關于分類討論思想在初中數學教學中的應用

馬 勇

（甘肅省臨夏市第一中學，甘肅臨夏 731100）

學生在學習數學知識和解決數學問題時，每項數學結論都有其相應的成立條件，而且部分問題的結論并不是唯一的。教師應用分類討論思想引導學生探究，可以將復雜的問題分解成若干小問題，然后根據不同的分類標準和題目要求逐一研究，最終達到有效學習和解題的目的。因此，教師應當明晰分類討論思想在初中數學教學中的應用價值，合理選擇分類討論對象，啟發學生站在分類討論的角度學習新知、攻克難點，從而培育學生數學思維和分類探索意識。

一、分類討論思想在初中數學教學中的應用價值

數學研究領域的分類討論思想，主要是指在數學對象不能以統一的形式進行研究的情況下，將所有研究問題根據題目的特點和要求，劃分為若干不同類別，把復雜的問題細化、條理化，再研究出每個分類問題的結論，經過結果的綜合和歸納，得到數學對象的研究結論或問題的正確解答。經過學情分析和廣泛的理論實踐研究，現將分類討論思想在初中數學教學中的應用價值總結為如下三點。

（一）應用分類討論思想有助于提高學生分析數學問題的能力

在初中數學教學中，部分問題的結論或答案并不是唯一確定的，學生在解題時意識不到這一點，求出的結果不符合問題的特點和要求，這些都是學生分類討論思想薄弱的表現。教師加強應用分類討論思想開展教學，最突出的價值就是有助于提高學生分析和解決數學問題的能力。如針對結論存在多種情況的數學問題，教師可以引導學生分情況、分標準逐級討論，然后把各項討論結果匯總到一起，得出數學問題的完整答案，這樣學生就會逐步養成分類思考習慣和嚴謹的數學思維，避免學生陷入片面化的數學問題分析誤區。

（二）應用分類討論思想有助于優化數學探究方式

傳統的數學教學以就題論題、死套模式為主，教師一般將數學知識或解題原理直接灌輸給學生，學生缺乏有效的探究活動過程，影響學生探究能力、邏輯思維的進一步發展。在數學教學中引入分類討論思想，對優化數學探究方式大有裨益。如在探索某項數學方法的適用范圍時，教師就可以引導學生按照統一標準，對數學方法的應用途徑進行分類，針對每個類別列舉相應的應用實例，組織學生合作交流、互相辯駁例子是否恰當，最后得出數學方法的適用范圍，顯著加強學生的思辨能力、合作探究能力，促進學生認清數學對象的本質，使初中數學教學真正擺脫灌輸模式。

（三）應用分類討論思想有助于學生靈活運用數學基礎知識

初中數學教學的關鍵點，在于培養學生知識遷移和實踐運用能力，目前大部分學生在分析和解答數學問題時，思維都不夠開闊，無法多角度思考問題、變通地應用數學基礎知識解決問題。教師基于分類討論思想實施數學教學，最顯著的優勢就是能促進學生靈活運用數學基礎知識，如數學問題的已知量是用字母形式給出的，教師可以引導學生對字母的取值范圍展開分類討論，得出與不同取值相對應的題目結果；若數學問題涉及多項概念、定理和公式，教師可以啟發學生分類討論，運用各項基礎知識探究問題的不同解法，從而確保學生解題方向正確、有效遷移運用基礎知識技能。

二、分類討論思想在初中數學教學中的應用策略

（一）創設分類討論情境，引導學生體會數學分類思想

分類討論在思維體系中，屬于一種直覺上的區別印象，即在某項標準下能夠迅速發現事物的本質區別。學生的分類討論思想還處于形成階段，教師在初中數學教學中應用分類討論思想，必須先培育學生的分類意識和分類討論習慣，加深學生對數學對象的區別印象。情境創設法適用于數學分類討論，教師應該立足數學課程，聯系生活實際，創設多樣化的分類討論情境，引導學生對數學對象進行逐類分類、分級，探討階段性結果，進而按標準檢驗篩選結果、得出最終結論，這樣學生就能真正體會數學分類思想。

