基于不確定觀測(cè)下離散事件系統(tǒng)可診斷性的研究

摘要：在實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中，由于傳感器故障、傳感器限制和網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)包丟失等原因，事件的可觀測(cè)值變得不確定，使得觀測(cè)系統(tǒng)行為變得尤為復(fù)雜。針對(duì)離散事件系統(tǒng)中同個(gè)事件串可能有多個(gè)觀測(cè)值以及不同狀態(tài)下同個(gè)事件觀測(cè)值也可能不同的問(wèn)題，提出一種不確定觀測(cè)下故障診斷驗(yàn)證的方法。首先對(duì)不確定觀測(cè)的離散事件系統(tǒng)的可診斷性進(jìn)行形式化，然后構(gòu)建出用于上述故障診斷驗(yàn)證的驗(yàn)證器；基于驗(yàn)證器提出了系統(tǒng)基于不確定觀測(cè)下可診斷的充要條件及驗(yàn)證算法；最后，實(shí)例說(shuō)明不確定觀測(cè)下故障診斷驗(yàn)證算法的應(yīng)用。與現(xiàn)有研究相比，提出的方法對(duì)故障事件的觀測(cè)值沒(méi)有約束，可以為0個(gè)或多個(gè)觀測(cè)值，使此方法應(yīng)用的場(chǎng)景更為廣泛。

關(guān)鍵詞：離散事件系統(tǒng)；故障診斷；不確定觀測(cè)；可診斷性

中圖分類(lèi)號(hào)：TP277文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1001-3695（2023）01-034-0000-00

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.06.0261

Research on diagnosability of discrete event systems based on

nondeterministic observations

Tan Jianxin1，2， Liu Fuchun1

（1.School of Computer Science amp; Technology， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China; 2. Network Information amp; Educational Technology Center， Guangdong University of Finance amp; Economics， Guangzhou 510020， China）

Abstract：

In practical systems， due to reasons such as sensor faults， sensor limitations and packet losses in networks， the observation of events becomes nondeterministic， and makes observing system behavior particularly complex. Aiming at the problem that the same event string might have multiple observations in discrete event systems and the same event observations might be different in different states， this paper proposed a method for fault diagnosis and verification under nondeterministic observations. Firstly， it formalized the diagnosability of discrete event systems under nondeterministic observations. Secondly， it constructed a verifier for the above fault diagnosis verification. Based on the verifier， it proposed a necessary and sufficient conditions and the verification algorithm for the system to be diagnosable under nondeterministic observations. Finally， an example illustrated the application of the fault diagnosis verification algorithm under nondeterministic observations. Compared with the existing research， the observation value of the fault event is not constrained in this proposed method， and it can be zero or more observations， which makes the application of this method more extensive.

Key words：discrete-event systems; fault diagnosis; nondeterministic observations; diagnosability

0引言

離散事件系統(tǒng)（discrete event systems，DES）是一種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)空間是離散的，狀態(tài)演化完全取決于特定離散事件的發(fā)生，其行為由離散狀態(tài)和離散事件的邏輯和順序組合來(lái)表示［1］。故障診斷在改善系統(tǒng)性能和提高系統(tǒng)生產(chǎn)率方面起著至關(guān)重要的作用，已成功應(yīng)用于許多技術(shù)和工程系統(tǒng)，如制造系統(tǒng)［2，3］、電信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)［4，5］、電路系統(tǒng)［6］等。

由于故障診斷［7～ 9］的重要性，人們開(kāi)始對(duì)它越來(lái)越重視，許多文獻(xiàn)提出了這方面的概念、方法和定理。自文獻(xiàn)［6，10］分別從不同的角度開(kāi)始研究DES的可診斷性以來(lái)，許多研究人員都陸續(xù)專(zhuān)注于研究故障診斷問(wèn)題，包括模糊診斷［11］、分布式故障診斷［12，13］、安全可診斷性［14］。通常，根據(jù)對(duì)故障不同類(lèi)型的表示，故障診斷可分為基于狀態(tài)的診斷和基于事件的診斷［15，16］，前者通過(guò)可觀事件檢測(cè)系統(tǒng)是否發(fā)生了故障事件，后者通過(guò)可觀輸出檢測(cè)系統(tǒng)是否工作在故障狀態(tài)分區(qū)。

在基于狀態(tài)的診斷中，系統(tǒng)狀態(tài)根據(jù)特定條件被劃分為正常狀態(tài)和一些錯(cuò)誤類(lèi)型的狀態(tài)。Lin［6］研究了離線診斷問(wèn)題，在離線診斷問(wèn)題中基于對(duì)系統(tǒng)的輸出觀測(cè)，使用操作分區(qū)T判定狀態(tài)是正常還是故障。Zad等人［17］提出了一種基于狀態(tài)的被動(dòng)在線診斷方法，根據(jù)狀態(tài)之間輸出的一系列變化進(jìn)行故障檢測(cè)和隔離。在基于事件的診斷中，故障診斷研究的問(wèn)題是，當(dāng)發(fā)生（不可觀測(cè)的）故障事件時(shí)，系統(tǒng)可以在故障發(fā)生后的有限數(shù)量個(gè)可觀事件轉(zhuǎn)移后被檢測(cè)和隔離。Sampath等人［10］通過(guò)構(gòu)建診斷器進(jìn)行被動(dòng)在線診斷，診斷器的狀態(tài)附加了包含故障信息的標(biāo)簽。最近筆者研究了事件-狀態(tài)組合故障的可診斷性［18］，其中事件-狀態(tài)組合故障指的是系統(tǒng)發(fā)生了故障事件并工作在故障狀態(tài)下（故障事件與故障狀態(tài)是各自獨(dú)立存在的）用摩爾自動(dòng)機(jī)對(duì)離散事件系統(tǒng)進(jìn)行建模，系統(tǒng)的可觀行為包括可觀事件和可觀輸出，提出了用于驗(yàn)證事件-狀態(tài)組合故障可診斷性的多項(xiàng)式時(shí)間算法。

