雙IRS輔助的NOMA無線攜能通信網絡優化

摘要：無線攜能傳輸（simultaneous wireless information and power transfer，SWIPT）能夠有效解決通信終端的能源受限問題，而智能反射面（intelligent reflecting surface，IRS）能夠輔助增強SWIPT的效率。為了克服單個IRS覆蓋范圍有限的缺點以及進一步提高SWIPT的時間和頻譜資源利用率，考慮了一個雙IRS輔助的基于非正交多址接入技術（non-orthogonal multiple access，NOMA）的無線攜能通信系統，其中發送端的波束成形矢量、每個IRS的相移以及接收端的功率分割系數將進行聯合優化以最大化系統的最小用戶速率。為解決上述有著高度耦合優化變量的非凸優化問題，提出一個基于半正定松弛技術（semidefinite relaxation，SDR）和連續凸逼近技術（successive convex approximation，SCA）的交替優化（alternative optimization，AO）算法來高效求解該問題。仿真結果表明，雙IRS輔助的系統比傳統的單IRS輔助的系統能夠實現更高的最小速率，揭示了部署雙IRS的優異性、所提算法的有效性以及聯合優化IRS相移及功率分割系數在提升用戶速率性能方面的重要性。

關鍵詞：智能反射面；非正交多址接入；無線攜能傳輸；波束成形設計；半正定松弛；連續凸逼近

中圖分類號：TN929.5文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2023）01-039-0000-00

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0266

Performance optimization for double-IRS assisted NOMA SWIPT system

Chen Jiayue1， Pang Haijian2， Qiu Kang1，" Cui Miao1，2， Zhang Guangchi2

（1.No.7 Research Institute of China Electronics Technology Group Cooperation， Guangzhou 510310， China； 2. School of Information Engineering， Guangdong University of Technology， Guangzhou 510006， China）

Abstract：

Simultaneous wireless information and power transfer（SWIPT） can effectively deal with the energy limitation problem of communication terminals， and intelligent reflecting surface（IRS） can assist in enhancing the efficiency of SWIPT. Therefore， to overcome the shortcoming of limited coverage of deploying a single IRS and further improve the time and spectrum resource utilization efficiency of SWIPT， this paper studied a double-IRS-assisted non-orthogonal multiple access（NOMA） SWIPT system， where the beamforming vector of the transmitter， the phase shifts of each IRS， and the power splitting coefficients of the receivers were jointly optimized to maximize the minimum user rate. To solve the above non-convex optimization problem with highly coupled variables， this paper proposed an alternative optimization（AO） algorithm based on semidefinite relaxation（SDR） and successive convex approximation（SCA） techniques to solve it efficiently. The simulation results show that the double-IRS-assisted system can achieve a higher minimum rate than that of its single-IRS， which reveals the superiority of deploying double IRSs， the effectiveness of the proposed algorithm， and the importance of jointly optimizing IRS phase shifts and power splitting coefficients in improving the user rate performance.

Key words：IRS；NOMA；SWIPT；beamforming design；SDR；SCA

0引言

在未來智慧城市中，物聯網（Internet of things， IoT）節點的大規模部署將會為無線網絡的設計帶來更嚴峻的挑戰，例如大量設備的多址接入方式問題、設備的供能問題以及設備間的通信干擾問題等。目前，在應對設備的供能問題上，一個研究熱點是無線攜能傳輸（SWIPT），即對于發送端發送的攜帶有信息的電磁波信號，接收端可以選擇用以信息解碼（information decoding，ID）實現信息通信，或用電能轉換實現能量采集（energy harvesting，EH）以維持設備自身工作［1］。在SWIPT中通常有兩種接收器，取時間開關（time switching，TS）接收器和功率分割（power splitting，PS）接收器。TS接收器是在給定時間跨度內，一部分時間內接收到的信號全部用于信息解碼，而另一部分時間內接收到的信號全部用于能量采集，兩者不同時進行。PS接收器則將接收信號按照一定比例分割成兩部分，該比例系數也稱為功率分割系數，一部分用于信息解碼，另一部分用于能量采集，兩者同時進行。一般而言，TS接收器是PS接收器的特例，即PS接收器在功率分割系數為0或1的情況下實現了TS接收器，因此PS接收器在平衡信息解碼和能量采集方面具有更好的靈活性［2，3］。一個SWIPT的高效工作是依賴于良好的信道條件，但是實際工作中可能會存在發送端與接收端之間有密集的障礙物或發送端與接收端之間的通信距離過長等問題，這都會導致信號在傳播過程的嚴重損耗，從而導致SWIPT的低效率工作，這是考慮應用SWIPT時不可忽視的一個重要問題。

智能反射面（IRS）上部署了大量低成本的無源反射元件，能夠實時調整反射信號的幅值和相位，從而以更節能的方式實現動態配置無線信道，進而提高信道增益和傳輸可靠性［4～8］。目前已有研究證明了在SWIPT中部署IRS的優異性。文獻［10］考慮了部署多個IRS輔助具有不同通信速率要求和能量采集要求的地面用戶，并通過聯合優化無線接入點的有源波束成形矢量和IRS的無源波束成形矩陣來最小化接入點的發射功率；文獻［11］同樣考慮了一個IRS輔助的SWIPT，并在滿足用戶通信速率要求的情況下，通過優化發送端的波束成形矢量和IRS的波束成形矩陣最大化用戶采集到的能量；此外，文獻［12，13］證明了相比于沒有部署IRS的SWIPT，部署了IRS的SWIPT能夠在滿足用戶能量采集需求的情況下實現更高的通信速率和更高的能量效率。因此，IRS將是未來增強SWIPT工作效率的一項不可或缺的技術。

