極限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
——以圓錐曲線為例

姚 婷 吳如光

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中 210003)

1 背景分析

極限對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，小學(xué)階段對(duì)于無(wú)窮大的數(shù)的感悟，初中階段對(duì)于反比例函數(shù)圖象的探究，高中階段對(duì)于加速度概念的理解，無(wú)一不滲透著極限思想．章建躍博士在文[1]中指出：“在中學(xué)階段,掌握一些微積分的初步知識(shí),對(duì)發(fā)展學(xué)生的理性思維、增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等都是非常有用的．”極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，雖然高中數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有明確極限的概念，但極限思想?yún)s始終貫穿著高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，以導(dǎo)數(shù)為典型，解析幾何、立體幾何、數(shù)列、三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中也繞不開極限．雖然高等數(shù)學(xué)中用“ε-δ”語(yǔ)言表述的極限定義對(duì)于中學(xué)生來(lái)講難以接受，但是極限思想?yún)s是可以在學(xué)習(xí)中不斷滲透的．利用極限思想，往往可以引導(dǎo)解題方向、規(guī)避復(fù)雜運(yùn)算、突破解題難點(diǎn)．本文將結(jié)合圓錐曲線談?wù)剺O限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用．

2 引例分析

在高三一輪復(fù)習(xí)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能熟練運(yùn)用方程思想聯(lián)立方程組，并通過(guò)韋達(dá)定理得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解題的難點(diǎn)在于，轉(zhuǎn)化條件kPA+kPB=1后得到的關(guān)于k，m的二次式該如何處置？有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生知道要因式分解，但不知如何分解.如果能順利分解因式，問(wèn)題就迎刃而解．教學(xué)中教師如果僅僅告知學(xué)生，這一步需要因式分解，即便教會(huì)學(xué)生“雙十字相乘”因式分解法，學(xué)生對(duì)于相似的題型仍然是茫然的．解題教學(xué)不應(yīng)當(dāng)局限于這一道題的解法，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生厘清問(wèn)題的本質(zhì)．

筆者認(rèn)為，有幾個(gè)問(wèn)題是必須要搞清楚的： ①為什么直線l過(guò)定點(diǎn)？②為什么需要因式分解？③因式分解后得到的因式之一恰好過(guò)點(diǎn)P，這是偶然還是必然？④最后求得的定點(diǎn)在x軸上，這又是偶然還是必然？首先關(guān)于問(wèn)題①②，直線l的方程為y=kx+m，由于kPA+kPB=1，直線l中的參數(shù)k，m必然有著確定的關(guān)系，故直線l有可能過(guò)定點(diǎn)或定斜率；反之，若直線l過(guò)定點(diǎn)，則必存在k與m的線性關(guān)系，故得到關(guān)于k，m的二次式后需要想辦法進(jìn)行因式分解．

3 極限思想的運(yùn)用

3.1 尋找極限位置，確定定點(diǎn)

3.2 利用極限位置，計(jì)算定值

圖1

點(diǎn)評(píng) 換個(gè)角度來(lái)思考該問(wèn)題，直線l在變化過(guò)程中，極限位置是與橢圓相切，此時(shí)直線B1M與直線B2N交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為直線l與橢圓相切的切點(diǎn)，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為所求．利用極限思想，可以快速確定定值．

3.3 運(yùn)用極限思想，求解范圍

質(zhì)量評(píng)價(jià)根據(jù)Cochrane Handbook for Systematic Reviews of Interventions 5.1.0版[15]提供的偏倚風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估工具，從隨機(jī)方法、分配隱藏、對(duì)研究對(duì)象/干預(yù)實(shí)施者實(shí)施盲法、對(duì)結(jié)局測(cè)量者實(shí)施盲法、不完全數(shù)據(jù)報(bào)告、選擇性報(bào)告結(jié)果、其他偏倚來(lái)源方面進(jìn)行。納入研究符合全部標(biāo)準(zhǔn)，則偏倚風(fēng)險(xiǎn)小，評(píng)為“A”級(jí)；部分符合標(biāo)準(zhǔn)，則偏倚風(fēng)險(xiǎn)中度，評(píng)為“B”級(jí)；完全不符合標(biāo)準(zhǔn)，則偏倚風(fēng)險(xiǎn)大，評(píng)為“C”級(jí)。質(zhì)量評(píng)價(jià)由2名研究員獨(dú)立進(jìn)行并交叉核對(duì)，如遇分歧，討論或由第3方協(xié)助裁決。

4 幾點(diǎn)教學(xué)建議

4.1 分析極限狀態(tài)，明辨解題思路

例3已知直線y=2x與橢圓E：x2+2y2=1交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，點(diǎn)P(-4t，t)在橢圓E內(nèi)部，射線AP，BP與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為C，D．求證：直線CD的斜率為定值．

圖2

解析幾何的解題思路非常重要，因?yàn)橛?jì)算量大，往往“沒(méi)有回頭路”，教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生先分析解題思路，理清楚解題步驟，預(yù)估計(jì)算量，計(jì)算時(shí)多想兩步，才能簡(jiǎn)化計(jì)算，高效解題．利用極限思想判斷出直線CD的斜率為2，為后續(xù)的證明打開了思路，抓住了變化中的不變量，解題方向更加清晰．

4.2 妙用極限思想，優(yōu)化解題過(guò)程

在上述例題中，動(dòng)直線的極限狀態(tài)往往是切線或過(guò)已知點(diǎn)狀態(tài)，若動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，則極限狀態(tài)也過(guò)定點(diǎn)，所以兩種極限狀態(tài)下同時(shí)滿足的定點(diǎn)通常可以預(yù)判，這樣也給我們后面的解答指引了目標(biāo)，即便用常規(guī)方式計(jì)算也會(huì)因此由漫無(wú)目的變得有的放矢．例如雙二次的因式分解因?yàn)槎c(diǎn)已知，從而分解更加容易．

4.3 活用極限思想，提升核心素養(yǎng)

面對(duì)新高考，我們總在強(qiáng)調(diào)“思維能力的培養(yǎng)”，這不僅是一句口號(hào)，而是需要一線教師在教學(xué)過(guò)程中不斷摸索的.過(guò)去，我們?cè)谡n堂中常會(huì)幫助學(xué)生總結(jié)解決問(wèn)題的一般方法并歸納分類，這對(duì)于應(yīng)試是能起到一定作用的，但題目是千變?nèi)f化的，如何能讓學(xué)生在面對(duì)各種問(wèn)題時(shí)，自我分析，自我探究，自我解決，是需要教師不斷引導(dǎo)的.

雖說(shuō)極限思想不能直接用來(lái)求解圓錐曲線綜合題，但是對(duì)于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自我探究起到了積極的作用.上述例題中，利用極限思想來(lái)解決的過(guò)程，均是抓住了題目中的動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)直線，尋找變化規(guī)律，這對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，是提升理性思維、抽象能力的絕佳時(shí)機(jī).解題教學(xué)時(shí)，唯有多想一點(diǎn)，才能少算一點(diǎn)，多反思才能不斷優(yōu)化解題過(guò)程，多總結(jié)歸納才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，多復(fù)盤才能不斷提升．

數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是傳授數(shù)學(xué)思想，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考.極限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，不僅能提升學(xué)生的解題能力，還能提升核心素養(yǎng)，讓學(xué)生站在更高的角度去思考、理解問(wèn)題，知其然并知其所以然，更為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．