1.創設生活化分類討論情境。分類在生活中是無處不在的，教師創設分類討論情境應該加強引入生活素材。如在關于直方圖的數學課程中，教師可以創設學校組織廣播體操比賽的生活情境，使用電子白板為學生出示一份身高調查表，同時提出分類討論問題：同學們，如果比賽要選拔身高差不多的同學參加，該如何對調查表上的身高數據進行分類和分組呢？學生隨即展開熱烈討論，有學生表示要計算出身高數據最大值和最小值的差，有學生認為應該劃分出組距和組數，還有學生補充要編制出頻數分布表。教師認同學生分類討論結果后，就可以讓學生分小組計算和繪圖，畫出和身高調查表相對應的直方圖，然后引導學生根據不同的身高取值范圍讀圖，最終得出人數最多的身高范圍，使學生在真實的生活情境中體驗到分類討論思想［1］。

2.利用舊知識引出分類討論情境。以舊知識做鋪墊創設分類討論情境，有助于學生自主發現數學研究對象關聯的分類要素。如在探究一元二次方程根的判別式意義時，教師導學時可以提出復習問題：同學們，我們之前學過多種一元二次方程的解法，大家能分類列舉出來嗎？學生經過討論和補充，完整闡述三種解法。隨后，教師在電子白板上根據學生提出的解法，列出三道對應的方程式例題，鼓勵學生運用解法比賽解方程，學生解出結果教師做記錄，之后提出分類討論問題：同學們，請大家認真觀察白板上三個方程解答結果根的情況，是一致的還是不同的？如果不同，能詳細說出區別嗎？學生討論判別后表示根的情況是不同的，有的是存在兩個相等的實數根，有的存在兩個不相等的實數根，有的則沒有實數根。接下來，教師讓學生繼續討論方程根存在不同情況的原因，并出示教材例題，發布分類討論任務：同學們，請大家合作求解這道例題，探討例題分別在哪種情況下有兩個相等的實數根、兩個不相等的實數根以及沒有實數根。學生討論后準確找到例題中根的判別式，教師適時向學生滲透判別式的表示符號和讀法，重新回扣到例題，鼓勵學生運用判別式判別例題的根情況，這樣學生既習得分類討論的思想方法，也感知到數學思想的嚴密性［2］。

（二）數學概念分類討論，促進學生掌握概念分類標準

數學概念是分類討論的主要對象，包括對數學概念的分段定義，對數學公式、定理、法則的分段表達等。大部分數學概念的成立條件都是特定的，需要區分不同的情況來定義，還有一些數學公式、性質定義存在特殊的限制條件。教師在數學概念教學中應用分類討論思想時，應該根據概念的實際運用，結合概念的成立條件和限制條件，引導學生確定概念的分類標準開展討論，從而鞏固學生的概念基礎。

1.分類討論相似的數學概念。初中數學課程中，部分概念知識存在相似性，是教師實施分類討論的重點。如在學習絕對值概念時，學生容易混淆絕對值和相反數，教師可以利用生活中三個地點的距離問題，先引導學生用有理數表示出各地點之間的距離，然后在電子白板上畫出一條數軸，數軸原點表示位置居中的地點，讓學生在數軸上標出另外兩個地點和原點的距離。接下來教師提問：同學們，觀察數軸上兩個點到原點的距離，你有什么發現？學生觀察思考后作答：數軸左右兩邊的點到原點距離相等。教師引導學生寫出相應的正負數，繼續提問：那么這兩個數如果去掉正負號，它們存在什么關系？學生：相等。教師順勢引出相反數的概念，然后揭示分類討論任務：同學們再看數軸，兩個點到原點的距離和什么有關？和什么無關？學生討論后反饋：和點到原點的長度有關，和點對應有理數的正負性無關。最后，教師讓學生對照教材，討論絕對值和相反數的區別，掌握絕對值的表示方法，這樣學生就通過分類討論明確了相似數學概念的不同點［3］。

2.分類討論數學概念的適用范圍。在數學概念教學中，教師也可以應用分類討論思想，引導學生學習數學概念的適用范圍。如在探究函數圖像的增減性時，教師可以在電子白板上出示反比例函數的圖像，然后給出反比例函數自變量大于零和小于零的兩個值，引導學生分類討論在不同取值范圍下，函數圖像上點的增減變化規律。學生分類討論后得出結論：當反比例函數自變量大于零時，圖像的兩支曲線位于一、三象限，每一象限內y 的值隨x 的增大而減小，自變量小于零時，曲線分別位于二、四象限，每一象限內y 的值隨x 的增大而增大。這樣學生在函數圖像中獲取信息的能力得到強化，同時分類討論得出反比例函數性質和適用范圍。