與此同時，在未來網絡中，無線通信系統需要采用更為先進的多址接入方式以滿足不同設備的大規模接入需求以及服務質量需求，其中非正交多址接入（NOMA）技術正是當前學術界的研究熱點。不同于傳統的正交多址接入（orthogonal multiple access，OMA）技術，NOMA可以使多個用戶同時使用同一資源進行通信，例如時間資源和頻譜資源，從而能夠提高頻譜利用率以及滿足大規模接入的需求。一方面，NOMA的主要思想是在發送端應用疊加編碼技術（superposition coding，SC）、在接收端應用連續干擾消除技術（successive interference cancellation，SIC），即擁有更好信道條件的用戶可以解碼信道條件較差的用戶的信號從而實現干擾信號的消除［14］。另一方面，NOMA系統的性能表現依賴于用戶間的信道質量差異性，當用戶間的信道質量差異越大，系統則有更好的性能表現［15］，而具有重新配置信道能力的IRS無疑為提升NOMA系統的性能表現帶來了更多的機會。文獻［16］考慮了一個IRS輔助的NOMA下行通信系統，并通過聯合優化發送端的波束成形矢量和IRS的波束成形矩陣最大化系統的總通信速率；文獻［17，18］分別考慮了IRS輔助的NOMA下行通信系統的能源效率最大化問題和安全通信速率最大化問題；文獻［19，20］分別研究了IRS輔助的NOMA上行通信系統的總通信速率最大化問題和安全通信問題。上述研究均表明了IRS輔助NOMA通信系統在各項通信指標上的優異性。而在無線能量傳輸（wireless power transfer，WPT）方面，文獻［21］研究了IRS輔助的基于混合時分復用多址接入（time division multiple access，TDMA）和NOMA的無線能量傳輸系統，其中用戶通過下行鏈路采集能量然后利用該能量通過上行鏈路傳輸信息，通過優化IRS的相移和時間分配系數最大化了系統的總吞吐量；在SWIPT方面，文獻［22］研究了IRS輔助的基于NOMA的SWIPT，并通過優化發送端的波束成形矢量、IRS的波束成形矩陣、用戶端的功率分割系數以及SIC解碼順序，在滿足用戶的通信速率需求和能量采集需求情況下最小化發送端的發射功率。上述研究皆表明了IRS在輔助NOMA系統以及基于NOMA的WPT系統和SWIPT的優異性。

然而，目前關于IRS輔助SWIPT的研究大多考慮部署單個IRS，或是部署多個IRS但不考慮IRS之間的反射；此外，目前關于IRS輔助的基于NOMA的SWIPT的研究較少，且考慮的也是部署單個IRS。但是單個IRS的覆蓋范圍是有限的，在一些復雜的無線電傳播環境中，如室內有多個轉角的走廊或者室外有著密集障礙物的地方，從發送端到接收端的鏈路可能會被嚴重阻塞，造成信號傳輸過程的高損耗，即使部署單個IRS仍無法在發送端和IRS之間、或IRS和接收端之間建立良好的低損耗鏈路，因此部署單個IRS可能無法使系統實現預期的性能表現。而部署雙IRS則有更好的機會繞開障礙物，能夠建立新的高質量鏈路，從而實現增強接收端的信號強度和系統的性能表現，這對于依賴于良好傳播鏈路的SWIPT而言是極其重要的。因此可以預期部署了雙IRS的SWIPT相比部署單IRS的系統有著更多的設計自由度和更大的性能提升。

本文考慮一個雙IRS輔助的基于NOMA的多用戶下行SWIPT系統，如圖1所示，一個多天線的無線接入點（access point，AP）在雙IRS的輔助下和地面用戶簇內的多個用戶進行信號傳輸，而每個用戶都配備有PS接收器，對接收信號進行功率分割，從而同時實現信息解碼和能量采集。為了提高頻譜效率和保證用戶的通信公平性，將通過優化AP端的波束成形矢量、每個IRS的相移即波束成形矩陣、用戶端的功率分割系數以及SIC解碼順序，在滿足用戶能量采集需求以及AP端可用最大發射功率基礎上最大化用戶之間的最小速率（max-min rate），然而所構造的問題是非凸且優化變量間存在耦合的，因此求解具有一定的挑戰性。為此，本文提出了一個基于半正定松弛技術（SDR）和連續凸逼近技術（SCA）的交替優化（AO）算法來高效求解該問題。仿真結果表明所提的雙IRS輔助的系統比傳統的單IRS輔助的系統能夠實現更高的最小速率，證明了部署雙IRS的優異性以及所提求解算法的有效性，同時通過與其他基準方案對比證明了聯合優化IRS相移及功率分割系數在提升系統性能方面的重要性。

1系統模型與問題構造

1.1系統模型

如圖1所示，考慮一個多用戶的下行SWIPT系統，其中AP端部署有NT根發射天線，并同時傳輸信息和能量給K個部署在地面上的單天線用戶。假設所提系統工作在一個有著密集障礙物的場所，即從AP到用戶的直射鏈路可能受到嚴重阻礙，在這種情況下即使部署單個IRS也難以在AP和用戶間建立無阻礙的高質量鏈路。因此本文考慮部署雙IRS以輔助系統的SWIPT，其中一個IRS部署在靠近AP的地方，而另一個IRS部署在靠近用戶的地方。因為雙IRS的部署可以建立額外的反射路徑，所以預計有更高的概率可以建立高質量的信道鏈路。用IRS 1表示靠近AP處的IRS，用IRS 2表示靠近用戶處的IRS，其中IRS 1有M1個反射單元，IRS 2有M2個反射單元。對于第k個用戶，其中k∈{1，…，K}，AP到用戶k的信道系數為hak∈CNT×1，AP到IRS 1的信道系數為Har1∈CM1×NT，AP到IRS 2的信道系數為Har2∈CM2×NT，IRS 1到用戶k的信道系數為hr1k∈CM1×1，IRS 2到用戶k的信道系數為hr2k∈CM2×1，IRS 1到IRS 2的信道系數為Hrr∈CM2×M1，其中Cm×n表示維度為m×n的復數矩陣。假設所有的信道都是準靜態平穩衰落的，且為了充分探討所考慮系統的性能極限，假設所有信道的信道狀態信息都是已知的［23，24］。

