不均等層厚劃分的功能梯度圓筒的有限元分析

胡雷雨，薛愷文，王 政

(中國礦業大學力學與土木工程學院，江蘇 徐州 221116)

0 引言

煤炭作為我國能源供給結構的主體，已經成為國民經濟高速發展的重要基礎，在短時間內其地位不會發生動搖。但隨著幾十年的不斷開采利用，我國淺部可開發煤炭資源的急劇減少，使得人們不得不將目光轉向了深部地下，深部煤炭資源的開采已經成為了必然趨勢，立井的建設將成為今后煤炭行業一個主要的工作方向。但是隨著開采深度的不斷增加，深部巨大的圍巖壓力以及復雜的地層環境對支護結構的承載力提出了更高的要求，如何有效提高井壁的承載能力引起了許多學者的關注。

目前為提高井壁的承載能力，現有解決方法主要有提高混凝土材料強度、增加井壁厚度以及使用特殊結構。針對提高材料強度來提高立井井壁的承載能力的方法，姚直書等[1]學者曾提出混凝土強度提高10 MPa，則井壁承載力將提高約13.8%。而對于增加井壁厚度提高井壁的承載能力的方法，張寧等[2]學者曾提出對于延伸至1 000 m深的豎井，襯砌厚度增加10 mm，鋼筋混凝土將增加1%的總成本，而普通混凝土將增加0.25%的總成本。可見，此種方法會增加施工成本。同時，傳統均質井壁在承受外壓作用下，井壁內側會出現環向應力集中的現象，且井壁外側混凝土的承載能力卻得不到有效發揮，因此上述兩種方法提高井壁承載力的范圍十分有限，并且將會造成材料的浪費。因此，較多的國內外學者將功能梯度材料引入了立井井壁。

功能梯度材料(FGM)是一種組成和性能在空間上呈連續變化的新型復合材料，最早是由新野正之與平井敏雄[3]等日本科學家于1987年提出。最初是為了解決航空航天領域中極端條件下材料的隔熱問題，后來被廣泛的應用于航天、石油天然氣、機械、核反應等領域。功能梯度概念引入土木工程領域較晚，目前仍處于發展階段。隨著深部地下的開發，一些學者提出將功能梯度材料與立井井壁等結構結合，利用功能梯度材料的材料性能在空間連續變化的特性來緩解結構中應力集中現象，從而達到“柔性讓壓”的效果，但這種使材料屬性連續變化的特點在實際工程中很難實現。針對這一不足，不少學者將層合模型的理念引入實際工程中來解決這一問題。張寧等[4-5]提出了一種多層功能梯度立井井壁結構及其制作方法，即將立井井壁分為多層同軸圓筒結構分層賦予不同材料，從而使材料彈性模量在半徑方向上達到近似連續變化。上述井壁結構僅僅滿足了力學承壓要求，為了應對深部地層中的復雜環境，李德春等[6]提出一種新型功能梯度井壁結構，通過增加抗滲、抗水壓、抗腐蝕、抗火等同軸混凝土功能層賦予結構多種功能特性。此外數值模擬方面，許沖[7]利用ABAQUS對于上述多層同軸的功能梯度井壁結構的受力變形規律進行了數值模擬，宋日新[8]研究了由兩項材料按特定的體積分數組成的功能梯度圓筒，在彈性狀態下運用ANASYS進行受內壓的數值模擬，并與理論分析進行了比較，驗證了其解析解的正確性。上述的功能梯度圓筒結構的層合模型都是等分的劃分形式，即由多層同軸等厚度圓筒組成，并基于不同形式函數，使得圓筒結構的彈性模量沿半徑方向發生近似連續變化。

