經(jīng)典測(cè)量平差中基本模型和通用模型的參數(shù)估計(jì)及相互轉(zhuǎn)換

馬下平 楊 梅 景 慧 賀小星 林超才

(1. 西安科技大學(xué) 測(cè)繪科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 陜西 西安 710054;2. 西咸新區(qū)自然資源和規(guī)劃局, 陜西 西安 712000;3. 江西理工大學(xué) 土木與測(cè)繪學(xué)院, 江西 贛州 341000;4. 湖南省有色地質(zhì)勘查局二四七隊(duì), 湖南 長(zhǎng)沙 410129)

0 引言

根據(jù)含有誤差的觀測(cè)向量,依一定的數(shù)學(xué)模型,按一定的準(zhǔn)則求出未知參數(shù),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中稱(chēng)為參數(shù)估計(jì),在測(cè)量中稱(chēng)為平差[1-2]。測(cè)量平差中所建立的模型包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型。函數(shù)模型是描述觀測(cè)量和待求未知參數(shù)之間數(shù)學(xué)關(guān)系的函數(shù)模型,而隨機(jī)模型是描述平差問(wèn)題中隨機(jī)量具有先驗(yàn)統(tǒng)計(jì)信息的參數(shù)及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)(先驗(yàn)的方差與協(xié)方差)的模型[3-5]。函數(shù)模型又分為經(jīng)典平差和廣義平差函數(shù)模型。經(jīng)典平差函數(shù)模型有條件平差模型、間接平差模型、帶參數(shù)的條件平差模型和附有約束條件的間接平差模型[6-7]。

目前,已有很多學(xué)者進(jìn)行了測(cè)量平差中基本模型和概括模型之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的研究。謝波[8]等區(qū)分了控制網(wǎng)中的兩類(lèi)不同性質(zhì)的數(shù)據(jù),通過(guò)控制網(wǎng)中的觀測(cè)數(shù)據(jù)和基準(zhǔn)數(shù)據(jù)分別建立了誤差方程和基準(zhǔn)方程,建立了概括平差模型。張書(shū)畢等[9]用實(shí)例指出概括平差模型在解決一些特殊情況時(shí)存在不完善地方,并給出改進(jìn)的解決方法;劉根友等[10]將附有參數(shù)先驗(yàn)精度信息的平差問(wèn)題擴(kuò)展為參數(shù)約束平差,給出了參數(shù)約束平差法在數(shù)值計(jì)算上可以統(tǒng)一自由網(wǎng)平差的新概念;趙超英等[11]在研究?jī)煞N概括模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步指出附有未知參數(shù)的條件平差在某種條件下也是一種概括模型,揭示了各種經(jīng)典平差模型的內(nèi)在聯(lián)系;王新洲[12]通過(guò)對(duì)條件平差、間接平差、附有條件的間接平差、附有未知數(shù)的條件平差和附有限制條件的條件平差5種經(jīng)典平差模型研究揭示它們之間的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系。除了最小二乘算法外,Teunissen[13]等在隨機(jī)模型中引入了一種遞推形式精度的廣義卡爾曼濾波器,可以應(yīng)用于隨機(jī)模型被錯(cuò)誤指定的情況;Felus[14]提出了總體最小二乘法,解釋了如何使用廣義最小二乘法將誤差包含在所有變量中,介紹了總體最小二乘問(wèn)題及其公式和求解步驟。康壯[15]在以后的參數(shù)平差模型中引入線性泛函,構(gòu)建其統(tǒng)一的幾何模型。

目前基于最小二乘算法的經(jīng)典平差仍然很受歡迎,但以往對(duì)經(jīng)典平差模型中參數(shù)的估計(jì),往往是一種模型進(jìn)行一次公式推導(dǎo),為了克服這種推導(dǎo)方法所產(chǎn)生的不必要的麻煩,本文以經(jīng)典測(cè)量平差中的條件平差和間接平差這兩個(gè)基本平差方法的函數(shù)模型為基礎(chǔ),詳細(xì)推導(dǎo)帶參數(shù)的條件平差、附有約束條件的間接平差函數(shù)模型中的參數(shù)估計(jì)公式,總結(jié)出了經(jīng)典測(cè)量平差的通用函數(shù)模型,推導(dǎo)出該模型的參數(shù)估計(jì)公式,并證實(shí)了通用平差模型和經(jīng)典測(cè)量平差模型之間的關(guān)系。