基于NOMA方式的優異性，考慮所提系統工作在NOMA方式下。在AP端，AP發送給用戶k的信息承載符號表示為sk，其中sk是服從標準正態分布的隨機變量；此外，AP發送sk所使用的波束成形矢量為wk∈CNT×1。因此，AP端的發送信號為

x=∑Kk=1wksk（1）

定義AP端所能利用的最大發送功率為Pmax，則AP所發送的波束成形矢量將受到總發射功率的約束如下：

∑Kk=1‖wk‖2≤Pmax（2）

定義IRS 1的波束成形矩陣為Φ1=diag（［q1，1，…，q1，M1］）∈CM1×M1，其中q1，m1=β1，m1ejθ1，m1，m1∈{1，…，M1}；θ1，m1∈［0，2π）表示第m1個反射單元的相移，β1，m1∈［0，1］表示第m1個反射單元的幅值。同樣地，對于IRS 2有波束成形矩陣Φ2=diag（［q2，1，…，q2，M2］）∈CM2×M2，其中q2，m2=β2，m2ejθ2，m2，m2∈{1，…，M2}；θ2，m2∈［0，2π）和β2，m2∈［0，1］分別表示第m2個反射單元的相位和幅值。不失一般性，忽視IRS上反射兩次或更多次的信號，AP到用戶k的總信道鏈路可以假設由四條主要鏈路組成，即AP到用戶k的直接鏈路、AP經過IRS 1到達用戶k的單次反射鏈路、AP經過IRS 2到達用戶k的單次反射鏈路以及AP經過IRS 1接著經過IRS 2到達用戶k的兩次反射鏈路。此外，參考多數文獻普遍采用的假設，即假設β1，m1=β2，m2=1，m1，m2， IRS 1的反射系數q1，m1以及IRS 2的反射系數q2，m2應當滿足下述模值為1的約束：

|q1，m1|=1，m1∈{1，…，M1} （3）

|q2，m2|=1，m2∈{1，…，M2} （4）

用戶k接收到的信號將會分割為兩部分，一部分用于信息解碼，而另一部分用于能量采集。引入用戶k對應的功率分割系數為ρk，有

0≤ρk≤1，k（5）

因此用戶k用于信息解碼的信號為

yIDk=ρkgk∑Ki=1wisi+nk（6）

其中：gk=hHak+hHr1kΦ1Har1+hHr2kΦ2Har2+hHr2kΦ2HrrΦ1Har1表示AP到用戶k的等效信道系數，此外nk～CN（0，σ2k）表示加性高斯隨機噪聲。與此同時，用戶k所采集到的能量為

Ek=（1－ρk）ηk（∑Ki=1‖gkwi‖2）（7）

其中：ηk表示用戶k的能量采集效率。如果將用戶k所需的最小采集能量用γk表示，則用戶k采集到的能量將受到以下能量采集約束：

Ek≥γk（8）

考慮NOMA的機制，即每個用戶通過應用SIC來解碼其他用戶的信號以消除用戶間的干擾。在傳統的SISO系統中，最優的解碼順序可以由用戶間的信道強度決定，即擁有更強信道的用戶可以解碼擁有較弱信道用戶的信號。但是，在一個部署了IRS的通信環境中，每個用戶的信道強度都會因IRS反射單元系數的改變而改變，而擁有K個用戶的通信系統擁有K！種SIC解碼順序，因此要獲得最優的解碼順序是非常復雜的，而關于如何獲得次優解碼順序的內容將在下一節進行闡述。

假設存在一解碼順序映射函數f（k），f（k）=i表示用戶k所對應的信號是第i個被解碼的信號，若存在f（u）lt;f（k），則用戶k在解碼其自身的信號之前需要連續解碼其他所有符合f（u）lt;f（k）條件的用戶u的信號，而剩余的符合f（l）gt;f（k）條件的用戶l的信號則不進行解碼而是看做噪聲處理。綜上，用戶k解碼其自身信號的信干噪比SINR為

SINRk→k=ρk‖gkwk‖2∑f（i）gt;f（k）ρk‖gkwi‖2+σ2k（9）

則對應的速率為Rk→k=log2（1+SINRk→k）。用戶k解碼滿足f（u）lt;f（k）條件的用戶u的信號所對應的SINR為

SINRu→k=ρk‖gkwu‖2∑f（i）gt;f（u）ρk‖gkwi‖2+σ2k （10）

則對應的速率為Ru→k=log2（1+SINRu→k）。

為了保證每個用戶能夠成功執行SIC，則用戶k解碼用戶u的信號所能夠實現的速率不應該小于用戶u解碼其自身信號所能夠實現的速率。因此有以下SIC解碼速率約束：

Ru→u≤Ru→k，f（u）lt;f（k），u，k∈K（11）

本文出現的主要變量符號定義如下：NT表示AP端的發射天線數；K表示用戶數；M1和M2分別表示IRS 1和 IRS 2的反射單元數；hak表示AP到用戶k的信道系數; Har1和Har2分別表示AP到IRS 1、IRS 2的信道系數； Hrr表示IRS 1到IRS 2的信道系數；hr1k、hr2k分別表示 IRS 1和 IRS 2到用戶k 的信道系數; gk表示AP到用戶k的等效信道系數；wk表示AP端對應用戶k 信息的發送波束成形矢量；Φ1、Φ2分別表示IRS 1和 IRS 2的波束成形矩陣；ρk表示用戶k的功率分割系數。

1.2問題構造

為了保證用戶間的通信公平性及提高頻譜利用率，本文通過聯合優化用戶SIC解碼順序、AP端發送波束成形矢量{wk}、用戶端的功率分割系數{ρk}、IRS 1的波束成形矩陣Φ1以及IRS 2的波束成形矩陣Φ2，并在AP端的最大可用發送功率（式（2））的約束下、IRS波束成形矩陣系數的模一約束（式（3）（4））的約束下、功率分割系數數值約束（式（5））的約束下、用戶最小采集能量約束（式（8））的約束下，以及SIC解碼速率約束（式（11））的約束下，最大化用戶之間的最小速率。通過引入一個松弛變量t來表示所有用戶之間的最小速率，將優化問題表述如下：