但以上的層合模型均是基于普通均等劃分層厚的情況(即每層同軸圓筒的厚度都相同)，對于井壁不均等層厚劃分的情況(即每層同軸圓筒的厚度并不相同)目前尚沒有學者進行相關深入研究，本文則通過建立N層不均等分功能梯度立井井壁的層合模型，借助ABAQUS有限元軟件進行數值模擬，探究了在沿徑向彈性模量線性變化(內小外大)的N層功能梯度圓筒中，4種不均等層厚劃分與普通均等層厚劃分相比井壁內部Mises應力和位移的差別，并通過改變劃分層數N來進一步探究層數的變化對上述由不同劃分層厚方式引起的差別的影響，最后驗證了彈性模量沿徑向線性變化情況下所得結論在沿徑向方向彈性模量按照其他的函數變化形式中的適用性與普遍性。

1 有限元模型的建立

為了研究不均等層厚劃分層合模型下功能梯度立井井壁力學特性變化，本次模擬我們針對井壁沿徑向彈性模量的變化共設計了3種彈性模量函數(線性函數、指數函數、冪函數)，并就每種彈性模量變化分別設計了3層,6層,10層的功能梯度井壁，并針對每種情況研究了在5種不同層厚劃分形式(中間層厚大兩邊層厚小、中間層厚小兩邊層厚大、均勻層厚、從內層到外層各層厚度依次增大、從內層到外層各層厚度依次減小)，共計45個模型，具體模型參數如表1所示。

表1 模型參數

使用ABAQUS進行數值模擬計算，采用二維平面模型，由于井壁為軸對稱結構，為了簡化模型加快運算速度，取1/4結構研究，井壁截面為對稱邊界，采用定向支座約束，在井壁外側施加荷載，單元類型為CPE4R。圓筒的5種不同層厚劃分形式(此處以6層井壁模型為例)：中間層厚大兩邊層厚小，如圖1(a)所示；中間層厚小兩邊層厚大，見圖1(b)，均勻層厚，見圖1(c)；從內層到外層各層厚度依次增大，見圖1(d)；從內層到外層各層厚度依次減小，見圖1(e)。

工況J1：從內層到外層各層厚度依次減小。

工況J2：從內層到外層各層厚度依次增大。

工況J3：中間層厚大兩邊層厚小。

工況J4：中間層厚小兩邊層厚大。

工況J5：均勻層厚。

由內外邊界彈性模量擬合得到如下3種不同形式彈性模量變化函數：

2)指數變化：E(r)=247 44e2.682 2×10-4r。

3)冪函數變化：E(r)=3 694.9r0.315。

5種工況下45個模型各層厚度分布見表2～表4。

表2 3層功能梯度井壁各層厚度分布

表3 6層功能梯度井壁各層厚度分布

表4 10層功能梯度井壁各層厚度分布

2 仿真結果分析

本文將主要分析彈性模量沿徑向線性變化下不同層厚劃分對功能梯度井壁結構力學特性的影響。根據ABAQUS數值模擬結果，我們將依次選取3層，6層和 10層分布的功能梯度井壁為研究對象。之后將進一步介紹其他兩種彈性模量變化函數形式下的模擬結果。

2.1 彈性模量沿徑向線性變化下的3層功能梯度圓筒仿真結果分析

當功能梯度井壁劃分為3層時，5種不同層厚劃分工況下功能梯度井壁截面的Mises應力分布云圖如圖2～圖6所示。由圖可知，在外側15 MPa的均布荷載的作用下，功能梯度井壁的內部Mises應力自外側向內側逐漸增大，應力最終在井壁最內層達到最大值。此外，通過比較不同層厚劃分工況中的最大Mises應力和最小Mises應力可知，最大Mises應力滿足：J1>J4>J5>J3>J2，最小Mises應力滿足：J1>J3>J5>J4>J2，但這5種工況下井壁的位移云圖基本相同(見表5)。沿徑向5種工況的Mises應力分布圖及位移分布圖見圖7，圖8。

表5 n=3時各工況得到的最大應力、最小應力以及最大位移

2.2 彈性模量沿徑向線性變化下的6層功能梯度圓筒仿真結果分析

當功能梯度圓筒劃分為6層時，沿徑向方向5種不同層厚劃分工況下功能梯度井壁結構的Mises應力和位移分布，如圖9，圖10所示。由圖可知，最大Mises應力滿足：J4>J1>J5>J2>J3，最小Mises應力滿足：J3>J1>J5>J2>J4，但這5種工況下圓筒的位移云圖的分布和數值大小基本相同(見表6)。

