鐵路既有曲線混合約束非線性最優化整正研究

馬敬武 謝建明 王 偉 謝紅太

（1.華設設計集團股份有限公司， 南京 210014；2.四川大學， 成都 610065）

既有鐵路曲線整正是鐵路工務部門維修作業中的一項重點內容。曲線整正可使軌道結構保持標準狀態，但列車運行中不可避免的輪軌碰撞使得軌道結構位置發生了變化，尤其線路曲線段的變化嚴重威脅著列車的運行安全。鐵路運營維護中，曲線整正方法主要包括繩正法、偏角法和坐標法［1-2］。繩正法用于鐵路日常維修，但易出現鵝頭問題；偏角法用于鐵路大中修，行車干擾較大；坐標法用于提速鐵路大中修，精度高，不受行車干擾［3-4］。

近些年，很多學者對既有鐵路曲線整正做了諸多研究，主要包括：劉鑫提出既有鐵路曲線線性約束和非線性目標函數的最優化曲線整正研究，使得曲線整正約束條件和目標函數更精確、合理和科學［5-6］；丁克良等利用最小二乘平差法，根據鐵路線路特征及曲線整正要求，提出基于曲線平差法的數學模型計算曲線撥道量［7］；王保成等根據既有無縫線路提速后曲線整正的實際要求以及保證撥正前后軌道長度不變，提出利用測點坐標直接進行無縫線路曲線整正的方法［8］；楊輝等考慮了規范約束和控制點約束，基于罰函數的思想將曲線整正非線性約束轉化為無約束問題，建立曲線整正最優化模型［9］；秦方方等分析了擬合既有鐵路平面線形時產生的主要誤差，依據逆向重構理論，提出基于三次樣條曲線的鐵路既有曲線整正方法；劉永孝等基于坐標法的漸伸線誤差分析研究提出，曲線任意點撥距可通過對曲線測點沿徑向到撥后設計曲線的距離來計算，該方法能夠修正控制點的約束條件以達到約束條件對控制點撥距的限制；劉文濤等利用最小二乘法求得初始半徑及緩和曲線長，但計算數據較大且圓曲線長度較難確定［10-11］；繆鹍等針對鐵路既有曲線整正，提出基于PSO的既有線曲線整正方法，解決了現有計算中曲線線形參數初始值識別過程復雜的問題［12］。

本文在分析了傳統曲線整正組成約束條件不足和曲線整正改變軌道幾何長度造成的無縫線路鎖定軌溫變化［13］等基礎上，提出了一種鐵路既有曲線混合約束非線性最優化整正的研究方法。

1 鐵路線形概略分段

鐵路標準線形由直線、緩和曲線和圓曲線組成。隨著科學技術的快速發展，鐵路檢測維修和養護技術也隨之提高。軌檢車作為重要的檢測手段，成為判斷軌道質量狀態的重要工具。合理利用軌檢車數據，并依此指導現場作業，對保持軌道良好狀態水平十分重要。姚連璧等利用三次樣條函數，將所有測點擬合成一條曲線，并計算各測點的曲率，通過穩健估計法在曲率圖上進行鐵路線形的識別［14］；石培澤采用十一點曲率法得到測點近似曲率，按照設定閾值識別主點坐標，再根據主點坐標位置劃分既有線路各點坐標，實現線形的粗略分段［15］。

分析軌檢車數據，為進一步探究測點的準確性和適用性，用曲率變化率進行定量說明。曲率變化率示意如圖1所示，對其中超過管理限值的點進行處理［16］，可獲得符合線形要求的曲率圖。由曲率圖概略反應直線、緩和曲線和圓曲線等鐵路線形參數，如圖2所示，oa和de段為直線段，ab和cd段為緩和曲線，bc段為圓曲線段。

圖1 曲率變化率示意圖

圖2 曲率示意圖

2 計算初始值

2.1 計算初始圓心和半徑

根據文獻［17］，按照3點定圓，在曲率梯形圖bc段取n + 2個點，可以確定n個圓心，再把圓心依次連接，組成1個n邊形，n邊形的幾何重心就是要求的初始圓心。選取n邊形某一點為頂點，將其分成n - 2個不交叉重疊的三角形，如圖3所示。設圓心o1，o2，…，on的坐標分別為（p1，q1），（p2，q2），…，（pn，qn），o1為頂點，則n邊形幾何重心坐標（也即為初始圓心坐標）為：

圖3 n邊形幾何重心示意圖

初始半徑R為：

2.2 計算初始緩和曲線長度

單曲線線形要素示意如圖4所示，p1，p2是內移距，當圓心和半徑確定，內移距即可確定。

圖4 單曲線線形要素示意圖

3 曲線整正優化方法

3.1 設計變量

參照圖4 在前直線段上選取 A（xA，yA）、B（xB，yB）兩點，后直線段上選取 C（xC，yC）、D（xD，yD）兩點，則偏角對于特定的曲線，前后直線不變，則偏角α不變。經分析研究，不同的緩和曲線長度和半徑，對應的撥道量不同，所以本次設計l01、R、l02為變量，即X→= （l01，R，l02）T。

