基于分數階模型的牡蠣殼動力學特性研究*

袁良柱，陸建華，苗春賀，王鵬飛，徐松林,2

（1.中國科學技術大學中國科學院材料力學行為和設計重點實驗室，安徽 合肥 230027；2.中國地震局地震預測研究所高壓物理與地震科技聯合實驗室，北京 100036）

黏彈性材料是生活中最常見的材料之一，工業材料（塑料、橡膠、樹脂、玻璃、陶瓷、混凝土等）、地質材料（巖石、土壤、瀝青、石油等）、生物材料（肌肉、血液、骨骼等）常常同時具有彈性和黏性兩種性質[1]。

作為一種天然復合材料，貝殼因其獨特的強-弱層狀結構表現出輕質高強的特性[2]。這樣的結構設計也被大量應用于材料設計中，有大量工作仿照天然貝殼的結構構造，制造出了具有良好的強度、斷裂韌性和沖擊性能的人造仿生材料[3-5]。從結構成分上來說，貝殼由1%～5%的蛋白質和95%～99%的礦物組成，其中蛋白質的彈性模量和強度均不高（彈性模量在50～100 MPa 之間，強度僅有20 MPa），貝殼的礦物成分CaCO3的強度也不高（彈性模量在50～100 GPa 之間，而強度僅有30 MPa）[2]。但因為貝殼內部的珍珠層具有獨特的多尺度、多級次的磚泥結構[5]，使貝殼本身的強度能達到100～300 MPa 之間[2]。不僅如此，貝殼材料的動態力學特性同樣優異。Huang 等[6]發現貝殼珍珠層在高應變率（103s-1）下的強度（500 MPa）比低應變率（10-3s-1）下的強度（200 MPa）要高得多。貝殼獨特的結構特點以及其優異的力學特性引起了廣泛的研究興趣[2,6]。

貝殼因其獨特的結構特征表現出相當復雜的力學特性，這種復雜材料含有大量的多尺度細微觀結構，也使得材料中的應力波產生彌散和衰減現象[7-8]，體現出了一定的黏彈性特性[2]。復雜材料中應力波傳播有較多的研究成果[9-10]，其特性均與復雜介質的細微觀結構相關。Huang 等[11]研究了顆粒體系介質中分形維數與應力/破碎程度的關系，以及對局部波動效應的影響。徐松林等[7]、譚子翰等[8]基于波動方程的格林函數解，結合邊界積分的方法研究了橢圓形孔洞、裂紋等細微觀缺陷對波傳播規律的影響。Ting 等[12]研究了周期性分層介質的波傳播規律。張鳴[13]基于波傳播理論，推導了梯度密度介質的波傳播方程，李毅等[14-15]在此基礎上，推導了梯度密度和層狀介質的波傳播方程，并以此分析了牡蠣殼試樣的波傳播規律，發現牡蠣殼試樣的黏彈性會隨著密度的變化而變化。這些研究所用的本構模型均是整數階模型，在材料細微觀結構的研究方面具有一定限制，無法較好反映復雜介質的細微觀結構對波傳播的影響規律。