表6 n=6時各工況得到的最大應力、最小應力以及最大位移

2.3 彈性模量沿徑向線性變化下的10層功能梯度圓筒仿真結果分析

當功能梯度圓筒劃分為10層時，沿徑向方向5種不同層厚劃分工況下功能梯度井壁結構的Mises應力和位移如圖11，圖12所示。由圖可知，最大Mises應力滿足：J1>J4>J5>J2>J3，最小Mises應力滿足：J1>J3>J5>J4>J2，同時這5種工況下圓筒的位移云圖的分布和數值大小基本相同(見表7)。

表7 n=10時各工況得到的最大應力、最小應力以及最大位移

線性函數3層：最大Mises應力：J1>J4>J5>J3>J2，最小Mises應力：J1>J3>J5>J4>J2，位移：基本相同。

線性函數6層：最大Mises應力：J1>J4>J5>J2>J3，最小Mises應力：J3>J1>J5>J2>J4，位移：基本相同。

線性函數10層：最大Mises應力：J1>J4>J5>J3>J2，最小Mises應力：J1>J3>J5>J4>J2，位移：基本相同。

不難發現，與功能梯度井壁劃分為3層和6層時相比較，5種工況的最大Mises應力大小順序滿足一定規律，即J1，J4>J5>J2，J3。同樣，5種工況的最小Mises應力大小順序也滿足一定規律，即J1，J3>J5>J2，J4，并且隨著層數的增加，各工況下圓筒結構內部的最大Mises應力逐漸減小，最小Mises應力逐漸增大，并且使得不同工況的Mises應力數值差距越來越小。對于位移而言，5種工況下 的結構中各點位移基本相同，位移分布曲線都呈現出凹型，即位移分布沿井壁內部向外部先減小后增大。出現這種現象的原因是井壁的內邊界和外邊界為臨空面，它們的變形沒有受到其他物體約束，因此導致其內外邊界位移較大；但處于井壁內部的各點的變形受到周邊部分的限制，不能自由變形移動，并且越遠離內外邊界這種限制也就越發顯著，從而導致內部各點位移較小，在井壁位移分布曲線上也就表現為沿井壁內部向外部先減小后增大的凹型分布。同時隨著層數的增加，各工況的最大位移也逐漸增大，但增長量很小，不超過0.01 mm。

2.4 彈性模量沿徑向指數和冪函數變化下的模擬結果概況

本文對沿徑向彈性模量按照指數和冪函數變化的井壁情況同樣進行了仿真模擬和結果分析，與上文中井壁的彈性模量按線性變化得出的結論基本吻合，5種工況中的最大Mises應力大小順序滿足J1,J4>J5>J2,J3。同樣，5種工況中的最小Mises應力大小順序也滿足J1,J3>J5>J2,J4，并且隨著層數的增加，各工況下圓筒結構內部的最大Mises應力逐漸減小，最小Mises應力逐漸增大，并且使得各工況中的Mises應力數值差距越來越小。對于位移而言，5種工況下的結構中各點位移基本相同，并且隨著層數的增加，各工況的最大位移也逐漸增大，但增長量很小(不超過0.01 mm)。

