微重力模擬裝置中懸吊彈簧局部模態動力學建模與試驗研究

馬 超，劉 磊，楊鴻杰

(1. 西北工業大學 航天學院，西安 710072; 2. 陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072)

空間微振動隔離技術已經成功用于空間站以及空間高分辨率遙感衛星。微振動隔振器可以解決空間精密載荷對微振動的抑制與隔離問題，從而滿足精密載荷對微重力加速度水平的要求[1]。模擬空間微重力環境進行地面試驗是驗證隔振器能否在軌可靠工作的重要措施之一。目前進行微重力模擬[2]的主要方法有：水浮法[3]、氣浮法[4-5]、落塔法[6]、拋物線飛行法[7]以及懸吊法[8]等，其中落塔法進行微重力模擬的精度能夠達到10-4g～10-5g，然而受到落塔高度的限制，進行地面試驗的時間很難超過10 s。拋物線飛行法為部分自由落體方式，微重力模擬的精度能夠達到10-2g～10-3g，該方法能夠將試驗時間提高到20～30 s。然而落塔法和拋物線飛行法進行地面試驗的成本較高，時間較短，使得對于微振動隔振器的各種性能指標無法較好的考核，在地面微重力模擬試驗應用方面受到很大限制。水浮法利用水的浮力模擬微重力環境，模擬的時長以及尺寸不受限，然而對于帶電設備，需要考慮水阻和密封，很大程度限制了地面試驗的應用。氣浮法利用氣體的推力實現微重力模擬，實現簡單，力可調，然而時長和載荷質量受限，考慮到氣瓶的容量要進行長時間地面試驗只能允許較小的載荷，并且氣浮法會產生較大的噪聲，對微振動隔振器的隔振性能產生一定的影響。懸吊法因其原理簡單，制造方便，微重力模擬時間長等優點在微重力模擬技術中被廣泛應用[9-11]。

美國的專家學者從20世紀70年代就開始將固定長度懸吊法用于航天員的微重力模擬，NASA[12-13]采用多根固定長度的吊索對航天員身體多個部位進行懸吊，模擬月球微重力下走、跑和跳。劉榮強等[14]使用固定長度的吊索為空間索桿鉸接式伸展臂設計了一套重力平衡裝置，對伸展臂展開和收攏進行了零重力地面模擬試驗。這種方法構型簡單，適用于運動自由度少，運動形式簡單，幾乎無豎直位移的情況。然而吊索長度不可調節或不可在線調節，造成豎直力不可調節，因此適用范圍小，微振動模擬精度低?？突仿〈髮W的Brown等[15]在1994年提出一種利用吊索配重克服重力來模擬太空低重力環境的方法，并且可在地面實現三維空間的運動。彭浩等[16]采用吊絲配重懸吊法通過一圈帶有配重的吊絲成功對環形天線進行重力補償。配重式懸吊法實現簡單，適用于運動自由度少，豎直位移小，豎直加速度小的微低重力模擬，當懸吊繩慢速移動時補償效果較好。然而快速移動時配重的慣量嚴重影響拉力精度。為了解決配重懸吊的問題，彈簧懸吊開始被大量研究，Pyatibratov等[17]利用彈簧懸吊法對零重力和低重力條件下的模擬器進行研制，用于航天員在月球和火星空間的低重力訓練。Liu等[18]采用扭桿和彈簧的組合形式對剛度進行調整，使整個機構的剛度較低，并使用魯棒控制進行了高精度低重力懸浮模擬試驗。文獻[19]通過四個懸吊點實現懸掛，每個懸吊點包括兩個呈V形安裝的螺旋彈簧和兩個用于低頻定位的位置傳感器組成，通過彈簧可以實現低頻懸吊。然而以上研究都只關注了如何獲得剛度低的特性，而沒有考慮彈簧自身模態振動對載荷的影響。

懸吊彈簧為質量不可忽略的長彈簧，描述有質量彈簧動力學特性的模型包括離散模型和連續模型，離散模型是將懸吊彈簧離散成一系列小的彈簧振子進行分析。通過有限個小的彈簧振子來對整個彈簧的性能進行近似時會引入系統誤差，不能準確描述懸吊彈簧的動力學特性。為了提高懸吊彈簧動力學模型的準確性，本文采用連續模型對懸吊彈簧進行動力學建模，搭建了一種微重力模擬裝置，對所建立的動力學模型進行試驗驗證。

