基于改進CPSO算法的無刷直流電機PI控制器

顧亞明

（上海理工大學光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

0 引言

無刷直流電機（Brushless Direct Current motor，BLDC）具有控制靈活性、高轉矩、無噪聲操作、高效率和體積小等優點，在工業及日常生活中得到了廣泛應用［1］。BLDC 的控制方式有模糊控制（Fuzzy Control）、比例積分控制（PI Control）和矢量控制（Field-Oriented Control，FOC）［2］等。目前，PI（Proportion Integration）控制器是BLDC 電機常用的速度控制器。

速度控制器的性能主要依賴于PI 參數的調整。調優是通過尋找合適的PI 控制器的比例、積分參數，以滿足期望的控制效果。常規的Ziegler-Nichols 整定方法是Ziegler和Nichols 于1942 年提出來的，該方法是基于受控過程開環動態響應的某些特征參數進行PI參數整定，進行整定的經驗公式是基于帶有遲滯的一階慣性模型提出的。這種手動調優的方法也將花費更多時間并可能損壞控制過程中所涉及的硬件。隨著智能優化算法的興起，文獻［3］提出一種粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization，PSO），選擇積分平方誤差作為目標函數實現直流無刷電機PI 控制器的參數優化［3］，通過利用PSO 算法模仿鳥類生活的方式進行PI參數優化，解決了手動參數整定需要消耗大量時間的問題，且所尋參數優于Z-N 整定方法的參數。文獻［4］提出利用花粉傳播算法（Flower Pollination Algorithm，FPA）進行參數優化的方法，利用花粉算法對電機進行不同負載及不同速度下的PI參數優化并進行比較，花粉算法優化的參數能夠取得很好的控制效果［4］。隨著時間的推移，越來越多學者提出將遺傳算法、粒子群算法等智能尋優算法應用于PI控制器參數整定，這些算法的應用也越來越成熟，但是這些單一的智能算法逐漸暴露出其缺點，例如：粒子群算法在粒子尋優過程中容易陷入局部最優、花粉算法在參數尋優過程中收斂速度過慢等問題。

目前，電機轉速的控制需求正朝著高精度、高效率的方向發展，因而對控制系統的可靠性提出了更高要求［5-6］。基于此，本文在PSO 算法對PI 控制器參數整定的基礎上，提出一種基于改進后混沌粒子群算法的電機PI 控制器參數智能調節方法，解決了粒子群算法容易陷入局部最優的問題，提高了電機轉速控制效率。

通過仿真實驗，本文證明了基于改進后的混沌粒子群算法（Chaos Particle Swarm Optimization，CPSO）對電機PI控制器的參數優化效果優于Z-N 整定方法、PSO 算法以及FPA 算法。同時，該算法極大地改善了各項性能指標，能夠更好地進行電機轉速控制。

1 無刷直流電機數學模型

1.1 BLDC電機建模

三相電機的定子繞組分為星形聯接方式和三角形鏈接方式［7］，本文采用三相星形聯接的二二導通方式。假設每一相的電阻都相等，定子繞組的三相電壓可用式（1）表示。

式（1）中，R是相電阻，ia、ib、ic是相電流，Laa、Lbb、Lcc均為三相繞組自感率，Lab、Lbc、Lca均為三相繞組互感率，ea是a 相感應電動勢。

假設每個繞組的所有自感都相等，同樣的，所有互感也相等，如式（2）所示。

式中，L是繞組自感，M是繞組互感。

將式（2）代入式（1），可得到式（3）。

對于一個平衡的三相定子繞組，在任何瞬間，所有相電流的總和為0，即ia+ib+ic=0。

將式（4）代入式（3）中，族中的無刷直流電機相電壓方程如式（5）所示。

由于相電壓不好測量，根據兩相導通之間的線電壓可得到式（6）。

電機的數學模型函數為直流電壓與角速度之間的關系。將電流用角速度表示，如式（7）所示。

式中，Kt為電機轉矩系數，J為轉子轉動慣量，b為黏滯摩擦系數，Ω 為角速度。

因此，線電壓方程如式（8）所示。

式中，Ke為反電動勢系數。因此，可得傳遞函數如式（9）所示。

1.2 PI控制器設計

由于PI 控制器實現較為簡單，且具有魯棒性和可靠性，因此是當今行業中使用最廣泛的方法［8］。本文采用PI控制方法對電機進行控制，PI控制原理圖如圖1所示。

Fig.1 PI control schematic圖1 PI控制原理圖

由圖1 可以看出，目標轉速與實際轉速相減產生誤差信號，誤差信號e被輸入到PI 控制器中，PI 控制器中的比例環節通過積分系數迅速對誤差進行調整，但是結果還是會有一定的穩態誤差；積分調節能夠很好地減小系統的穩態誤差，但是會減緩系統的控制速率。PI 控制器在連續時間域中的算法如式（10）所示。

