基于改進MC算法和分數階混沌的CT圖像三維重建和加密方案

摘要：在現代醫療領域的病理診斷與手術實操中，需要對CT（computed tomography）進行三維重建實現二維圖像的三維可視化以提高診斷和操作的正確性。針對目前三維重建耗時過長、精度欠佳等問題，提出了一種改進的MC（marching cubes）算法，采用包圍盒分割算法提取包含等值面的體素，有效提高了重建效率；利用三線性插值法計算等值面與體素的交點信息，從而提高了重建精度。為保障醫療信息在云存儲以及網絡傳輸的安全性，提出了一種基于分數階Lorenz混沌的三維模型加密方案，實現了重建數據在頻域的混沌加密。實驗結果表明，改進的MC算法具有良好的重建效率和重建精度，提出的加密方案能有效地保護重建后的三維數據，并能抵抗窮舉攻擊、差分攻擊和統計攻擊。

關鍵詞：三維重建；分數階混沌；CT圖像；加密

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A文章編號：1001-3695（2023）01-041-0000-00

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2022.04.0263

3D reconstruction and encryption scheme of CT images based on improved MC algorithm and fractional-order chaos

Zeng Ping， Wang Bingqing， Zhao Geng， Ma Yingjie

（Beijing Electronic Science amp; Technology Institute， BeiJing 100070， China）

Abstract：

In the modern medical field of pathological diagnosis and surgical practice， it is necessary to perform three-dimensional reconstruction of CT（computed tomography） to realize three-dimensional visualization of two-dimensional images to improve the accuracy of diagnosis and operation. To address the current problems of time-consuming and poor accuracy of 3D reconstruction， this paper proposed an improved MC（marching cubes） algorithm， which used an enclosing box segmentation algorithm to extract voxels containing equivalent surfaces， effectively improving the reconstruction efficiency; the intersection of equivalent surfaces and voxels is calculated using trilinear interpolation， thus improving the reconstruction accuracy. In order to ensure the security of medical information in cloud storage and network transmission， this paper proposed a three-dimensional model encryption scheme based on fractional Lorenz chaos， which realized the chaotic encryption of reconstruction data in the frequency domain. The experimental results show that the improved MC algorithm has good reconstruction efficiency and reconstruction accuracy， and the proposed encryption scheme can effectively protect the reconstructed 3D data and resist exhaustive attacks， differential attacks and statistical attacks.

Key words：3D reconstruction; fractional order chaos; CT images; encryption

0引言

借助物聯網和遠程醫療技術的快速發展，偏遠地區的患者也能夠便捷地享受優質的醫療資源。CT作為觀察病灶的有效手段，被廣泛地應用于臨床醫學的診斷，但仍存在肉眼觀察效率低并且誤診率高的問題。目前普遍采用依據二維CT圖像斷層序列，重建具有立體效果的三維圖像的方法，真實、快速地呈現組織、器官及骨骼的三維結構信息，因此CT圖像三維重建是當前醫學圖像處理領域中的研究熱點之一。

與此同時，遠程醫療系統雖然極大地方便了患者數據的存儲和通信，但也降低了數據的安全性。由于CT圖像及其重建生成的三維模型文件自身存在數據量大、空間分布復雜等特點，傳統的加密手段如AES、DES等技術并不適用，特別在加密速率上，無法適應實時大信息量的傳輸要求。目前，較為成熟的加密技術大多是針對二維圖像的，但是三維模型的加密需求正在不斷擴大，因此，如何高效安全地實現三維模型數據的加密保護仍然是當前的研究熱點。

在三維重建面繪制算法中，使用最為廣泛的是MC算法［1］，該算法原理簡單、重建效率高，國內外眾多學者針對其繪制質量、運算速度和拓撲二義性等問題提出了改進算法。李怡敏等人［2］對MC算法的拓撲結構作出了調整，從而減少了重建表面的空洞，Wang等人［3］采用中值法代替線性插值法來簡化計算過程，Wang等人［4］提出了多邊形合并的方法，Roberto等人［5］提出一種不需要查找表的并行MC算法，這些方法均有效提高了重建效率，但不可避免地損失了重建效果。