在上述的研究中，系統(tǒng)都假設(shè)觀測(cè)是確定的，即對(duì)任何事件串的觀測(cè)都是唯一的。但最近的研究表明，在許多實(shí)際系統(tǒng)中，由于傳感器故障、傳感器限制和網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)據(jù)包丟失等原因［19～21］，事件觀測(cè)具有確定性的假設(shè)并不成立。近期，不確定性觀測(cè)下離散事件系統(tǒng)的監(jiān)督控制［22］、可檢測(cè)性［23］、O-可觀測(cè)性［24］等問(wèn)題陸續(xù)得到研究，促使人們重新考慮非確定性觀測(cè)情況下的可診斷性。

本文研究離散事件系統(tǒng)在不確定觀測(cè)情況下的故障診斷問(wèn)題，其中故障表示為故障事件。本文的不確定觀測(cè)首先是基于動(dòng)態(tài)觀測(cè)［9］，事件的可觀測(cè)性是隨著系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程動(dòng)態(tài)變化的，即同一事件在不同狀態(tài)下的可觀測(cè)值是不同的。其次，同一事件發(fā)生在同個(gè)狀態(tài)上的可觀測(cè)值可以為0個(gè)或多個(gè)，并且不同事件可能會(huì)具有相同的觀測(cè)值。因此，在不確定觀測(cè)情況下，離散事件系統(tǒng)的故障診斷問(wèn)題變得尤為復(fù)雜。本文先給出了不確定觀測(cè)情況下的觀測(cè)映射函數(shù)的定義，并基于此不確定觀測(cè)映射函數(shù)重新對(duì)離散事件系統(tǒng)中的可診斷性進(jìn)行形式化；再在系統(tǒng)G的基礎(chǔ)上通過(guò)一系列操作構(gòu)建出用于故障診斷的驗(yàn)證器，提出了DES的基于不確定觀測(cè)下的可診斷性的充要條件及驗(yàn)證算法；最后以供暖系統(tǒng)為例，說(shuō)明驗(yàn)證算法的應(yīng)用。值得注意的是，本文的故障事件未必一定是不可觀測(cè)的，即其可能有對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值，因?yàn)樵谙到y(tǒng)G中可能會(huì)存在某個(gè)正常事件與故障事件擁有同樣的觀測(cè)值。

1系統(tǒng)模型

本文將待診斷的系統(tǒng)建模為確定性有限狀態(tài)自動(dòng)機(jī)（FSA），如式（1）所示。

G=（Q，E，，q0）（1）

其中：Q是有限狀態(tài)空間，E是有限事件集合，q0是系統(tǒng)初始狀態(tài)，：Q×E→Q是轉(zhuǎn)移函數(shù)。（q，σ）！指的是系統(tǒng)G中有一個(gè)狀態(tài)q關(guān)于事件σ的轉(zhuǎn)移，轉(zhuǎn)移函數(shù)以常用的方式可以擴(kuò)展為：Q×E*→Q。符號(hào)L（G）表示系統(tǒng)G生成的語(yǔ)言，定義為L(zhǎng)（G）={s∈E*：（q0，s）！}。

Ac（G）表示系統(tǒng)G的可訪問(wèn)部分，它是通過(guò)刪除那些不能由系統(tǒng)初始狀態(tài)q0通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到達(dá)的狀態(tài)及其轉(zhuǎn)移而構(gòu)建的，即Ac（G）=（Qac，E，ac，q0）。其中，Qac={q∈Q：（s∈E*）［（q0，s）=Q］}，ac：Qac×E→Qac是通過(guò)將轉(zhuǎn)移函數(shù)的域限制為可訪問(wèn)狀態(tài)集Qac而得的新轉(zhuǎn)移函數(shù)。CoAc（G）表示系統(tǒng)G的可到達(dá)標(biāo)記狀態(tài)部分，它是通過(guò)刪除G中不能通過(guò)事件轉(zhuǎn)移到達(dá)標(biāo)記狀態(tài)的那些狀態(tài)而獲得的，即

CoAc（G）=（Qcoac，E，coac，q0，coac，Qm）

其中：Qcoac={q∈Q：（s∈E*）［（q0，s）∈Qm］}。如果q0∈Qcoac，那么q0，coac=q0；否則q0，coac無(wú)定義。coac：Qcoac×E→Qcoac是通過(guò)把轉(zhuǎn)移函數(shù)的域限制為可達(dá)標(biāo)記狀態(tài)的狀態(tài)集Qcoac而得的新轉(zhuǎn)移函數(shù)。

給定自動(dòng)機(jī)G1=（Q1，E1，1，q0，1），G2=（Q2，E2，2，q0，2），設(shè)定符號(hào)“×\"指的是兩個(gè)或多個(gè)自動(dòng)機(jī)之間的乘積運(yùn)算，則有

G1×G2=Ac（Q1×Q2，E1∩E2，product，（q0，1，q0，2））

假若滿(mǎn)足條件［σ∈E1∩E2］∧［（1（q1，σ）！］∧［2（q2，σ）！］，那么會(huì)有product（（q1，q2），σ）=（1（q1，σ），2（q2，σ））；否則product（（q1，q2），σ）轉(zhuǎn)移無(wú)定義。設(shè)定符號(hào)“‖\"指的是兩個(gè)或多個(gè)自動(dòng)機(jī)之間的并行運(yùn)算。那么會(huì)有G1‖G2=Ac（Q1×Q2，E1∪E2，parallel，（q0，1，q0，2））。

其中：

parallel（（q1，q2），σ）=（1（q1，σ），2（q2，σ））如果1（q1，σ）！∧2（q2，σ）！

（1（q，σ），q2）如果σ∈E1＼E2∧1（q1，σ）！

（q1，2（q2，σ））如果σ∈E2＼E1∧2（q，σ）！

無(wú)定義其他情況

一般來(lái)說(shuō)，事件集合E可劃分為E=Euo∪·Eo，其中Eo為可觀事件集合，Euo為不可觀事件集合。系統(tǒng)中的可觀事件為直接可被外部觀察者看到的事件，反之不可觀事件為那些在系統(tǒng)執(zhí)行該事件進(jìn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)移但不會(huì)被外部觀察者看到的事件。

