考慮維修時間及相關性的串聯系統動態機會維護策略

錢 倩， 蔣祖華， 楊 振， 胡小才， 劉劍坤

（1.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240；2.上海外高橋造船有限公司，上海 200137）

由于當前大多數裝備系統復雜性高，涉及部件數量多，因此，多部件系統的維護策略優化問題越來越受到關注[1]。相比于傳統單設備部件維護決策問題，多部件系統維護決策更為復雜，近年來也涌現了大量系統層維護模型[2]，其中廣泛應用的為機會維護模型。多部件系統考慮的相關性主要分為3種[3]：經濟相關性、隨機相關性（也稱為故障相關性）和結構相關性。根據考慮相關性種類的不同，機會維護模型可以分為考慮單一相關性的機會維護模型和考慮聯合相關性的機會維護模型。Nguyen等[4]基于部件間的正向和負向經濟相關性建立系統機會維護模型。Wang等[5]考慮部件間經濟相關性，以維修成本最小和系統可用度最高為優化目標建立多部件串聯系統機會成組的維護優化模型。蘇春等[6]考慮部件間的經濟相關性，將基于滾動計劃的動態機會維修策略應用于風電機組維修。Song等[7]考慮部件間故障相關性與經濟相關性，提出具有固定替換間隔的役齡替換策略和固定檢查間隔的維護策略。Do等[8]針對具有故障相關性和經濟相關性的兩部件系統進行維修決策優化。目前，實際運行系統中存在多種相關性的耦合作用，但相關研究大多考慮單一經濟相關性對維護策略的影響。

由于部件結構復雜，維修時間較長，以致于維修時間在系統運行時間內所占比重大，因此，若忽略維修時間的影響，將嚴重影響系統的維護決策，進而降低維修效率、增加維修成本。但相關系統層維護模型多忽略維修時間對維護策略的影響以達到模型的簡化。文獻[9-11]均忽略維修時間對于維護策略的影響。文獻[12]只考慮預防維修時間影響因素來建立系統維修優化策略。Vu等[13]考慮了小修時間，但是僅結合經濟相關性建立系統維護模型。因為預防維護時間大多可提前確定，故僅考慮預防維護時間的維護模型比較簡單。而部件故障發生具有隨機性，且部件間存在結構相關性，如何基于聯合相關性合理劃分小修時間，實現故障次數減少、節省成本升高，具有較大挑戰。

上述研究大多忽略預防維修時間和小修時間對維護策略的影響，且普遍僅基于經濟相關性來進行系統層維護決策，并未涉及考慮多相關性、多維修時間、多成本劃分的復雜系統動態維護策略。本文提出一種綜合考慮預防維修時間、小修時間、結構相關性、經濟相關性因素影響下的多部件系統動態機會維護策略。首先建立部件層短期維護計劃決策模型，求解單部件最優預防維護周期。根據部件層的決策結果初步制定試行維修計劃，進一步綜合考慮部件之間結構相關性、經濟相關性對于維護決策的影響，拓展系統維修節省成本劃分方法，以維護成本最小化為目標，制定系統層長期維護決策方案。

1 問題描述與假設

針對由n個部件組成的串聯系統，綜合考慮部件間經濟相關性和結構相關性，以及預防性維護時間和故障維修時間對于維修策略的影響，進行系統層維護計劃的動態決策優化。系統內各部件從全新開始運轉，即各部件初始可靠度為“1”?？紤]預防性維護（PM）與故障維修（小修）（CM）作為維修手段。

以系統維修成本最小化為優化目標，并應用動態計劃，將長期計劃與短期計劃相結合，為該多部件串聯系統制定動態機會維護策略，并根據實際的情況，作如下假設：

a.系統內各部件故障率函數服從尺寸參數為η，形狀參數為β的兩參數威布爾分布；

b.部件之間是故障獨立的[13]，即一個部件失效不會對其他部件造成影響；

c.在預防維護時刻對部件采用完美維護，即對部件執行更換操作；在預防維護周期內部件發生故障采用小修，小修僅使部件恢復運轉，不改變其失效率[14]；

d.系統結構復雜，維修時間耗時較長，故預防維修時間和小修時間不可忽略[13]；

e.維修資源足以滿足所有維修任務的要求。

2 考慮相關性及維修時間的系統動態機會維修策略

本文采用動態機會維修策略，在部件層進行成本優化，得到每個部件的最優預防性維修周期。在此基礎上制定試行維修計劃，保證每個部件至少預防性維修一次。對具有經濟相關和結構相關的系統層分組維修的成本建模，在此基礎上對于系統層的分組進行優化。最終完成系統層最優維修計劃的制定。

