考慮支護作用下的非圓形洞室應力流分布特征研究★

鄭英豪，閆 鑫，李 冉，張 帥

(河北建筑工程學院土木工程學院，河北 張家口 075000)

地下深埋隧道的斷面類型通常不再局限于圓形或矩形，取而代之的是馬蹄形隧道，較傳統圓形隧道而言，馬蹄形隧道斷面形式有著結構穩定、施工期對周邊圍巖擾動小，支護體系成熟等優點。然而隧道開挖產生的孔洞會對巖體的穩定性產生負面影響，進而可能誘發地下巖體結構的整體塌落。因此，對于了解非圓形含孔洞巖體的應力分布具有重要意義。

對于均質、各向同性深埋巖體中的隧道圍巖應力的求解可視為平面應變問題，基于彈性力學理論通過求解實變函數可得圓孔、橢圓等簡單孔洞的應力分布顯式解[1-2]，但當幾何形狀復雜時，復分析法具有了普適性的優勢，因而被廣泛運用于求解非圓形洞室應力解的問題[3]。Ukadgaonker等利用復變函數載平面應變條件下研究了三角形和矩形孔洞外的應力解析解[4]。

當洞室形狀為復雜的非圓形孔洞時，對于映射函數的求解、應力邊界條件式的確定將變得十分煩瑣和復雜，這無疑大大增加了非圓形洞室圍巖應力解析解求解的難度。而對于非圓形洞室映射函數的確定方法，國內外主要有Laurent級數法和Schwarz交替法等[5]。皇甫鵬鵬等[6]將映射函數系數展開為Laurent級數的形式，進行多次迭代計算，得到計算時間短、精度高的映射函數項數。王潤富[7]利用復三角函數的正交性求解映射函數。呂愛鐘[8]提出采用最優化解法，通過最優化技術來求解映射函數，其精度高，且適用性較強。

1 應力的復變函數表示

理論推導前，假定地下深部圍巖體為均質、各向同性的線彈性材料。對于開挖深度遠遠大于洞室截面尺寸的巖體，可以考慮將空間問題簡化為無限域內的平面應變模型。根據彈性力學理論，應力的求解最終歸結為在給定應力邊界條件下求解一個雙調和函數U(x,y)，即：

(1)

然而對于幾何形狀復雜、應力梯度較大、連通域多的應力問題時，雙協調函數的求解十分困難。基于復變函數理論，在常體力條件下，雙調和函數U(z)(z=x+iy)可表示為：

(2)

根據Muskhelishvili理論[9]與黎曼映射定理，z平面內極坐標系下各應力分量(σρ,σθ,τρθ)之間的關系可表示為：

(3)

復應力函數φ(ζ)和Ψ(ζ)可表示為式(4)的形式：

(4)

無窮遠處單值解析函數φ0(ζ)和Ψ0(ζ)可用Laurent級數表示如下：

(5)

孔洞需滿足的邊界條件式表示如下：

(6)

將式(4)代入式(6)，并令ζ=σ，即可得到洞室邊界上的應力平衡方程：

(7)

求解所需的應力函數φ(ζ)和ψ(ζ)的解析解可采用柯西積分或冪級數的方法求解。

2 映射函數表示

深埋隧道工程中孔洞的截面形狀通常是不規則的，如圖1所示。

以公路隧道規范中的雙車道單心圓公路隧道為例[10]，采用最優化方法[11]，經過保角映射后，得到相應的映射函數形式如下：

ω(ζ)=R(ζ+c0+c1ζ-1+c2ζ-2+c3ζ-3+c4ζ-4+c5ζ-5)

(8)

其中，R=4.974,c0=0.015 5,c1=-0.12,c2=0.071 8,c3=-0.029 8,c4=0.002 4,c5=0.008 7。

3 結果與分析

3.1 應力分布規律

深埋隧道工程的大量地應力測量結果表明，地層中的水平應力一般情況下都大于豎向應力，且水平應力具有任意方向性，當洞室軸線方向與最大主應力方向平行時，洞室受水平應力的影響最小，有利于洞室整體的穩定性，當洞室軸線方向與最大主應力方向垂直時，洞室受水平應力的影響最大，洞室易發生失穩破壞，因此，研究不同側壓力水平下洞室周邊圍巖的應力及地層中應力分布規律對于地下深埋洞室支護結構針對性設計具有重要指導意義。

本節對圍巖中不同位置處，不同側壓力水平下、不同支護力大小的環向應力、徑向應力進行了分析，通過MATLAB數學計算軟件，對計算得到不同距離處非圓形洞室應力分量，以研究應力沿洞室周邊不同角度下的分布規律及地層中的應力傳遞規律。