混沌密碼學如今是混沌理論的一個重要的應用領域，是一種新的密碼加密算法，具有簡單、高效、安全等優點［6］。如今混沌密碼技術的研究成果包括了序列密碼［7，8］、分組密碼［9，10］和公鑰密碼［11，12］等應用。Hanif等人［13］利用改進的Logistic映射和分段線性混沌映射實現了三維多圖像的加密。張雷等人［14］提出了一種基于S盒和混沌映射的圖像加密方案，具有良好的明文敏感性。但是低維混沌加密方案存在被破解的風險［15］，所以使用高維混沌進行加密更優。同時，和整數階混沌系統相比，分數階混沌系統更加穩定，具有更復雜的動力學特性，還具有更強的歷史記憶性能。Al-Khedhairi等人［16］基于分數階混沌結合橢圓曲線，實現了對彩色圖像的加密，并且具有良好的抗攻擊性和魯棒性。Xu等人［17］提出了一種新的基于離散分數階混沌系統的加密方案，并結合DNA編碼算法實現了三維圖像的有效加密。

根據前人的以上研究，本文首先對MC算法進行改進，設計了一種基于包圍盒分割和三線性插值的三維重建方案。本方案利用包圍盒分割算法，選擇并提取出所有包含等值面的體素，從而在進行等值面的提取時，能夠快速準確地定位有效體素，無須遍歷所有體素，有效提高了重建效率。其次，利用三線性插值算法計算等值面與體素的交點信息，該方法利用八個相鄰頂點的屬性值來計算，有效提高了重建精度。

同時，本文對混沌密碼學進行研究，設計出一種基于分數階Lorenz混沌系統的三維模型加密方案。在加密操作前通過離散小波變換，將數據轉換到頻域并提取出頻域系數，從而實現了數據的壓縮。在頻域的混沌加密不僅復雜度和加密效率高，而且提高了算法的安全性，有效增強了加密效果，并且分數階Lorenz混沌系統擁有較大的參數空間，將其作為混沌序列的生成器具有更高的安全性。

1基礎知識

1.1MC算法

MC算法將三維空間中相鄰相對的八個數據點組成的立方體作為一個體素，如圖1所示，利用給定的閾值將所有體素中具有相同大小屬性值的切面提取出來，形成等值面，即可繪制出三維模型的具體樣貌。

具體算法如下：

首先提取一個體素，將其每個頂點的屬性值分別與閾值進行比較，將八個頂點分類為等值面內部或外部，依據頂點不同的分布情況，確定與等值面相交的體素棱邊，繼而得到體素內等值面片的拓撲結構。

接下來，利用線性插值計算每一個體素中等值面片各頂點的坐標，為了產生逼真的三維模型，需要選取合適的照明模型進行計算，因此采用中心差分法計算體素頂點處的梯度值，再采用線性插值法計算等值面片各個頂點的法向量。最后，利用等值面片的頂點坐標和法向量繪制完整的等值面，從而得到重建后的三維模型。

1.2分數階Lorenz混沌系統

對分數階導數的概念有多種定義，在實際工程應用中，使用較多的是Caputo微分，定義如下：

Dα*x（t）=Jm－αx（m）（t），αgt;0（1）

其中：m=［α］，為第一個不小于α的整數，x（m）（t）是x（t）的m階導數，Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子，即