3.2 約束條件

在保證曲線偏角α不變的基礎上，綜合考慮的約束條件有：

（1）起、終點撥道量為0。

（2）軌道幾何長度保持不變。

（3）橋、隧等大型構筑物控制點位置撥道量小于規定的限值。

（4）曲線半徑和緩和曲線長度滿足TB 10098 -2017《鐵路線路設計規范》和TG／GW102 - 2019《普速鐵路線路修理規則》的規定，曲線半徑取整，緩和曲線長度為10 m整倍數。

針對上述約束條件，設約束方程表達式為：

式中：H、G——基本約束矩陣，H→=（h1，h2，…，hm）、

→G→=（g1，g2，…，gn）；

→m和n——基本約束個數；

→X——設計變量；

→W——基本約束矩陣中的設計允許值，W→=（w1，w2，… wm）T；

→L——曲線長度。

式中：w1、w2、w3——規范中對應 l01、R、l02的最小允許值；

w4、w5、w6——規范中對應 l01、R、l02的最大允許值的負值；

w7——規范中圓曲線長度的最小允許值。

3.3 目標方程

以撥道量的平方和最小為目標，即

式中：D——N個分量的向量函數，其分量di（X）是分片函數的子式。

綜上，可得曲線整正優化計算模型：

由式（9）可得，該計算模型為含有不等式和等式混合線性約束的非線性目標函數最優化模型。

3.4 目標方程求解

利用可行方向法求解本文計算模型。如果式（9）存在非零向量dk同時滿足Gdk= 0，則dk是X處的可行下降方向。設Xk為可行域中的可行點，從Xk出發，沿dk作一維搜索，得后繼迭代點Xk+1= Xk+λkdk，為保證Xk+1的可行性，進而求解式（10）帶約束的一維最優化問題。

本節課的讀中活動，教師有意識地指導學生運用閱讀技能分析特定段落，提高學生解讀英語篇章組織結構的能力，將其遷移到寫作中，做到了“讀中有寫”。

具體計算步驟如下：

（1）初始值 X0，令 k→= 0，允許誤差ε＞ 0。

（2）根據Xk處的起作用約束，把H分解為H1和H2，W分解為W1和W2，使得 H1TXk=W1，H2TXk=W1，計算

（3）求解式（11）最優解 dk：

按式（12）求出λmax；求解最優解λk，令 Xk+1= Xk+λkdk， k→= k + 1，返回步驟（2）。

3.5 計算流程

本文模型計算流程如圖5所示。

圖5 計算流程示意圖

4 實例驗證

本文模型在蘭新鐵路大中修中得以應用驗證。蘭新鐵路，東起甘肅省蘭州市，途經萬里長城西端嘉峪關，西至新疆維吾爾自治區烏魯木齊市，全長2 423 km。其中蘭州至嘉峪關段全線為雙線電氣化鐵路，嘉峪關至烏魯木齊段為單線電氣化鐵路。

以蘭新鐵路K 109 + 280～K 109 + 820段為例，曲線偏角α= 10.6°（左偏），半徑R = 2 000 m，緩和曲線長度L0= 160 m，沿線經過1座小橋和1座中橋，橋頭橋尾可作為撥道量控制點位置。首先利用軌檢車采集坐標數據，軌檢車數據里程相對于現場實際里程會有一定的飄移，但在計算中，每次迭代計算都是某一點或者一小段的計算，對計算結果影響不大［18］。隨后利用計算機程序設計語言Python進行自主編程計算最優撥道量。

4.1 計算交點坐標和偏角

計算交點坐標和偏角如表1所示。

表1 交點坐標和偏角表

4.2 計算初始圓心坐標、半徑和緩長

計算初始圓心坐標、曲線半徑和緩和曲線長度如表2所示。

表2 初始圓心坐標、半徑和緩長表

4.3 計算撥道量并優化

表3 間隔20m測點坐標及撥道量表

5 結論

（1）為了使得軌道幾何長度在撥道前后不變，可以將其長度作為約束條件，可以滿足半徑和緩長取整的要求。

（2）相比于傳統撥道量，優化后的撥道量結果明顯較好，表明該模型具有較好的準確性和優越性。

（3）本文模型約束條件均來源于TB 10098 - 2017《鐵路線路設計規范》、TG／GW 102 - 2019《普速鐵路線路修理規則》，所以該方法適用于客貨共線、重載鐵路以及鐵路大提速既有曲線整正。