換個角度看問題

甄璽

在做練習(xí)時，我發(fā)現(xiàn)有兩道值得探究的題目：

問題1：如圖1，將一條長為60cm的卷尺鋪平后折疊，使得卷尺自身的一部分重合，然后在重合部分（陰影處）沿與尺邊垂直的方向剪一刀，此時卷尺分為了三段，若這三段由短到長的比為1∶2∶3，則折痕對應(yīng)的刻度有_________種可能。

三段線段之比為1∶2∶3，則三段長度分別為10cm、20cm、30cm。若分類討論，如圖1，把三段線段記為第一段、第二段、第三段。則通過分類討論可得：

（1）若第一段長為10cm：①第二段長為20cm時，折痕處是20cm；②第二段長為30cm時，折痕處是25cm。

（2）若第一段長為20cm：①第二段長為10cm時，折痕處是25cm；②第二段長為30cm時，折痕處是35cm。

（3）若第一段長為30cm：①第二段長為10cm時，折痕處是35cm；②第二段長為20cm時，折痕處是40cm。

綜上所述，折痕的位置有4種，即在20cm、25cm、35cm、40cm處。而此題的難點與重點是：這里指的第二段的長度是我們?nèi)庋勰芸吹降牡诙伍L度的2倍，而第三段也有一小部分被第一段覆蓋，解答時，得先理清這三段的長度。此外，這里還有“剪斷處”與“折痕處”兩個概念要理清，不然無法得出正確的解答。

我覺得這道題我們還可以換種眼光來思考。

題中只對卷尺的長度進行了描述，而沒有提到卷尺的寬度，如果把卷尺抽象成一條線（如圖2），這三段長度分別記為a、b、c，而折痕處是（a+[b/2]）。

（1）當(dāng)a=10cm：①b=20cm時，折痕處為20cm；②b=30cm時，折痕處為25cm。

（2）當(dāng)a=20cm：①b=10cm時，折痕處為25cm；②b=30cm時，折痕處為35cm。

（3）當(dāng)a=30cm：①b=10cm時，折痕處為35cm；②b=20cm時，折痕處為40cm。

同樣也得到了相同的答案。顯然，把圖抽象成線之后，幾個無法理清的難點就變得相對簡約了。換個角度思考，說不定就可以另辟蹊徑，打開新的解題方向與思路。

還有另外一道折疊類問題。

問題2：有一根長30cm、寬3cm的長方形紙條，我們將其按照圖示的過程折疊（如圖3），為了美觀，希望折疊完成后，紙條的兩端超出點P的長度相等，則最初折疊時，MA的長應(yīng)為_____________cm。

我找一張長方形紙條，在紙條上標出A、M、B，照著題目的要求折疊，再展開（如圖4）。設(shè)PA=xcm，則AM=（x+3）cm。中間有折痕的地方長度為9cm。題目要求兩段超出長度一樣，得到方程2（x+3）+9=30，解得x=7.5。所以MA=x+3=10.5（cm）。

我不禁思考，不折紙，能解決這個問題嗎？

看圖3的最后一張圖，折疊完畢后的紙條有3個三角形與2條線段。每條線段的長就是AM的長；每個三角形展開都是一個腰為3cm的等腰直角三角形，加起來總共是9cm。那么多出來的21cm分成了2個（x+3）cm，所以x=7.5，則MA=10.5cm。

看吧，知其然，更要知其所以然，不折紙，也能求出答案。

小伙伴們，我們在數(shù)學(xué)王國中暢游時，嘗試從不同角度發(fā)現(xiàn)問題，用不同方法解決問題，定能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之妙哦！

教師點評

數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活。我們在平時生活中應(yīng)多積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并從實踐中提煉出數(shù)學(xué)問題，找到解決之道。小作者能從不同的角度對問題進行剖析與思考，能把“圖形”抽象成“線段”，化繁為簡，讓問題解決更明晰；把“折疊”問題展開成“線段”問題，并將不同類型的問題整合在一起，進行對比分析，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識活學(xué)活用。相信小作者繼續(xù)用別樣的角度觀察世界，能更好地體會到數(shù)學(xué)之美。

（指導(dǎo)教師：章薇薇）