符號(hào)L（G）表示G生成的語(yǔ)言（也稱(chēng)事件語(yǔ)言），它描述了系統(tǒng)運(yùn)行期間發(fā)生的一系列事件，即L（G）={s∈E*：（q0，s）！}。自然可觀投影P：E*→E*o定義為P（ε）=ε，并且對(duì)于任意σ∈E和s∈E*，P（sσ）=P（s）P（σ），其中

P（σ）=σ如果σ∈Eoε如果σ∈Euo （2）

P（L（G））是指“擦除”系統(tǒng)的不可觀測(cè)事件。逆可觀投影定義為P－1（t）={s∈L（G）：P（s）=t）}。

可診斷性是用于描述系統(tǒng)是否具備通過(guò)可觀行為判定已發(fā)生故障事件的能力。設(shè)Ef表示故障事件集合，故障事件往往為不可觀的事件，即EfEuo。設(shè)LN（G）是L（G）的子語(yǔ)言，LN（G）不包含任何故障事件，即LN（G）={s∈{E＼Ef}*：s∈L（G）}。可診斷性的形式定義如下［10］：

定義1系統(tǒng)G被稱(chēng)為關(guān)于P和Ef下的可診斷系統(tǒng)，如果滿(mǎn)足

（n∈N）（s∈L（G）＼LN（G））（st∈L（G）＼LN（G））

［|t|≥n（l∈P－1P（st）∩L（G））l∈L（G）＼LN（G）］（3）

2基于不確定觀測(cè)下的可診斷性

本章將考慮不確定的觀測(cè)。在系統(tǒng)中，可觀測(cè)行為是與系統(tǒng)狀態(tài)及與在狀態(tài)下執(zhí)行的事件有關(guān)的。將系統(tǒng)中全部事件對(duì)應(yīng)的所有可能的觀測(cè)表示為Δ∪{ε}，并且給出下述觀測(cè)映射定義：

θ：Q×E→2Δ∪{ε}

θ（q，σ）表示的是在狀態(tài)q下發(fā)生σ事件的所有可能觀測(cè)的集合。觀測(cè)映射可以擴(kuò)展為θ：Q×E*→2Δ*，其中，ε∈Δ*。對(duì)于任意σ∈E和s∈E*，θ（q，sσ）=θ（q，s）θ（（q，s），σ）。

本文對(duì)系統(tǒng)G作以下假設(shè)：

假設(shè)1G生成的語(yǔ)言是非死鎖的，這意味著在狀態(tài)集合Q中的每個(gè)狀態(tài)q至少都有一個(gè)轉(zhuǎn)移。

假設(shè)2在系統(tǒng)G中，不會(huì)存在任何由事件組成的不可觀測(cè)循環(huán)，即（n0∈N）（uwv∈L（G））［（θ（（q0，u），w）=ε）（|w|≤n0）］，其中|w|是事件串w的長(zhǎng)度。這意味著系統(tǒng)在運(yùn)行期間始終會(huì)有可觀測(cè)的行為，因?yàn)楣收系臋z測(cè)是要基于系統(tǒng)的可觀行為，這就要求系統(tǒng)不能產(chǎn)生任意長(zhǎng)的不可觀測(cè)的事件串。

下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明不確定觀測(cè)。

例1給定離散事件系統(tǒng)G，如圖1所示。其中E={α，β，γ，f}，Δ={e1，e2}，狀態(tài)0為系統(tǒng)初始狀態(tài)，即q0=0。圖中弧上標(biāo)有形式為σ/Σ的標(biāo)簽，σ∈E表示的是一個(gè)事件，ΣΔ∪{ε}表示的是所有可能觀測(cè)的集合。

對(duì)于q=0和s=γβ∈L（G），會(huì)有θ（q，s）=θ（0，s）=θ（0，γ）θ（3，β）={e1}{e1，e2}={e1e1，e1e2}。

也就是說(shuō)，在狀態(tài)0下執(zhí)行事件串γβ后將會(huì)看到兩個(gè)觀測(cè)值e1e1和e1e2中的一個(gè)。

基于不確定觀測(cè)，同個(gè)事件在不同的狀態(tài)下執(zhí)行的觀測(cè)值可以是不同的，并且還可能有多個(gè)觀測(cè)值，這樣使系統(tǒng)的故障診斷變得更為復(fù)雜。與文獻(xiàn)［10～17］中故障事件一定為不可觀測(cè)相比，在本文中，故障事件未必一定是不可觀測(cè)的，它可以與正常事件擁有相同觀測(cè)值，即對(duì)于任一故障事件σf∈Ef，σf所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值的集合為Δ∪{ε}，因此需要基于不確定觀測(cè)下重新給出可診斷性的定義。

定義2系統(tǒng)G被稱(chēng)為關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的可診斷系統(tǒng)，如果滿(mǎn)足

（n∈N）（s∈L（G）＼LN（G））（st∈L（G）＼LN（G））

［|t|≥n（l∈L（G）：θ（q0，l）∩θ（q0，st）≠）（4）

l∈L（G）＼LN（G）］

上述定義含義為，給定s是由G生成的包含故障事件的任一語(yǔ)言，t是s后任何足夠長(zhǎng)的延續(xù)串，對(duì)于所有發(fā)生了故障事件的任意長(zhǎng)度事件串st，系統(tǒng)不存在不包含故障的事件串l′∈LN（G），以至于l′與st具有某個(gè)或多個(gè)相同觀測(cè)值，即θ（q0，l）∩θ（q0，st）≠。換句話說(shuō)，只要存在與st具有某個(gè)或多個(gè)相同觀測(cè)值的事件串（如l），觀察者是可以知道此事件串是包含故障事件的，即l∈L（G）＼LN（G）。