傳統模型如Maxwell 模型、Kelvin 模型所預測的材料松弛和蠕變過程，應力和應變滿足時間的自然指數形式[16]。然而，大量的實驗發現，多數黏彈性材料的松弛和蠕變過程，應力和應變往往表現為時間的冪函數形式[17]。不同于傳統模型，分數階模型的應力和應變滿足時間的冪函數形式，如分數階Kelvin 模型在蠕變下的應力應變表達式為多個冪函數之和[16]。也有學者在傳統整數階模型的基礎上，通過引入多個導數項和材料參數來表征變形或應力的歷史或演化，使得本構模型和實驗能較好地貼合[18-23]，但模型也變得更加復雜了。而與傳統模型相比，分數階模型參量少，并且能夠很好地涵蓋傳統本構模型。例如當Abel 分數階模型（σ(t)∝dαε(t)/dtα）中的階數α=0 時，模型就是彈簧元件；當α=1.0 時，模型則變為牛頓黏壺元件[16]。分數階本構關系也能更接近黏彈性的流變特性[24-25]。寇磊[26]通過矩形板蠕變的算例表明，分數階黏彈性模型比經典黏彈性模型的適應性要好。尹耀得等[27]應用分數階Kelvin-Voigt 模型建立了考慮記憶特征時間長度的黏彈性本構關系，對8 組不同拉伸速率下的丙烯酸彈性體單軸拉伸實驗數據進行參數擬合，得到了具有高擬合決定系數的材料參數。Zhao 等[28]針對介電彈性體的黏彈性問題，建立了一種基于分數階Kelvin-Voigt 黏彈性模型的三維本構，可被用來預測材料在自由振蕩和激勵振蕩下的蠕變行為。牡蠣殼材料由于其內部珍珠層和粉末層兩種成分的巨大差異，使得不同密度的牡蠣殼材料表現出較大的力學性能差異，并且由于其珍珠層-粉末層這種軟硬交替的結構使得牡蠣殼材料表現出一定的黏彈性特性[15]。因此使用簡單的整數階模型并不能很好地表征其黏彈性特性，而分數階黏彈性模型在復雜材料的動力學研究工作中已經取得了眾多成功[29]。

本文中，首先基于時間分數階的微積分定義，分別以Abel 模型和分數階Maxwell 模型作為材料的本構，結合一維波傳播理論得到材料的控制方程；然后利用Laplace 變換得到應力與位置坐標x、Laplace 變換參量s 的關系式，并通過數值Laplace 逆變換的方法，研究Abel 模型和分數階Maxwell 模型中各個參數對波衰減的影響；最后，基于Abel 模型和分數階Maxwell 模型，利用CO2脈沖激光加載技術和激光干涉測速裝置，從分數階模型參數的角度定量地分析相同加載條件下牡蠣殼試樣的動力學特性與試樣密度/珍珠層占比的關系。

1 牡蠣材料與CO2 脈沖激光加載技術

牡蠣殼材料具有與貝殼相似的磚泥結構特征和力學性質，由珍珠層和粉末層組成，其中的CaCO3含量在95%以上[30]。但是，牡蠣殼結構復雜，不同部位的珍珠層和粉末層含量和厚度差異大。粉末層具有多孔的細觀結構特性，從放大的粉末層結構剖面中可以看到排列不規則的片狀和絲狀的方解石成分；珍珠層結構相對比較光滑，具有平整的紋理，放大的珍珠層結構剖面可以看到排列整齊的方解石柱。其中，珍珠母內單個文石片的平均厚度約為0.45 μm，各文石片層邊沿之間間距平均約為2.35 μm，具有典型的磚泥結構特征[31]。本文中所選材料為東海出產的牡蠣殼（圖1(a)）。使用帶有空心鉆孔的電鉆在牡蠣上鉆下圓柱形試樣，然后分別采用電磨機、砂紙逐次進行打磨。制備得到圓片形牡蠣殼試樣，直徑為(13.0±0.5) mm，厚度為0.4～1.0 mm（圖1(a)）。圖1(b)為對應的牡蠣殼試樣縱剖面的掃描電鏡（scanning electron microscope，SEM）照片。

圖1 牡蠣殼材料、圓形實驗試樣、試樣縱剖面電鏡照片與局部放大Fig.1 Oyster shell material, circular sample, longitudinal section electron microscopy (SEM) and local magnification

由于制備的牡蠣殼試樣密度分布變異性很大，采用常規SHPB 裝置中直徑較大的入射桿進行實驗（即便采用4～6 mm 直徑的入射桿）不能很好地反映牡蠣殼試樣結構的局部動態力學性能。因此，本文中應用CO2脈沖激光加載技術，將其光斑聚集到直徑1 mm，對牡蠣殼試樣進行加載，結合激光干涉測速（laser interferometer velocimetry system，VISAR）裝置進行自由表面粒子速度波形的測量。