max{wk}，{ρk}，Φ1，Φ2t（12a）

s.t. Rk→k≥t，k（12b）

式（2）（3）（4）（5）（8）（11）

在求解上述問題之前，首先參照文獻［22］提出的方法獲得用戶間次優的SIC解碼順序，即通過優化IRS的相位以最大化用戶間總的信道強度，并根據最優化的IRS相位計算每個用戶的信道強度進行排序，將此方法擴展應用到雙IRS輔助的NOMA系統。首先建立優化問題如下：

maxΦ1，Φ2∑Kk=1‖gk‖2（13a）

s.t.式（3）（4）

上述問題中的變量Φ1和Φ2存在耦合關系，因此需要通過交替優化進行求解，具體求解細節和后面介紹的算法2的步驟6和7相近，在此省略。通過求解上述問題獲得最優解Φ*1和Φ*2后，得到用戶k的新信道gk=hHak+hHr1kΦ*1Har1+hHr2kΦ*2Har2+hHr2kΦ*2HrrΦ*1Har1，計算‖gk‖2并按照從小到大的順序進行排序即可得到次優的SIC解碼順序，即擁有更小‖gk‖2的用戶會被更快地進行解碼，后面章節的問題求解都基于該SIC解碼順序。

2優化算法

優化問題式（12）的優化變量之間存在耦合關系，且存在非凸約束（式（8）（11）和（13）），求解難度大。為了有效求解該問題，本文采用AO思想對優化變量進行解耦，將變量劃分為四個變量塊，從而對問題進行交替優化求解。具體而言，將優化變量劃分為{wk}、{ρk}、Φ1和Φ2四個變量塊，從而構成四個對應子問題。每個子問題在其他變量塊固定的情況下，優化一個變量塊。由于每個子問題仍然是非凸的優化問題，本文使用SCA和SDR技術將問題轉換為可解的凸優化問題，從而能夠使用凸優化算法對問題進行高效求解。

2.1子問題1：給定{ρk}、Φ1和Φ2，優化{wk}

令WkwkwHk，k∈K，其中Wk是一個Hermitian矩陣，有Wk≥0且rank（Wk）=1，此外，定義一個集合有W{Wk}。在給定{ρk}、Φ1和Φ2時，用戶k解碼其自身信號可以實現的速率，以及解碼其他任意滿足f（u）lt;f（k）條件的用戶u的信號可以實現的速率，分別表示為

Rk→k=log21+ρk‖gkwk‖2∑f（i）gt;f（k）ρk‖gkwi‖2+σ2k=Fk→k（W）+Dk→k（W）（14）

Ru→k=log21+ρk‖gkwu‖2∑f（i）gt;f（u）ρk‖gkwi‖2+σ2k=Fu→k（W）+Du→k（W）（15）

其中：

Fk→k（W）=log2（∑f（i）gt;f（k）－1ρkTr（gkgHkWi）+σ2k）（16）

Dk→k（W）=－log2（∑f（i）gt;f（k）ρkTr（gkgHkWi）+σ2k）（17）

Fu→k（W）=log2（∑f（i）gt;f（u）－1ρkTr（gkgHkWi）+σ2k）（18）

Du→k（W）=－log2（∑f（i）gt;f（u）ρkTr（gkgHkWi）+σ2k）（19）

此外，用戶k所采集到的能量可以表示為

Ek=（1－ρk）ηkTr（∑Ki=1gkgHkWi）（20）

因此，子問題1可以表示為

maxW，tt（21a）

s.t.Fk→k（W）+Dk→k（W）≥t（21b）

Fu→u（W）+Du→u（W）≤Fu→k（W）+Du→k（W）

f（u）lt;f（k），u，k∈K（21c）

Ek≥γk（21d）

Tr（∑Ki=1Wi）≤Pmax（21e）

Rank（Wk）=1，（21f）

Wk≥0（21g）

在上述問題中，由于非凸約束（式（21f））的存在使得問題（式（21））難以解決，應用SDR技術來克服這個困難。通過去掉秩一約束（式（21f）），可以得到問題（式（21））所對應的松弛問題：

maxW，tt（22a）

s.t.式（21b）（21c）（21d）（21e）（21g）

在問題工式（22）中仍存在非凸約束（式（21b）（21c）），且該約束滿足凸函數之差的形式，具體來說，即Dk→k（W）、Du→u（W）和Du→k（W）是關于W的凸函數，而Fk→k（W）、Fu→u（W）和Fu→k（W）是關于W的凹函數。因此，基于凸函數的一階泰勒展開是其全局下界、而凹函數的一階泰勒展開是其全局上界的事實［25］，本文設計一種基于SCA技術的迭代算法來求解問題式（22），如下所示。

假設在第n-1次迭代時求解問題式（22）得到一個可行解集W（n－1）{W（n－1）1，…，W（n－1）K}，則在第n次迭代時可以對函數Dk→k（W）在W（n－1）處進行一階泰勒展開得到其下界：

Dk→k（W（n））≥－log2（∑f（i）gt;f（k）ρkTr（gkgHkW（n－1）i）+σ2k）+

∑f（j）gt;f（k）－ρkTr（gkgHk（W（n）j－W（n－1）j））ln（2）（∑f（i）gt;f（k）ρkTr（gkgHkW（n－1）i）+σ2k）

DLBk→k（W（n），W（n－1））

（23）

同理，對于Du→k（W）有

Du→k（W（n））≥－log2（∑f（i）gt;f（u）ρkTr（gkgHkW（n－1）i）+σ2k）+

∑f（j）gt;f（u）－ρkTr（gkgHk（W（n）j－W（n－1）j））ln（2）（∑f（i）gt;f（u）ρkTr（gkgHkW（n－1）i）+σ2k）

DLBu→k（W（n），W（n－1））（24）

對于凹函數Fu→u（W），可以在其W（n－1）處進行一階泰勒展開得到相應的上界為

Fu→u（W（n））≤－log2（∑f（i）gt;f（u）ρuTr（gugHuW（n－1）i）+σ2u）+

∑f（j）gt;f（u）－ρuTr（gugHu（W（n）j－W（n－1）j））ln（2）（∑f（i）gt;f（u）ρuTr（gugHuW（n－1）i）+σ2u）

FLBu→u（W（n），W（n－1））（25）

通過在問題式（22）中替換Dk→k（W（n））和Du→k（W（n））為其對應的下界DLBk→k（W（n），W（n－1））和DLBu→k（W（n），W（n－1）），以及替換Fu→u（W（n））為其對應的上界FLBu→u（W（n），W（n－1）），則在第n次迭代時需要求解的近似問題如下所示：

