一組離散且間距相近的權重向量，確保分解子集的差異性，權重集合在整個MOEA/D中主要起到解集多樣性的作用。在算法初始化階段生成權重集合后，剩余尋優進化過程的權重集合不會發生改變。

MOFJSP的Pareto前沿是復雜且不連續，未求解前形狀未知。通常多目標優化以DTLZ1和IDTLZ1問題為主，研究權重向量分布與問題前沿面關系［11］。利用PlatEMO平臺［12］繪制問題的前沿面，本文初始權重均勻分布在圖1（a）所示的DTLZ1的Pareto前沿面，利用MOEA/D求解DTLZ1，其結果分布如圖1（b）所示，對比兩圖，解集的質量較為優異。

IDTLZ1的Pareto前沿如圖2（a）所示，其形狀和設定的權重向量不一致，利用MOEA/D求解得到的解集如圖2（b）所示，結果顯示存在多體聚集Pareto面的邊沿上，導致內部解數量較少，其主要原因為部分權重向量方向上不存在Pareto解，引發解集分布不均勻。

上述研究表明，均勻分布的權重集合無法保證Pareto解集的分布結果保持均勻性。為了實際生產調度的Pareto前沿上獲取一組均勻分布的帕累托最優解，MOEA/D應使得權重向量在Pareto前沿上均勻分布。

為了得到上述均勻分布，首先將原始權重向量轉換為所對應解映射向量，轉換方式參考Qi操作［13］。

存在一組向量λ′=（λ1，λ2，…，λm）∈Euclid ExtraaBp，若對解映射向量λ應用權重變換，即可得到權重向量λ′，其表達式如下：

λ′=WS（λ）=1λ1∑mi=11λi，1λ2∑mi=11λi，…，1λm∑mi=11λi（4）

在λ上產生λ′的權重變換已經被證明變換是自逆的，若將變換過程定義為WS，那么λ=WS（λi）=WS（WS（λ））。

根據每個解和自身鄰居距離來表示其向量的擁擠程度，定義第j個解X到其第i個鄰集Y的歐氏距離為Ni，j=∑ni=1（xi－yi）2，第j個解附近的擁擠程度評估指標定義為Vj=∏ki=1Ni，j，即鄰居距離的乘積。

進化過程中，首先計算單一個體的擁擠程度V，其次依據預定數量刪除過于擁擠的子問題，過度擁擠的子問題存在Pareto前沿無交點的可能性，類似于圖2（b）聚集在Pareto前沿邊界上。刪除部分子問題后需增加能產生良好個體權重向量，根據獲取后的擁擠程度指標排序，篩選出最稀疏個體XS及其適應度fs1，其計算向量表達式為

λs=1fs1－z*1∑mk=11fs1－z*k，…，1fsm－z*m∑mk=11fs1－z*k（5）

將XS分配給子問題向量λs，并分別添加進權重集合和種群，根據刪除向量數目再補充相應子問題。整個過程是將最優權重向量分配給稀疏度最大的個體，充分挖掘有潛力的空間。

3fMOFJSP改進MOEA/D算法

針對上述理論改進分解的多目標進化算法（improved MOEA/D，I-MOEA/D）算法偽代碼流程如下：

算法1改進MOEA/D

輸入：目標數量M；分解子問題的數量N（種群規模）；每個權重向量λ鄰居的數量T；多目標問題F（x）；權重重量調整參數Q；迭代次數Gen。

輸出：解集EP。

a）初始化：（a）初始化生成N個均勻分布的權重向量，循環計算兩個權重向量之間的距離，針對單一權重向量λi，距離λi最小的T個向量集合構成λ的鄰集L{i}；（b）利用初始化方法生成N個個體，{x1，x2，…，xN}構建總體種群X；（c）根據目標數量生成初始化參考點Z*（Z1，Z2，…，ZM）；（d）對權重向量和集合進行匹配；

b）種群迭代更新：

while當停止條件不滿足時do

for i=1 to Gen， do

生成新個體： 從權重向量λi的鄰居L{i}中隨機選擇兩個不同的權重向量對應的個體a和b，并生成新的解決方案yN1和yN2，計算新個體的適應度F（yN）；

更新參考點Z*=min（Z*，F（yN））；

更新鄰集L{i}解決方案： 若分解方向λi上滿足gte（yN|λ，z*）＜gte（xi|λ，z*），即yN對的目標函數值優于xi，根據迭代次數判斷進化方式；

更新解集EP。

end

c）若迭代次數i＞Qi*Gen，則調整權重向量，反之轉步驟d）。

（a）根據鄰近距離進行排序，刪除過度擁擠的子問題；

（b）在稀疏區域中加入新的子問題；

（c）重構每個向量的鄰集L{i}；

d）當滿足停止條件（迭代次數）時，輸出解集EP，反之，跳轉至b）繼續迭代更新。

4仿真實驗及工程實例分析

為了驗證本文所提I-MOEA/D算法是否能夠解決工業模糊柔性作業車間調度優化的問題，本章選用仿真實驗數據以及某汽車零部件制造企業部分數據進行有效性驗證，驗證該算法在工業場景下應用的收斂性和分布性。

