Riesz空間分數階Klein-Gordon-Zakharov方程的保能量格式

劉 瑩， 孫建強， 孔嘉萌

(海南大學 理學院，海南 海口 570228)

著名的Zakharov方程是等離子體物理中Langmuir波傳播研究中的偏微分方程模型[1]。Zakharov指出，任意足夠強的Langmuir湍流是不穩定的，這種不穩定導致等離子體中低密度區域的發展，并在有限時間內崩塌。這些區域被稱為洞穴，是長Langmuir振蕩的能量耗散機制[2]。Zakharov系統推動了模型的進一步發展，為類似物理現象提供了更真實的描述，其中就包括Klein-Gordon-Zakharov系統[3-5]。直到今天，經典的Zakharov系統仍然被認為是描述高頻Langmuir波和低頻離子聲波耦合的最佳系統之一，已經應用于描述淺水波和非線性光學中[6-7]。本研究考慮分數階Klein-Gordon-Zakharov方程[8-13]

(1)

許多學者從理論或數值分析的角度研究分數階偏微分方程，提出一些重要的解析方法來求解分數階偏微分方程。同時，許多有效的數值方法，包括有限差分法、有限元法、有限體積法、譜方法等也被用來求解空間分數階偏微分方程，并證明了它們的一致性、穩定性和收斂性[14-17]。Wang等[14]構造了一維Klein-Gordon-Zakharov系統的隱式保守有限差分格式和多對稱擬譜方法。Bao等[11]提出Klein-Gordon-Zakharov系統的指數波積分傅里葉擬譜方法和一致精確的有限差分方法。本研究利用平均向量場方法構造了方程(1)的保能量格式。

1 傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階導數的離散

定義1當n-1<α

(2)

引理1在無限區間(-∞

(3)

式中：n-1<α

(4)

式中，F和F-1分別表示u(x,t)的傅里葉變換和傅里葉逆變換。因此，有：

(5)

另外，在具有周期邊界條件的有界區間Ω=(a,b)上，由傅里葉級數定義為：

(6)

傅里葉系數為：

(7)

由式(6)和式(7)可得：

(8)

(9)

(10)

2 分數階Klein-Gordon-Zakharov方程的保能量格式

令w(x,t)=ut(x,t)，-2qxx(x,t)=mt(x,t)，則方程(1)等價于：

(11)

方程組(11)可以被寫成無限維哈密爾頓系統：

(12)

式中：z=(u,m,w,q)T，I為2×2單位矩陣，哈密爾頓函數

(13)

用傅里葉擬譜方法對方程(12)在空間方向上進行離散。傅里葉擬譜方法的關鍵是對偏微分方程導數的離散。對于分數階導數，相應譜矩陣為方程(10)，對于二階偏導數，相應的譜微分矩陣D2為：

從而得到方程(11)的半離散系統為：

(14)

式中：j=0,…,N-1；Q=(q0,q1,…,qN-1)T。式(14)可表示為半離散哈密爾頓系統形式：

(15)

式中：Z=(UT,MT,WT,QT)T，M=(m0,m1,…,mN-1)T，W=(w0,w1,…,wN-1)T，0和IN分別為N×N階零矩陣和單位矩陣，相應的哈密爾頓函數為：

(16)

在時間方向上利用二階平均向量場方法離散哈密爾頓系統得[17]:

(17)

式(17)等價于：

(18)

(19)

(20)

(21)

消去輔助變量w和q后，可得方程(1)的平均向量場格式：

(22)

(23)

分數階Klein-Gordon-Zakharov方程的新格式(22)和(23)具有良好的穩定性和二階收斂精度[20-21]。

3 數值模擬

為驗證理論分析，利用得到的新格式(22)和(23)對Riesz空間分數階非線性Klein-Gordon-Zakharov方程(1)進行數值模擬。定義相對能量誤差為：

(24)

考慮Riesz空間分數階非線性Klein-Gordon-Zakharov方程在I=[-10,10]和長度T=6的時間周期上。取初始條件：

(25)

圖1是方程(1)孤立波在α=2.0和t∈[0,6]內的相互作用圖，分別對應于孤立波|u(x,t)|和m(x,t)。 從圖1可以發現，方程數值解的波形非常光滑，且運算結果與文獻[8]一致，驗證了所構造的新格式可以正確地數值模擬方程的解。圖2是方程(1)孤立波在α=1.6和t∈[0,6]內的相互作用圖。從圖2可知，分數階微分方程的孤立波振幅和波形在傳輸中發生了變形彎曲，表明分數階Klein-Gordon-Zakharov微分方程中的孤立波很難穩定傳播。圖3是方程(1)在不同α時的能量圖，從圖中可以發現，α取不同值時方程能量都是一條直線，不隨時間的變化而變化，運算結果與文獻[8]一致，證明新格式能夠精確地保持系統能量守恒。

圖1 方程(1)孤立波在α=2.0和t∈[0,6]內的相互作用圖

圖2 方程(1)孤立波在α=1.6和t∈[0,6]內的相互作用圖

圖3 方程(1)在α取不同值時的能量圖

4 結論

本研究利用分數階拉普拉斯算子與Riesz空間分數階導數的關系以及傅里葉擬譜方法，對分數階拉普拉斯算子的空間離散近似，從而得到傅里葉擬譜方法對Riesz空間分數階導數的離散格式。在時間方向上利用平均向量場方法對哈密爾頓系統進行離散，構造出分數階Klein-Gordon-Zakharov方程新的保能量格式，并利用得到的平均向量場格式對分數階Klein-Gordon-Zakharov方程進行數值模擬。結果表明，新格式可以正確地模擬孤立波的演化行為，分數階微分方程中的孤立波在傳輸中會發生彎曲和變形，同時方程取不同α值時的能量隨時間的變化保持不變，驗證了所構造的新格式能夠精確地保持系統能量守恒。