為了降低隔振器在微重力模擬過程中懸吊彈簧局部模態振動對隔振器的干擾，通過PVC膠與懸吊彈簧并聯的方式增加彈簧的模態阻尼，利用連續模型對加膠帶懸吊彈簧進行動力學建模，并開展了被動和主動隔振試驗。試驗結果顯示PVC膠帶可以減小懸吊彈簧局部模態處的振動幅值，緩解對隔振器控制性能的限制，更準確的反應在軌工作狀態。

1 微重力模擬裝置理論分析

使用懸吊方法對隔振器進行微重力模擬的總體方案如圖1所示，微重力模擬裝置由懸吊架、懸吊彈簧、PVC阻尼膠帶、懸吊繩以及輔助機構組成。懸吊架布置在試驗臺兩側，由長2 m，寬2 m，高3 m的可拆卸鋁型材搭建，起到支撐的作用；懸吊繩通過滑輪纏繞在絞盤上，用于升降懸吊彈簧；PVC膠帶與懸吊彈簧并聯后直接與隔振上平臺相連，用于微重力模擬；輔助機構包括絞盤和滑輪裝置。隔振下平臺固連在試驗臺上，隔振上平臺與下平臺通過支撐彈簧連接在一起。由于在地面受重力影響隔振上平臺會一直壓縮支撐彈簧，懸吊彈簧進行拉伸時會產生向上的拉力，當懸吊彈簧提供的拉力與隔振上平臺的重力平衡，使得支撐彈簧保持在原長的狀態，此時隔振器完成微重力模擬。

圖1 微重力模擬裝置總體方案Fig.1 The overall scheme of microgravity simulation device

為了滿足空間精密載荷對空間微重力環境的要求，隔振器在1 Hz～100 Hz需要將空間站mg量級的環境振動降低到μg量級。因此懸吊架在豎直方向設計基頻高于100 Hz，從而降低懸吊架對隔振器隔振性能的影響。為了達到以上要求，懸吊架采用橫截面積100×100高剛度可拆卸鋁型材作為支撐結構進行搭建，增加了微重力模擬裝置的剛度。在每個豎直梁的底面連接一塊底板，每個豎直梁與橫梁以及與底板之間均用斜梁進行加固，底板采用不銹鋼，保證懸吊架具有較高的穩定性和較高豎向的基頻。懸吊架設計模型如圖2所示。

圖2 懸吊架模型Fig.2 Hanging shelf model

懸吊彈簧為質量不可忽略的長彈簧，阻尼較小，在對隔振器進行微重力模擬時，懸吊彈簧在局部模態處的振動會引入到隔振上平臺，這種模態振動被加速度傳感器測量后進入主動控制回路，容易導致隔振控制失穩，對隔振器的隔振性能產生影響，并且這種狀態與在軌狀態不符。

懸吊彈簧與隔振器內部彈簧為并聯關系，懸吊彈簧和隔振器內部彈簧的關系見式(1)，懸吊彈簧和隔振器內部彈簧的連接示意如圖3所示。

kz=k+kt

(1)

式中：kz為懸吊彈簧和隔振器內部彈簧的總剛度；k為懸吊彈簧的剛度;kt為隔振器內部彈簧的剛度。

圖3 懸吊彈簧和隔振器內部彈簧的連接示意圖Fig.3 Schematic diagram of connection between suspension spring and internal spring of vibration isolator

由式(1)可以看出，懸吊彈簧的剛度越大，總剛度中懸吊彈簧占有的剛度越大，因此懸吊彈簧引入到隔振器的基頻就越大。為了避免懸吊彈簧在1 Hz～100 Hz與隔振器產生共振，懸吊彈簧的基頻應低于1 Hz。受到實驗室高度限制懸吊架總高度為3 m，試驗臺高度為0.8 m，因此懸吊彈簧工作狀態總高度應小于2.2 m，設計懸吊彈簧的剛度k=0.08 N/mm，懸吊彈簧的基頻為0.83 Hz，小于設計值1 Hz的要求。隔振器內部彈簧的剛度kt=7.20 N/mm，因此隔振器的基頻為7.86 Hz，懸吊彈簧與隔振器整體的基頻為7.91 Hz。懸吊彈簧的設計參數如表1所示。