4.1仿真實驗數據及指標

本文選取部分柔性模糊FJSP的算例，共8個問題，其測試集來源于文獻［14］。其中，加工工件數目為5～20；機器數目為4～15；工序總數為23～355。本文針對多目標優化問題難點在于Pareto解集隨著問題規模增大而增大，難以直接評價解集質量，本節選用超體積指標（hypervolume，HV）評估得到的解集質量。

HV指標將Pareto前沿上各點x和參考點r組成超立方體的體積v求解并集，即解集的PF與r組成的不規則超立方體的總體積。當HV指標適用于未知下的最優解集時，評價所得的解集質量，HV解集數值越大，則證明算法性能越優異。計算會針對各個目標進行歸一化處理，其參考點r與HV解集計算表達式為

HV=（∪f∈A［f1，r1］*…*［fm，rm］）（6）

4.2對照實驗

f1（X）表示處理模糊完工時間，將結果清晰化以方便比較，其表達式為

f1（X）=a1+4a2+a34（7）

在MOEA/D算法上采用隨機初始化、混合初始化［15］以及本文所提的匹配策略對照。由圖3不同初始化方式在測試問題R8的尋優曲線可知，匹配策略相比混合初始化，尋優能力更強，特定初始化使得算法從較好的結果開始搜索，收斂性更好。匹配的機制保留了大部分優良個體。

問題R4的一個解用如圖4模糊甘特圖表示，X軸為工序的加工時間；y軸為機器加工工序；三角形為模糊加工時間；橫線下三角形為工序模糊開始時間；橫線上三角形為操作模糊完成時間。同一工件的工序，開始和完成時間用相同顏色標記。

如圖5所示， f1、 f2和f3三個目標函數均為三角模糊數，將三角模糊數轉換為均值。從解集的分布性來講，I-MOEA/D算法所得解集可均勻地分布在解空間，MOEA/D算法所得解集存在一定分散，分布于解空間。NSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅲ更新范圍針對整體種群，后期種群信息會極為相似，導致大量解集的目標值保持一致。良好的分布性能給決策者提供更多選擇空間。

進一步驗證I-MOEA/D算法的收斂性和分布性，本節選取MOEA/D、NSGA-Ⅱ、NSGA-Ⅲ算法對照。每個對照算法均在兩組測試集上獨立運行10次，統計每個測試實例上HV值的均值以及HV最優值。各個算法解集的HV值如表2所示，表中：aver表示10次運行結果平均值，best表示所得到的最佳值。

對比表2所得數據，I-MOEA/D算法的HV值無論平均值還是最佳值均明顯優于其他算法，進一步證明I-MOEA/D算法相較于其他算法具備良好的收斂性和分布性。

表3為四種算法在模糊柔性調度算例R8的Pareto解集對比，其結果表明：僅考慮最大完工時間f1、機器總負荷f2和最大負荷f3這三個優化目標時，I-MOEA/D算法求解所得解集收斂性明顯優于其他兩種對比算法，且解集分布性較好，表明權重調節策略在求解三維目標的模糊柔性作業車間調度問題上的有效性。

4.3工程實例分析

本節以某汽車零部件制造企業的部分制造訂單作為實例，利用模糊柔性作業車間調度模型描述問題，利用本文I-MOEA/D算法對其求解，繼而滿足車間生產需求，并為制造訂單的相關決策提供重要參考價值。

訂單工件的工序如表4所示，根據訂單性價比計算表達式為

Vn=∑Mm=1Dnm×Pm∑Mm=1（Dnm×∑Mm=1Tsm）（8）

其中：M為產品類型總數；S為工藝數目；Dnm為第n個訂單對第m產品的需求數；Pm為第m種產品價格；Tsm為第m種產品中工序S的平均模糊加工時間。

由上述性價比表達式計算可得，所有訂單的訂單性價比Vn。同時，從客戶穩定性、客戶付款能力、客戶按時付款率、客戶潛力四個方面綜合考慮。設對應訂單n，其訂單重要程度CIn表達式為

