車輛斜碰撞系統(tǒng)的非線性特性研究*

韓 寧，李萬祥，李雄兵，雷菲菲

(1. 蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070； 2.天水師范學(xué)院，甘肅 天水 741000)

0 引 言

對于碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，目前國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量相關(guān)研究。Shams等[1]研究了一類單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)存在基本的周期運(yùn)動(dòng)和其他復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。李萬祥等[2]建立了一類單自由度含間隙系統(tǒng)，證明了hopf分岔的存在性。尹鳳偉等[3]建立了一類系統(tǒng)模型，通過協(xié)同仿真分析了分岔機(jī)理。韓維等[4]說明了斜碰撞系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀，給出了一般的研究方法與思路。羅冠煒等[5]選取了多種力學(xué)模型，理論分析了系統(tǒng)周期性運(yùn)動(dòng)的存在條件，并研究了其分岔行為，給出了碰撞振動(dòng)系統(tǒng)研究的基礎(chǔ)理論與常規(guī)思路。段潔等[6]建立了三質(zhì)體斜碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，并以碰撞間隙為變量做了減振研究。翟紅梅[7]以汽輪機(jī)葉片為對象，研究了斜碰撞系統(tǒng)的混沌行為，分析了通向混沌的過程。

研究表明，車輛的追尾碰撞事故是高速公路上最典型的事故形態(tài)。李銀龍等[8]研究了車輛的正面碰撞，建立了小角度碰撞模型并進(jìn)行了模擬研究。高強(qiáng)等[9]研究了一類變質(zhì)量動(dòng)力吸振器，分析了吸振特性。筆者以車輛追尾為典型工況，抽象出五自由度斜碰撞模型，探索車輛碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)、通向混沌的過程和在不同減振器作用下的相對穩(wěn)定性。此研究的目的在于優(yōu)化車輛系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對提高乘客舒適性與安全性有重要意義。

1 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)模型

圖1是由車輛追尾碰撞時(shí)簡化而來的五自由度斜碰撞振動(dòng)模型。后車質(zhì)量為M1，前車質(zhì)量為M2，兩車分別由剛度為K1和K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1和C2的線性阻尼器相連，分別做鉛垂方向和水平方向的運(yùn)動(dòng)，并且分別受到簡諧激振力Pisin(ΩT+τ),(i=1,2)(碰撞激振力)的作用。后車上集成了一個(gè)質(zhì)量為M3的減振器，剛度和阻尼系數(shù)分別是K5和C5。兩車發(fā)生了碰撞。假設(shè)力學(xué)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，忽略減振器M3在鉛垂方向的運(yùn)動(dòng)，前后車在同一條直線上運(yùn)動(dòng)。

圖1 車輛碰撞系統(tǒng)模型圖

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

式中：Ki為線性彈簧剛度；Ci為粘性阻尼系數(shù)；Pisin(ΩT+τ)量為簡諧激振力。引入無量綱量：

將上式帶入得到未碰撞時(shí)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程:

(2)

2 Poincaré映射的建立

選擇龐加萊截面：

(3)

式中：φ=ωt，mod2π。

在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，圖1所示的車輛碰撞系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)出周期性，即設(shè)M1和M2碰撞瞬時(shí)的時(shí)間為t=0，則下一次碰撞的時(shí)間為2nπ/ω，n∈Z。用q=p/n表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其中p為碰撞次數(shù)，n為力周期數(shù)。

3 仿真研究與分析

(1) 倍化、逆倍化、hopf分岔、擦邊現(xiàn)象分析

取系統(tǒng)參數(shù)(1)：μm1=0.2，μm2=0.5，d=0.20，ζ1=0.01，ζ2=0.01，ζ3=0.02，ζ4=0.02，ζ5=0.02，υ1=1，υ2=2，υ3=0.5，υ4=0.5，υ5=1，θ=π/12，利用Matlab編程，以外部激振頻率ω為分岔參數(shù)，數(shù)值計(jì)算得到局部分叉圖，如圖2所示。

圖2 局部分叉圖一

數(shù)值仿真結(jié)果顯示，當(dāng)ω<1.153時(shí)，系統(tǒng)做穩(wěn)定的q=2/2周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω=1.155時(shí)，轉(zhuǎn)遷至q=4/2周期運(yùn)動(dòng)，如圖3(a)；隨著ω的繼續(xù)增加，原來穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)變成穩(wěn)定的焦點(diǎn)，如圖3(b)，繼而變成吸引子，如圖3(c)；繼續(xù)增加ω至1.164 82，出現(xiàn)hopf圈，發(fā)生hopf分岔，如圖3(d)；當(dāng)ω增加到1.164 986時(shí)hopf圈不斷增大、變形，失去了圓滑性，周圍變得尖銳、曲折，如圖3(e)；ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)進(jìn)入了混沌，如圖3(f)。