Jβy（t）=1Γ（s）∫t0（t－x）β－1y（x）dx，βgt;0（2）

其中：Γ（）是Gamma函數。

基于此的分數階Lorenz混沌系統為

Dα1x=σ（y－x）Dα2y=γx－y－xzDα3y=xy－μz（3）

當σ=10，μ=8/3，γ=28，0lt;α1，α2，α3lt;1時，分數階Lorenz系統有一個混沌吸引子，從而得到系統的三個平衡點為

S0（0，0，0）

S1（μ（γ－1），μ（γ－1），γ－1）

S2（－μ（γ－1），－μ（γ－1），γ－1）（4）

其中：S0是鞍點，S1、S2是不穩定焦點。系統進入混沌狀態后，其運動軌跡會圍繞著兩個不定焦點S1、S2隨機跳動，成雙螺旋狀，表示混沌系統無序穩定的運動形態。

1.3離散小波變換

如果函數ψ（t）∈L2（R），其傅里葉變換滿足

Cψ=∫|ψΛ（ω）|2|ω|" dωlt;∞（5）

則ψ（t）為基本小波。此時，可以再通過恒等變換將式子變為基本小波變換：

ψa，b（t）=|a|－1/2ψx－ba（6）

其中：a是尺度因子，其含義是對小波的尺度進行調整，b是平移因子其含義是調節窗口的平移。

由于計算機中的數據信息是以離散信號形式存在的，所以需要使用離散小波變換來處理數據。對a和b按冪級數進行離散化，即取a=am0，b=bm0（m為整數，a0≠1，一般假定a01），得到離散小波函數為

ψm，n（t）=1|a0|ψ（t－nam0b0am0）=1|a0|ψ（a－m0t－nb0）（7）

其對應系數為

Cm，n=〈f（t），ψm，n〉=∫+∞－∞f（t）ψm，n（t）dt（8）

因此，離散小波變換為

WTf（m，n）=〈m，n〉=∫+∞－∞f（t）ψm，n（t）dt（9）

數據信息經過離散小波變換，會將原始數據變換到頻域，由四個子帶組成，分別是水平和垂直方向的低頻子帶（LL）、水平方向的低頻和垂直方向的高頻子帶（LH）、水平方向的高頻和垂直方向的低頻子帶（HL）和水平和垂直方向的高頻子帶（HH）。這些系數可以被高效壓縮、存儲和計算，減少后續加密操作時的數據處理量。與空間域相比，在頻域的混沌加密安全性和加密效率高，與時間域相比，在數據壓縮方面具有更好的性能。

2CT圖像三維重建和加密方案設計

2.1系統模型

本文基于VTK平臺實現對二維圖像的三維重建。系統首先對輸入的CT圖像進行識別與讀取，本文采用的CT圖像格式均為dcm格式，在三維重建過程中，首先使用本文提出的包圍盒分割算法對體素進行分割，確定體素內等值面片的拓撲結構后，采用三線性插值法進行面片與體素交點的提取，從而構建出三維模型。為了保證三維模型數據傳輸的安全性，采用基于分數階Lorenz混沌系統的加密方法實現三維模型的加密。圖2給出了方案的模型圖。

2.2CT圖像三維重建方案

一方面，本文提出一種包圍盒分割算法，實現有效體素的提取。由于在所有體素中，只有部分體素是包含等值面的，因此，有必要將CT圖像分割技術與三維重建算法相結合。本算法就可以有效分割出包含等值面的體素，在重建時能夠快速準確地定位有效體素，無須遍歷所有體素，從而提高了重建效率。另一方面，利用三線性插值算法提取等值面與體素的交點信息，實現面片頂點坐標更精準計算。由文獻［17］可知，對于體素內的任意一點均可由該體素的八個頂點值線性計算得到，基于此本算法利用三線性插值法，通過八個相鄰頂點的屬性值來計算交點，能夠更加準確地提取出該點的位置信息，有效提高了重建精度。圖3給出了改進后的三維重建方案流程圖。