圖2 為CO2脈沖激光對貝殼試樣進行沖擊加載及速度信號采集的示意圖。實驗中，在試樣沖擊面放置光電傳感器作為實驗信號的觸發源，在試樣的另一面放置VISAR 系統中的光纖探頭（光纖探頭與試樣貼近但不接觸），VISAR 系統中的光纖探頭可以發射測速激光并收集試樣表面反射回的激光信號，反射光信號通過與VISAR 系統相連的示波器采集，利用反射光信號，就可以分析得到試樣表面的粒子速度。實驗時，由CO2脈沖激光器發射一束激光，經凸透鏡會聚后沖擊牡蠣殼試樣。當激光沖擊試樣時，試樣前表面的光電傳感器觸發信號，光纖探頭連接的VISAR 系統開始采集牡蠣殼試樣表面的信號。通過改變透鏡與試樣之間的距離，可以調整激光光斑的大小與能量密度，以此來調整沖擊加載的強弱。本文中所有實驗試樣與透鏡的距離均相同，并且激光沖擊試樣的區域也相同，以此來達到控制相同密度試樣相同加載的條件。

圖2 CO2 脈沖加載與激光干涉測速系統(VISAR)Fig.2 CO2 pulse loading and laser interferometer velocimetry system (VISAR)

由于牡蠣殼試樣的密度可以反映所含珍珠層的占比，取密度為0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3共4 種牡蠣殼試樣進行實驗，以此來探討不同珍珠層占比對牡蠣殼試樣黏彈性的影響。

由于牡蠣貝殼類材料內部的磚泥結構使其表現出微觀異構、宏觀連續的特征，傳統的整數階微分本構模型不能很好地描述它們的力學行為，而時間分數階導數可以更加準確地體現復雜材料的力學行為[16]。因此，下面將結合分數階導數的定義，推導得到應用分數階模型的動力學控制方程及其應力解，基于此，結合激光沖擊實驗來研究牡蠣材料的動力學特性。

2 時間分數階本構模型及動力學控制方程

2.1 時間分數階微積分與黏彈性模型

從分數階導數被提出以來，不斷有學者從不同的角度出發提出幾種分數階微積分定義。其中，Riemann-Liouville、Caputo、Grünwald-Letnikov 和Riesz 定義在基礎數學和工程應用中比較常用。Grünwald-Letnikov 定義主要用于數值計算中差分格式的計算；Riesz 定義是關于空間分數階的定義。Riemann-Liouville 定義和Caputo 定義均是基于多重積分思想的定義，Riemann-Liouville 型分數階導數在數學理論分析中較常用，但具有超奇異性；而Caputo 定義具有弱奇異性，更適合地球物理建模。因此本文將采用Caputo 定義的分數階微分定義來描述黏彈性材料的應力應變行為。

對于任意實數α＞0，Riemann-Liouville 分數階積分定義[16,32]：

在式(1)的基礎上，Riemann-Liouville 型分數階微分定義為：

Riemann-Liouville 型微分定義是先求積分再求微分，與此相反，Caputo 型微分定義是先求微分再求積分，其表達式[16]為：

將分數階時間導數應用于分析黏彈性材料的力學行為，目前主要是將傳統模型中的牛頓黏壺替換為Abel 黏壺。Abel 黏壺模型示意圖如圖3(a)所示，本構關系為：

圖3 幾種分數階本構模型Fig.3 Several fractional differential constitutive models

式中：σ(t)為模型整體受到的應力；ε(t)為模型整體的應變；η 為Abel 黏壺的黏性系數，其量綱隨著分數階階數α 的變化而變化，單位可寫為Pa·sα[28]。可以發現，當α=0，Abel 黏壺變為彈簧元件，代表彈性固體；當α=1.0 時，Abel 黏壺變為牛頓黏壺，代表牛頓流體。