maxW（n）≥0，tt（26a）

s.t.Fk→k（W（n））+DLBk→k（W（n），W（n－1））≥t（26b）

FUBu→u（W（n），W（n－1））+Du→u（W（n））

≤

Fu→k（W（n））+DLBu→k（W（n），W（n－1））

f（u）lt;f（k）u，k∈K（26c）

Ek≥γk（26d）

Tr（∑Ki=1W（n）i）≤Pmax（26e）

上述問題式（26）是一個凸半定規劃問題，可以通過使用CVX等凸優化工具箱進行求解，而上述所提出的基于SCA的算法如算法2所示，其中帶有上標（n）的變量表示是第n次迭代時得到的可行解。在n次迭代中，問題式（26）在給定可行解W（n－1）基礎上最大化問題式（21）的目標函數的下界，只有當W（n）=W（n－1）時問題式（26）的下界才等于問題式（21）的目標函數值，所以通過求解問題（26）得到可行解W（n），代入問題式（21）的目標函數值不小于代入W（n－1）得到的值。因此，問題式（21）的目標函數值在迭代過程中是非遞減的。此外，受限于約束條件（式（21e）），解為W（n）的問題（21）的目標函數值是有上界的。因此，算法1中步驟2～5的迭代最終會達到收斂。此外，算法1中引入步驟6，是因為問題式（26）得到的最優解W*并不總是秩為1的Hermitian矩陣，所以需要引入一個額外的方法如高斯隨機化方法以根據{W*k}重建秩為1的Hermitian矩陣。

算法1

輸入：可行解{ρk}、Φ1、Φ2和{wk}。

1初始化，設定收斂閾值ε，迭代索引n=0，以及各個變量的初始值，即{W0k}和t0；

2重復：

3n=n+1；

4基于{W（n－1）k}，求解問題式（26）得到{W（n）k} 和t（n）；

5直到t（n）－t（n－1）t（n）≤ε；

6使用高斯隨機法根據{W（n）k}恢復秩一解{wk}；

輸出：優化后的{wk}。

2.2子問題2：給定{wk}、Φ1和Φ2，優化{ρk}

給定{wk}、Φ1和Φ2時，利用log函數和exp函數的單調性，優化{ρk}的子問題可以表示為

max{ρk}，tt（27a）

s.t.ρk‖gkwk‖2∑f（i）gt;f（k）ρk‖gkwi‖2+σ2k≥et（27b）

ρu‖guwu‖2∑f（i）gt;f（u）ρu‖guwi‖2+σ2u≤ρk‖gkwu‖2∑f（i）gt;f（u）ρk‖gkwi‖2+σ2k

f（u）lt;f（k）u，k∈K（27c）

式（5）（8）

進一步整理，可得問題式（27）的等價為

max{ρk}，tt（28a）

s.t.‖gkwk‖2≥et（∑f（i）gt;f（k）ρk‖gkwi‖2）+etσ2kρk（28b）

‖guwu‖2（∑f（i）gt;f（u）‖gkwi‖2）+σ2kρk‖guwu‖2≤

‖gkwu‖2∑f（i）gt;f（u）‖guwi‖2+σ2uρu‖gkwu‖2

f（u）lt;f（k）u，k∈K（28c）

式（5）（8）

觀察可知，在約束（式（28b））中，et是關于t的凸函數，et/ρk是關于t和ρk的聯合凸函數，因此該約束是凸約束；同理，在約束（式（28c））中，由于1/ρk是關于ρk的凸函數且存在于約束的小于等于號右邊，所以該約束為非凸約束，但是同樣可以應用SCA技術進行求解。

假設在第n-1次迭代時求解問題（28）得到一個可行解集{ρ（n－1）k}，則在第（n）次迭代時，我們可以對函數1/ρk在ρ（n－1）k處進行一階泰勒展開得到其下界

1ρ（n－1）k－1（ρ（n－1）k）2（ρ（n）k－ρ（n－1）k）（29）

將問題（28）中約束（28c）不等號右邊的1ρk用該下界替換，可以得到第（n）次迭代時需要求解的近似問題

max{ρ（n）k}，tt（30a）

s.t.‖gkwk‖2≥et（∑f（i）gt;f（k）ρk‖gkwi‖2）+etσ2kρ（n）k（30b）

‖guwu‖2（∑f（i）gt;f（u）‖gkwi‖2）+σ2kρ（n）k‖guwu‖2≤

‖gkwu‖2∑f（i）gt;f（u）‖guwi‖2+

1ρ（n－1）k－1（ρ（n－1）k）2（ρ（n）k－ρ（n－1）k）σ2u‖gkwu‖2

f（u）lt;f（k）u，k∈K（30c）

式（5）（8）

上述問題為凸優化問題且求解過程和算法1近似，因而在此不再贅述。

2.3子問題3：給定{wk}、{ρk}和Φ2，優化Φ1

給定{wk}、{ρk}和Φ2，將在子問題3中最優化求解IRS 1的波束成形矩陣Φ1。首先令v1=［v1，1，…，v1，M1］H∈CM1×1，其中v1，m1=ejθ1，m1，m1∈{1，…，M1}。因此，用戶k的信道可以重新表示為