表1 懸吊彈簧的設計參數Tab.1 Design parameters of suspension spring

2 懸吊彈簧的動力學建模

微重力模擬裝置主要包括懸吊架、四根懸吊繩以及四根懸吊彈簧。四根完全相同的懸吊彈簧以并聯的方式連接，在形變量相同的情況下四根懸吊彈簧的剛度可以等效成一根主彈簧的剛度，主彈簧的剛度為四根懸吊彈簧剛度之和。懸吊彈簧連接在懸吊架上可以理解為懸吊彈簧一端固支。將懸吊彈簧看做均勻的連續介質，一端固定；另一端系一質量為M的彈簧振子系統，等效模型如圖4所示。

圖4 懸吊彈簧的等效模型Fig.4 Equivalent model of suspension spring

彈簧的剛度為k，長為L，質量為m，阻尼為C1。在t時刻離固定端距離為x點處的彈簧位移量為u(x,t)。觀察其中原長為dx的一小段彈簧，假設在某一時刻t整個彈簧處于拉伸狀態，則這一小段彈簧的剛度為kL/dx，形變是du，受到的拉力為Fk=kLdu/dx=kLux。這一小段彈簧的阻尼為c1dx/L，彈簧受到的阻尼力為Fc=(c1/L)dx·du/dt，這一小段彈簧的質量為mdx/L，加速度為utt，則可以導出彈簧的波動方程為

(2)

為了減小懸吊彈簧對隔振器的影響，通過在懸吊彈簧外部粘貼一層PVC膠帶的方式增加懸吊彈簧阻尼，從而減小彈簧在局部模態的振動，減小對隔振平臺的影響。

PVC膠帶屬于黏彈性材料，兼具黏性和彈性的性質。在外力作用下，其應力大小既依賴于應變也依賴于應變速率，其力學行為介于理想彈性體(彈簧)和理想黏性體(黏壺)之間。當受到外力作用時，類似于彈簧和黏壺共同來應對外力的作用，當外力消失后，彈簧會恢復到原來的狀態，而黏壺無法恢復到原來的狀態，從而耗散了振動能量，起到阻尼作用。采用彈簧與黏壺并聯的Kelvin模型對PVC膠帶的黏彈性阻尼進行建模，PVC膠帶與懸吊彈簧通過并聯方式連接。PVC膠帶與懸吊彈簧的模型如圖5所示。

圖5 PVC膠帶與懸吊彈簧的等效模型Fig.5 Equivalent model of PVC tape and suspension spring

膠帶的剛度為kl，阻尼為C2。觀察其中原長為dx的一小段彈簧和一小段膠帶，設在某一時刻t整個彈簧和膠帶處于拉伸狀態，則這一小段彈簧受到的拉力為Fk=(k+kl)Ldu/dx=(k+kl)Lux。這一小段膠帶的阻尼為c2dx/L，彈簧受到的阻尼力為Fc=[(c1+c2)/L]dx·du/dt，在式(2)的基礎上彈簧加膠帶的波動方程為

(3)

隔振上平臺和載荷的質量為M，懸吊彈簧上端固定，下端與隔振上平臺相連，則邊界條件可表示為

(4)

t=0時懸吊彈簧被隔振上平臺拉伸位移u0，此時懸吊彈簧處于靜止狀態。

則初始條件可表示為

(5)

令u(x,t)=X(x)T(t)代入式(4)和式(5)并分離變量,得

(6)

(7)

(8)

式中:ωn為無阻尼彈簧的頻率；ωd為有阻尼彈簧的頻率；ε為有阻尼彈簧的阻尼比;φ為彈簧有阻尼振動的相位。

(9)

且可以得到

(10)

ytany=β

(11)

解此方程可得到彈簧振子的本征頻率。以yn表示第n個周期所對應的本征值y，在|y|<π/2內，將tany展開成麥克勞林級數，可得

將tany在區間π/2

(13)

依此方法可求得更高的本征頻率ωn。

解出頻率ωn代入式(8)中可以得到懸吊彈簧的振動解為

e-εωntsin(ωdt+φ)

(15)

隔振上平臺(振子)的振動解為

e-εωntsin(ωdt+φ)

(16)

