不規則三桿張拉整體結構的找形

劉賀平， 黃文杰， 宋健， 賴瀟亮， 羅阿妮

(哈爾濱工程大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

張拉整體結構通常以離散桿與連續的索構件組成，由于索構件在受壓方向的模量為無限小，在結構不合理引起節點受力不平衡的情況下通常會產生坍縮的失穩形式，從而使結構整體無法自行維持一個常態形狀[1]。在張拉整體結構的研究中，構型研究是結構研究中最基礎的一步。當前構型分析中，優化分析是主要的研究方向，這些優化構型方法都是基于張拉整體結構靜力學或動力學模型平衡準則的算法迭代進行數值求解，這一過程需要大量的計算推導構件變化后的穩定結構形態或基于節點及結構形態變化后以滿足各構件的參數變化[2],或以動力學算法等進行滿足構件變化及構件常數的非線性擬合規劃找形[3-8]?；诖祟悢抵档蠼獬鰜淼臉嬓屯ǔ：茈y獲得結構參數與穩定構型的關系，從而無法做進一步的拓撲研究。

張拉整體結構的整體輕量化、自平衡等力學特性尤其適合剛度要求不敏感的機器人領域和仿生領域及空間展開結構領域等[9-11]。正是基于這樣的特點，提出許多張拉整體機構。這些張拉整體機構，都是通過少數構件的長度變化，驅動整體運動，從而實現預期功能。在機構運動過程中，整體會連續變化其形狀，而且任意時刻的形態都是穩定的，這既滿足了機構可控性的要求，也為張拉整體結構的找形提供了一種思路。

本文基于規則3桿張拉整體單元，選擇其3根斜索中的2根作為驅動構件，其長度主動控制變化，第3根斜索的長度隨動變化，以此來獲得穩定不規則3桿張拉整體結構。在分析過程中，以隨動構件長度最小為確定穩定構型的標準，以結構整體節點受力的系統平衡矩陣的數值分析來進行穩定性的進一步檢驗，并利用仿真和實體模型來對此構型方法的正確性及相關算法的精度進行驗證。

1 規則張拉整體單元

規則的3桿張拉整體單元結構如圖1所示。圖中，圓柱體代表桿構件、實線代表索構件。此結構包括3根桿和9條索，其中索構件可以分成3類，即上端面索、下端面索和斜索。上下端面由斜索連接并扭轉一定角度。當上下端面直徑相等時此結構整體外接于圓柱體，結構對稱性好，上下端面的3根索都圍成了正三角形，同類構件的長度和內力相同。如圖1所示，連接上下端面節點的是桿構件和斜索構件，桿構件承受壓力，斜索構件承受拉力，桿構件的內力有把2個端面之間距離撐大的趨勢，而斜索構件的內力則是抵消這一趨勢以保證結構軸向平衡，因此斜索對保持此張拉整體單元的穩定有直接影響。本文將通過斜索長度的變化對結構穩定性的影響來推導張拉整體單元的穩定條件。

圖1 規則3桿張拉整體單元Fig.1 Regular 3-bar tensegrity structure

斜索的2個端點分別位于上下端面。圖1中，連于節點n1、n2和n3的斜索的另一個端點分別為n5、n6、n4。如果保持上下端面正三角形、桿構件與節點的連接關系、桿構件長度都不變，令2個端面始終平行，下端面固定不動，上端面繞著中心轉動。當斜索長度最短時，此時結構的構型為穩定構型。依據這一思路，可以獲得圖1所示結構的穩定構型條件。當連接于節點n1、n2和n3的斜索另一個端點分別固定于n6、n4和n5時，也可以利用上述條件和方法，獲得穩定構型。如果斜索構件和桿構件的兩端節點重合，索桿結構布置不合理，結構也不能保持穩定。因此，規則3桿張拉整體單元只有2種穩定構型，這2種構型的區別主要在于斜索和節點的連接關系不同[12]。