例2再次回顧例1。f為故障事件，可以看到，θ（1，f）={e1，ε}，即在狀態(tài)1下發(fā)生故障事件f，可能觀測(cè)到e1或什么都觀測(cè)不到（即ε）。但盡管觀察者看到e1這一觀測(cè)值，其實(shí)也不能判斷系統(tǒng)是否發(fā)生了故障事件f，因?yàn)榭赡苁窃跔顟B(tài)0下執(zhí)行了集合{α，β，γ}中的任一事件。在圖1系統(tǒng)G中，在包含故障事件語(yǔ)言L（G）＼LN（G）里存在s=γαf，st=γαfγ*，其中字符串t的長(zhǎng)度為任意長(zhǎng)，有θ（q0，st）=＼{ e1e2e1e*2，e1e2e*2＼} 。同時(shí)，在系統(tǒng)G中找到字符串l=βγγ*，使得θ（q0，l）∩θ（q0，st）=＼{ e1e2e*2＼}，但fl。根據(jù)定義2，可以知道G不是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的可診斷系統(tǒng)。

3驗(yàn)證器的構(gòu)造

本章介紹了基于不確定觀測(cè)下故障診斷的驗(yàn)證器的構(gòu)造，它是從系統(tǒng)模型G通過(guò)一系列操作步驟構(gòu)建而成的。使用該驗(yàn)證器可以驗(yàn)證系統(tǒng)在不確定觀測(cè)下的可診斷性，驗(yàn)證器的構(gòu)建過(guò)程分為以下幾個(gè)步驟。

a）構(gòu)造GN用以建模G的所有正常行為，設(shè)定EN=E－Ef為不包含故障事件的事件集合，GN中的事件都是由EN構(gòu)成的。構(gòu)建由單個(gè)狀態(tài)N組成的自動(dòng)機(jī)AN，在狀態(tài)N上有EN集合中所有事件的自循環(huán)轉(zhuǎn)移。GN=G×AN，然后將GN的事件集合重新定義為EN，即GN=（QN，EN，N，q0，N）；并且設(shè)定GN觀測(cè)映射為θN，在自動(dòng)機(jī)GN中，對(duì)于任一狀態(tài)qN=（q，N）∈QN有θN（（q，N），σ）=θ（q，σ），其中σ∈E。

b）為了了解自動(dòng)機(jī)GN在外部觀察者所看到的系統(tǒng)行為，構(gòu)建正常行為觀測(cè)器GNObs=（XN，Δ，δN，x0，N）=ObsN（GN）=（2QN，Δ，δN，URN（{q0，N}））。其中：URN（.）定義的是基于自動(dòng)機(jī)GNObs下的不可觀測(cè)到達(dá)，定義為對(duì)于x2QN，URN（x）={q∈QN：（q′∈x）（s∈E*）N（q′，s）=q∧θN（q′，s）=ε}。

對(duì)于u∈Δ，x∈XN，轉(zhuǎn)移函數(shù)δN定義為

δN（x，u）=URN（∪q∈ΛN（x，u） ∪σ∈ΓN（q，u）N（q，σ））如果（q∈x）u∈θN（q，σ）未定義其他情況

其中：ΛN（x，u）表示的是在狀態(tài)集x∈2QN中那些狀態(tài)能實(shí)現(xiàn)事件轉(zhuǎn)移并且其可觀測(cè)值為u的集合，定義為

ΛN（x，u）={q∈QN：（s∈E*）（q∈x）N（q，s）！∧u∈θN（q，s）}

其中：ΓN（q，u）表示的是狀態(tài)q∈QN下發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移并其觀測(cè)值為u的事件集合，定義為ΓN（q，u）={σ∈E：u∈θN（q，σ）}。

c）構(gòu)造GF用以建模G的故障行為。構(gòu)建自動(dòng)機(jī)Al={{N，F(xiàn)}，Ef，l，q0，l}，其中q0，l={N}，對(duì)于所有σ∈Ef，有l(wèi)（N，σ）=F，l（F，σ）=F。

構(gòu)建Gl=G‖Al并標(biāo)記自動(dòng)機(jī)Gl中第二分量為F的所有狀態(tài)。構(gòu)建GF=CoAc（Gl），即GF=（QF，Ef，F(xiàn)，q0，N，QmF），其中QF={（q，l）：q∈Q，l∈{N，F(xiàn)}}，QmF與自動(dòng)機(jī)Gl的標(biāo)記狀態(tài)相同；并且設(shè)定GF觀測(cè)映射為θF，在自動(dòng)機(jī)GF中，對(duì)于任一狀態(tài)qF=（q，l）∈QF，有θF（（q，l），σ）=θ（q，σ），其中σ∈E。

d）為了了解自動(dòng)機(jī)GF在外部觀察者所看到的系統(tǒng)行為，構(gòu)建故障行為觀測(cè)器GFObs=（XF，Δ，δF，x0，F(xiàn)，XmF）=ObsF（GF）=（2QF，Δ，δF，URF（{q0，N}），XmF）。

其中：URF（.）定義的是基于自動(dòng)機(jī)GFObs下的不可觀測(cè)到達(dá)，定義為對(duì)于x2QF，URF（x）={q∈QF：（q′∈x）（s∈E*）F（q′，s）=q∧θF（q′，s）=ε}。對(duì)于u∈Δ，x∈XF，轉(zhuǎn)移函數(shù)δF定義為

δF（x，u）=URF（∪q∈ΛF（x，u） ∪σ∈ΓF（q，u）F（q，σ））如果（q∈x）u∈θF（q，σ）未定義其他情況

其中：ΛF（x，u）表示的是在狀態(tài)集x∈2QF中那些狀態(tài)能實(shí)現(xiàn)事件轉(zhuǎn)移并且其可觀測(cè)值為u的集合，定義為

ΛF（x，u）={q∈QF：（s∈E*）（q∈x）F（q，s）！∧u∈θF（q，s）}

其中：ΓF（q，u）表示的是狀態(tài)q∈QF下發(fā)生狀態(tài)轉(zhuǎn)移并其觀測(cè)值為u的事件集合，定義為ΓF（q，u）={σ∈E：u∈θF（q，σ）}。