式中，Kp是比例參數，Ti是積分時間常數。

在數字系統中實行采樣操作，則式（10）中的積分過程需要離散化，離散的PI表達式如式（11）所示。

式中，Kp為比例參數，Ki為積分時間常數，T為采樣周期。

實際上，實現一個理想的PI 控制器是不可能的。在設計PI控制器的方法中，Z-N 整定方法是PI控制器確定參數使用最廣泛的一種方法。Z-N 整定方法依賴于人從一個長范圍的值中選擇合適的積分值，需要耗費一定的人力與時間，且容易產生較大的超調誤差。隨著智能算法的成熟，將智能算法應用于PI 參數整定也隨之成熟，因此通過使用先進的優化算法，可實現更接近理想的響應［9］。

2 求解算法

2.1 粒子群算法

粒子群算法是受到鳥類群體活動的啟發，模仿鳥類通過信息共享實現最優路徑的行為而建立的一種算法［10］。

粒子是類似于鳥類的概念實體，每個粒子都有兩個狀態變量，即速度與當前位置［11-12］。每個粒子的位置和速度都是隨機初始化的，在每次迭代之后，粒子的速度和位置都會進行更新。粒子的速度更新公式如式（12）所示，位置更新公式如式（13）所示。

式中，Vid（k+1）為第i個粒子在第K+1 次迭代中維度d上的速度為第i個粒子在第K+1 次迭代中維度d上的位置；pbest為當前個體粒子的最優位置；gbest為群體最優粒子的位置；ω 為慣性權重，用于平衡局部與全局尋優；η1、η2為加速系數；r1、r2為0～1之間的隨機數。

2.2 改進的混沌粒子群算法

隨著迭代次數的增加，傳統的粒子群算法暴露出容易陷入局部收斂的缺點。文獻［13］、［14］提出混沌粒子群算法（CPSO），在粒子群算法基礎上引入混沌變異，在變異過程中可避免粒子產生重復解，改善了PSO 算法因重復粒子過多而產生局部收斂的問題。混沌粒子群算法的粒子混沌變異方式如式（14）所示。

式中，K是迭代次數，xidmax是維度d上第i個粒子位置坐標的最大值，Z（k+1）是第K+1 次Logistic 混沌方程。式（14）中的Logistic 混沌方程是個典型的混沌系統，如式（15）所示。

式中，μ為Logistic 參數，其范圍在0～4 之間。當μ=4，且0≤Z（0）≤1（Z（0）≠0.5）時，Z的取值永遠不會重復。

混沌粒子群算法雖然解決了粒子群算法容易陷入局部最優的問題，但是混沌粒子群算法的變異概率始終保持不變。若變異概率較低，當種群多樣性較小時，則易陷入局部最優。

為了衡量種群多樣性，引入了信息熵的概念。當一個系統的混亂程度越高，該系統的信息熵也越高，且越接近于1，因此信息熵可作為系統多樣性的一個度量。一個系統的信息熵如式（16）所示。

式中，u是所有輸出的集合，Pi是第i 類輸出的概率函數。

在粒子群算法中，n 維空間中有m 個粒子，文獻［15］、［16］引入了信息熵來改進算法，這些算法以粒子適應度的多樣性來衡量粒子的多樣性。當種群的粒子坐標差異較大時，由于適應度函數的緣故，這些粒子計算出來的適應度差異較小，則信息熵偏高。若在此時選擇變異，粒子可能會偏離原來的尋優軌跡，延長了粒子尋找最優點的時間。本文根據粒子各維度的坐標差異，引入粒子在維度d上的概率函數確定方法，如式（17）所示。

式中，xid是第i個粒子在維度d上的位置坐標，xid min是第i個粒子在維度d上位置坐標的最小值，P（xid）是相應位置坐標的概率函數。

根據一個維度上所有粒子的概率值，用式（16）計算種群在這一維度上的信息熵。在計算的同時，需要對信息熵進行歸一化處理，如式（18）所示。

式中，xid是第i個粒子在維度d上的位置坐標，m是粒子個數，P（xid）是相應位置坐標的概率函數。

由于混沌變異會產生不好的效果，因此設定一個信息熵的變異值Emax。若某一維度上的粒子信息熵超過了信息熵的變異值，對該維度上適應度較差的80%的粒子進行混沌變異。若沒有超過信息熵的變異值，則認為該維度上的粒子還未出現局部收斂的情況，從而有效解決了混沌粒子群算法容易偏離正確軌道的問題。