方案的具體實現如下：

a）選取CT圖像的切片序列構建三維數據場，并引入三維坐標系。由一幅CT圖像上的四個相鄰數據點和下一幅CT圖像上的四個相鄰數據點構成一個體素。

b）確定三維重建目標物質的屬性值C，即為等值面的閾值。使用包圍盒分割算法提取出包含等值面的體素。

c）將體素8個頂點的屬性值與閾值進行比較，每個點有兩種比較結果：a）頂點屬性值lt;閾值，該點處于等值面外，標號為“1”；b）頂點屬性值≥閾值，該點處于等值面內，標號為“0”。

d）確定等值面片的拓撲狀態。按順序建立二進制的編碼索引，256種編碼對應15種情況。根據體素內各頂點與閾值的大小情況，確定該體素與等值面的相交情況。

e）采用三線性插值算法計算等值面和體素的交點位置。

f）確定遍歷所有包含等值面的體素，將所有等值面片拼接起來進行渲染，形成三維模型。

重建后的文件保存為obj格式，該格式支持目前幾乎所有知名的3D軟件對3D模型的讀寫。

2.2.1包圍盒分割算法

由于體素中每個點的數據值是已經確定的，而本文需要分割出的部位屬性也是已知的，所以可以首先想到采取基于閾值的分割算法，但是該算法只能簡單地將體素分為大于某閾值的部分和小于某閾值的部分，如果目標區域的屬性值處于整個數據集屬性值的中間，就必須設定多個閾值實現分割。基于上述思路，并結合區域生長思想，本文提出了一種包圍盒分割算法，將體素作為最小分割對象，將閾值范圍作為分割準則，從而將數據分為目標和背景兩個部分，提取出包含有效信息的體素。

本算法的基本思想是一次性地遍歷數據集中的所有體素，并篩選出具有某一屬性值特征的體素區域，進而得到這些區域的鄰接圖，將其包圍并分割出來。

算法的具體實現如下：

a）創建存放目標體素的集合R，以及與數據集大小一致的數據區域S。

b）選取一個體素，設置為起始位置。

c）分別對相鄰的體素依次進行擴展，首先判斷該體素是否被分割過，判斷依據是看其對應的數據區域S中是否存放有該體素的分割結果。如果沒有被分割過，則判斷其與起始點是否具有相同的屬性特征；當分割到具有不同屬性特征的體素時，停止分割，將所有滿足條件的目標體素添加到集合R中，生成一個子區域，并更新所有體素的數據區域S。

d）遍歷完數據集中所有體素后，通過數據區域S的值，合并提取出具有同一屬性特征的所有區域。

2.2.2交點提取

本文使用三線性插值法代替普通線性插值法來提取交點的位置信息，對于體素中的任一點（x，y，z）的值，通過體素的八個頂點插值計算得到。

設每個頂點的數值分別是：V000，V100，V010，…. V111，體素中（x，y，z）的值為Vxyz，公式如下：

Vxyz=V000（1－x）（1－y）（1－z）+V100x（1－y）（1－z）+

V010（1－x）y（1－z）+V001（1－x）（1－y）z+

V101x（1－y）z+V011（1－x）yz+V110xy（1－z）+V111xyz（10）

將八個頂點和等值面的屬性值代入，即可計算出交點坐標。

2.3基于分數階Lorenz混沌系統的加密方案

為了實現三維模型的有效保護，本文提出一種基于分數階Lorenz混沌系統的三維模型加密方案。由于三維模型的數據量較大且數據冗余度高，在進行加密前先將模型數據進行有效壓縮，本方案采用離散小波變換將數據的頻域系數提取出來，并構成系數矩陣，作為后續加密操作的對象，從而提高了加密的效率。同時，本方案采用分數階Lorenz混沌系統作為隨機序列生成器，該系統可以同步生成三個混沌序列，本文將其進行隨機組合構成序列矩陣，從而提升了用于加密的混沌序列的隨機性。