GFObs中的標(biāo)記狀態(tài)定義為XmF={x∈XF：（q∈x）q∈QmF}。也就是說(shuō)，觀測(cè)器GFObs中標(biāo)記狀態(tài)中的元素必須由GF中至少一個(gè)標(biāo)記狀態(tài)組成。

e）構(gòu)造驗(yàn)證器GV=GNObs×GFObs=（Z，Δ，f，z0，Zm），其中Zm為標(biāo)記狀態(tài)，定義為Zm={（xn，xf）∈Z：xf∈XmF}。

4可診斷性的充分必要條件

引理1給定xi，N∈XN，i≥0為自動(dòng)機(jī)GNObs=（XN，Δ，δN，x0，N）任一狀態(tài)，其中GNObs為由系統(tǒng)G=（Q，E，，q0）構(gòu)建而成的正常行為觀測(cè)器，并且給定w∈Δ*，δN（x0，N，w）=xi，N，會(huì)有（q，N）∈xi，N，s∈LN（G），使得（q0，s）=q，w∈θ（q0，s）。

證明設(shè)定GN=（QN，EN，N，q0，N）為描述系統(tǒng)G正常行為的自動(dòng)機(jī)，根據(jù)其構(gòu)建過(guò)程GN=G×AN和對(duì)于σ∈E，θN（（q，N），σ）=θ（q，σ）可得，L（GN）=LN（G），并且GN中任一狀態(tài)（q，N）∈QN，對(duì)于到達(dá)狀態(tài)（q，N）的事件串s∈E*，即N（q0，N，s）=（q，N），在系統(tǒng)G中有（q0，s）=q并且θ（q0，s）=θN（q0，N，s）。

現(xiàn)在證明i≥0，（q，N）∈xi，N，s∈L（GN），使得N（q0，N，s）=（q，N），w∈θN（q0，N，s）。

a）當(dāng)i=0時(shí)，δN（x0，N，w）=xi，N，xi，N=x0，N=URN（{q0，N}），即w=ε。根據(jù)URN（.）定義可知URN（{q0，N}）中的任一狀態(tài)（q，N），均存在s∈E*∩L（GN），使得N（q0，N，s）=（q，N），θN（q0，N，s）={ε}。

b）當(dāng)igt;0時(shí)，δN（x0，N，w）=xi，N，得知|w|≥1，根據(jù)GNObs中轉(zhuǎn)移函數(shù)δN（.，.）定義可得，（q，N）∈δN（x0，N，w），s∈E*∩L（GN），使得N（q0，N，s）=（q，N），w∈θN（q0，N，s）。

綜上所述，在自動(dòng)機(jī)GNObs中給定任一狀態(tài)xi，N∈XN，i≥0，w∈Δ*為到達(dá)xi，N的事件串，（q，N）∈xi，N，在系統(tǒng)G能找到不包含故障事件字符串s∈LN（G），使得（q0，s）=q并且w∈θ（q0，s）。

引理2給定xmi，F(xiàn)∈XmF，i≥0為自動(dòng)機(jī)GFObs=（XF，Δ，δF，x0，F(xiàn)，XmF）任一標(biāo)記狀態(tài)，其中GFObs為由系統(tǒng)G=（Q，E，，q0）構(gòu)建而成的故障行為觀測(cè)器，并且給定w∈Δ*，δF（x0，F(xiàn)，w）=xmi，F(xiàn)，會(huì)有（q，F(xiàn)）∈xmi，F(xiàn)，s∈L（G）＼LN（G），使得（q0，s）=q，w∈θ（q0，s）。

證明設(shè)定GF=（QF，Ef，F(xiàn)，q0，N，QmF）為描述系統(tǒng)G故障行為的自動(dòng)機(jī)，根據(jù)其構(gòu)建過(guò)程GF=CoAc（Gl）（其中Gl=G‖Al），標(biāo)記狀態(tài)QmF的定義，以及對(duì)于σ∈E，θF（（q，l），σ）=θ（q，σ）可得。GF任一標(biāo)記狀態(tài)（q，F(xiàn)）∈QmF，對(duì)于到達(dá)狀態(tài)（q，N）的事件串s∈E*，即F（q0，N，s）=（q，F(xiàn)）， 在系統(tǒng)G中有（q0，s）=q并且θ（q0，s）=θF（q0，N，s）， s∈L（G）＼LN（G）。

現(xiàn)在證明i≥0，（q，F(xiàn)）∈xmi，F(xiàn)，s∈E*∩L（GF），使得F（q0，N，s）=（q，F(xiàn)），w∈θF（q0，N，s）。

a）當(dāng)i=0時(shí)，假若GFObs初始狀態(tài)x0，F(xiàn)為標(biāo)記狀態(tài)，δF（x0，F(xiàn)，w）=xmi，F(xiàn)，xmi，F(xiàn)=x0，F(xiàn)=URF（{q0，N}），即w=ε。根據(jù)標(biāo)記狀態(tài)XmF以及URF（.）的定義可知URF（{q0，N}）中的存在狀態(tài)（q，F(xiàn)）∈QmF，有s∈E*∩L（GF），使得F（q0，N，s）=（q，F(xiàn)），θF（q0，N，s）={ε}。

b）當(dāng)igt;0時(shí)，δF（x0，F(xiàn)，w）=xmi，F(xiàn)，得知|w|≥1，根據(jù)GFObs中轉(zhuǎn)移函數(shù)δF（.，.）定義以及xmi，F(xiàn)為標(biāo)記狀態(tài)可得，（q，F(xiàn)）∈δF（x0，N，w），s∈E*∩L（GF），使得F（q0，N，s）=（q，F(xiàn)），w∈θF（q0，N，s）。

綜上所述，在自動(dòng)機(jī)GFObs中給定任一標(biāo)記狀態(tài)xmi，F(xiàn)∈XmF，i≥0，w∈Δ*為到達(dá)xmi，F(xiàn)的事件串，（q，F(xiàn)）∈xmi，F(xiàn)，在系統(tǒng)G能找到包含故障事件字符串s∈L（G）＼LN（G），使得（q0，s）=q并且w∈θ（q0，s）。

