NSGA-II應用于圓筒型永磁直線電機的多目標優化＊

彭 珍，劉春元，饒章宇，李廣力

(1.浙江理工大學信息學院，浙江 杭州 310018；2.嘉興學院信息科學與工程學院)

0 引言

圓筒型永磁直線電機(TubularPermanent Magnet Linear Motor,TPMLM)具有推力密度高、伺服特性優良、加工裝配容易、氣隙磁場高且不存在橫向端部效應等特點，廣泛應用于海浪發電[1]、振蕩系統[2]以及高精度數控機床[3]等工業領域，研究高效可靠的圓筒型永磁直線電機具有重要意義。

目前，電機優化設計的主要目標是提高推力密度[4]，減少推力脈動[5]等。近年來，提出了很多相關的優化方法，其中最為主要的優化方法是結構優化[6]和算法優化[7]。而其中的多目標優化是算法優化中最為方便和高效的方法之一。

對于算法的優化，文獻[8]為了防止算法“早熟”，提出了帶黑洞機制和混沌搜索的多目標粒子群優化算法，達到了增加種群的多樣性、提高算法尋優精度的效果。文獻[9]為了同時實現新型軸向磁場永磁記憶電機的高性能和低成本，提出一種結合分層優化策略的響應曲面法(Response surface method,RSM)和基于罰函數與目標約束的NSGA-II-M 多目標優化設計方法，并得出NSGA-II-M 在求解此類多目標優化問題上比RSM 更具優勢，同時也證明了NSGA-II 的有效性。因此，本文針對現有電機優化中存在的優化效率低、優化效果不理想等問題，提出使用基于NDX算子的NSGA-Ⅱ對電機的功率和效率進行多目標優化，以期實現電機的功率和效率的提升。

首先，搭建二維仿真模型，根據TPMLM 的尺寸在ANASYS Maxwell 上建立二維模型；其次，數據分析，計算優化前電機的功率和效率，利用敏感參數分析法獲取主要影響變量；然后，多目標優化，利用基于NDX算子的NSGA-Ⅱ對功率和效率進行優化，獲得Pareto前沿和優化后的目標值和變量值；最后再與優化前的數據進行對比，并使用樣機驗證。

1 圓筒型永磁直線電機多目標優化模型

1.1 目標函數

本文選取功率最大和效率最高作為電機設計的優化指標，在TPMLM 電機的多目標優化敏感性優化分析中，目標函數如式⑴、式⑵所示：

其中，Pout為電機的輸出功率，η為電機運行時的輸出功率與輸出功率、磁滯損耗和繞組損耗之和的比值。輸出功率Pout和運行效率η的計算如式⑶、式⑷所示：

其中，IA、IB、IC、UA、UB和UC為分別為內部電路中三相電路各相電路的電流與電壓值；Pcore為磁滯損耗，磁滯損耗的數據由仿真模型導出；Pcu為繞組損耗，繞組損耗的計算如式⑸所示：

其中，R是三相電路上各相的繞組電阻，取阻值10Ω進行計算。

1.2 優化變量

本文所研究的TPMLM 的初始結構參數數據如表1所示。

表1 電機設計主要參數數據

根據靈敏度分析[10]，從表1 中的所有參數數據中選取了五個關鍵結構參數作為TPMLM 的優化變量。根據輸出性能隨參數變化進一步給出每個參數變量的限制范圍，如表2所示。

表2 優化變量及參數范圍

1.3 優化設計流程圖

本文整體的優化設計過程如下：首先，確定優化目標和設計變量以及變量的取值范圍。其次，計算和分析設計變量對優化目標的敏感性指數，利用靈敏參數分析法選取靈敏度高的參數。然后，再利用基于NSGA-II的多目標優化算法生成優化目標的Pareto前沿。最后，確定設計變量的最佳值，通過仿真和實驗驗證電機的功率和效率的性能。具體如圖1所示。

圖1 多目標優化設計流程圖

2 基于NDX算子的NSGA-Ⅱ多目標優化

2.1 NSGA-II的特點

近年來，多目標優化中采用了多種多目標進化算法，如多目標粒子群優化(MOPSO)、多目標差分進化(MODE)和多目標遺傳算法(MOGA)。為了獲得具有最優參數設計的良好優化方法，在[11]中，對多目標粒子群優化算法(MOPSO)、多目標差分進化算法(MODE)和非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)三種進化算法進行了性能評估。評估結果表明：MODE 存在過早收斂的問題，而MOPSO 容易陷入局部最優解，相比之下，MOGA 具有較強的全局搜索能力，但不能保證搜索的多樣性，收斂速度較慢，結果表明了NSGA-II提供了更好的最優解，因此，本文使用NSGA-II 進行多目標優化。

