基于并聯機構的三維動力吸振器各向同性設計及減振特性研究

董成林 蔡龍奇 李 毅 路 彤 張路科

中國核動力研究設計院核反應堆系統設計技術重點實驗室,成都,610213

0 引言

動力機械設備的振動問題是影響核動力裝置安全性與可靠性的重要因素之一。目前，對動力機械設備的振動控制主要是從振動傳遞路徑入手，如采用雙層隔振、浮筏隔振等技術，可有效減小設備的振動能量傳遞，在中高頻段起到很好的寬頻減振效果，但對低頻特征線譜的減振效果并不明顯。

動力吸振器(dynamic vibration absorber，DVA)是一種通過自身振動抑制主系統振動的裝置，具有對環境依賴小、安裝簡單，以及可針對性地控制線譜振動等優點，為解決動力機械設備低頻線譜振動問題提供了一種重要技術選擇。國內外學者對此開展了大量研究，研發出形式各樣的動力吸振器[1-11]。例如，賀輝雄等[1]針對船舶輔機設備引起的振動問題，應用有理分式多項式法識別出安裝位置處主系統等效參數，并通過定點理論設計出組合式動力吸振器，可將20～60 Hz頻段內的合成聲功率降低9.55 dB。SNOWDON等[2]提出了十字懸臂梁結構的連續型動力吸振器，通過改變質量塊位置調節固有頻率，可以同時衰減多個峰值。王文初等[4]基于Euler-Bernoulli梁假設推導了頻率方程的解析解，將懸臂梁上的質量塊簡化成質點，并據此設計出三向管路動力吸振器，在水泵50 Hz軸頻上，管路的三向減振效果均在5 dB以上。

值得指出的是，動力機械設備的線譜振動在垂向、水平方向往往是相互耦合的，需采用多維動力吸振器(multi-dimensional dynamic vibration absorber，MDDVA)對其進行治理。現有的動力吸振器多為單向動力吸振器，少數多維動力吸振器本質上也是由多個單向動力吸振器組合而成的。此類動力吸振器僅利用了吸振振子的單向運動來抑制振動，雖具有設計簡單、安裝方便等優點，但存在空間尺寸大、引入附件質量大等不足。事實上，吸振振子相對于主系統可實現六維運動(三轉動三平動)，故理論上通過合理設計能夠同時抑制主系統多個方向的線譜振動[12]。因此，針對動力機械設備多維線譜耦合振動問題，充分發揮吸振振子的多維運動能力，研發新型多維動力吸振器，提高吸振效率，是一項頗具挑戰性的工作。

并聯機構是一種由兩個或兩個以上分支運動鏈并聯而成的多環機構[13]，具有結構緊湊、精度高、動態特性好等優點，其動平臺可實現多維運動，若采用彈簧阻尼系統安裝于驅動關節，并將動平臺視為公共振子，則整個并聯機構即為一個多維動力吸振器。據此，本文突破現有動力吸振器的設計思路，提出一種基于并聯機構的新型三維動力吸振器，并開展其動力學各向同性設計研究，在此基礎上探討該動力吸振器在動力機械設備線譜振動控制應用中的效果與優勢，為其研發與工程應用提供理論依據。

1 新型三維動力吸振器簡介及動力學建模

1.1 吸振器簡介

圖1所示為本文所提新型三維動力吸振器的CAD模型，該吸振器由機架、振子以及三個機架與振子的相同支鏈組成，每條支鏈包含一個滑鞍、兩個平行布置的連桿與一組彈簧。其中，連桿兩端通過球鉸分別與滑鞍、振子連接，滑鞍通過直線軸承與彈簧、機架連接，相對機架僅做沿上下方向的彈性運動。值得指出的是，該新型三維動力吸振器本質上是3-P(SS)2并聯機構，P、S分別表示移動副與球鉸。根據旋量理論，吸振器中的振子(即動平臺)具有三個平動自由度，故該吸振器可抑制振源設備沿三個垂直方向的振動。與采用多個單向動力吸振器組合而成的多維動力吸振器相比，本文所提新型三維動力吸振器充分利用了吸振振子的多維運動能力，具有模塊化程度高、附加質量小等優點。