引理3給定（xi，N，xi，F(xiàn)）∈Zm，i≥0為驗(yàn)證器GV=GNObs×GFObs=（Z，Δ，f，z0，Zm）任一標(biāo)記狀態(tài)，其中GNObs，GFObs分別為由系統(tǒng)G=（Q，E，，q0）構(gòu)建而成的正常行為觀測(cè)器，故障行為觀測(cè)器，并且給定w∈Δ*，f（z0，w）=（xi，N，xi，F(xiàn)），會(huì)有（q，F(xiàn)）∈xi，F(xiàn)，（q′，N）∈xi，N，s∈L（G）＼LN（G），s′∈LN（G），使得［（q0，s）=q］∧［（q0，s′）=q′］∧［w∈θ（q0，s）∩θ（q0，s′）］。

證明已知GNObs=（XN，Δ，δN，x0，N）為系統(tǒng)G正常行為觀測(cè)器，GFObs=（XF，Δ，δF，x0，F(xiàn)，XmF）為系統(tǒng)G故障行為觀測(cè)器。給定（xi，N，xi，F(xiàn)）∈Zm，w∈Δ，f（z0，w）=（xi，N，xi，F(xiàn)），由于GV=GNObs×GFObs，可得xi，N∈XN，xi，F(xiàn)∈XmF，并且存在w′，w″∈Δ*，使得δN（x0，N，w′）=xi，N，δF（x0，F(xiàn)，w″）=xi，F(xiàn)，同時(shí)w=w′=w″成立，即δN（x0，N，w）=xi，N，δF（x0，F(xiàn)，w）=xi，F(xiàn)，根據(jù)GNObs中標(biāo)記狀態(tài)Zm定義，可得xi，F(xiàn)∈XmF為GFObs中標(biāo)記狀態(tài)。根據(jù)引理1，有

（（q，N）∈xi，N）（s′∈LN（G））（q0，s′）=q∧w∈θ（q0，s′）（（q，N）∈xi，N）（s′∈LN（G））（q0，s′）=q∧w∈θ（q0，s′）

根據(jù)引理2，有（（q，F(xiàn)）∈xi，F(xiàn)）（s∈L（G）＼LN（G））（q0，s）=q∧w∈θ（q0，s）。

綜上所述，在驗(yàn)證器GV中給定任一標(biāo)記狀態(tài)（xi，N，xi，F(xiàn)）∈Zm，i≥0，w∈Δ*為到達(dá)（xi，N，xi，F(xiàn)）的事件串，即f（z0，w）=（xi，N，xi，F(xiàn)）。在GFObs存在狀態(tài)（q，F(xiàn)）∈xi，F(xiàn)，GNObs存在狀態(tài)（q′，N）∈xi，N，同時(shí)在系統(tǒng)G中能找到包含故障事件字符串s∈L（G）＼LN（G）以及不包含故障事件字符串s′∈LN（G），使得（q0，s）=q，（q0，s′）=q′并且w∈θ（q0，s）∩θ（q0，s′）。

定義3如果在GV中存在一個(gè)環(huán)〈z1，z2，…，z1〉VF，并且環(huán)中的所有元素zi都為標(biāo)記狀態(tài)，即zi∈Zm，那么GV被稱(chēng)做故障混淆。將這樣的環(huán)稱(chēng)之為故障混淆的環(huán)；如果不存在這樣的環(huán)， GV被稱(chēng)做無(wú)故障混淆。

定理1給定G=（Q，E，，q0）為系統(tǒng)的自動(dòng)機(jī)，GV=（Z，Δ，f，z0，Zm）為由G構(gòu)建而成的驗(yàn)證器，那么G是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的可診斷當(dāng)且僅當(dāng)GV是無(wú)故障混淆的。

證明必要性。假設(shè)G是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下可診斷的。用反證法，現(xiàn)給出矛盾結(jié)論，假設(shè)GV為故障混淆。給定lt;z1，z2，…，zngt;VF是GV中的故障混淆環(huán)。設(shè)z1=（x1，N，x1，F(xiàn)），z1∈Zm，w∈L（GV），使得f（z0，w）=z1。根據(jù)引理3，s∈L（G）＼LN（G），s′∈LN（G），使得［（q0，s）=q］∧［（q0，s′）=q′］∧［w∈θ（q0，s）∩θ（q0，s′）］。其中，q，q′∈Q。

本文給出關(guān)于〈z1，z2，…，zn〉VF環(huán)的轉(zhuǎn)移如下：

（x1，N，x1，F(xiàn)）u1（x2，N，x2，F(xiàn)）u2…un－1

（xn，N，xn，F(xiàn)）un（x1，N，x1，F(xiàn)）

設(shè)定w′（k）=w{Πni=1ui}k并且w′（k）∈L（GV），取k值足夠的大，w′（k）為任意長(zhǎng)的可觀測(cè)的串，并且f（z0，w′（k））=z1，根據(jù)引理3，系統(tǒng)G可以找到存在（n∈N）|t|≥n，st∈L（G）＼LN（G），s′t′∈LN（G），使得［（q0，st）=q］∧［（q0，s′t′）=q′］∧［w′（k）∈θ（q0，st）∩θ（q0，s′t′）］，可知系統(tǒng)G中存在事件串s′t′∈L（G），θ（q0，s′t′）∩θ（q0，st）≠，s′t′L（G）＼LN（G）。因此，這與基于不確定觀測(cè)下的可診斷的定義相悖。

充分性。假設(shè)GV是無(wú)故障混淆的。用反證法，現(xiàn)給出矛盾結(jié)論，假設(shè)G是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的不可診斷，這意味著

（n≥1）（s∈L（G）＼LN（G）（st∈L（G）＼LN（G）s.t.（|t|≥n）∧（l∈L（G））θ（q0，l）∩θ（q0，st）≠∧l∈LN（G）

由于θ（q0，l）∩θ（q0，st）≠，即存在w∈Δ*，使w∈（θ（q0，l）∩θ（q0，st））；同時(shí)可以找到v∈，s′∈，使得v∈（θ（q0，s′）∩θ（q0，s））。根據(jù)l∈LN（G）可得s′∈LN（G）。