3.1.1 徑向應力分析

馬蹄形洞室不同距離下的徑向應力解析解分布曲線見圖2。

由圖2可以看出，隨著側壓力系數λ由0增大到2，馬蹄形洞室各角度下的徑向壓應力也逐漸增大，且徑向壓應力在馬蹄形洞室拱腳處(對應角度約為120°)達到了峰值應力。當水平側壓力不存在(λ=0)或側壓力較大(λ=2)時，拱頂和拱底位置均處于受壓狀態，并隨著側壓力系數的增大，壓應力量值有小幅增大的趨勢。隨著距洞邊距離的增大，徑向應力也隨之增大。當ρ=5時，圍巖中徑向應力值與遠場應力值十分接近，當ρ=10時，圍巖中徑向應力值與遠場應力值基本保持一致。

3.1.2 環向應力分析

馬蹄形洞室不同距離下的環向應力解析解分布曲線，見圖3，其中,ρ為ζ平面上點的半徑。

由圖3可以看出，當側壓力系數由0增大到2時，馬蹄形洞室拱腳處附近應力集中程度逐漸增大，同時拱頂及拱底處的拉應力集中程度逐漸減小。從曲線整體形態上看，隨著距離的增大，環向應力衰減較快，當ρ=3時，圍巖應力與遠場應力十分接近，當ρ=10時，圍巖應力與遠場應力基本保持一致。

3.2 不同支護力影響

通過將支護壓力T引入式(6)即可考慮支護力對深埋洞室圍巖應力的影響。考慮實際深埋工程中可提供的支護力大小在0.5 MPa以內，因此取支護壓力T為0 MPa,0.1 MPa,0.2 MPa,0.3 MPa,0.4 MPa,0.5 MPa，其余參數與前文保持一致。馬蹄形洞室內邊界上環向應力分布見圖4。

由圖4可知：隨著洞室內邊界支護力的增加，馬蹄形洞室邊界上各角度下環向應力均有所減小，同時降低的幅度相同，且以拱腳處應力降低最多。例如，當支護力T由0增大至0.5時，拱頂處峰值應力由未支護狀態下的1.67 MPa減小到支護下的1.34 MPa，減幅為19.8%。拱腳處峰值應力由未支護狀態下的3.34 MPa減小到支護下的2.17 MPa，減幅為35.0%。可以看出，在洞室開挖的過程中，通過施加法向支護力，可以使隧道拱腳處應力集中現象也得到明顯緩解。因此，在隧道開挖過程中，及時施作支護結構，以形成足夠的支護力，將大大改善洞室周邊圍巖的應力集中現象。若在拱腳處增設鎖腳錨桿，將提高拱腳部位的支護應力，從而進一步改善隧道拱腳周邊圍巖的應力分布。

3.3 應力流分布規律

通過對深埋洞室應力流分析可以得到圍巖中力流密度大小，進而用于指導支護結構的施作，具體原理及相應計算公式見文獻[12]，圍巖中應力流計算公式如式(9)所示：

(9)

當側壓力系數λ=0.5時，不同角度下應力及應力流沿距離變化規律見圖5。

由圖5可知：隨著距洞邊距離的增大，洞室周邊圍巖的徑向應力、環向應力均有不同程度的減小，且逐漸趨于遠場應力。隨著角度的增大，在拱頂處(90°)徑向應力流最大，而環向應力流最小。與之相反的是，拱肩處(0°)徑向應力流最小，而環向應力流最大。同時，可以看出，隨著距洞邊距離的增大，環向及徑向應力流距洞邊一定范圍內呈現非線性的關系，隨著距離洞室邊界的增大，呈現正相關的趨勢。

4 結論

1)當水平側壓力不存在(λ=0)或側壓力較大(λ=2)時，拱頂和拱底位置均處于受壓狀態，并隨著側壓力系數的增大，壓應力量值有小幅增大的趨勢。與環向應力變化趨勢相反的是，隨著距洞邊距離的增大，徑向應力也隨之增大，但總體增幅較環向應力小，曲線變化規律與方形洞室變化規律一致。2)隨著距洞室邊界距離的增大，洞室周邊圍巖的徑向應力、環向應力均有不同程度的減小，且逐漸趨于遠場應力。隨著角度的增大，在拱頂處(90°)徑向應力流最大，而環向應力流最小。與之相反的是，拱肩處(0°)徑向應力流最小，而環向應力流最大。環向及徑向應力流距洞邊一定范圍內呈現非線性的關系，隨著距離洞室邊界的增大，呈現正相關的趨勢。3)當支護力T由0增大至0.5時，拱頂處峰值應力由未支護狀態下的1.67 MPa減小到支護下的1.34 MPa，減幅為19.8%。拱腳處峰值應力由未支護狀態下的3.34 MPa減小到支護下的2.17 MPa，減幅為35.0%。