2.1 部件層維護優化

考慮由不同部件i(i=1,2,···,n)組成的多部件串聯系統。Ti定 義為部件i的預防維護間隔期，在部件的故障率函數建模中，一般選用威布爾分布對各部件故障率進行描述，所以在預防維護周期內部件i 的故障率函數 λi(t)為

式中： βi，ηi分 別為部件i服從的威布爾分布的形狀參數和尺寸參數，且βi＞1，ηi＞0； xi是 到時間t為止，部件i的總運行時間，嚴格來說，只有當部件從全新開始運轉且維修時間忽略不計時， xi=t。

部件層的決策目標是最小化單位時間內部件的維護成本。當部件i 的年齡達到閾值Ti時，對部件進行預防性維護操作；若在預防維護周期內部件發生故障，則采用小修，使得部件恢復運轉，但是失效率不變。記Ci(Ti)為 部件i在單個預防性維護周期內的維修成本率，可以表示為

式中：Cpi為部件i單 次預防維護成本；Cci為部件i單次故障小修成本； F(0,Ti)為 部件i在預防維護周期Ti內發生故障次數；ωpi為部件i單次預防維護時長；ωci為部件i單次故障小修時長。

其中，維修成本用維修人員成本率Cla來進行表示，則

因為部件故障率函數服從威布爾分布，所以F(0,Ti)可寫作

通過式(2)～(5)，可得維修成本率為

2.2 試行維修計劃

基于部件的名義預防維修周期，可進行確定部件的試行維修時間間隔[tb,te]，如圖1所示，其中，tb表示當前時刻，而te的確定要保證所有部件在該時間間隔內至少預防維護一次[14]。

記tij（ j≥1） 表示部件i的第j次試行預防維護時刻，則

式中：tis表 示上一次維修完成后至tb的工作時間，那么tb-tis就 是上一次維修完成的時間點；di1表示部件i在 時間間隔(tb,ti1)中的累計停機維修時間，上一次維修完成時間與預計維修間隔、累積停機時間之和即為下一次維修的時刻；ti(j-1)表 示部件i的第j-1次 試行預防維護時刻；dij表 示 部 件i在 時間間隔(ti(j-1),tij)中的累計停機維修時間，有

圖1 考慮維修時間和結構相關性的維修計劃動態更新Fig.1 Dynamic maintenance plan considering maintenance duration and structural dependence

2.3 系統維修成本建模

在系統層考慮多個部件之間存在的結構相關性和經濟相關性，在試行維修計劃的基礎上，建立維護計劃調整下的節省成本模型，對串聯系統中各個部件的維護作業進行動態優化調整。其中，多個部件同時維修可以節省固定的維修成本，部件之間具有經濟相關性；多個結構上有關聯的部件同時維修可以節省維修時間，部件之間具有結構相關性。

在第u個系統試行維修時間間隔內，當其中一個部件最先到達預防維護時間點tij時，將此作為系統層的維護機會點，管理者需要決策是否需要將剩余非修部件的預防維護作業提前至tij一起實施，以避免系統的頻繁維護。對于非修部件，若和當前部件組合Gl一起進行維護，節省的費用EP(Gl)＞0，則將非修部件維護作業提前加入至當前維護集合。因此，將一個試行維修時間間隔內的 n個部件分成 k組，每組部件用Gl(l=1,2,···,k)表示，則該階段內的系統維修任務可表示為成組集合GS ，其中G1,G2,···,Gk是 GS的互斥子集。每次預防性維護都是將一個組合Gl中的所有部件同時更換，每組部件同時維護可節省的成本被劃分為以下3部分：

a.維修準備節省成本，記為SGl，這是開展維護工作前的準備成本，包括維護工具成本、維護人員運輸成本、拆裝成本等，當幾個部件同時維護時這部分成本只需要花一份。

式中，Si表示部件i的維修準備成本。

農業建設項目是近年來國家投資的重點之一，立項渠道更多、投資額度更大、涵蓋內容更廣、單體設計標準更高。隨著主管部門監管力度的不斷增強，農業建設項目的立項審批、竣工驗收標準也變得更加嚴格。這就要求甲方在項目管理工作中抓住重點，重視前期工作管理，為項目順利實施打下堅實基礎，從而為建設項目的質量提供可靠保障。

b.懲罰成本，記為PGl：是指由于提前某些部件維修計劃會導致部件工作壽命未被充分利用，或延遲某些部件維修計劃會導致部件故障風險增加而付出一定的懲罰成本，參考文獻[13]，計算如下：