根據(jù)自動(dòng)機(jī)GNObs的構(gòu)建過(guò)程，v為此自動(dòng)機(jī)生成的語(yǔ)言之一，給定xv，N∈XN且δN（x0，N，v）=xv，N，根據(jù)引理1，會(huì)存在（qn，N）∈xv，N，并且（q0，s′）=qn。因?yàn)閟為包含故障事件的字符串，其為系統(tǒng)G的某一故障行為，假設(shè)qf為某一狀態(tài)，且（q0，s）=qf。根據(jù)自動(dòng)機(jī)GF的構(gòu)建步驟，存在（qf，F(xiàn)）∈QmF，f（q0，N，s）=（qf，F(xiàn)），v∈θF（q0，s）。根據(jù)自動(dòng)機(jī)GFObs的構(gòu)建過(guò)程，v同時(shí)也為此自動(dòng)機(jī)生成的語(yǔ)言之一，給定xv，F(xiàn)∈XF，且δF（x0，F(xiàn)，v）=xv，F(xiàn)，同時(shí)（qf，F(xiàn)）∈xv，F(xiàn)，因此xv，F(xiàn)∈XmF。因?yàn)轵?yàn)證器GV=GNObs×GFObs，根據(jù)δN（x0，N，v）=xv，N，δF（x0，F(xiàn)，v）=xv，F(xiàn)，并且xv，F(xiàn)∈XmF，所以會(huì)有（xv，N，xv，F(xiàn)）∈Zm是GV中的一個(gè)可訪問(wèn)的狀態(tài)。

設(shè)定s′t′=l，那么w∈（θ（q0，s′t′）∩θ（q0，st））。同樣地，在自動(dòng)機(jī)GNObs存在xw，N∈XN且δN（x0，N，w）=xw，N；在自動(dòng)機(jī)GFObs存在xw，F(xiàn)∈XmF且δF（x0，F(xiàn)，w）=xw，F(xiàn)。那么（xw，N，xw，F(xiàn)）∈Zm也是GV中的一個(gè)可訪問(wèn)的狀態(tài)。此外，由于|t|的長(zhǎng)度可以為任意的長(zhǎng)，|t|≥|Z|≥|Q|，在系統(tǒng)G中會(huì)構(gòu)成一個(gè)循環(huán)，根據(jù)假設(shè)2，由于不存在不可觀測(cè)的事件環(huán)，當(dāng)取n≥|Z|時(shí)，GV存在如下轉(zhuǎn)移Πn′i=1（ui）：=y∈Δ*，使得n′≥n和（xk0，N，xk0，F(xiàn)）u1（xk1，N，xk1，F(xiàn)）u2…un′（xkn′，N，xkn′，F(xiàn)）。其中，（xk0，N，xk0，F(xiàn)）=（xv，N，xv，F(xiàn)），（xkn′，N，xkn′，F(xiàn)）=（xw，N，xw，F(xiàn)）。由于n′≥n≥|Z|，存在1≤ilt;j≤n′，使得（xki，N，xki，F(xiàn)）=（xkj，N，xkj，F(xiàn)）。那么，狀態(tài)集合{（xkl，N，xkl，F(xiàn)）∈Zm：i≤l≤j}形成了一個(gè)故障混淆環(huán)。這與假設(shè)相矛盾。

根據(jù)定理1提出了算法1。通過(guò)檢查是否滿(mǎn)足定理1的條件來(lái)驗(yàn)證基于驗(yàn)證器的DES不確定觀測(cè)下的可診斷性。

算法1驗(yàn)證離散事件系統(tǒng)不確定觀測(cè)下的可診斷性

輸入：G，Ef，Δ，AN，Al。

輸出：YES-G是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的可診斷;NO-G不是關(guān)于θ和Ef的基于不確定觀測(cè)下的可診斷。

a）GN=G×AN；

b）GNObs=Obs（GN）；

c）Gl=G‖Al；

d）GF=CoAc（Gl）；

e）GFObs=Obs（GF）；

f）GV=GNObs×GFObs；

g）根據(jù)定理1檢查G的基于不確定觀測(cè)下的可診斷性，如果GV是無(wú)故障混淆，則輸出yes；否則輸出no。

分析算法1的算法復(fù)雜度：給定G=（Q，E，，q0），根據(jù)“×”“‖”以及CoAc（.）的定義構(gòu)建GN、Gl、GF的計(jì)算復(fù)雜度均為O（|Q‖E|）。根據(jù)步驟b）d）可知構(gòu)建GNObs、GFObs的計(jì)算復(fù)雜度為O（|2Q‖Δ|）。根據(jù)步驟f），GV是通過(guò)GNObs、GFObs兩個(gè)自動(dòng)機(jī)進(jìn)行“×\"操作構(gòu)建的，其計(jì)算復(fù)雜度為O（|2Q‖Δ|）。

例3考慮示例1中給出的系統(tǒng)G，其中E={α，β，γ，f}，Δ={e1，e2}，狀態(tài)0為系統(tǒng)初始狀態(tài)。在例2中，根據(jù)定義 2可知G不是基于不確定觀測(cè)下的可診斷系統(tǒng)。下面通過(guò)基于構(gòu)建驗(yàn)證器的驗(yàn)證方法（即定理1）來(lái)證明上述結(jié)果。

根據(jù)第3章驗(yàn)證器的構(gòu)建過(guò)程，第一步是構(gòu)建AN和GN，分別如圖2（a）（b）所示；下一步是構(gòu)建正常行為觀測(cè)器GNObs，如圖3所示；通過(guò)對(duì)G和Al（圖4（a））進(jìn)行平行運(yùn)算構(gòu)造出Gl（圖4（b）），并將第二個(gè)分量為F的所有狀態(tài)添加狀態(tài)標(biāo)記；然后通過(guò)獲取Gl可到達(dá)標(biāo)記狀態(tài)部分來(lái)構(gòu)造GF，如圖5所示；下一步是構(gòu)建故障行為觀測(cè)器GFObs（圖6）；最后一步是構(gòu)造驗(yàn)證器GV，其中GV=GNObs×GFObs，如圖7所示。