圖1 新型三維動力吸振器CAD模型

1.2 雅可比矩陣構造

雅可比矩陣構造的目的在于建立關節運動(彈簧振動)與末端操作運動(振子振動)之間的映射關系。考慮到每條支鏈中兩個平行布置的連桿運動規律相同，故可在運動學分析時將動力吸振器簡化為圖2所示的等效機構。為便于描述各參考點位置矢量，在機架底面形心處建立固定參考系Bxyz。在該坐標系下，動平臺參考點A的位矢rA可表示為

圖2 動力吸振器等效機構

(1)

bi=BBi=b(cosγi，sinγi，0)T

ai=AAi=a(cosγi，sinγi，0)T

于是，給定rA可求解出：

(2)

將式(1)等號兩端對時間求導，有

(3)

(4)

式中，J為該動力吸振器所采用并聯機構的雅可比矩陣。

1.3 動力學建模與模態解析

忽略連桿質量，同時僅計及彈簧的形變，則動力吸振器的總動能和總彈性勢能可分別表示為

(5)

式中，ms、mp分別為滑鞍質量和動平臺(即振子)質量；k為與滑鞍連接的彈簧組的剛度。

將式(4)代入式(5)，并計及P副處的阻尼，則可整理得到動力吸振器的三自由度微幅振動微分方程：

(6)

MDVA=mpJTJ+msE3KDVA=diag[kkk]

CDVA=diag[ccc]

式中，E3為三階單位陣；fq為振動主系統傳遞到P副(彈簧組)的激振力矢量；c為P副處的阻尼。

容易發現，動力吸振器的剛度矩陣KDVA是常數矩陣，但質量矩陣MDVA是機構位形的函數。因此，該裝置嚴格來說是一非線性系統，其動態特性除了與系統尺度參數、質量和剛度參數有關外，還取決于機構的初始位形。然而，考慮到該裝置作為動力吸振使用，各彈簧在選定的平衡位置附近做微幅振動，故可將MDVA視為常數矩陣，系統近似處理為線性系統。

特殊地，當rA=(0，0，z)T時，有

(7)

θ=arccos((b-a)/l)

其中，θ表示連桿與動平臺平面的夾角。據此，可寫出質量矩陣MDVA的顯示表達式：

(8)

通過求解廣義特征值問題‖KDVA-ω2MDVA‖=0，可得到動力吸振器的三階模態固有頻率：

(9)

所對應的振型向量為

(10)

根據關節空間與操作空間微分運動之間的雅可比映射關系，吸振振子在參考系Bxyz下的振型向量為

(11)

由式(9)～式(11)可見，動力吸振器的三階模態振型分別表現為動平臺沿z方向的平動，以及沿平行于xy坐標平面的兩個正交方向的平動，前者由三組彈簧的同向振動引起，后兩者由三組彈簧中的兩組的反向振動引起。其中，z向振動的模態固有頻率f1僅與彈簧剛度、慣性參數有關；兩階橫向振動的模態固有頻率f2、f3大小相等，不僅與彈簧剛度、慣性參數有關，還與機構的尺度參數相關。

2 動力吸振器各向同性設計

合理設計三維動力吸振器的尺度參數及彈性/慣性參數，使其具有各向同性的動力學性能，是有效抑制振源設備在多個方向上相同頻率線譜振動的關鍵。本節開展三維動力吸振器動力學各向同性設計，并借助有限元驗證其有效性，進而為動力吸振器的應用研究奠定基礎。