指數函數3層時，最大Mises應力：J1>J4>J5>J3>J2，最小Mises應力：J1>J3>J5>J4>J2。

指數函數6層時，最大Mises應力：J4>J1>J5>J2>J3，最小Mises應力：J3>J1>J5>J2>J4。

指數函數10層時，最大Mises應力：J1>J4>J5>J2>J3，最小Mises應力：J1>J3>J5>J4>J2。

冪函數3層時，最大Mises應力：J1>J4>J5>J3>J2，最小Mises應力：J1>J3>J5>J4>J2。

冪函數6層時，最大Mises應力：J4>J1>J5>J3>J2，最小Mises應力：J1>J3>J5>J2>J4。

冪函數10層時，最大Mises應力：J1>J4>J5>J2>J3，最小Mises應力：J3>J5>J1>J4>J2。

不難看出，在3層，6層，10層層數下，5種工況中的最大Mises應力大小順序均滿足J1，J4>J5>J2，J3；最小Mises應力大小順序也均滿足J1，J3>J5>J2，J4，并且隨著層數的逐漸增多，不同的層厚劃分工況中的Mises應力數值差距越來越小。造成這種現象的原因，主要是隨著劃分層數的增加，每層厚度逐漸減小，整體上擬合彈性模量的變化函數也就越來越精確，井壁沿徑向的彈性模量也就越接近連續變化，因此可以合理推測當層數N足夠大時，就實現了真正意義上的功能梯度材料，即組成和性能在空間上呈連續變化。與此同時，功能梯度的“柔性讓壓”特性也在隨著層數的增加而逐漸增強，從而緩解井壁內側環向應力集中的現象，降低結構中的最大應力。從位移方面，5種工況下的結構中各點位移基本相同，位移分布曲線都呈現出凹型，即位移分布沿井壁內部向外部先減小后增大。出現這種現象的原因是井壁的內邊界和外邊界為臨空面，它們的變形沒有受到其他物體約束，因此導致其內外邊界位移較大；但處于井壁內部的各點的變形受到周邊部分的限制，不能自由變形移動，并且越遠離內外邊界這種限制也就越發顯著，從而導致內部各點位移較小，在井壁位移分布曲線上也就表現為沿井壁內部向外部先減小后增大的凹型分布。但隨著層數的增加，各工況的最大位移逐漸增大，這也正好印證了隨著層數的增加，功能梯度的“柔性讓壓”特性逐漸變得顯著。同樣，在圓筒結構中采用其他的彈性模量的變化函數，除了緩解應力集中現象的效果有所差別，但是得出的結論與彈性模量沿徑向線性變化的結果基本保持一致。

最后，通過綜合最大Mises應力和最小Mises應力來分析，可以發現工況J2(從內層到外層各層厚度依次增大)的層厚劃分為5種層厚劃分工況中最優的(即工況J2中的最大Mises應力和最小Mises應力都是5種工況中較小的)，并且這種優勢在層數越少的情況下反映的更加明顯，因此這種特性十分有利于推廣功能梯度井壁的實際運用。實際工程中由于受到施工條件的限制劃分層數不可能過大，否則會導致每層厚度過小而不便于澆筑混凝土，因此為了兼顧施工便利需要和功能梯度特性，采用從內層到外層各層厚度依次增大的層厚劃分則可以有效的解決這個問題，能在有限的劃分層數下相比于其他層厚劃分方式更能發揮功能梯度井壁的“柔性讓壓”特性，有效緩解井壁內側環向應力集中現象，同時功能梯度井壁也避免了各處均采用同樣高強度混凝土而造成不必要成本增加。

3 結論

1)5種工況中的最大Mises應力大小順序滿足J1，J4>J5>J2，J3；最小Mises應力大小順序滿足J1，J3>J5>J2，J4，并隨著層數的逐漸增多，不同的層厚劃分工況中的Mises應力數值差距越來越小。

2)5種工況下的結構中各點位移基本相同，并且隨著層數的增加，各工況的最大位移也逐漸增大，但增長量很小(不超過0.01 mm)。

3)綜合最大Mises應力和最小Mises應力來分析，可以發現工況J2(從內層到外層各層厚度依次增大)的層厚劃分為5種層厚劃分工況中最優的(即工況J2中的最大Mises應力和最小Mises應力都是5種工況中較小的)。

4)若在功能梯度井壁實際運用中，由于受到施工條件的限制劃分層數不可能過大時，采用從內層到外層各層厚度依次增大的不均等層厚劃分形式，可以在有限的劃分層數下相比于其他層厚劃分方式更能發揮功能梯度井壁的“柔性讓壓”特性，有效緩解井壁內側環向應力集中現象。