（三）幾何問題分類討論，幫助學生認清圖形性質特點

數學幾何問題的探究，也適合應用分類討論思想，主要針對圖形位置不確定、圖形形狀不確定兩種情況。教師在實際教學中，應該利用幾何圖形位置或形狀的不確定性，帶領學生分類討論不同情況下幾何圖形的性質或位置關系，幫助學生認清圖形的性質特點，同時向學生滲透分類討論、數形結合、類比等數學研究方法，提高學生解決幾何問題的效率。

教師在基于幾何問題應用分類討論思想時，必須根據數學課程選擇存在多種可能的分類研究對象。如在有關探究直線和圓位置關系的課程中，教師可以組織學生開展數學小實驗：同學們，請大家在驗算紙上用圓規畫一個圓，然后把格尺放在圓上面上下移動，假如我們將格尺的邊緣看作一條直線，你認為格尺在上下移動過程中和圓存在幾種位置關系呢？學生旋即展開手動實驗操作，操作完畢后學生反饋三種位置關系的情況，即相交、相切和相離。緊接著，教師在白板上出示圓和直線三種位置關系的模擬動畫，提出分類討論問題：同學們，針對這三種位置關系情況，大家是否能逐一說明在不同位置關系中，圓和直線的公共點數量？學生分類討論期間，教師可以讓學生上臺指出每種位置關系的公共點，也可以在演算紙上標出格尺移動時產生的公共點，學生分類討論后匯報：圓和直線相交時有兩個公共點，相切時有一個公共點，相離時沒有公共點。隨后，教師指導學生繼續觀察模擬動畫，分析圓與直線位置關系變化時，圓心到直線的距離變化情況，分類討論直線和圓在相交、相切、相離三種情況下，比較圓心到直線和圓半徑的大小，學生經過分類討論得出結論：圓和直線相交、相切和相離時，圓心到直線的距離分別小于、等于和大于圓半徑。這樣學生就能在類比、分類討論以及數形結合的角度，感受到幾何圖形數量關系和位置關系的對應與等價［4］。

（四）解題教學綜合分類，強化學生數學實踐解題技能

分類討論思想除了適用于數學基礎教學，在實際解題中也發揮著重要作用。學生遷移運用數學基礎知識的能力有待加強，面對較為復雜的數學應用類問題，學生經常出現思維混亂的現象，分析問題時忽略重要的隱含條件、看不清問題的本質，這些都阻礙學生有效解題。教師在數學解題教學中應用分類討論思想時，應該引導學生綜合分類，先找出問題的已知、隱含和所求條件，再分析問題涉及的概念、定理或公式，通過分類討論構建解題思路，從而強化學生數學實踐解題技能。

如在一題多解的數學應用題解題探究中，教師可以先組織學生分析題面：同學們，認真閱讀這道題，你能得到哪些有價值的信息？學生參與題面分析和討論時，教師在白板上寫出已知量、未知量、隱含條件三個關鍵詞，并在關鍵詞下方記錄學生反饋的分析信息。隨后，教師提問：同學們，觀察白板上列出的題設信息，這道題屬于什么問題？在學過的數學知識中，哪些定理或公式適用于解題？請大家分組討論。幾分鐘后，各組學生反饋討論結果，對比后學生發現每組提出的解題公式和定理并不完全相同，教師把每一種解題思路都列出來，組織各小組分類討論，讓提出解題公式和定理的小組闡述理由和依據，其他小組判斷是否合理。最后，教師把合理的解題方法匯總到一起，鼓勵學生根據不同的解題思路列式計算，核對解題結果是一致的，使學生經歷在實踐解題中應用分類討論思想的過程［5］。

綜上所述，在初中數學教學中應用分類討論思想，不但有助于提高學生分析數學問題的能力，也能優化數學教學的探究方式，還能促進學生靈活運用數學基礎知識。教師應該根據數學課程創設分類討論情境，引導學生體會數學分類思想，在數學概念、幾何問題以及解題教學中，引導學生開展分類討論活動，促使學生掌握概念分類標準，幫助學生認清幾何圖形的性質特點以及位置關系變化規律，鍛煉學生分類、簡化復雜數學問題的技能，從而發揮分類討論思想的實踐教學功用。