1 經(jīng)典測(cè)量平差模型

函數(shù)模型分為線性模型和非線性模型兩類(lèi)。當(dāng)函數(shù)模型為非線性函數(shù)時(shí),總是將其用泰勒公式展開(kāi),并取其一次項(xiàng)化為線性形式。高斯—馬爾柯夫模型(G-M模型)是測(cè)量平差中最基本、最典型、應(yīng)用也是最廣的一種線性模型。根據(jù)G-M函數(shù)模型,可以得出以下幾種經(jīng)典測(cè)量平差中常用的函數(shù)模型。

1.1 間接平差模型

間接平差是通過(guò)選定t個(gè)獨(dú)立的未知向量,并將m個(gè)觀測(cè)值分別表示成這個(gè)參數(shù)的函數(shù),其函數(shù)模型為

(1)

將式(2)代入式(1),得

(4)

可知JA為一冪等陣,I-JA也是冪等陣,有

(5)

1.2 條件平差模型

條件平差主要是利用觀測(cè)值之間的幾何條件建立的方程為函數(shù)模型的平差方法。設(shè)觀測(cè)值之間的幾何條件的個(gè)數(shù)為r個(gè)。則函數(shù)模型可表示為

(6)

式中,B為r×m階系數(shù)矩陣,rank(B)=r;wB為r維閉合差向量。

1.3 帶參數(shù)的條件平差模型

在條件平差中,加入u個(gè)獨(dú)立的未知參數(shù),并建立未知參數(shù)與觀測(cè)值之間的幾何關(guān)系為函數(shù)模型的平差方法稱(chēng)為帶參數(shù)的條件平差法。函數(shù)模型為

(9)

式(9)可以分兩步解算,得出f的改正數(shù)向量Vf、f的協(xié)因數(shù)矩陣Qf和權(quán)陣Pf分別為

(13)

由式(10)寫(xiě)出Vf的計(jì)算式為

(14)

當(dāng)需要獲取觀測(cè)量改正數(shù)向量V而不是Vf時(shí),需要將式(14)代入式(9),得

(15)

由式(7)得

(16)

1.4 附有約束條件的間接平差模型

在間接平差中,如果未知參數(shù)之間滿足以下s個(gè)約束條件

(17)

則組成附有約束條件的間接平差的函數(shù)模型為

(18)

式中,C為s×t階系數(shù)矩陣,rank(C)=s;wc為s維約束方程常數(shù)項(xiàng)。

分兩步解上兩式,先解第一式,這是間接平差模型,由式(2)得

(19)

(20)

將式(20)代入式(18),得

(21)

(22)

設(shè)JC=HCC,則式(22)寫(xiě)為

(23)

將式(23)代入式(20)并顧及式(19),得

(24)

將式(24)代入式(22),化簡(jiǎn)得

(25)

2 通用平差模型

2.1 模型概述

(26)

式中,B為g×m階系數(shù)矩陣,rank(B)=g;A為g×t階系數(shù)矩陣,rank(A)=t;C為s×t階系數(shù)矩陣,rank(C)=s。

不難看出,間接平差、條件平差、帶參數(shù)的條件平差和附有約束條件的間接平差模型是通用平差模型的特殊情況。

當(dāng)B=-I,C=0,f=l時(shí),通用平差的函數(shù)模型變成間接平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?1);當(dāng)A=0,C=0,f=wB時(shí),通用平差的函數(shù)模型變成條件平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?6);當(dāng)C=0時(shí),通用平差的函數(shù)模型變成帶參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?9);當(dāng)B=-I,f=l時(shí),通用平差的函數(shù)模型變成附有約束條件的間接平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?18)。因此,稱(chēng)式(26)為通用平差模型。