同理，規則的p桿由p根桿構件和3p根索構件組成，三類索的數量均為p，其上下端面水平索都圍成正p邊形。令下端面節點ni(i=1,2，…,p)所連桿構件的另一個端點始終為np+i。依然保持高度、上下端面正多邊形、桿構件與節點的連接關系、桿構件長度不變，各斜索長度相同令2個端面始終平行，下端面固定不動，上端面可以繞著中心轉動。以n1節點為例，連接節點n1的桿構件的另一個端點為np+1，連于節點n1的斜索的另一個端點可以為np+1+j，其中j定義為分形參數，j=1，2，…，p-1，其余節點連接方式順序類推。這樣，規則的p桿單元就有p-1種穩定構型。圖2為規則5桿張拉整體單元4種構型簡圖。

圖2 規則5桿張拉整體單元4種分形Fig.2 Four fractals of regular 5-bar tensegrity element

2 規則張拉整體單元的穩定條件分析

2.1 數學模型

令R為規則張拉整體單元外接圓柱端面半徑，h為其外接圓柱的高度，ra和rd分別為上下端面正多邊形外接圓的半徑。

設φ為同一根桿的2個端點在下端面上的投影與下端面形心連線的夾角(如圖1所示)，這里稱此角度為單元內轉角。

規則p桿單元的下端面節點坐標為：

(1)

上端面節點坐標為：

(2)

p桿單元的桿連接矩陣為：

索連接矩陣為：

式中：Ip為p階單位矩陣；j為前文所述的分形參數。

2.2 斜索長度分析

當穩定的張拉整體單元軸向承載時，其運動只有2種，即沿著軸線的整體高度的變化和繞著軸線的上下端面間的相對轉動。撤除載荷后，此張拉整體單元將反向運動，恢復原來形態。也就是說，在張拉整體單元的大部分構件長度不變的條件下，在一定范圍內改變其個別構件長度，穩定狀態時的長度最小。下面根據這一思路來分析規則張拉整體單元的穩定條件。

圖3 扭轉連接斜索以保持結構穩定性Fig.3 Revolve the connected inclined cable to keep structural stability

令規則張拉整體單元的上下端面水平索和桿長度不變，只改變斜索長度。這里設斜索長度為|lik|(表示此斜索兩端節點為ni和nk)，桿長度為|lib|(表示此桿件兩端節點為ni和nb)。規則p桿張拉整體單元的第j種構型中，斜索長度可表示為：

|lik|=‖ni-nk‖=

(3)

設桿長為|lib|，結構的總體高度可表示為：

(4)

當i=1時，將式(4)代入式(3)：

(5)

式(5)的右側表達式包含2部分，第1部分是常量，第2部分才是含有φ的變量，這里把式(5)中含有變量的部分提出：

(6)

當式(6)值最小時，斜索長度也達到最小。對式(6)求導，可得：

(7)

求解式(7)得：

(8)

由此推斷，規則的p桿張拉整體單元，只要滿足式(8)，即可穩定，這一結果與文獻[13]的理論結果相同，也證明了此分析思路是正確的。

3 非規則三桿張拉整體結構的穩定構型解析

3.1 計算上底面三節點坐標

在2.2節，只改變規則張拉整體單元的某一類構件的長度，其余構件長度及受力特性不變，通過分析可知，變長度構件的長度最小時，此結構將處于穩定狀態。下面將基于這樣的特點，來探討不規則3桿張拉整體結構的穩定構型確定方法。

本節依然令3桿張拉整體結構的桿構件、上下端面水平索長度都為定值，3根斜索中兩條斜索的長度為自變量來確定第3條斜索長度，從而獲得不規則的3桿張拉整體穩定構型。

圖4所示為φ=7π/6時規則的3桿張拉整體單元。這里，令節點n1和n5之間連接的斜索為所求未知量。首先，根據下端面水平索的長度，可確定下端面3個節點n1、n2和n3的位置。由圖4可知，連接節點n3的桿的另一個節點為n6，此桿長度|l36|為定值。固定于n6上的斜索的另一個節點為n2，此斜索的長度|l26|為自變量，也是需要提前給定的。以節點n3為球心，以|l36|為半徑，繪制一個球面。以節點n2為圓心，以|l26|為半徑，繪制另一個球面。這2個球面的交線為一空間圓弧(如圖5所示)，那么n6節點一定位于此圓弧。

圖4 節點與構件長度Fig.4 Nodes and lengths of members

圖5 節點n6所在弧線Fig.5 The possible position arc of node n6

節點n6所處空間圓弧的圓心坐標可表示為：

(9)