一方面考慮到動力吸振器的幾何尺寸大多會受到安裝空間的約束，且振子質量需滿足與主系統質量的比值關系，故靜平臺尺寸b、振子質量mp為設計輸入參數。另一方面為保證吸振器機械結構的緊湊性，滑鞍質量ms與動平臺尺寸a一般在完成初步機械結構方案設計后即可確定。就設計目標而言，為有效抑制振源設備在多個方向上相同頻率線譜振動，動力吸振器的三階固有頻率應相等，同時要與振源設備所產生的特征線譜頻率fobj接近。于是，三維動力吸振器的參數設計問題可歸納如下：給定靜平臺尺寸b、動平臺尺寸a及滑鞍質量ms、振子質量mp，設計連桿長度l、彈簧剛度k，使得系統的動力學各向同性，且固有頻率等于特征線譜頻率fobj。據此，通過求解f1=f2與f1=fobj可得

(12)

不難發現，動力學各向同性僅取決于機構的尺度參數，與彈簧剛度及振子質量均無關。

當給定b=130 mm、a=40 mm、mp=35 kg、ms=1.5 kg以及fobj=50 Hz時，根據式(7)可計算出l≈110.2 mm、k≈1304 N/mm，此時動力吸振器動力學性能各向同性，且固有頻率與特征線譜頻率fobj接近。采用上述參數后，三維動力吸振器的各階模態振型和模態固有頻率如圖3所示。顯見，動力吸振器的三階模態振型與2.3節中的解析解一致。圖4進一步給出了根據上述參數所設計三維動力吸振器有限元模型的模態分析結果。可見，與理論分析結果相比，各階模態振型均一致，模態固有頻率誤差小于0.6%。同時，有限元分析所得的三階模態固有頻率均接近50 Hz。上述分析結果有效驗證了設計方法的有效性。

(a)一階f1=50 Hz (b)二階f2=50 Hz

(a)一階 (b)二階

為證明將該三維動力吸振器簡化為線性系統的合理性，在水平方向位移量為±0.5 mm、z軸方向位移量為±1 mm的范圍內，系統三階模態固有頻率隨機構位形變化的分布規律如圖5所示。可見，各階模態固有頻率均呈空間三對稱分布，一、二、三階固有頻率的變化范圍分別為49.6～50.1 Hz、49.9～50.4 Hz、50.1～50.6 Hz，相對于設計位形處固有頻率的波動幅度均低于0.5 Hz。因此，本文將系統近似處理為線性系統是合理的。

(a)一階

3 動力吸振器減振效果分析

為驗證第2節設計的新型動力吸振器對動力設備線譜振動的抑制效果，將其應用于一種動力機械設備隔振裝置中，借助商用有限元軟件ANSYS開展減振效果分析，并將其與單向動力吸振器進行對比。

如圖6所示，動力設備機組安裝在底部的托架上，托架底部由4個均布的隔振器支承，在托架上與每個隔振器連接處均安裝一個三維動力吸振器。其中，動力設備機組及托架質量約1700 kg，底部隔振器的剛度、阻尼參數如下：kx=ky=3406 N/mm，kz=4657 N/mm，cx=cy=6.6 N·s/mm，cz=5.97 N·s/mm。此外，在有限元建模中，采用Bushing單元模擬隔振器的剛度與阻尼，并將動力機械設備作為剛體處理，忽略其內部機械結構的影響。

圖6 動力機械設備減振裝置

有限元掃頻分析結果表明，上述隔振裝置共有18階模態固有頻率低于100 Hz，各階固有頻率見表1。其中，前6階主要表現為動力機械設備機組的六階剛體模態，由隔振器彈性引起的，第7～18階均為動力吸振器的局部振動。

表1 安裝三維動力吸振器的隔振裝置模態固有頻率

為評價吸振器的減振效果，采用基于振動加速度響應的插入損失構造以下單向減振指標：

(13)

式中，A′x、A′y、A′z與Ax、Ay、Az分別為安裝動力吸振器前后，托架上4個隔振器支承點沿x、y、z三向加速度響應的均方根。LAx、LAy、LAz可理解為吸振器對動力設備機組的三向減振效果。