分數階Maxwell 模型由1 個彈簧元件和1 個Abel 黏壺串聯而成。模型示意圖如圖3(b)所示，本構關系為：

式中：E 為模型中彈簧元件的彈性模量。

特別地，當初始條件滿足σ(t)|t=0=0、ε(t)|t=0=0 時，則Abel 黏壺和分數階Maxwell 模型的Laplace 變換分別為：

2.2 基于分數階本構模型的動力學控制方程求解

對于一個半無限長的復雜介質（內部含有孔洞、間隙、界面等細微觀結構），應用時間分數階本構模型（以Abel 黏壺為例），則一維應變下的控制方程組為：

式中：σ、ε、v 分別為單元體的應力、應變和速度，x 為Euler 坐標系下的坐標，t 為時間，ρ 為材料密度，α、η 為Abel 黏壺的分數階階數和黏性系數。

當初始條件滿足σ(t)|t=0=0、ε(t)|t=0=0 時，應用式(6a)，并對式(7)進行Laplace 變換，整理得到：

可以發現，式(8)滿足Euler 方程的形式，求解得到其解析解為：

式中：A(s)為經過Laplace 變換的積分常量。

同理，可以得到分數階Maxwell 模型下控制方程的應力解為：

式中：E 為模型中彈簧元件的彈性模量，B(s)為經過Laplace 變換的積分常量。

對于式(9)～(10)中的Lapalce 積分常量A(s)、B(s)，可以通過x=0 處的邊界條件得到。以式(9)為例，假定一個函數p(t)作為x=0 處的邊界條件，通過Laplace 變換將p(t)轉變為P(s)，最后代入式(9)得到：

將式(11)代回式(9)，得到：

同理，利用邊界條件，由式(10)也可以得到：

為簡化問題，以圖4 所示的單個半脈寬正弦函數作為x=0 處的邊界條件，其相應的Laplace 變換式為：

圖4 單個半脈寬正弦函數Fig.4 Single half pulse width sine function

式中：A0和w0分別為正弦函數的幅值和頻率，u(t)為單位階躍函數，圖中T=2π/w0為正弦函數的周期。

同樣，以Abel 黏壺模型為例。假定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，分數階導數階數α 為0.5，η 為1 MPa·s0.5。若輸入正弦信號的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到波傳播到各個位置處的波形，如圖5(a)所示。可以發現，隨著傳播距離的增大，波的幅值逐漸減小，體現出了分數階模型的黏彈性特性。從圖5(b)可以看出，正弦波傳播到x=20 mm 處的波形脈寬遠遠大于100 μs，相比加載的時間，波形卸載的時間要遠比入射波長，這同樣體現了分數階模型的黏彈性特性。

圖5 正弦波在Abel 黏壺模型介質的衰減Fig.5 Attenuation of a single half pulse width sine wave in Abel model media

2.3 分數階模型參數敏感性分析

對于Abel 黏壺而言，當α=0 時，σ=ηε=ηΔl/l，此時應力與介質的變形量Δl 有關，反映出模型的彈性特性；當α=1.0 時，σ=ηdε/dt=ηv/l，此時應力與介質的速度v 有關，反映出模型的黏性特性；當α=2.0 時，σ=ηd2ε/dt2=ηa/l，此時應力與介質的加速度a 有關，可以認為模型此時反映的是介質的慣性特性。若介質是完全彈性的（α=0），系數η 為彈性模量，此時波傳播不會產生衰減；若介質是黏性的（α=1.0），系數η 為黏性系數，此時波傳播會產生衰減。那么當介質是慣性（α=2.0）的時，其波傳播同彈性介質和黏性介質會有什么區別？