式中，tGl表 示Gl的維護周期。懲罰成本PGl所得一般為負值，在總費用中起反作用。

c.停機損失節省成本，記為DGl，這是多個部件同時進行預防性維護時可節省系統的停機時間，進而降低的總停機成本。由于部件間存在結構相關性，則對某個部件進行維修時，需要對其他部件進行拆解，因此多個部件同時維修可節省一部分維修時間。針對此種相關性，每個部件i的維修時間可分為兩部分：僅屬于該部件不可分攤的拆裝時間dir-，共同維修時由于結構相關性可分攤的拆裝時間dis-，其中“-”為p表示預防性維護，“-”為c表示故障小修。用相關系數α（0≤α≤1）表示各部件之間結構相關性強弱： α=0表示各部件之間無結構相關性；α=1表示部件之間存在強結構相關性，此時維修時間為

則停機損失節省成本計算公式如下：

式中，Cu表示系統單位停機損失成本。

所以，Gl的總節省費用記為 EP(Gl)，其值為

2.4 系統維護優化策略

上述系統層維修成本隨著分組方式的不同而變化，因此本節進行系統層分組的優化。假設H代表系統中部件的集合，將短期時間間隔[tb,te]內H中的n個 部件分成k 組，每組部件用Gl(l=1,2,···,k)表示，則系統維修任務可表示為成組集合GS，其中

問題求解的核心在于尋找最佳的分組方式Gl(l=1,2,···,k)，遵循數學規范，決策變量設定為xil(i∈H,l=1,2,···,k)：

故系統內所有部件節省總成本為各組節省成本之和，其值 EPT為

因此，系統級維修優化問題可被劃分為兩個子問題：尋找最優劃分組合問題和每組部件最優維護周期決策問題。其中劃分組合為GS*={G*1,G*2,···,G*k}，每組最優維護周期為]，從而使得系統在短期時間間隔內的總節省成本最大。因此，由以上各部分建模，得到系統級維修優化模型為

決策變量均為0-1變量，此模型通過遺傳算法進行求解得到優化后的多部件系統層維護計劃，具體結果見下文。

3 實例計算

為驗證上述優化模型的有效性，以某機械系統（含9個部件）為例進行分析，各部件串聯。

系統單位停機損失成本為Cu=3 000元/d，維修人員成本率為Cla=300 元/d。假設部件故障率函數滿足兩參數威布爾分布，相應參數及維護相關參數如表1所示（費用參數單位均為元，時間參數單位均為d）。

3.1 部件層維護優化

不考慮部件間經濟相關性和結構相關性的影響，根據上文要求對系統內各部件進行維修優化，并通過設置小修時間 ωci(i=1,2,···,n)值，分別得到僅考慮預防維修時間（即 ωci=0）和同時考慮預防維修時間和小修時間兩種情況下的各部件最優維護周期、對應最優維修成本率及維修時刻，如表2所示。

表2中，Ti*（PM）表示僅考慮預防維修時間情況下的部件最優維護周期，Ti*（PM&CM）表示同時考慮預防維修時間和小修時間情況下的部件最優預防維護周期，其他同理。由表2可得，當同時考慮PM和CM時，故可確定試行維修時間間隔為[0,435]。根據表2所得的各部件最優維護間隔期Ti*，在只考慮預防維修時間、同時考慮預防維修時間和小修時間兩種情況下，系統各個部件的預防維護時刻點示意圖分別如圖2和3所示。

從表2可見，相對于只考慮預防維修時間的情況，同時考慮預防維修時間和小修時間能夠保證達到更優的部件級維護計劃，其中每個部件的替換周期值提前了35.55%?73.56%，總維修成本率降低了21.99%。為了進一步明確小修時間對于部件維護優化的影響，以部件3為例，固定其他參數值不變，將部件3小修時間依次設置為0.5的整數倍（即ωci=0.5 k ，k=1,···,10），計算不同小修維修時間下的部件最優維修周期和對應所節省維修成本率（與只考慮預防維修時間相比），所得結果如圖4和圖5所示。