gk=vH1U1，k+r1，k（31）

其中：U1，k=diag（hHr1k）Har1+diag（hHr2kΦ2Hrr）Har1∈CM1×NT，

r1，k=hHak+hHr2kΦ2Har1∈C1×NT。因此，對于k，u∈{1，…，K}有

‖gkwu‖2=‖（vH1U1，k+r1，k）wu‖2

=vH1U1，kwuwHuUH1，kv1+vH1U1，kwuwHur1，k+

rH1，kwuwHuUH1，kv1+r1，kwuwHurH1，k=

Tr（sH1Ak，us1）=Tr（Ak，us1sH1）=Tr（Ak，uS1）（32）

其中：S1=s1sH1是一個Hermitian矩陣，即S1≥0且rank（S1）=1，此外還有

Ak，u=U1，kwuwHuUH1，kU1，kwuwHur1，krH1，kwuwHuUH1，kr1，kwuwHurH1，k，s1=v11（33）

利用式（33），對于約束式（11）（12b），速率表達式Rk→k和Ru→k可以重新表達為

Rk→k=log2（1+ρkTr（Ak，kS1）∑f（i）gt;f（k）ρkTr（Ak，iS1）+σ2k）=

Jk→k（S1）+Qk→k（S1）（34）

Ru→u=log2（1+ρkTr（Ak，kS1）∑f（i）gt;f（u）ρkTr（Ak，iS1）+σ2k）=

Ju→k（S1）+Qu→k（S1）（35）

其中：

Jk→k（S1）=log2（∑f（i）gt;f（k）－1ρktr（Ak，iS1）+σ2k）（36）

Qk→k（S1）=－log2（∑f（i）gt;f（k）ρktr（Ak，iS1）+σ2k） （37）

Ju→k（S1）=log2（∑f（i）gt;f（u）－1ρktr（Ak，iS1）+σ2k）（38）

Qu→k（S1）=log2（∑f（i）gt;f（u）ρktr（Ak，iS1）+σ2k） （39）

此外，用戶k采集到的能量可以表示為

Ek=（1－ρk）ηktr（∑Ki=1Ak，iS1）（40）

至此，子問題3可以表示為

maxS1≥0，tt（41a）

s.t.Jk→k（S1）+Qk→k（S1）≥t（41b）

Ju→u（S1）+Qu→u（S1）≤Ju→k（S1）+Qu→k（S1）

f（u）lt;f（k）u，k∈K（41c）

Ek≥γk（41d）

S1（m1，m1）=1m1∈{1，…，M1}（41e）

約束式（41e）中S1（m1，m1）表示S1矩陣的第m1個對角線元素，該約束是約束式（3）的等價形式。值得注意的是，參照問題式（21）通過應用SDR技術暫時去除秩一約束rank（S1）=1。此外，非凸約束式（41b）和（41c）都以凸函數之差的形式存在，因此啟發我們可以應用類似于算法1的SCA技術來求解問題式（41），迭代過程如下所示。

假設在第n-1次迭代時得到可行解S（n－1）1，那么在第n次迭代時需要求解的問題如下所示：

maxS（n）1≥0，tt（42a）

s.t.Jk→k（S（n）1）+QLBk→k（S（n）1，S（n－1）1）≥t（42b）

JUBu→u（S（n）1，S（n－1）1）+Qu→u（S（n）1）≤

Ju→k（S（n）1）+QLBu→k（S（n）1，S（n－1）1）

f（u）lt;f（k）u，k∈K（42c）

Ek≥γk（42d）

S（n）1（m1，m1）=1m1∈{1，…，M1}（42e）

其中：

QLBk→k（S（n）1，S（n－1）1）－log2（∑f（i）gt;f（k）ρktr（Ak，iS（n－1）1）+σ2k）+

∑f（j）gt;f（k）－ρktr（Ak，j（S（n）1－S（n－1）1））ln（2）（∑f（i）gt;f（k）ρktr（Ak，iS（n－1）1）+σ2k）（43）

QLBu→k（S（n）1，S（n－1）1）－log2（∑f（i）gt;f（u）ρktr（Ak，iS（n－1）1）+σ2k）+

∑f（j）gt;f（u）－ρktr（Ak，j（S（n）1－S（n－1）1））ln（2）（∑f（i）gt;f（u）ρktr（Ak，iS（n－1）1）+σ2k）（44）

JLBu→u（S（n）1，S（n－1）1）－log2（∑f（i）gt;f（u）ρutr（Ak，iS（n－1）1）+σ2k）+

∑f（j）gt;f（u）－ρutr（Ak，j（S（n）1－S（n－1）1））ln（2）（∑f（i）gt;f（u）ρktr（Ak，iS（n－1）1）+σ2u）（45）

式（43）～（45）分別是函數Qk→k（S（n）1）、Qu→k（S（n）1）和Ju→u（S（n）1）在給定點S（n－1）1處的一階泰勒展開，分別對應其下界、下界和上界。問題式（42）是一個凸優化問題，因此可以通過類似于算法1的算法進行有效求解，然后利用算法1的步驟6的高斯隨機化方法得到IRS 1最優的波束成形矩陣Φ1。

2.4子問題4：給定{wk}、{ρk}和Φ1，優化Φ2

給定{wk}、{ρk}和Φ1，將在子問題4中最優化求解IRS 2的波束成形矩陣Φ2。首先令v2=［v2，1，…，v2，M2］H∈CM2×1，其中v2，m2=ejθ2，m2，m2∈{1，…，M2}。因此，用戶k的信道可以重新表示為

gk=vH2U2，k+r2，k（46）

其中：U2，k=diag（hHr2k）HrrΦ1Har1+diag（hHr2k）Har2∈CM2×NT，r2，k=hHak+hHr1kΦ1Har1∈C1×NT。此外，對于k，u∈{1，…，K}，有