由式(15)和式(16)可以看出，懸吊彈簧的振動頻率與隔振上平臺的振動頻率相同，說明微重力模擬裝置中懸吊彈簧的振動會引入到隔振上平臺，從而對隔振器產生影響。

隔振上平臺的振動振幅為

(17)

式中，ε為有阻尼彈簧的阻尼比，由式(17)可以看出，阻尼越大隔振上平臺的振動振幅越小，增加阻尼會減小隔振上平臺的振動。

懸吊彈簧為剛性彈簧，阻尼比在0.001～0.005內，阻尼與阻尼比的關系為

(18)

式中，ε1為懸吊彈簧的阻尼比。根據式(18)，懸吊彈簧計算阻尼在0.014～0.068內。

(19)

式中:E為膠帶的等效彈性模量;B為膠帶的寬度;L為膠帶的長度;τ為流變系數。

膠帶的性能參數如表2所示。

表2 PVC膠帶的性能參數Tab.2 Performance parameters of PVC tape

經過計算，膠帶的阻尼為0.510，懸吊彈簧加膠帶后阻尼增加到0.524以上，加膠帶后整體阻尼可以提高8.5倍以上。由此說明加膠帶可以減小隔振上平臺的振動，從而減小微重力模擬裝置中懸吊彈簧對隔振器的影響。

3 微重力模擬裝置的試驗驗證

為了驗證懸吊彈簧局部模態處的振動對隔振上平臺的影響，本文搭建了地面試驗驗證系統。地面試驗驗證系統包括試驗臺、微重力模擬裝置以及單自由度隔振器。地面試驗驗證系統如圖6所示。

圖6 地面試驗驗證系統Fig.6 The ground experimental system

單自由度隔振器由隔振上平臺和下平臺通過四個支撐彈簧進行連接，隔振下平臺固連在試驗臺上，隔振上平臺與微重力模擬裝置相連。加速度傳感器采用PCB公司生產的393B05加速度傳感器，該傳感器能夠測量0.2 Hz～1 700 Hz頻率范圍內的加速度信號，靈敏度為10 V/g，可以采集到隔振上平臺μg量級的低幅微振動。加速度信號調理盒能夠將加速度測量信號經過信號放大、信號調理以及A/D轉換傳遞給dspace實時控制系統，并傳輸給主控計算機從而完成低幅微振動的測量。主控計算機可以根據隔振平臺采集的加速度信號實現主動隔振。

在懸吊狀態下對隔振器進行被動隔振試驗。隔振上平臺在頻域下的加速度響應如圖7所示。

圖7 隔振上平臺振動頻率Fig.7 Vibration frequency of upper platforms

由圖7可以看出，懸吊彈簧實測第一階頻率為0.75 Hz，第二階頻率實測值為5.85 Hz。加速度響應的最高峰值為7.6 Hz，該頻率為懸吊彈簧和隔振器整體的實測基頻，懸吊彈簧和隔振器整體基頻理論值為7.91 Hz，理論值與實測值的誤差為3.9%。

通過式(9)、式(12)～式(14)對懸吊彈簧模態振動頻率進行求解，得到彈簧模態振動頻率的理論值。將懸吊彈簧模態振動頻率理論值與實測值(見圖7)進行對比，見表3所示。

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表3 懸吊彈簧振動理論值與實測值的對比Tab.3 Comparison between theoretical and measured vibration values of suspension spring

從表3可以看出，懸吊彈簧的理論基頻為0.83 Hz，與實測第一階頻率誤差為9.6%。懸吊彈簧的第二階頻率理論值5.95 Hz與實測值的誤差為1.21%。懸吊彈簧振動頻率的理論值與實測值除了第一階頻率誤差為9.64%，其他階頻率誤差在4%以內，說明懸吊彈簧局部模態處的振動引入到隔振上平臺，驗證了微重力模擬裝置中懸吊彈簧動力學模型的正確性。

為了減小懸吊彈簧局部模態處的振動對隔振器性能的影響，使微重力模擬裝置更接近在軌狀態，在懸吊彈簧側面以粘貼膠帶的方式增加彈簧的阻尼，PVC膠帶與懸吊彈簧的安裝方式如圖8所示。

圖8 PVC膠帶與懸吊彈簧的安裝方式Fig.8 Installation of PVC tape and suspension spring

對四根懸吊彈簧粘貼膠帶前后進行隔振試驗，通過被動隔振后上平臺加速度頻域對比如圖9所示。

圖9 懸吊彈簧有無膠帶被動隔振后上平臺加速度對比圖Fig.9 Comparison diagram of acceleration of upper platform after passive vibration isolation of suspension spring with or without tape