CIn=CA+PA+PO+CO40（9）

其中：CA為客戶穩定性得分；PA為客戶付款能力得分；PO為客戶按時付款率得分；CO為客戶潛力得分。

依據上述四類該企業的客戶重要性歷史數據，通過訂單CIn表達式可計算出訂單重要性，其結果如表5所示。

最后需將Vn和CIn綜合成訂單重要性的指標，根據文獻［16］設定的權重，定義訂單重要性Wi計算表達式為

Wi=0.75×Vn+0.25×CI（10）

根據上述Wi表達式，計算所有訂單的訂單性價比，并將所得結果歸一化，得到不同訂單的權重向量W=（0.238 3， 0.113 0，0.209 1，0.123 6，0.315 8）。

設交貨平均滿意度損失為f4，其計算表達式為

f4=min（2－（1n∑mk=1（Si1+Si2）））（11）

同理，定義最大滿意度損失f5，其表達式為

f5=min（max（Si1+Si2））（12）

初步設定I-MOEA/D算法運行次數為10；種群數量為100；迭代次數為500；默認企業工作時長為8 h；將所得結果與企業規則方法所得結果對照，驗證該算法的有效性。

通過計算共得到了26個解集，表6僅顯示部分解。從表中數據可得，最大完工時間和滿意度損失在一定程度上呈負相關。對于企業而言，若保證交貨期則可采取Pareto解9，其影響為加工時間延長，進而影響后續訂單的加工。若追求最小化完工時間，可選擇Pareto解1，則需考慮進行加班或拒絕部分訂單以減少交貨期延長造成的損失。

I-MOEA/D算法所得一個解的模糊甘特圖如圖6所示，加工時間顯示模糊，但執行過程中工序的先后順序和加工機器顯示較為清晰。

當前，企業所使用的調度方法是按最小加工機器優先的規則得到加工順序，利用上述數據計算可知，所得三個目標分別為249.25、0.370 3、0.454 8，其甘特圖如圖7所示，可明顯得出，該企業所使用的方法劣于本文算法。

綜上所述，本文構造的問題模型及求解算法能夠較好地解決該企業所面臨的復雜調度環境，在企業決策方面提供一定的參考價值，受版面限制，本節其余決策數據見百度云盤鏈接： https：//pan.baidu.com/s/12bEAAFifGwWFvzGPfjeTPw，提取碼：ty9c。根據本節某汽車零部件制造企業面臨的實際調度場景，結合實際需求，合理地簡化交貨延期評價指標，并引入訂單重要性，利用I-MOEA/D算法求解，求解結果與企業現行調度方法所對照，其結果表明本文算法能較好地處理該類問題，在生產過程中兼顧生產效率和交貨滿意度。

5結束語

本文針對MOEA/D算法的權重向量和初始種群進行全局更新的配對策略，并優化進化機制，提高算法的搜索效率，設置權重向量更新策略擬合Pareto前沿面以實現FJSP，基于模糊數描述加工時間，以最小化最大完工時間、總機器負載和最大機器負載為優化目標，構建模糊FJSP模型，將求解結果與其他算法對照，本文方法具備良好的收斂性和分布性。為了驗證本文算法的有效性，首先利用測試數據集與其他算法對照，HV指標明顯優于其他算法，解集的分布性通過散點圖的表現較為明顯；其次引入某制造工廠現行的調度方法與改進MOEA/D算法進行泛化性評估。結果表明，本文方法在實際生產過程中能兼顧生產效率和交貨的滿意度，高效處理此類問題，驗證了本文算法針對解決模糊多目標FJSP的有效性和泛化性。

針對FJSP中的完善完工時間和滿意度等優化目標為研究對象，在后續研究中可基于耗能、生產成本等其他目標開展多目標指標的研究，但隨著調度目標的增多，FJSP復雜化程度加深，解集和尋優的評價難度也隨之增加，如何解決眾多目標將成為接一下研究的重點。其次，本文算法主要針對在靜態環境下減少加工時間變動時的影響，但在實際工業生產中，調度系統易受到插單、機器故障等動態事件擾動，此種情況通常采用重調度方案，但選擇重調度前需進行大量計算及調整加工順序，如何高效地重調度將是進一步研究的重點。

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收稿日期：2022-06-10；修回日期：2022-07-29基金項目：云南智能化自動化產業發展研究基金資助項目（YNDR2017G1C06）

作者簡介：范書寧（1996-），女，四川南充人，碩士研究生，主要研究方向為柔性車間調度（snfan_14@163.com）；余開朝（1962-），男，云南昆明人，教授，碩導，主要研究方向為生產及制造系統工程；萬雨松（1997-），男，江西南昌人，碩士研究生，主要研究方向為多目標優化車間調度.