該圓弧的半徑為：

(10)

節點n6需要滿足以下條件：

(11)

設n6節點坐標為[x6,y6,z6]T，將式(11)的第1個表達式代入式(9)，可得：

將式(9)、(10)代入式(11)的第2個表達式，可得：

(12)

利用上述方法也可確定n4節點所在圓弧(如圖6所示)，此空間圓弧的圓心坐標可表示為：

圖6 節點n4所在弧線Fig.6 The possible position arc of node n4

(13)

此圓弧的半徑為：

(14)

節點n4需要滿足以下條件：

(15)

將n4節點坐標設為[x4,y4,z4]T，將式(13)代入式(15)的第1個表達式：

將式(13)、(14)代入式(15)的第2個表達式：

由上述關系即可確定n4、n6節點坐標，具體確定步驟為，由方程組(11)選取n6節點坐標，再依據斜索長|l46|和方程組(15)確定n4節點坐標(如圖7所示)：

圖7 n6n4定距連接Fig.7 Distance connection of n6 and n4

|n6-n4|=l46

(16)

上端面:三節點坐標的之間的幾何關系滿足：

(17)

這樣，依據節點n6和n4、構件長度|l56|、|l45|和|l25|，就可以確定節點n5的位置(如圖8所示)。

圖8 確定節點n5位置Fig.8 Determine the location of node n5

3.2 優化所求索長lx1

根據3.1節所述方法依據節點n6確定節點n4和n5坐標，這樣就可以確定一個3桿張拉整體結構構型，但是這個構型未必是穩定的。依據第2節的分析，斜索長度|l15|必須為最小值時，結構才穩定。因此，穩定構型需要通過一個優化過程來實現。

此優化過程的自變量為節點n6于此空間弧線上的取值坐標：

結構穩定目標函數為：

min((x5-x1)2+(y5-y1)2+(z5-z1)2)

(18)

依據節點n6坐標獲得的約束條件為：

(x6,y6,z6)∈

(19)

根據節點n4確定的約束條件為：

(x4,y4,z4)∈

(20)

再根據各節點的位置關系和構件長度條件確定的約束條件為：

(21)

3.3 數值解算算法

根據上面的分析，可以獲得斜索長|l15|最小時各節點坐標，由此進一步確定結構構型。此結構構型是否穩定，還需要進一步判斷。

結構的平衡取決于節點的平衡，依據節點的力平衡可以建立結構整體的平衡方程。平衡方程的未知數為構件力密度。當結構處于自穩定狀態時，此平衡方程的形式為：

At=0

(22)

式中：A為系統平衡矩陣；t為所有構件力密度所組成的力密度向量。

當平衡方程(22)存在一組非零解，即存在一組合適的構件力密度組合能夠保持結構平衡時，此結構將能夠處于自穩定狀態。式(22)存在非零解，可以通過平衡矩陣來判斷并求取。平衡矩陣可以通過下式的計算方法獲得[13-14]：

(23)

式中：CS為索連接矩陣；CB為桿連接矩陣：

奇異值分解矩陣A，可得：

A=UVWT

(24)

式中：U為正交矩陣；WT為列正交酉陣，表示自應力模態；V為對角矩陣，為A的奇異值。如果λi和ti分別為平衡矩陣A的第i個奇異值和平衡方程(22)的第i個自應力模態向量，則：

(25)

若存在奇異值λi=0，則其對應的模態(特征向量)ti取值使得式(25)都為0，即平衡方程(22)存在非零解，表示此自應力模態下結構必然穩定。這樣，結構自穩定的判斷就轉化為對系統平衡矩陣A的最小奇異值的判斷。當奇異值最小值為0時，此結構的平衡方程有非零解，能夠找到一組構件力密度使其保持平衡。

當利用算法數值求解時，A通常情況必然滿秩，因此結構的穩定性的評價標準為A的最小奇異值是否接近于或等于0，通常取矩陣V的末位數值即A的最小奇異值作為數值迭代過程中結構穩定度的量化參考標準[15-16]。分析求解思路如下：