‖gkwu‖2=‖（vH2U2，k+r2，k）wu‖2=

vH2U2，kwuwHuUH2，kv2+vH2U2，kwuwHur2，k+

rH2，kwuwHuUH2，kv2+r2，kwuwHurH2，k=

tr（sH2Bk，us2）=tr（Bk，us2sH2）=tr（Bk，uS2）（47）

其中：S2=s2sH2是一個Hermitian矩陣，即S2≥0且rank（S2）=1，此外還有

Bk，u=U2，kwuwHuUH2，kU2，kwuwHur2，krH2，kwuwHuUH2，kr2，kwuwHurH2，k，s2=v21（48）

利用式（48），對于約束（11）和（12b），速率表達式Rk→k和Ru→k可以重新表達為

Rk→k=log21+ρktr（Bk，kS2）∑f（i）gt;f（k）ρktr（Bk，iS2）+σ2k=

Lk→k（S2）+Zk→k（S2）（49）

Ru→k=log21+ρktr（Bk，uS2）∑f（i）gt;f（u）ρktr（Bk，iS2）+σ2k=

Lu→k（S2）+Zu→k（S2）（50）

其中：

Lk→k（S2）=log2（∑f（i）gt;f（k）－1ρkTr（Bk，iS2）+σ2k）（51）

Zk→k（S2）=－log2（∑f（i）gt;f（k）ρkTr（Bk，iS2）+σ2k）（52）

Lu→k（S1）=log2（∑f（i）gt;f（u）－1ρkTr（Bk，iS2）+σ2k）（53）

Zu→k（S2）=log2（∑f（i）gt;f（u）ρkTr（Bk，iS2）+σ2k）（54）

此外，用戶k采集到的能量可以表示為

Ek=（1－ρk）ηktr（∑Ki=1Bk，iS2）（55）

利用上述表達式（49）和（50），子問題3可以表示為

maxS2≥0，tt（55a）

s.t.Lk→k（S2）+Zk→k（S2）≥t（55b）

Lu→u（S2）+Zu→u（S2）≤Lu→k（S2）+Zu→k（S2）

f（u）lt;f（k）u，k∈K（55c）

Ek≥γk（55d）

S2（m2，m2）=1m2∈{1，…，M2}（55e）

rank（S2）=1（55f）

觀察可知問題（55）具有和問題（41）同樣的形式，因此可以使用同樣的方法進行求解，因此我們將不再進行贅述。

2.1整體算法和復雜度分析

算法2

輸入：可行解{ρk}、Φ1、Φ2和{wk}。

1初始化，設定收斂閾值ε，迭代索引i=0，以及各個變量的初始值，即{W（0）k}、{ρ（0）k}、Φ（0）1、Φ（0）2和t（0）；

2重復：

3i=i+1；

4基于{w（i－1）k}、{ρ（i－1）k}、Φ（i－1）1和Φ（i－1）2，求解問題式（21）得到{W（i）k}；

5基于{w（i）k}、{ρ（i－1）k}、Φ（i－1）1和Φ（i－1）2，求解問題式（27）得到{ρ（i）k}；

6基于{w（i）k}、{ρ（i）k}、Φ（i－1）1和Φ（i－1）2，求解問題式（41）得到Φ（i）1；

7基于{w（i）k}、{ρ（i）k}、Φ（i）1和Φ（i－1）2，求解問題式（55）得到Φ（i）2；

8根據式（9）計算SINR（i）k→k、R（i）k→k=log2（1+SINR（i）k→k）以及t（i）=mink{R（i）k→k}；

9直到t（i）－t（i－1）t（i）≤ε；

輸出：優化后的{ρk}、Φ1、Φ2和{wk}。

算法2給出了求解問題式（12）的整體算法，下面將證明算法2的收斂性。

首先證明執行算法的步驟4～7得到的解代入問題式（12）得到的目標函數值是非減的。以步驟4為例，定義問題式（12）的目標函數值為一函數g（{wk}，{ρk}，Φ1，Φ2），問題式（26）的目標函數值為gLB（{wk}，{ρk}，Φ1，Φ2），在第i次迭代時，給定{w（i－1）k}、{ρ（i－1）k}、Φ（i－1）1和Φ（i－1）2，通過執行步驟4可以求解得到{w（i）k}，且有以下關系：

g（{w（i－1）k}，{ρ（i－1）k}，Φ（i－1）1，Φ（i－1）2）

=gLB（{w（i－1）k}，{ρ（i－1）k}，Φ（i－1）1，Φ（i－1）2）≤（56）

gLB（{w（i）k}，{ρ（i－1）k}，Φ（i－1）1，Φ（i－1）2）≤（57）

g（{w（i）k}，{ρ（i－1）k}，Φ（i－1）1，Φ（i－1）2）（58）

等式（56）成立是因為在給定的局部點（{w（i－1）k}，{ρ（i－1）k}，Φ（i－1）1，Φ（i－1）2）上，函數的一階泰勒展開式的數值是等于它原始函數的數值；等式（57）成立是因為執行步驟4得到的解{w（i）k}是問題（26）的最優解；等式（58）成立是因為問題式（26）的目標函數值是問題式（12）的目標函數值的下界。因此，在每次迭代中執行步驟4后得到的問題式（12）的目標值都是非減的［26］，而同樣的證明方法可以應用于步驟5～7。因此，可以得出在每一次迭代中問題式（12）的目標函數值都是非減的結論。此外，由于最大發射功率約束（式（2））的存在，問題式（12）的目標函數值是有上界的。因此，算法2是保證收斂的。

算法2的計算復雜度主要在于執行步驟4～7。在步驟4求解問題式（21）過程中，式（21）有K個維度為NT×NT的矩陣變量，1個實數標量變量，K個維度為NT×NT的半正定約束以及2K+1+K（K+1）2個線性約束，因此執行步驟4的計算復雜度為O（（K3N6T+K4N4T）（K0.5N0.5T+K））［27］。同樣，執行步驟5～7的計算復雜度分別為O（K4）、O（（M61+M41K2）（M0.51+K））和O（（M62+M42K2）（M0.52+K））。因此，算法2的總體計算復雜度為O（（K3N6T+K4N4T）（K0.5N0.5T+K）+K4+（M61+M41K2）（M0.51+K）+（M62+M42K2）（M0.52+K））。