當α 分別為0、1.0 和2.0 時，式(12)變為：

以圖4 所示的正弦波為輸入信號，分別計算了階數α 為1.0 和2.0 時，波傳播在各個系數η 下的波形，如圖6(a)所示。當α=1.0、η=1 kPa·s 時，波產生了衰減，并且波的脈寬變得很長，表現出明顯的黏彈性特征。隨著系數η 的上升，波的脈寬逐漸接近輸入信號的脈寬（100 μs），并且波的衰減也很小，說明介質黏性（α=1.0）對波的衰減和波長均會產生影響。從圖6(b)可以看出，當α=2.0、η=1 kPa·s2或η=1 MPa·s2時，波也會產生衰減，但衰減的程度很小，波形和α=1.0、η=1 MPa·s 的形狀相似，說明這兩種情況對波衰減的作用相近。雖然當α=2.0、η=0.1 Pa·s2時，得到的波形的幅值與α=1.0、η=1 kPa·s 的相近，但脈寬或者說波長相差甚大，十分接近輸入信號的脈寬（100 μs）。這體現了慣性特性與黏性特性的不同之處，即介質的黏性會使波的幅值和波長均改變，而慣性特性僅僅改變波的幅值。

圖6 當α 分別為1.0 和2.0 時的波傳播特性Fig.6 The property of wave propagation when the order α is 1.0 and 2.0 , respectively

為了進一步探究階數α 和系數η 的取值對波傳播的影響，仍以圖4 所示的正弦波為輸入信號，分別以 Abel 模型和分數階Maxwell 模型作為材料本構，討論其中的參數對波傳播幅值衰減的影響。

假定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，α 從0 變化到1.4，設η 為1、2 和3 MPa·sα等3 種情況。若輸入信號的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到其傳播至x=10 mm 處的應力波幅值與α、η 之間的關系，如圖7(a)所示。

圖7 參數α、η 和E 對幅值衰減的影響Fig.7 Influence of parameters α, η and E on amplitude attenuation

從圖7(a)可以看出，在η 不變的情況下，應力波的幅值衰減程度隨著階數α 的增大呈現出非單調的變化，α 存在一個中間值，能使波的衰減達到最大。此外，當階數α 不變時，η 越大，波的幅值衰減程度越小。

與Abel 黏壺模型相比，分數階Maxwell 模型更加多樣化，與控制方程聯立得到的應力解形式也更加復雜。分數階Maxwell 模型含有3 個參數：彈簧彈性模量E、黏性系數η 和分數階階數α。同樣設定材料密度ρ 為1 000 kg/m3，α 從0 變到1.4；在E 值（10 GPa）不變時，取η 為1、2 和3 MPa·sα等3 種值；在η 值（1 kPa·sα）相對較小時，取E 為1、5、10 和100 GPa。若輸入正弦波信號的幅值和脈寬分別為100 MPa 和100 μs，可得到傳播至x=10 mm 處的應力波幅值與α 之間的關系如圖7(b)和圖7(c)所示。

從圖7(b)可以看出，對于分數階Maxwell 模型，階數α 和黏性系數η 對幅值衰減的影響同Abel 黏壺相同。從圖7(c)可以看出，在黏性系數η 相對較小時，E 對波衰減的影響很小。因此，可以認為，應力波的衰減主要由分數階Maxwell 模型中的Abel 黏壺控制。

3 沖擊下牡蠣材料的黏彈性特性

3.1 牡蠣材料在激光沖擊下的力學特性

圖8 所示為不同密度、不同厚度的牡蠣殼試樣在脈沖激光沖擊下的速度時間信號，從圖中可以看出，輸出信號的幅值隨著試樣厚度的增大而變小，這反映了牡蠣殼試樣的黏彈性特性。比較特別的是：通過對不同密度牡蠣殼試樣的輸出信號進行比較，發現試樣密度越大，其粒子速度的幅值衰減得也越大。這與一般認為的密度越大、材料黏彈性越小相反。其原因在于：CO2激光脈沖器發射的激光波長約為1.064 μm，產生的沖擊脈沖寬度為幾個微米，這與珍珠層中文石片邊沿的平均間距（2.35 μm）比較接近，即與磚泥結構間的縫隙尺寸相近，使得激光脈沖在珍珠層中發生較大的散射，產生更大的能量損耗。此外，由于牡蠣材料具有較復雜的層狀結構的特征，局部存在一定的交互層錯結構。當存在這種交互層錯結構時，由激光脈沖激發的短脈沖波就會在局部產生反射波和透射波，這些復雜波系的相互作用，會使速度信號產生局部的極值。