1)確定基本參數R、h及φ，計算規則3桿張拉整體單元的構件長度；

2)保持桿、水平索長度不變，確定主動斜索長度變化率；

3)計算2個主動斜索|l26|和|l34|的長度，確定節點n6軌跡；

4)確定n6軌跡的等分步長，計算n6坐標，再進一步計算n4和n5坐標，計算被動斜索|l15|長度；并取|l15|中的最小值所對應的坐標建立平衡方程。

5)建立平衡方程，計算平衡矩陣最小奇異值。

6)判斷平衡矩陣最小奇異值，若小于預設值，即所得構型穩定，否則，取被動斜索|l15|最小值所對應的n6點所對應的相鄰區間返回到第4步。

圖9 變斜索結構穩態分析流程Fig.9 Steady state analysis process of variable inclined cable structure

3.4 數值算例

令ra=rd=70 mm，h=100 mm，初始單元內扭轉角φ=210°。圖10顯示了3根斜索之間的長度關系。圖10中，主動斜索|l26|、|l34|的長度與規則3桿張拉整體單元的斜索長度(此狀態下3根斜索長度相等)，即初始態長度的比值為自變量，從動斜索lx1的長度與其初始長度的比值作為因變量。

圖10 斜索比例變化Fig.10 Scale change diagram of inclined cable

由圖10可知，當2個橫軸的數值為1時，曲線上對應點的豎軸數值也為1，即|l26|、|l34|長度相同，且為初始長度時，|l15|的長度為初始長度，也就是3個斜索的長度相同，這與規則3桿張拉整體單元的特性一樣。這樣的結果在一定程度上也驗證了此算法的正確性。如圖所示，隨著|l26|長度的減小，|l15|的長度增大，即兩者的變化趨勢相反，|l34|和|l15|也有類似的關系。

下面將分析|l26|減小，同時|l34|同比例增加，且2個長度的變化量相等的情況下，求|l15|的變化情況。通過計算可知，當|l26|和|l34|在基于其原長的基礎上變化超過20%時，計算得到的n5節點坐標將會低于XOY平面。從幾何角度來分析，當結構處于穩定時，那么結構的每一個節點處的桿構件必然會處于由此節點的索構件圍成的三棱柱內部；此計算結構的結構顯然不穩定。所以，在此結構中2斜索的長度最大變化量約為初始長度的20%。圖11顯示了|l26|減小，同時|l34|同比例增加情況下|l15|的變化。由圖可知，隨著2個主動斜索變化量的增加，|l15|的長度也隨之增加，但是|l15|的長度變化量較主動索要小得多。當2根主動索的長度變化量為5%時，從動斜索的長度增加量約為0.5%，為主動索變化量的0.1倍；當主動索長度變化量為10%時，從動索長度變化量約為1.5%，為主動索的變化量的0.15；主動索長度變化量為15%時，從動索的長度增加量為3.2%，約為主動索變化量的0.21；當主動索的變化量超過20%，從動索長度變化量為5.8%，為主動索變化量的0.29，而此時結構也將處于失穩臨界狀態。

圖11 算法及Adams仿真計算結果Fig.11 Calculation results of the algorithm and Adams

根據圖11所示結果的分析過程，在Adams軟件中進行仿真分析，獲得各穩定構型中2主動斜索長度變化量與從動斜索長度變化量的關系曲線。此關系曲線與圖11所示曲線基本相同，即根據算法的數值計算以及仿真計算結果的差值極小，這顯示了此理論分析是正確的，且此算法計算精度較高，并具有一定的可靠性。

依據圖11，搭建了2個主動斜索長度變化率為0%、10%和20%的3個實物模型(圖12所示)。對模型測量發現測量結果基本符合算法數值解。模型的穩定進一步證明了此找形分析方法的正確性。

圖12 實體模型Fig.12 Entity model

4 結論

1)改變規則張拉整體結構某一類構件的長度并保持其余構件受力特性不變時，變長度構件長度最小時，構件處于穩定狀態。

2)張拉整體結構所建立的平衡矩陣的最小奇異值的物理意義為其對應的自應力模態下結構的不穩定程度。因此可通過結構的最小奇異值來判斷結構對穩態的趨近程度。

3)當不規則結構中僅一類構件的長度待定，通過數值算例算法求得此構件最短的結構形態即為結構的穩定狀態。