“展開與折疊”主題進階學習

孫媛媛

一、“展開與折疊”進階學習之正方體

例1 在學習“展開與折疊”后，小紅想利用相關知識來制作一個無蓋的正方體紙盒。

（1）圖1中哪個圖形經過折疊可以圍成無蓋的正方體紙盒？

（2）在將紙盒制作好后，小紅給其中兩個面畫上了標記并開口向上放置，如圖2所示，若小亮將這個盒子重新展開，請畫出其中一種展開圖。

（3）假設正方體的邊長為4dm，如果小紅想在無蓋紙盒內部貼滿貼紙以便將其改裝為收納盒，則需要的貼紙面積至少是多少dm2？

【解析】（1）①③④可以。我們可以從立體實物出發，辨別給定圖形能否折疊成立體圖形。如果相鄰兩條邊粘貼成高，需要相鄰兩邊的夾角成九十度。

（2）把立體圖形展開時，可以剪取不同的棱，所以展開圖有多種類型，比如“1—4型”（圖3），“3—2型”（圖4）等。答案不唯一。

（3）要求正方體的內部面積，關鍵要先求出1個面的面積。1個面是16dm2，5個面就是80dm2。

二、“展開與折疊”進階學習之長方體

例2 小明將一個長方體沿某些棱剪開，展開成平面圖形時，不小心多剪了一條棱，把一個長方體紙盒剪成了圖5、圖6兩部分。

（1）小明總共剪開了幾條棱？

（2）小明想將剪斷的圖6重新粘貼到圖5上，再折疊成一個長方體紙盒。有幾種粘貼方法？

（3）求長方體紙盒的體積。

【解析】本題考查幾何體的展開圖，解題關鍵是掌握幾何體的展開圖特征。我們運用逆向思維可發現，長方體共有12條棱，去掉4條未剪開的棱，剩下的就是剪開的棱的條數。

（2）根據長方形邊長關系，以及“相等長度的邊并排放，相同圖形要間隔一個圖形”的規則，可以得出4種情況（圖7）。

（3）用未知數表示長、寬、高，設高為xcm，則寬為（6-x），利用長相等列出方程10-（6-x）=12-6，解得x=2，則長方體體積為6×4×2=48。

三、“展開與折疊”進階學習之棱柱

例3 如圖8，四個幾何體分別是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，說說他們各有幾個面、幾條棱、幾個頂點？由此猜想n棱柱的面、棱、頂點各有多少？

【解析】我們可以歸納棱柱特征的一般規律：n條棱對應n個面，再加上、下底面，共有n+2個面；側面上有n條棱，上、下底面都是n邊形，共有3n條棱；上、下底面都是相同的n邊形，共有2n個頂點。

四、“展開與折疊”進階學習之棱錐

例4 如圖9，D、E、F分別是等邊△ABC的邊AB、AC、BC的中點，現沿著虛線折起，使A、B、C三點重合，重合后統一記為M點。（1）折起后得到的空間圖形是____________。

（2）將折疊的立體圖形沿著棱ME、MF、DF剪開展成平面圖，嘗試畫一畫展開圖。

（3）如圖10，由20個一樣的等邊三角形折疊得到的空間圖形是____________。

【解析】（1）三棱錐。（2）從立體圖形到平面二維圖形，我們可以動手剪一剪。（3）由20個等邊三角形可以拼成正二十面體。它是由20個等邊三角形所組成的正多面體，也是柏拉圖多面體之一。醫學上，某些病毒如人類皰疹病毒的衣殼就是正二十面體結構。可見，數學是一門基礎性工具學科，我們只有現在打好基礎，才能在其他學科研究中有長遠發展。

（作者單位：江蘇省連云港市鳳凰學校）