方案在具體實現時，將CT圖像經過重建之后得到的三維模型作為輸入，首先對此模型中的三維數據進行提取，分別得到頂點信息和面片信息，將信息數據通過離散小波變換，得到數據的頻域系數矩陣。使用分數階Lorenz混沌系統生成的混沌序列構成序列矩陣，對系數矩陣進行異或計算以達到加密的效果。圖4給出了加密方案的具體流程。

方案具體實現如下：

a）數據的讀取與壓縮。識別輸入的三維模型數據為obj格式，對其頂點數據與面片數據進行讀取，并形成數據矩陣。采用離散小波變換對該數據進行分解，將數據變換到頻域，分別提取出HH、HL、LH和LL四個頻帶的系數，并將其構成大小為r×s的系數矩陣P。

b）混沌序列的生成與預處理。將初始值（x0，y0，z0）作為密鑰，輸入分數階Lorenz混沌系統，在經過迭代后生成三組混沌序列，將其進行排列組合，并構成大小為r×s序列矩陣Q。

c）加密運算。將系數矩陣P和序列矩陣Q進行按位異或運算，實現數據擴散，運算后得到的矩陣為密文數據的頻帶系數，對其進行離散小波逆變換，得到完整的密文數據。

d）獲取模型。將密文數據再次寫入obj文件，即可得到三維加密模型。

3仿真驗證與性能分析

3.1CT圖像三維重建系統

在visual studio 2017的環境下，構建了一個基于VTK框架的CT圖像三維重建系統。VTK采用管線模型來實現數據或圖形的可視化，包含圖形模型和可視化模型兩個部分，本文基于此構建的三維重建系統包括二維CT斷層圖像讀取和顯示功能以及三維重建功能，在系統的主界面包含了這兩大功能模塊。

將以下三組CT圖像的二維圖像序列輸入系統，重建出對應的三維模型，在顯示界面還可以通過調整角度來更好地觀察重建后的圖像，從圖5給出的重建結果中可以看出，本方案的重建質量良好，三維模型表面光滑，真實細膩。

為了進一步證明所提方案的優越性，本文采用MICCAI大賽提供的腦部CT數據集，如圖6所示，將本文重建方案與標準MC算法以及文獻［4，18］的重建方案進行詳細對比。圖7和表1給出了對比結果，可以看到本文的方案大幅度地減少了重建時遍歷體素的個數，說明本文提出的分割算法能有效地將包含目標信息的體素區域提取出來，重建時間在一秒左右，因此本文的重建算法能夠滿足實時性需求，具有可操作性與實用性。

3.2三維模型加密

本加密方案使用MATLAB進行仿真實現，將上一實驗中得到的重建后的三維模型進行加密。方案首先識別輸入的模型文件格式為obj，讀取文件內容后，利用while循環提取出該三維模型的面片信息與頂點信息，將所有數據進行離散小波變換，提取出四個頻帶系數并生成大小為r×s的系數矩陣。

分數階Lorenz混沌系統的參數如表2所示，將其生成的三組混沌序列均舍去前1000位數據，并進行排列組合，以保證其是充分隨機的。將生成的混沌序列變換為大小是r×s的矩陣，對系數矩陣進行異或操作，達到加密效果。將加密后的數據進行離散小波逆變換，再寫入obj文件以生成三維加密模型。

加密后的效果如圖8所示，可以發現，三維加密模型完全失去了原始三維模型的外觀特征，用肉眼看不出與原始模型有任何聯系。

4安全性分析

4.1密鑰空間分析

密鑰空間是指加密密鑰可選取大小的范圍，一般是以位作為單位。本文的加密方案采用了分數階Lorenz混沌系統，并且該系統是三維的，具有較大的參數空間，因此可以獲得較大的密鑰空間。