圖3 Poincaré映射圖一

當(dāng)ω處于1.165 8和1.218時(shí)，系統(tǒng)絕大多數(shù)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其中也出現(xiàn)了2個(gè)狹窄的周期運(yùn)動(dòng)窗口。當(dāng)ω穿越1.220 08后，退出混沌，并出現(xiàn)逆倍化分岔，即發(fā)生混沌→q=4/2周期運(yùn)動(dòng)→q=2/1周期運(yùn)動(dòng)；隨著ω的繼續(xù)增加，導(dǎo)致系統(tǒng)經(jīng)Feigenhaum倍周期序列通向混沌，當(dāng)ω=1.267 5時(shí)，系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌，即發(fā)生q=2/1周期運(yùn)動(dòng)→q=4/2周期運(yùn)動(dòng)→q=8/4周期運(yùn)動(dòng)→q=16/8周期運(yùn)動(dòng)→混沌，如圖4(a)～(d)所示。

圖4 Poincaré映射圖二

經(jīng)過第二次的混沌帶后，系統(tǒng)退化出q=8/4周期運(yùn)動(dòng)，在ω從1.288～1.373 4的范圍內(nèi)，系統(tǒng)為q=8/4周期運(yùn)動(dòng)→q=4/2周期運(yùn)動(dòng)→q=2/1周期運(yùn)動(dòng)→q=1/1周期運(yùn)動(dòng)，并在相對較寬的區(qū)域內(nèi)處于q=1/1運(yùn)動(dòng)；當(dāng)ω穿越1.373 45后，出現(xiàn)q=17/10周期運(yùn)動(dòng)和q=18/10周期運(yùn)動(dòng)，分別如圖5(a)、(b)，這是因?yàn)榘l(fā)生了“擦邊分岔”，導(dǎo)致系統(tǒng)的Poincaré映射不連續(xù)，產(chǎn)生了奇異性。

圖5 Poincaré映射圖三

(2) 陣發(fā)混沌分析

改變系統(tǒng)參數(shù)(1)，使得碰撞間隙d=0.30，編程得到系統(tǒng)的局部分岔圖。圖6是ω∈[1.345,1.395]之間的局部放大圖。

圖6 局部分岔圖二

之前的幾種分岔行為，都是由周期運(yùn)動(dòng)向混沌緩慢過渡。但系統(tǒng)還會(huì)發(fā)生另外一種分岔，即在周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)之間發(fā)生了跳躍。圖7顯示了碰撞系統(tǒng)發(fā)生陣發(fā)性混沌的過程。

圖7 相圖和Poincaré映射圖

當(dāng)ω=1.345時(shí)，系統(tǒng)為q=2/1周期運(yùn)動(dòng)，如圖7(a)、(b)；當(dāng)ω∈[1.346,1.355]時(shí)，進(jìn)入了混沌，如圖7(c)、(d)；繼續(xù)增加ω時(shí)，出現(xiàn)q=17/10周期運(yùn)動(dòng)，如圖7(e)、(f)；ω繼續(xù)增加至1.363時(shí)，再次進(jìn)入混沌，如圖7(g)、(h)；繼續(xù)增加ω，碰撞系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性總是在周期運(yùn)動(dòng)與混沌之間來回不停跳變，發(fā)生陣發(fā)混沌。

4 減振器質(zhì)量對車輛的穩(wěn)定性影響

系統(tǒng)為多參數(shù)系統(tǒng)，影響車輛穩(wěn)定性的因素有很多。現(xiàn)選擇不同質(zhì)量的減振器，從宏觀上分析不同質(zhì)量的減振器對車輛穩(wěn)定性的影響。

當(dāng)μm2=0.5，d=0.30，ζ1=0.01，ζ2=0.01，ζ3=0.02，ζ4=0.02，ζ5=0.02，υ1=1，υ2=2，υ3=0.5，υ4=0.5，υ5=1，θ=π/12，ω∈[1.15,1.55]時(shí)，系統(tǒng)在不同質(zhì)量減振器μm1下的局部分岔圖如圖8所示。