本文將改進后的CPSO 算法應用于BLDC 電機的閉環速度控制，算法實現流程如圖2所示。

為實現超調量和穩態時間等時域指標的統一優化，本文將積分平方誤差與時間乘絕對誤差積分準則的和作為適應度函數。基于積分平方誤差準則優化的參數能夠抑制大誤差，基于時間乘絕對誤差積分準則優化的參數能夠減少系統調節時間，即在有限的迭代次數內尋求誤差最小的閉環速度控制方法，如式（19）所示。

該算法對PI 控制器的參數優化流程如圖2 所示。初始粒子個數為10，粒子迭代次數為50，慣性權重ω 為0.9，加速系數η1為1.2，η2為0.2，Emax為0.8。

3 仿真實驗分析與討論

為了驗證本文方法的有效性，本文采用無刷直流電機作為仿真模型。BLDC 電機仿真模型如圖3所示。

Fig.2 Improved CPSO algorithm flow圖2 改進后的CPSO算法流程

Fig.3 Simulation model of BLDC motor圖3 BLDC電機仿真模型

圖3 中，Kt是電機轉矩系數，Kt=0.2 kg.m/A；L為等效電感，L=0.36 mH；J為轉子轉動慣量，J=0.2 kg.m2；b為黏滯摩擦系數，b=0.004 N.m.sec/rad；R 為等效電阻，R=0.026 ohm；Ke為反電動勢系數，Ke=0.21 V/rpm。

根據上述參數和式（9）可得直流無刷電機的數學模型公式，如式（20）所示。

本文采用積分誤差準則作為目標函數，設定花粉算法的切換概率P 為0.8，粒子數量為10，迭代次數為50，Emax為0.8，變異比例為80%。

首先對電機轉速目標值為4 000 轉的系統進行參數尋優，通過Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法與改進后的CPSO算法優化的參數如表1所示。

Table 1 Values at 0～4 000rpm表1 0～4 000rpm參數

通過MATLAB 仿真，種群ISE 值優化過程如圖4所示。

Fig.4 Optimization process of population ISE value圖4 種群ISE值優化過程

通過圖4 可以看出，隨著迭代次數的增加，ISE 的數值也在不斷減小。最終在迭代完成后，獲得的最小適應度值為55 240.738。

改進后的CPSO 算法與Z-N 算法、PSO 算法、FPA 算法在電機從0到4 000rpm 的輸出響應如圖5所示。

Fig.5 Output response based on improved CPSO algorithms and 3 other algorithms圖5 改進后的CPSO算法與另外3種算法輸出響應

本文采用的上升時間tr是指響應曲線從零時刻到首次達到穩態值的時間，通常定義為響應曲線從穩態值的10%上升到90%所需的時間，穩定時間ts是指控制對象的整體誤差達到2%以內所需的時間，超調量Overshoot 則是指控制系統出現的最大偏差與穩態值的占比。通過MATLAB計算出系統的上升時間tr、穩定時間ts、超調量Overshoot 如表2所示。

本文還采用平方誤差積分準則（ISE）如式（21）所示，時間乘平方誤差準則（ITSE）如式（22）所示，絕對誤差積分準則（IAE）如式（23）所示，以及時間乘絕對誤差積分準則（ITAE）如式（24）所示。

Table 2 Comparison results of performance at 0～4 000rpm表2 0～4 000rpm性能對比結果

式中，e（t）為實際輸出與期望輸出的偏差，t為時間。通過MATLAB 進行計算，得到的系統性能對比結果如表3所示。

Table 3 Comparison results of system performance表3 系統性能對比結果

從圖5、表2 中可明顯看出：基于改進后CPSO 算法的PI 控制系統的超調和穩態時間小于基于另外3 種算法的系統，上升時間與另外3 種算法大致相同。從表3 可以看到，本文方法在ISE、IAE、ITSE、ITAE 4 個性能指標上的值均優于其他3 種算法。由此可知，經過改進CPSO 算法優化后的參數，在電機轉速從0 到4 000rpm 的控制系統中的控制效果和性能指標明顯優于另外3種算法優化的參數。

4 結語

為提高PI 控制器的性能，許多智能算法都在不斷地更新迭代，如FPA 算法、PSO 算法已證明了其在確定PI 控制器參數方面的有效性。本文將信息熵與混沌粒子群算法的原理相結合，采用改進后的混沌粒子群算法對電機控制系統的PI控制器參數進行調節與優化，并利用MATLAB 進行直流無刷電機轉速控制系統的仿真實驗。結果表明，對于電機轉速響應，改進后的混沌粒子群算法在控制電機速度方面的效果優于其他3 種算法，從而減小了系統誤差，并控制系統具有更小的超調量。實驗證明了采用基于改進后的混沌粒子群算法對BLDC 的PI 控制器參數調節與優化是有效的，能夠獲得更好的控制效果，為BLDC 電機驅動系統的控制器設計提供了一個新方法。