3仿真結果

本文通過計算機MATLAB仿真實驗驗證所提系統（Proposed）的優異性以及對應算法的有效性，其中MATLAB版本為R2018a，CVX工具箱版本為2.2，CVX求解器使用MOSEK求解器，版本為9.1.9。將所提系統與下列基準方案進行對比：

a）AP-IRS。部署單個IRS的方案［22］，僅部署靠近AP端的IRS，即IRS 1，并通過執行算法2除了步驟7以外的其他步驟聯合優化{wk}、{ρk}和Φ1。

b）User-IRS。部署單個IRS的方案［22］，僅部署靠近用戶端的IRS，即IRS 2，并通過執行算法2除了步驟6以外的其他步驟聯合優化{wk}、{ρk}和Φ2。

c）No-PS。固定每個用戶k的功率分割系數為ρk=1，并通過執行算法2除了步驟5以外的其他步驟聯合優化{wk}、Φ1和Φ2。

d）Random-IRS。IRS 1和IRS 2采用不經過優化的隨機波束成形矩陣，并通過執行算法2除了步驟6和7以外的其他步驟聯合優化{wk}和{ρk}。

e）No-IRS。不考慮部署任何IRS，即Φ1=Φ2=0，并通過執行算法2除了步驟6和7以外的其他步驟聯合優化{wk}和{ρk}。

在仿真參數中，設定AP的發送天線個數NT=8，用戶數目K=4，IRS 1的反射單元個數M1=30，IRS 2的反射單元個數M2=30。如圖2所示，該網絡中的所有節點均位于一個二維平面，其中AP位于原點（0，0），IRS 1位于（x1，y1），IRS 2位于（x2，y2），所有用戶隨機分布在原點為（xu，0）、半徑為ru的圓圈內。在仿真中設定x1=2 m，x2=8 m，y1=y2=5 m，xu=12 m以及ru=3.5 m。所有信道的基于距離的路徑損耗模型為

PL（d）=ξ0（dd0）－α（59）

其中：ξ0=－30 dB表示以d0=1 m為單位距離的路徑損耗值；d表示鏈路距離；α表示路徑損耗指數。在仿真中，AP到每個用戶、IRS 1到每個用戶和IRS 2到每個用戶的路徑損耗指數分別設定為3.2、2.8和2.2；AP到IRS 1的路徑損耗指數設定為2.2而AP到IRS 2的路徑損耗指數設定為2.8。此外，假設IRS 1和IRS 2之間的鏈路為視距鏈路（LoS），對應的路徑損耗指數為2.0，并且其他信道統一假設為rician信道。對于rician信道，其模型為

h=PL（d）β1+βhLoS+11+βhNLoS（60）

其中：hLoS表示鏈路中確定性的LoS路徑成分，而hNLoS表示非LoS的瑞利衰落路徑成分，β表示萊斯因子并且所有信道的萊斯因子統一設定為β=3 dB。此外，假設所有用戶所需要采集能量的數量是相等的，即γk=γ，k。其他仿真參數設定為ηk=1，σ2k=－80 dBm，k，ε=10－3。表1對主要仿真參數進行了總結。

圖3所示為不同方案能夠實現的最小速率隨著Pmax的變化趨勢，其中能量采集需求設定為γ=0.5 μW。從圖中可以看出，隨著可用最大發送功率Pmax的增加，所有方案可實現的最大最小速率都隨著增加，其中在所有方案中本文的Proposed方案總是實現最大的最大最小速率。對比Proposed方案和兩個單IRS部署的方案AP-IRS和User-IRS可以發現，proposed方案和AP-IRS以及User-IRS方案的差距隨著Pmax的增加幾乎不變，表明本文的Proposed方案在不同的可用發送功率情況下都能保持優異的性能表現，這是因為雙IRS的部署為信號傳輸提供了額外的傳播鏈路，使得系統具有更好的繞開障礙物的能力，因此具有更好的性能表現。通過觀察Random-IRS和No-IRS方案的曲線發現兩者的數值相差很小，可知即使部署了IRS，如果不對IRS的相位進行優化則無法充分利用IRS的潛能，從而導致系統性能相比不部署IRS的方案提升很小。此外，可以觀察到部署了雙IRS的Random-IRS方案的曲線數值均比部署了單IRS的AP-IRS和User-IRS方案的曲線數值小，可知即使部署了雙IRS，Random-IRS方案能夠實現的性能也差于只部署了單個IRS但是有進行相位優化的AP-IRS和User-IRS方案，因此可以推斷出聯合優化IRS相位的重要性。再者，在所有曲線中No-PS方案一直實現最差的最大最小速率，這也說明了聯合優化功率分割系數的重要性。

圖4所示為不同方案能夠實現的最大最小速率隨著γ的變化趨勢，其中最大可用發送功率設定為Pmax=43 dBm。從圖4中可以得到與圖3相一致的結論。首先從圖中可以看出，隨著能量采集需求γ的增加，所有方案可實現的最大最小速率都隨著減小，而在所有方案中Proposed方案總是實現最好的最大最小速率，表明了本文所提系統的優異性和所提算法的有效性。通過對比Proposed方案和AP-IRS以及User-IRS方案，同樣表明了部署雙IRS的優異性；通過對比Random-IRS和No-IRS、AP-IRS以及User-IRS方案，同樣表明了聯合優化IRS相位的重要性；通過對比No-PS方案和其他所有方案，表明了聯合優化功率分割系數的重要性。

4結束語

本文研究了一個雙IRS輔助的基于NOMA的多用戶下行SWIPT系統，在滿足用戶最小能量采集需求的基礎上，通過聯合優化AP端的波束成形矢量、兩個IRS的波束成形矩陣以及用戶端的功率分割系數最大化了系統的最小速率。通過應用SDR和SCA技術，提出了一個基于交替優化的算法來高效求解所提出的有著耦合變量難以求解的非凸優化問題，并分析了算法的收斂性及計算復雜度。仿真結果表明了所提的系統相比其他基準方案總能實現最好的性能表現，不僅證明了部署雙IRS的優異性，也證明了聯合優化IRS相位和功率分割系數在提升系統性能表現上的重要性。

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收稿日期：2022-04-21；修回日期：2022-06-24基金項目：國家重點研發計劃資助項目（2020YFB1805300）；廣東省科技計劃資助項目（2021A0505030015）

作者簡介：陳嘉悅（1964-）， 男， 高級工程師， 主要研究方向為無線傳輸技術、物聯網技術（gagu3145@163.com）; 龐海艦（1997-）， 男， 碩士研究生， 主要研究方向為新一代無線通信技術；裘康 （1993-）， 男， 助理工程師， 主要研究方向為軟件無線電；崔苗（1978-）， 女， 講師， 主要研究方向為無線通信技術; 張廣馳（1982-）， 男， 教授， 主要研究方向為新一代無線通信技術.