由圖9可以看出，懸吊彈簧沒有加膠帶進行被動隔振試驗時，懸吊彈簧在1 Hz～100 Hz的頻段內會將自身的局部模態引入到隔振上平臺，在5.85 Hz，12.16 Hz，18.15 Hz，24.23 Hz，42.35 Hz處的振動均超過隔振要求的1 μg，加上膠帶后隔振上平臺1 Hz～100 Hz頻段內由懸吊彈簧引入的振動幅值均小于1 μg，說明在懸吊彈簧外部加膠帶可以增加彈簧的阻尼，并且可以減小懸吊彈簧引入到隔振上平臺的振動，從而減小微重力模擬裝置中懸吊彈簧對隔振器的影響。

為了驗證懸吊彈簧局部模態處的振動對主動隔振的影響，在微重力模擬狀態下對隔振器進行主動隔振試驗。主動隔振采用PID控制，當增益升高到100時，控制器失穩，音圈作動器出現嚴重漂移。通過主動隔振后上下平臺加速度在頻域上的對比如圖10所示。

圖10 上下平臺加速度在頻域下的對比Fig.10 Comparison of acceleration of upper and lower platforms in frequency domain

由圖10可看出，對隔振器進行主動隔振后，由懸吊彈簧局部模態(5.81 Hz，12.14 Hz，54.52 Hz，60.09 Hz)引入到隔振上平臺的振動無法被隔離到1 μg以下，使得主動隔振無法滿足性能要求。說明懸吊彈簧局部模態的振動會影響到隔振器的性能。

通過以上試驗可以說明，懸吊彈簧局部模態的振動已經引入到隔振上平臺，這種模態振動被加速度傳感器測量后進入主動控制回路，導致隔振控制失穩。

對四根懸吊彈簧粘貼膠帶后進行主動隔振試驗，主動隔振采用PID控制，增益升高到205時，控制器失穩，相對于懸吊彈簧無膠帶的微重力模擬裝置，增益提高了一倍。通過主動隔振后上下平臺加速度在頻域上的對比如圖11所示。

圖11 上下平臺加速度在頻域下的對比Fig.11 Comparison of acceleration of upper and lower platforms in frequency domain

由于48.8 Hz為試驗臺的基頻，通過隔振器引入到隔振上平臺，因此與懸吊彈簧沒有關系。從圖11可以看出，在對隔振器進行主動隔振后，微重力模擬裝置中的懸吊彈簧加膠帶后引入到隔振上平臺的振動均降低到1 μg以下，說明加膠帶可以降低懸吊彈簧局部模態處的振動，減小對隔振器主動隔振性能的影響。

通過以上試驗可以說明，在懸吊彈簧側面粘貼PVC膠帶可以起到增加阻尼的效果，降低了懸吊彈簧局部模態處的振動，從而有效緩解了模態振動對主動隔振控制器控制性能的限制，這種狀態更加接近在軌狀態。

4 結 論

在利用懸吊法對隔振器進行微重力模擬時，懸吊彈簧局部模態處的振動很容易引入隔振上平臺，限制隔振控制性能，并且與在軌狀態不符。本文利用連續模型對懸吊彈簧和PVC膠帶進行動力學建模并對純彈簧和加膠帶彈簧的阻尼進行對比，從而對加膠帶懸吊彈簧的模態振動和阻尼進行深入研究，通過被動和主動隔振試驗對所建立的動力學模型進行了試驗驗證，研究了加膠帶懸吊彈簧對隔振器隔振性能的影響，從而得到以下結論：

(1)通過連續模型進行動力學建模能夠準確描述微重力模擬裝置中懸吊彈簧加膠帶的動力學特性。

(2)懸吊彈簧局部模態處的振動會引入到隔振上平臺，通過被動和主動隔振都無法隔離，這種狀態與在軌狀態不符。采用PVC膠帶可以起到增加阻尼的效果，這種方法能夠將彈簧的模態振動降低到1 μg以下，從而減小模態振動對被動隔振的影響，并有效緩解了模態振動對主動隔振控制器控制性能的限制，這種狀態能夠更準確的反應在軌工作狀態。