NSGA-Ⅱ由Deb[12]等人首次提出，其主要思想為帶有精英保留策略的快速非支配多目標優化算法，是一種基于Pareto 最優解的多目標優化算法。NSGA-Ⅱ在執行選擇、交叉和變異遺傳操作之前，會對個體先進行分層排序，確定種群間的支配與非支配關系，同時，提出個體的擁擠度和精英策略來保證種群的多樣性，并降低了計算復雜度并盡可能保留滿意解。

NSGA-II 的實數編碼所采用的交叉算子為模擬二進制交叉(simulated binary crossover)算子，簡稱SBX 算子，定義為：對兩個父體x1和x2，按照以下方式生成兩個子個體c1和c2：

其中，β為隨機變量，在每一維上都需要重新生成，以第i維為例(設x1,i≥x2,i)，可以將式⑹變換為如下形式：

(x1,i+x2,i)/2 表示兩個父體在第i 維上的中點，將(x1,i-x2,i)/2視為該維上的搜索步長。

基于SBX算子的NSGA-Ⅱ中的β為隨機變量，其搜索范圍有限，易出現局部最優和進化過程不穩定等問題。

2.2 基于NDX算子的NSGA-Ⅱ

針對SBX 算子的不足，將正態分布引入到交叉操作SBX中，即用1.481|N(0,1)|代替參數β來擴大搜索空間，增強的空間搜索能力，N(0,1)為正態分布隨機變量。故式⑺可表示為：

基于NDX 算子的NSGA-Ⅱ在Pareto 前沿的完整性、均勻分布性、算法收斂性上都有顯著改善，更容易跳出局部最優，提高Pareto最優解的質量，并將此算法用于圓筒型永磁直線電機的多目標優化中，不僅能獲得更多具有代表性的非劣解，而且有利于其做出更合理的決策。改進后的NSGA-II的流程圖如圖2所示。

圖2 NSGA-II流程圖

3 性能對比

所采用的基于NDX 算子的NSGA-Ⅱ的參數設置如下：種群規模大小設置為300；變異算子的變異概率設置為0.2；交叉算子的交叉概率設置為0.8；最大迭代次數設置為1000。優化后的Pareto 前沿如圖3 所示，優化前后設計變量的取值如表3所示。

表3 優化前后的設計變量值

圖3 Pareto前沿

從圖3 可得：由于基于NDX 算子的NSGA-Ⅱ搜索空間更為廣闊，使得Pareto最優解分布均勻，而且解的質量要更高。通過優化，功率由401.52W提高到了454.02W，效率從82.83%增大到了90.18%。

3.1 功率性能

在速度為0.5m/s，負載為10Ω時計算瞬時功率，優化前后瞬時功率的結果如圖4所示，從圖中可以看出，優化后的TPMLM的功率得到了增大，TPMLM的平均功率由優化前的401.52W變為優化后的454.02W，達到了優化效果。

圖4 功率的優化結果

3.2 效率性能

TPMLM 的繞組的電阻取值為0.8Ω，在速度為0.1-1.0m/s時分別計算運行效率，結果如圖5 所示，從圖中可以看出，優化后的電機的工作效率相比優化前，有明顯的提升，電機平均效率由優化前的82.83%變為優化后的90.18%，達到了優化效果。

圖5 效率優化對比

4 實驗

為了驗證所設計的永磁直線電機能應用于橋梁的減振系統，使用MTS100kN 萬能試驗機模擬橋梁的振動。實驗平臺的搭建如圖6所示。

圖6 實驗平臺

在電機的運動速度為0.112m/s，負載R=5Ω的工作條件下，用示波器測量感應電動勢，用MTS100kN萬能試驗機讀取電磁力，即阻尼力。圖7(a)所示為測量的A相感應電動勢，(b)為仿真的三相感應電動勢波形。從圖中可看出，其感應電動勢幅值測量值為15V，有限元計算值為15.4V，仿真計算值和實驗測試值基本一致。

圖7 感應電動勢

5 結束語

本文提出了一種基于NDX 算子的NSGA-Ⅱ的TPMLM 的多目標優化設計方法。以效率和功率為優化目標。

本研究充分利用NSGA-II的全局收索能力對目標進行優化，通過動態擁擠度以及自適應混合交叉算子保證解的多樣性，提高解的質量；通過全局優化，獲得電機結構參數最優解，實現TPMLM的最佳運行性能。

樣機的仿真和試驗結果表明：通過電機參數結構的優化，在不同狀況下，優化后功率提高，效率提升，而且樣機實測表明該方法對TPMLM 結構優化設計的有效性。因此，所提出的TPMLM 優化設計可以方便、高效地獲得最優結構設計。