受長(zhǎng)直導(dǎo)線電流磁場(chǎng)作用的圓環(huán)的遠(yuǎn)離末速度

于正榮 金 飛

（鹽城市伍佑中學(xué)，江蘇 鹽城 224041）

1 原題呈現(xiàn)

如圖1所示，一無限長(zhǎng)通電直導(dǎo)線固定在光滑水平面上.一質(zhì)量為0.02 kg的金屬圓環(huán)在該平面內(nèi)以大小v0＝2 m／s，方向與電流方向成60°角的初速度滑出，直到達(dá)到穩(wěn)定.求：

圖1

（1）整個(gè)過程金屬圓環(huán)產(chǎn)生的電能；

（2）整個(gè)過程金屬圓環(huán)受到安培力的沖量.

解析：這是2022年3月蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研卷的第13題.該題依托電磁感應(yīng)現(xiàn)象，綜合考查了受力分析、運(yùn)動(dòng)分析、能量轉(zhuǎn)化、沖量與動(dòng)量等核心知識(shí)點(diǎn).但其中對(duì)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)情況的分析，受到教師們的熱議.先看第（1）問的參考答案.

2 提出疑問

圓環(huán)垂直長(zhǎng)直導(dǎo)線的速度一定會(huì)減為0嗎？有人認(rèn)為，長(zhǎng)直導(dǎo)線所激發(fā)的磁場(chǎng)彌漫于整個(gè)空間，只要圓環(huán)存在遠(yuǎn)離速度，就必定會(huì)受到指向直導(dǎo)線的安培力作用而繼續(xù)減速，直到速度減為0為止.也有人認(rèn)為，雖然整個(gè)空間都有磁場(chǎng)，但會(huì)隨著遠(yuǎn)離直導(dǎo)線而迅速減弱，導(dǎo)致圓環(huán)所受安培力、加速度迅速減小.即使運(yùn)動(dòng)到無窮遠(yuǎn)，速度的變化可能也很有限，如果圓環(huán)初速較大，速度未必減為0.兩種觀點(diǎn)莫衷一是，究竟誰有道理呢？

3 類比分析

磁場(chǎng)問題相對(duì)復(fù)雜，我們不妨先考查靜電場(chǎng)中，電荷受電場(chǎng)力作用速度會(huì)否減為0.如圖2所示，電荷＋Q固定不動(dòng)，電荷－q從距＋Q為r0的A點(diǎn)以初速v0遠(yuǎn)離＋Q運(yùn)動(dòng).

圖2

綜上所述，在靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)中，有時(shí)位移雖很大，但力做功不一定很大，對(duì)應(yīng)勢(shì)能的變化量也可能是一個(gè)有限值.就像小球掉在深洞里，如果給小球足夠大的初動(dòng)能，它就可以克服重力的束縛，能夠出洞，而且還可能以一定的速度遠(yuǎn)離.本題圓環(huán)所受安培力相當(dāng)于直導(dǎo)線對(duì)它的持續(xù)吸引作用，其大小既會(huì)因磁場(chǎng)的減弱而減小，也會(huì)隨遠(yuǎn)離速度的減小而減小，相比靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)，克服安培力做功將更加收斂.因此末速度未必減0.

不過安培力較電場(chǎng)力、引力復(fù)雜，且安培力做功也不存在對(duì)應(yīng)的勢(shì)能.類比分析只說明存在可能，定量計(jì)算才有說服力.

4 定量計(jì)算

設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線電流為I0，金屬圓環(huán)質(zhì)量為m、半徑為r、電阻為R.開始時(shí)圓環(huán)中心O距直導(dǎo)線x0，并以初速v0向右運(yùn)動(dòng)（后面的討論不再考慮圓環(huán)平行于長(zhǎng)直導(dǎo)線的速度），如圖3所示，不計(jì)圓環(huán)自感和其他阻力.

圖3

考慮到d l與v的角度關(guān)系，所以微元d l由于切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為d E＝B d lv cosθ，所以整個(gè)圓環(huán)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

計(jì)算表明，由于μ0非常小，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)幾乎不受直導(dǎo)線磁場(chǎng)的影響，要使磁場(chǎng)對(duì)圓環(huán)有顯著影響，電流I0須達(dá)到匪夷所思的106A.從這個(gè)意義上看，結(jié)果與本文列舉的靜電場(chǎng)和引力場(chǎng)的例子一致，圓環(huán)完全可以掙脫長(zhǎng)直導(dǎo)線的吸引而逃逸出去.因此原題的參考答案與實(shí)際情況相差甚遠(yuǎn).

退一步講即使電流I0很大，由于（9）式等號(hào)右邊第2項(xiàng)是有限值，只要初速v0較大，圓環(huán)仍可掙脫磁場(chǎng)的束縛.譬如在電流I0＝1×106A、其他物理量如前述數(shù)值的情況下，根據(jù)（8）式并結(jié)合電腦軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到在不同初速度下，圓環(huán)速度v與運(yùn)動(dòng)位移x的關(guān)系圖像如圖4所示.可以發(fā)現(xiàn)，在初速度大于2.18 m／s時(shí)圓環(huán)即能逃逸，并且在初速度分別為3 m／s和4 m／s的情況下，圓環(huán)逃逸后的末速度分別約為0.81 m／s和1.81 m／s.

圖4 v-x圖像

以上分析我們可進(jìn)一步理解，在常見的“導(dǎo)軌＋單導(dǎo)棒”和“導(dǎo)軌＋雙導(dǎo)棒”等電磁感應(yīng)問題中，一般不考慮導(dǎo)軌（由于產(chǎn)生感應(yīng)電流）的磁場(chǎng)對(duì)導(dǎo)棒的影響、也不考慮通電雙導(dǎo)棒之間的影響，因?yàn)樗鼈兊拇艌?chǎng)實(shí)在太微弱了.

5 感想感悟

物理命題倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際，設(shè)計(jì)與生產(chǎn)實(shí)踐、體育運(yùn)動(dòng)、科技前沿等方面緊密聯(lián)系的真實(shí)情境，在真實(shí)問題的解決中促進(jìn)核心素養(yǎng)的達(dá)成，反對(duì)不切實(shí)際的偽情境問題.原題問題的設(shè)置可謂新穎靈活，令人耳目一新，唯一的缺憾就是情境的真實(shí)性不足.因此命題時(shí)一定要精心設(shè)計(jì)、多方思考、嚴(yán)格審定，切忌閉門造車，犯科學(xué)性或真實(shí)性錯(cuò)誤.