分兩步解式(26),設(shè)

(27)

其權(quán)陣為式(12)。將上式代入式(26),得

(28)

這是附有約束條件的間接平差模型。

(29)

由式(7)寫(xiě)出Vf的計(jì)算式為

(30)

由式(14)直接寫(xiě)出V的計(jì)算式為

(31)

將Vf代入上式,得

(32)

式(28)也可以按照求解式(18)的第二中推導(dǎo)方法,其估計(jì)出的未知參數(shù)計(jì)算公式與式(29)完全相同。

從以上可知：間接平差模型和條件平差模型是測(cè)量平差的基本模型,由基本模型的計(jì)算公式,可以導(dǎo)出帶參數(shù)的條件平差、附有約束條件的間接平差和通用平差模型的計(jì)算公式。本文從基本模型出發(fā),導(dǎo)出了其余3種模型的計(jì)算公式,可以從通用平差模型出發(fā),導(dǎo)出其余4種模型的計(jì)算公式。

2.2 通用平差模型可行性驗(yàn)證

2.2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

現(xiàn)結(jié)合實(shí)際的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),通過(guò)比較分析不同模型計(jì)算的各待定點(diǎn)的高程平差值對(duì)模型進(jìn)行可行性和性能分析。如圖1為一水準(zhǔn)網(wǎng),已知點(diǎn)高程HA=105.016 m,HB=106.016 m,高差觀測(cè)值h1=+1.359 m,h2=+2.009 m,h3=+0.657 m,h4=+1.012 m,h5=+0.363 m,h6=+0.238 m,h7=-0.595 m。 路線長(zhǎng)度S1=1.1 km,S2=1.7 km,S3=2.4 km,S4=2.7 km,S5=2.3 km,S6=1.4 km,S7=2.6 km。現(xiàn)采用條件平差和間接分別進(jìn)行解算。

圖1 水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖

(1)條件平差：列出條件方程式、定權(quán)、組成法方程并解算,計(jì)算高差觀測(cè)值的改正數(shù)進(jìn)而求得各待定點(diǎn)的高程的平差值。

(2)間接平差：選參數(shù)并計(jì)算參數(shù)近似值、定權(quán)、列平差值方程和誤差方程,組成法方程并解算,計(jì)算未知參數(shù)的平差值進(jìn)而求得各待定點(diǎn)的高程平差值。

2.2.2 結(jié)果的分析與比較

表1列出了條件平差和間接平差兩種模型的計(jì)算結(jié)果。

表1 高程平差值計(jì)算結(jié)果 單位：m

由表1可得條件平差和間接平差所求得的結(jié)果完全相同,E點(diǎn)高程平差值有差值是因?yàn)檫M(jìn)位誤差引起的,可忽略不計(jì),即證明條件平差和間接平差都是通用平差模型的特殊情況。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)經(jīng)典測(cè)量平差的函數(shù)模型及通用函數(shù)模型計(jì)算公式的推導(dǎo),得出以下結(jié)論：

(1)間接平差和條件平差是最基本的經(jīng)典測(cè)量平差模型,由這兩個(gè)平差函數(shù)模型的計(jì)算公式可以推導(dǎo)出帶參數(shù)的條件平差模型、附有約束條件的間接平差模型和通用平差模型的計(jì)算公式。

(2)通用平差模型是其余四種平差模型的一般形式,其他四種平差模型是通用平差模型的特殊形式;由通用平差模型的計(jì)算公式可以推導(dǎo)出其余4種模型的參數(shù)估計(jì)公式。

(3)本文雖然由基本模型推導(dǎo)了通用平差模型,也給出了他們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。但本文推導(dǎo)是基于最小二乘原理,對(duì)于其他參數(shù)估計(jì)方法平差模型之間的等價(jià)性證明將是未來(lái)研究的重點(diǎn)。