圖8 各個密度下不同厚度牡蠣試樣的速度信號及擬合曲線Fig.8 Velocity signals and fitting curves of oyster samples with different thicknesses and densities

3.2 牡蠣材料的分數階模型參數擬合方法

由于激光干涉測速系統只能測得牡蠣殼試樣背面的速度信號（即輸出信號）。對于沖擊信號（即輸入信號），無法得到其具體數值。因此下面將基于輸出信號，推導在CO2激光加載實驗中獲取牡蠣殼試樣分數階黏彈性參數的方法。

利用式(22) 等號右邊和擬合得到的相同密度、不同厚度牡蠣殼試樣的速度時間曲線，用數值Laplace 進行計算得到一組數據后，再用式(22)等式左邊（即ρtα+1/[ηΓ(α+2)]）對其進行擬合可得到對應密度牡蠣殼試樣的Abel 黏壺模型參數α 和η。

同理，可以得到分數階Maxwell 模型參數的擬合式為：

與獲取Abel 黏壺模型參數的過程相同，同樣可以得到分數階Maxwell 模型參數α、η 和E。此外，擬合得到的參數中，分數階階數0＜α＜2.0，其中的整數0、1.0 和2.0 分別對應了材料的彈性、黏性和慣性。黏性系數η 和彈性模量E 為大于0 的實數，彈性模量E 應與材料的楊氏模量量級相當。

值得注意的是，由于式(22)～(23)中含有1/(hk-hk?)2項，因此需要選擇相近密度下厚度不同的牡蠣殼試樣的速度信號進行分數階模型參數的擬合。并且為了統一實驗信號的擬合條件，設定信號范圍從0 開始，至峰值點結束，且同一密度的牡蠣殼試樣的實驗信號的時間范圍均取一致。圖8 所示的不同密度、不同厚度牡蠣殼試樣的輸出速度信號，其形狀類似正弦形，因此，類比式(12)～(13)的結果，在單個正弦函數的基礎上乘上時間衰減項ebt，即：

式中：Δt=Δx/c=(hkˊ-hk)/c 為波在厚度分別為hkˊ和hk的牡蠣殼試樣中傳播的時間差，c 為波速。根據李毅[15]對牡蠣殼試樣的研究，c 可取為(0.369 m4·s-1·kg-1) ρ + 1 744 m·s-1。

3.3 牡蠣材料的分數階模型參數及黏彈性分析

通過3.2 節的擬合方法，應用式(26)對0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3密度的牡蠣殼試樣分別進行Abel 黏壺模型和分數階Maxwell 模型的參數擬合，記式(26)中等號右側為aL，單位為s3/m2。

圖9(a)～(b)所示為不同密度牡蠣殼試樣對應曲線的擬合情況，曲線擬合的結果良好。表1 給出了各密度牡蠣殼試樣的Abel 黏壺模型和分數階Maxwell 模型的擬合參數值。對于0.5 和0.7 g/cm3等較低密度的牡蠣殼試樣，擬合得到的分數階階數小于1.0，此時材料的性質表現為黏彈性特性；對于1.2 和1.4 g/cm3等密度較高的牡蠣殼試樣，擬合得到的分數階階數大于1.0，此時材料的性質逐漸向慣性靠攏。

分數階階數、黏性系數隨密度變化的趨勢如圖9(c)所示，階數與密度的關系近似呈線性關系，而黏性系數與密度的關系近似呈指數衰減關系。牡蠣殼試樣的珍珠層占比與試樣的密度是成正比的，這說明擬合得到的階數α 可以側面反映牡蠣殼試樣的結構特性。

