基于Multisim和Matlab的一階系統調節時間仿真

(廣州南洋理工職業學院 信息工程學院，廣東廣州市，510900)黃勇超 鄧發云

在經典的自動控制理論中，一階系統的過渡過程沒有超調部分，只有一個基于時間常數T的性能指標即調節時間，取5%誤差帶時的調節時間ts=3T。調節時間與時間常數的3倍關系，可用Matlab和Multisim仿真來分析。

MATLAB軟件由開發環境、數學函數庫、編程語言、圖形處理系統和應用程序接口等部分構成，內含圖形化用戶界面、大量的計算算法以及調用C、Fortran程序。MATLAB軟件具有強大的數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真功能。Matlab編程及其內含的Simulink仿真可以讓學生直觀認識一階系統調節時間與時間常數的關系。

一階系統通常由一階RC電路實現，因此，一階系統的過渡過程也可用Multisim仿真來分析。

Multisim軟件有豐富的數據元件、強大測試儀器、完備的電路分析手段[1]，可以解決理論教學與實際動手的脫節[2]，其中的實際元器件使設計仿真與實際情況有良好的對應性，可以直接導出到Ultiboard中進行PCB的設計，其中的虛擬元器件只能用于仿真，可以根據需要改變的參數值[3]。Multisim仿真搭建一階RC電路，可以逼真再現實驗環境，直接分析電路的內部和外部特性[4]，同樣可以驗證一階系統調節時間與時間常數的關系。

下面以一階RC電路為例分析一階系統調節時間與時間常數的關系。

1 一階RC電路的理論調節時間

圖1所示的一階RC電路中，輸入電壓Ur時電流立即對電容C充電，最后電壓Uc=Ur進入穩定狀態，結束充電的過渡過程。

圖1 一階RC電路

該一階RC電路微分方程可推導求得：

圖1中，設一階RC電路的R=100KΩ，C=1uF，初始條件為y(0)=0以及y′(0)=0，則電路的時間常數T=RC=0.1s。

將(1)式進行拉氏變換，可得一階RC電路的傳遞函數為：

令輸入電壓Ur=10V，在零初始狀態下，一階RC電路的階躍響應為：對(3)式進行拉氏反變換，可以得到：

在(4)式中，uc對時間t單調遞增。按5%的誤差計算一階RC電路的調節時間，令Uc(t)=9.5，可得t=0.3，即電路的理論調節時間ts=3T=0.3s。

2 一階RC電路的Matlab仿真

在Matlab軟件中，一階RC電路的調節時間可以通過結合5%的誤差帶求解(1)式求得。在Matlab開發環境中輸入以下的程序段解微分方程，可以計算一階RC電路在5%的誤差帶下的調節時間ts。

plot(t，uc，t，uc1)%以t為橫坐標，繪制輸出電壓Uc及其下限值uc1曲線

運行以上程序，可得一階RC電路的調節時間ts=0.3s，與理論調節時間相同。

運行以上程序還可得到如圖2所示的一階RC電路的響應曲線，游標顯示出95%的輸出電壓與響應曲線交點(0.3，9.5)，即運行時間大于0.3s時，一階RC電路的輸出電壓進入5%的誤差帶。

圖2 一階RC電路響應曲線

3 一階RC電路的Simulink仿真

根據一階RC電路的傳遞函數(3)式，在Matlab軟件中搭建如圖3所示的一階RC電路的Simulink仿真系統，輸入電壓為Ur=10V可用單位階躍信號增益k=10代替。圖3中，仿真系統含有一階RC電路仿真和95%階躍輸入信號兩個前向通道，虛擬示波器scope模塊顯示兩個通道的響應曲線。

圖3 電路的SIMULINK仿真系統

運行SIMULINK仿真系統，輸出scope模塊以后，在命令窗口輸入如下函數：

兩個set函數調出Scope模塊的編輯欄，通過編輯欄對scope圖形的標題欄、橫軸、縱軸、兩個通道的交點進行編輯，得到一階RC電路的Simulink仿真結果及5%的誤差帶如圖4所示。

從圖4中的游標可以看出，95%階躍信號與響應曲線的交點對應的調節時間為0.3s左右，與Matlab編程得到的結果一致。

圖4 一階RC電路的Simulink仿真結果及5%的誤差帶

4 一階RC電路的Multisim仿真

根據圖1所示的一階RC電路圖，在Multisim中搭建如圖5所示的一階硬件電路模擬電路，并用虛擬示波器XSC觀察輸出電壓Uc的變化。

圖5 一階硬件電路模擬電路

對圖5所示的一階RC電路進行Multisim仿真。點擊虛擬示波器XSC彈出示波器圖形界面，然后合上電路開關，隨著時間變化，實時得到一階RC電路的Multisim響應曲線如圖6所示。圖6中反映出時間從0時刻開始的電容C上得到的充電電壓與充電時間的關系，再現了電容C真實的充電過程。

圖6 一階RC電路的Multisim響應曲線

在虛擬示波器XSC的圖形界面中，移動1號游標到響應曲線的起點(0V)找到運行時間T1，移動2號游標到響應曲線上的9.5V(5%誤差帶的輸出電壓Uc下限值)找到運行時間T2，于是可以得到一階RC電路的調節時間ts=T2-T1=0.3s。

圖6可以看出，Multisim仿真得到的調節時間和理論調節時間是相同的，也和Matlab編程及Simulink仿真得到的結果一致。通過Multisim仿真，一階RC電路的調節時間不僅可用Multisim的虛擬示波器XSC得到，還能看到完整的充電過程，而Matlab編程及Simulink仿真只能看到結果，這是Multisim的優勢。

5 結論

本文一階系統具體化為一階RC電路，得到一階RC電路系統。然后用10v階躍電壓作輸入信號，簡單推導了一階RC電路的調節時間。采用Matlab微分方程編程、simulink傳遞函數仿真以及Multisim硬件模擬電路分析，對電路調節時間進行了圖形分析，實時繪制出了響應曲線，調節時間都與理論值相同。

Matlab微分方程編程和simulink傳遞函數仿真得到的是仿真結果，Multisim電路仿真不僅能看到仿真結果，更主要地是能夠看到電路工作過程。Multisim軟件很方便地把電路工作過程真實地再現出來，在教學過程中做到變被動學習為主動學習，可用虛擬儀器技術開發，深得學生歡迎。