在GV中存在循環(huán)〈（4N，2F），e2，（4N，2F））〉，且它是故障混淆循環(huán)。因此，根據(jù)定理1得到了G不是基于不確定觀測(cè)下的可診斷系統(tǒng)的結(jié)論，這與例2中得到的結(jié)果一致。

5實(shí)例分析

本章給出一個(gè)應(yīng)用實(shí)例說(shuō)明不確定觀測(cè)下離散事件系統(tǒng)的故障診斷。

例4設(shè)定房間的供暖系統(tǒng)是由加熱器、溫度傳感器、開(kāi)/關(guān)控制器組成。該系統(tǒng)設(shè)定一個(gè)溫度點(diǎn)，假設(shè)它為22℃，當(dāng)溫度接近設(shè)定點(diǎn)時(shí)（21～23℃），控制器保持原來(lái)動(dòng)作；當(dāng)溫度低于21℃時(shí)，控制器在一定時(shí)延內(nèi)打開(kāi)加熱器，當(dāng)溫度高于23℃時(shí)，控制器在一定時(shí)延內(nèi)關(guān)閉加熱器。供暖系統(tǒng)的自動(dòng)機(jī)模型如圖8所示，E={d，e，f}，其中，d表示控制器關(guān)閉加熱器（“關(guān)閉”指令），e表示控制器打開(kāi)加熱器（“打開(kāi)”指令），f表示的是加熱器發(fā)生了故障，即使控制器執(zhí)行“打開(kāi)”指令，加熱器還是保持關(guān)閉；Δ={L，S，H}，其中L、S、H分別表示“低于”“接近”“高于”溫度設(shè)定點(diǎn)，系統(tǒng)里發(fā)生“打開(kāi)”指令事件或“關(guān)閉”指令事件或故障事件，外部觀測(cè)者會(huì)在不同的時(shí)候（當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)）看到不同或多個(gè)觀測(cè)值。供暖系統(tǒng)的事件及其觀測(cè)值含義如表1所示。

在圖8系統(tǒng)G中，包含故障的語(yǔ)言L（G）＼LN（G）={（eeeddd）kfek}（k≥0），利用算法1驗(yàn)證系統(tǒng)G能否通過(guò)可觀行為診斷故障事件是否已發(fā)生。

根據(jù)算法1步驟a）b）構(gòu)造G的正常行為觀測(cè)器GNObs，如圖9所示；根據(jù)算法1步驟c）～e）構(gòu)造G的故障行為觀測(cè)器GFObs，如圖10所示；根據(jù)算法1步驟f）構(gòu)造G的驗(yàn)證器GV，如圖11所示。

由圖11可知，在GV中標(biāo)記狀態(tài)集合Zm={（1N，1N6F）}，且狀態(tài)（1N，1N6F）上無(wú)自循環(huán)，即GV不存在故障混淆的環(huán)，根據(jù)算法1步驟g）可知系統(tǒng)的故障事件是可診斷的，說(shuō)明系統(tǒng)在不同時(shí)候執(zhí)行“打開(kāi)”指令或“關(guān)閉”指令會(huì)出現(xiàn)不同的觀測(cè)值或出現(xiàn)多個(gè)觀測(cè)值時(shí)，根據(jù)算法1可以判斷系統(tǒng)在不確定觀測(cè)情況下的可診斷性，在確定系統(tǒng)故障事件已發(fā)生后能采取一些控制措施，避免造成嚴(yán)重?fù)p失。

現(xiàn)將本文與文獻(xiàn)［9，10，19］的驗(yàn)證方法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證方法所適用的場(chǎng)景為出發(fā)點(diǎn)，分別從動(dòng)態(tài)觀測(cè)、事件的可觀映射關(guān)系、故障事件是否可觀測(cè)等維度進(jìn)行對(duì)比分析，比較結(jié)果如表2所示。

由表2可知，本文的驗(yàn)證方法與文獻(xiàn)［9，10，19］中的驗(yàn)證方法相比，具有更廣的適用性和應(yīng)用性。

6結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)離散事件系統(tǒng)在不確定觀測(cè)情況下的故障診斷進(jìn)行了研究，系統(tǒng)中同個(gè)事件串會(huì)有多個(gè)觀測(cè)值，不同事件在不同狀態(tài)下的觀測(cè)值也可以不同。本文基于這種不確定觀測(cè)情況下重新給出了在離散事件系統(tǒng)故障診斷的定義。構(gòu)造了一個(gè)驗(yàn)證器，可用于驗(yàn)證系統(tǒng)不確定觀測(cè)情況下的故障診斷。同時(shí)，本文給出了驗(yàn)證上述類(lèi)型可診斷性的充分必要條件及驗(yàn)證算法，將該驗(yàn)證算法應(yīng)用于供暖系統(tǒng)。相比以往故障診斷研究中系統(tǒng)中故障事件是不可觀測(cè)的，本文考慮的范圍更廣，應(yīng)用性更強(qiáng)，故障事件可能不能被觀測(cè)，也可能有一個(gè)或多個(gè)觀測(cè)值。在此研究基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步考慮離散事件系統(tǒng)在不確定觀測(cè)下的模式故障診斷和故障預(yù)測(cè)等問(wèn)題［11，25，26］，在后續(xù)將開(kāi)展探討研究這些問(wèn)題。

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收稿日期：2022-06-16；修回日期：2022-07-28基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61673122）；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2019A1515010548）；廣東工業(yè)大學(xué)交叉學(xué)科培育項(xiàng)目

作者簡(jiǎn)介：譚健欣（1984-），男，廣東廣州人，實(shí)驗(yàn)師，博士研究生，主要研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程、算法分析與設(shè)計(jì)；劉富春，男（通信作者），教授，博導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程、算法分析與設(shè)計(jì)（fliu2011@163.com）.