圖8 多參數(shù)局部分叉圖

可見，不同質(zhì)量的減振器對車輛的穩(wěn)定性具有很大影響。下文將以μm1=0.13為參考基準(zhǔn)進(jìn)行分析比較。低頻時(shí)，系統(tǒng)雖都表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng)，但增大或減小減振器質(zhì)量都會(huì)導(dǎo)致車輛在混沌區(qū)域的運(yùn)動(dòng)幅值增大；當(dāng)ω在1.28的一段鄰域時(shí)，減小μm1系統(tǒng)也會(huì)進(jìn)入混沌，但區(qū)域?qū)挾认鄬τ兴鶞p小，并且接下來的較大一段頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)都將呈現(xiàn)為周期運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定性改善。此時(shí)增大μm1系統(tǒng)則不會(huì)進(jìn)入混沌，反而轉(zhuǎn)化成了周期運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定性改善；當(dāng)ω>1.35時(shí)，系統(tǒng)在大多數(shù)頻率下都呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，同時(shí)也出現(xiàn)了不同的周期窗口。此時(shí)可以看到，μm1越大，混沌區(qū)域越大，μm1越小，混沌區(qū)域越小。但系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定位移的幅值與μm1的關(guān)系不大，三者大小基本保持一致。

現(xiàn)用同一頻率下的相圖、時(shí)間歷程圖和Poincaré截面圖對系統(tǒng)做進(jìn)一步分析。

當(dāng)ω=1.414時(shí)，車輛系統(tǒng)在不同減振器作用下的相圖、時(shí)間歷程圖和Poincaré映射圖各不相同，如圖9。當(dāng)μm1=0.13、0.2時(shí)系統(tǒng)做混沌運(yùn)動(dòng)，當(dāng)μm1=0.1時(shí)系統(tǒng)做q=1/1周期運(yùn)動(dòng)。可得在同一頻率，不同質(zhì)量的減振器可能會(huì)導(dǎo)致混沌、周期運(yùn)動(dòng)或者其他不同形式的運(yùn)動(dòng)同時(shí)出現(xiàn)。

圖9 ω=1.414時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)圖

同一頻率下車輛運(yùn)動(dòng)的最大位移與最大速度常常作為衡量穩(wěn)定性的重要指標(biāo)之一。分析系統(tǒng)的最大位移與最大速度，可以得到不同頻率下車輛運(yùn)行相對穩(wěn)定的減振器質(zhì)量與車輛質(zhì)量之比。

不同質(zhì)量的減振器對車輛系統(tǒng)在一定頻率范圍內(nèi)的最大位移與最大速度的影響情況如圖10所示。

圖10 不同減振器下的最大位移與最大速度圖

當(dāng)ω<1.23時(shí)，減小μm1，即減少減振器質(zhì)量，車輛的最大位移相對最小，最大速度的變化也比較平穩(wěn)，車輛穩(wěn)定性很好。說明在相對低頻狀態(tài)下，減振器質(zhì)量小，系統(tǒng)會(huì)更加穩(wěn)定；當(dāng)ω在1.28的較小領(lǐng)域內(nèi)時(shí)，增大或減小減振器質(zhì)量都會(huì)導(dǎo)致車輛的最大位移與最大速度出現(xiàn)局部極值，不穩(wěn)定因素變強(qiáng)；當(dāng)ω超過1.35后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性明顯變得復(fù)雜，這從另一個(gè)方面證明車輛系統(tǒng)即將進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。進(jìn)入混沌區(qū)之后，較小質(zhì)量的減振器有較小的最大位移的最大速度。同時(shí)，在混沌區(qū)域當(dāng)中，不同減振質(zhì)量下的車輛系統(tǒng)都頻繁出現(xiàn)最大位移與最大速度的峰值，危險(xiǎn)很大，這在工程設(shè)計(jì)優(yōu)化當(dāng)中應(yīng)該盡量避免。

可見，為了提高車輛的安全性與舒適性，在不同的頻率范圍下應(yīng)選擇不同質(zhì)量的減振器，即工作在不同工況下的車輛應(yīng)該選裝不同質(zhì)量的減振器。

5 結(jié) 論

(1) 文中建立了車輛斜碰模型，建立運(yùn)動(dòng)微分方程，通過相圖、時(shí)間歷程圖和Poincaré映射圖研究了車輛斜碰撞系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)倍化分岔、逆倍化分岔、hopf分岔、跳變、周期運(yùn)動(dòng)、混沌和陣發(fā)混沌。

(2) 通過仿真得到不同質(zhì)量減振器對車輛系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為影響的局部分岔圖，得到減振器是車輛穩(wěn)定性的重要影響因素，在不同的頻率下不同車輛有不同的最優(yōu)選擇。

(3) 車輛在不同質(zhì)量減振器、同一頻率作用下可能會(huì)出現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)、混沌或其它非線性行為。

(4) 通過分析不同質(zhì)量減振器作用下的最大位移和最大速度，從非線性動(dòng)力學(xué)的角度分析得到不同工況下的車輛應(yīng)選擇不同的減振器。

(5) 為相似的斜碰撞研究提供借鑒經(jīng)驗(yàn)。