在當前的計算機處理能力下，密鑰空間大于2128的算法被認為是可以有效抵御窮舉攻擊的。本方案的密鑰為混沌系統的初始參數，均為雙精度實數，小數位由52位二進制表示。由此可計算出密鑰空間為

key=252×252×252=2156gt;2128

故本算法具有抗窮舉攻擊的能力。

4.2抗差分攻擊能力分析

NPCR（number of pixels change rate） 和UACI（unified average changing intensity）是衡量圖像加密算法安全性能的重要指標，用來測試算法是否能夠抵抗差分攻擊。三維模型數據矩陣可以看做一種特殊的圖像矩陣，因此，這些分析方法可以用于三維模型加密算法的安全性分析。具體計算方法如下：

選取密文圖像C1和C2，令矩陣D與密文圖像C1和密文圖像C2的大小一致。當C1（i，j）=C2（i，j）時，D（i，j）=0，否則D（i，j）=1。此時NPCR和UACI的計算公式為

NPCR=1M×N×∑Mi=1 ∑Nj=1D（i，j）（11）

UACI=1M×N×∑Mi=1 ∑Nj=1|C1（i，j）－C2（i，j）|255」（12）

經MATLAB數值仿真，得到本文加密模型的NPCR和UACI的值如表3所示，均接近于NPCR的理想值0.996和UACI的理想值0.334，在可接受的范圍內。因此，加密算法具有良好的抗差分攻擊能力。

4.3抗統計攻擊能力分析

4.3.1直方圖分析

為了衡量算法是否能夠抵御統計攻擊，本文繪制了兩組明文數據與密文數據的直方圖。理想的密文數據可以看做均勻分布，能有效抵御統計攻擊。從圖9的實驗結果可見，加密前數據的分布很集中，而加密后的密文直方圖比明文直方圖均勻許多，也比較平坦，并且通過密文直方圖無法獲得任何與明文統計特性相關的信息，因此，本文的加密方案能有效地將明文信息進行隱藏，也可以有效對抗統計攻擊。

4.3.2相關性分析

在三維模型的明文數據中，坐標的分布都有很強的相關性。因此，需要通過降低相關性來隱藏明文的統計信息。本文可以通過隨機選取明文數據和密文數據中的一列，并分析各自的相關性，來驗證本文加密方案的安全性。計算公式如下：

ρxy=E（X－E（X））（Y－E（Y））D（x）D（y）（13）

E（x）=1N∑Ni=1xi（14）

D（x）=1N∑Ni=1（xi－E（x））2（15）

其中：E（x）和D（x）分別表示變量的期望和方差，明文矩陣和密文矩陣的相關性結果如圖10和11以及表4所示。

圖中分別繪制了兩組明文數據和密文數據在x、y、z三個方向上的坐標分布情況，可以看出明文在三個方向上的分布點集中，而密文的分布趨于平均。表中列出了兩組數據三個方向上的相關系數，可以看出經過本文提出的加密方案后，三維加密模型信息趨于零相關。因此，本方案有較好的抗統計攻擊能力。

5結束語

針對CT圖像的三維重建，本文結合了包圍盒分割算法來簡化運算過程、利用三線性插值法代替線性插值法，設計了一個三維重建方案，并構建了一個CT圖像三維重建系統，實現了CT圖像的三維可視化。同時，針對三維模型的加密保護，本文結合離散小波變換，使用分數階Lorenz系統，構建了一個有效的加密方案，實現了三維數據在頻域的混沌加密，有效提高了數據的安全性，并且本方案具有良好的抗窮舉攻擊、差分攻擊和統計攻擊能力。

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收稿日期：2022-40-20；修回日期：2022-07-08基金項目：北京高校“高精尖”學科建設項目（3201017）；國家自然科學基金資助項目（61772047）

作者簡介：曾萍（1969-），女，廣東潮安人，教授，博士，主要研究方向為通信與網絡安全、物聯網安全；王冰清（1996-），女（通信作者），河北邢臺人，碩士研究生，主要研究方向為混沌密碼通信（15833393654@163.com）；趙耿（1964-），教授，博導，主要研究方向為混沌密碼通信；馬英杰（1979-），副教授，主要研究方向為混沌密碼通信.