假設作用在動力機械設備機組質心的載荷f=f(1，1，1)Tejωt，在該載荷作用下，安裝本文所設計三維動力吸振器后的減振效果如圖7所示。可見：在激振頻率50 Hz附近，吸振器沿橫向(x向、y向)的最大減振效果均達15 dB，且可在2 Hz的帶寬內實現12 dB的減振效果；吸振器沿垂向(z向)的減振效果接近10 dB，在2 Hz的帶寬內實現7 dB的減振效果。

圖7 三維動力吸振器減振效果

與之對比，將系統中的4個三維動力吸振器替換為4個剛度為3912 N/mm、吸振質量為39.5 kg的單向動力吸振器。模態分析結果表明，采用單向動力吸振器后，系統僅有10階模態固有頻率低于100 Hz，各階模態固有頻率見表2。其中，前6階同樣主要表現為動力設備機組的六階剛體模態，是由隔振器彈性引起的，第7～10階為動力吸振器的局部振動，可見在50 Hz附近由吸振器局部振動引起的模態數顯著減少。圖8進一步給出了單向動力吸振器對動力設備機組的三向減振效果。可見，在50 Hz附近單向動力吸振器僅對z向的振動有減振效果，減振效果與三維動力吸振器接近，然而沿x與y向的減振效果不到2 dB。

表2 安裝單向動力吸振器的減振裝置模態固有頻率

圖8 單向動力吸振器減振效果

考慮到振動的傳遞本質上是能量的傳遞，故進一步采用基于振動功率流理論[14]的方法來分析新型動力吸振器的減振效果。定義功率流傳遞率為

ηP=10log(P′/P)

(14)

在動力機械設備機組質心的作用載荷為f=f(1，1，1)Tejωt時，安裝三維動力吸振器、單向動力吸振器的功率流傳遞率對比如圖9所示。可見：在50 Hz附近2 Hz的帶寬范圍內，三維動力吸振器的功率流傳遞率要高于單向動力吸振器4 dB左右。這意味著安裝三向動力吸振器后，傳遞至隔振器的功率流要小于安裝單向動力吸振器后所傳遞的功率流，且兩者均小于未安裝動力吸振器的情況。

圖9 功率流傳遞率對比

綜上，可得到本文所提新型三維動力吸振器與單向動力吸振器綜合性能的對比情況，見表3。可見，相比單向動力吸振器，本文所提新型三維動力吸振器在吸振質量相同的前提下，可同時有效抑制振源設備三個垂直方向的線譜振動，吸振效率更高，在動力機械設備的多線譜振動控制中具有顯著優勢。

表3 三維動力吸振器與單向動力吸振器的性能對比

4 結論

(1)本文提出一種基于并聯機構的新型三維動力吸振器，充分利用了吸振振子的多維運動能力，具有模塊化程度高、附加質量小等優點。

(2)提出一種可實現新型三維動力吸振器動力學各向同性的設計方法，該方法將參數設計問題歸納為：給定靜、動平臺尺寸及滑鞍、振子質量，設計連桿長度、彈簧剛度，使得系統的三階固有頻率與特征線譜頻率接近。在此基礎上，通過算例分析驗證了設計方法的有效性。

(3)探討了該新型動力吸振器在動力機械設備多維線譜振動控制中的有效性及優勢。分析結果表明：采用本文所提新型三維動力吸振器，在激振頻率50 Hz附近，三個方向的減振效果均高于10 dB，且可在2 Hz的帶寬內實現7 dB以上的減振效果；與單向動力吸振器相比，在吸振質量相同的前提下可同時有效抑制振源設備3個垂直方向的線譜振動，且功率流傳遞率對比分析結果表明其吸振效率更高，在動力機械設備的多維線譜耦合振動控制中具有顯著優勢。