從圖4和圖5可知，隨著小修時間的增加，部件3的最優維護周期逐漸減小，且部件3節省成本率逐漸升高，說明當部件復雜性越高，小修時

表1 系統各部件相關參數Tab.1 Related parameters of variouscomponents

間越長時，考慮小修時間對于維護策略的有效性越高。

表2 部件級維護優化值Tab.2 Individual maintenance optimization results

圖2 各部件維修時間（PM）Fig.2 Maintenancetime of each component (PM)

圖3 各部件維修時間（PM&CM）Fig.3 Maintenance time of each component (PM &CM)

3.2 考慮相關性及維修時間的系統層維修優化

分別考慮以下3種情況：

情況1（S1） 同時考慮預防維修時間和小修時間影響，只考慮部件間存在經濟相關性，不考慮部件間結構相關性影響[13]，求解劃分組合和預防維護周期的最佳組合，以及對應的系統節省總費用。

情況2（S2） 只考慮預防維修時間影響，并考慮部件間結構相關性和經濟相關性影響，設定不同結構相關系數，分別求解對應的各組合節省費用和系統節省總費用。

情況3（S3） 同時考慮預防性維修時間和小修時間影響，并考慮部件間結構相關性和經濟相關性的影響，設定不同結構相關系數，分別求解對應的各組合節省費用和系統節省總費用。

圖4 不同小修時間下最優維護周期Fig.4 Optimal replacement cycle under different CM durations

圖5 不同小修時間下節省維修成本率Fig.5 Additional cost saving rate under different CM durations

以上3種情況均采用系統機會維護策略，并應用遺傳算法分別進行求解。觀察到當情況3中的相關系數α取0時，情況3將退化為情況1。

情況1的最優分組結構如表3所示，系統各個部件的預防維護時刻點示意圖如圖6所示。

圖6繪制了不考慮結構相關性時各部件進行維護的維修時刻。從表3可知，當部件間存在經濟相關性時，與單獨對各部件進行維修優化相比，利用機會維護策略將多個部件進行組合維護可有效節省系統維修成本，其中系統節省總成本為2724.35元,節省成本率為14.09%。

情況2和3中同時考慮結構相關性和經濟相關性進行維修計劃的優化，表4顯示了在考慮不同維修時間情況下，設置不同結構相關系數時系統節省總費用。

從表4中數據可發現，部件間結構相關性對維修費用的節省有較大作用，系統節省總成本隨著部件間結構相關系數的增加而遞增。從情況3對應的數據可知，當部件間結構相關系數為0.4時，運用本文的系統級優化策略可節省總成本5492.19元，與不考慮部件間相關性情況相比，降低成本率為4.58%；與僅考慮經濟相關性情況（此時結構相關系數為0）相比，維修成本降低7619.4元。

綜合情況2和3來看，在同一結構相關系數下，與僅考慮預防維修時間情況相比，同時考慮預防維修時間和小修時間時系統節省費用進一步增加。當部件間結構相關系數為0.4時，情況3的系統節省總成本比情況2的系統節省總成本高1591.41元，且兩情況下的系統節省總成本差值隨著結構相關系數的增加而遞增，說明同時考慮小修時間和部件間結構相關性能夠有效節省系統維修成本，驗證了本文考慮預防維修時間、小修時間、結構相關性和經濟相關性多重因素時，維修優化策略在經濟上具有優勢。因此，在復雜的多部件系統維護中，需考慮多重影響因素建立維修優化模型，進而實現更加科學合理的決策優化。

表3 考慮經濟相關性的最優分組Tab.3 Optimal grouping considering economic dependence

圖6 各部件維修時間Fig.6 Maintenance time of each component

表4 不同相關系數下節省費用Tab.4 Cost savings under different correlation coefficients

4 結束語

本文針對復雜多部件系統制定機會維修優化策略時考慮因素的局限性，建立了考慮預防維修時間、小修時間、結構相關性與經濟相關性因素影響下的多部件串聯系統動態機會維護模型。以某復雜機械系統為研究對象，以系統多部件維修節省成本最大（即維修成本最?。閮灮繕耍⒖紤]多種維修時間和相關性的動態機會維護模型，并采用遺傳算法進行優化求解。從算例優化結果可知，與現有的考慮單一部件相關性及忽略小修時間的系統維修優化模型相比，本文提出的4重因素影響下的機會維護策略可以動態調整系統維修策略，從而有效降低系統總維修成本，該策略更符合實際應用情況。下一步將拓展已有相關性，考慮更多相關性影響下的系統機會維護模型與策略。