由于不同密度試樣對應的分數階階數和黏性系數均不同，無法對不同密度的牡蠣殼試樣的黏彈性進行定量的比較。因此固定分數階階數α，對不同密度的牡蠣殼試樣的黏彈性參數進行擬合。固定的分數階階數α 取為表1 中4 種密度試樣擬合得到的α 平均值。對于Abel 黏壺模型來說，固定的分數階階數為1.0；對于分數階Maxwell 模型來說，其值為0.94。當α=1.0 時，Abel 黏壺模型變為牛頓黏壺模型，此時模型沒有了彈性部分，因此對此種情形不進行擬合。當α=0.94 時，用分數階Maxwell 模型得到擬合的結果如圖9(d)中所示，對應的擬合參數如表2 所示。

表1 牡蠣殼試樣分數階模型的擬合參數Table1 Fitting parameters of the fractional model of the oyster sample

表2 固定分數階階數情況下，牡蠣殼試樣分數階Maxwell 模型的擬合參數Table2 Fitting parameters of fractional Maxwell model for oyster shell samples in the case of fixed fractional order

圖9 牡蠣試樣分數階模型的擬合曲線及參數與牡蠣試樣密度的關系Fig.9 The fitting curve of the fractional model of the oyster sample and relationship between parameters and oyster sample density

可以看出，在固定分數階階數的情況下，隨著牡蠣殼試樣的密度的增大，分數階模型的黏性系數在減小，試樣的黏性在增大。并且黏性系數與試樣密度的關系并不是線性關系，而是近似呈現指數衰減關系，在牡蠣殼試樣的密度達到1.2～1.6 g/cm3時，黏性系數的數值趨于平穩。這進一步說明，牡蠣殼試樣的密度越大，或者說牡蠣殼試樣中珍珠層的占比越高，試樣的黏性越大；但當密度達到一定數值后，或者說珍珠層占比達到一定值后，珍珠層占比的增加對波衰減的提升將不再顯著。這對復合材料的結構設計具有一定的指導意義。

4 結 論

本文中從波傳播理論出發，基于Caputo 分數階微分的定義，以Abel 黏壺模型和分數階Maxwell 模型作為材料本構，得到了相應的波傳播控制方程，通過Laplace 變換得到了控制方程的解析解。結合解析解，通過Laplace 數值逆變換分別分析了Abel 黏壺模型和分數階Maxwell 模型中分數階階數α、黏性系數η 及彈性模量E 對波衰減的貢獻；結合CO2脈沖激光實驗測試信號給出了擬合分數階本構模型參數的方法。在相同的加載條件下，分別得到了4 種密度（0.5、0.7、1.2 和1.4 g/cm3）的牡蠣殼試樣的分數階模型參數。得到的主要結論如下。

(1) Abel 模型和分數階Maxwell 模型中分數階階數α 和黏性系數η 對應力波的衰減均有貢獻，而彈性模量E 對波衰減的影響很小。波的衰減并不隨著階數α 的增大而單調變化，α 存在一個中間值，能使波的衰減達到最大。特別地，當α=2.0 時，波傳播表現出幅值衰減、形狀不變的特征。

(2)在相同的加載條件下，牡蠣殼試樣的密度越大，或者說牡蠣殼試樣中珍珠層的占比越高，試樣的黏性越大。這是由于CO2激光脈沖器發射的激光波長與牡蠣殼試樣珍珠層的磚泥結構間的縫隙尺寸相近，使得激光在沖擊牡蠣殼試樣中的珍珠層時發生較大的散射。

(3)在不固定階數α 的情況下，擬合得到的階數α 反映出牡蠣殼試樣隨著密度的增大由黏彈性機制向慣性轉變的趨勢。在固定階數α 的情況下，隨著牡蠣殼試樣密度的增大，分數階模型的黏性系數η 減小，但關系并不是線性的，而是近似為指數衰減。這說明當密度達到一定數值后，或者說珍珠層占比達到一定閾值后，珍珠層占比的增加對波衰減的提升將不再顯著。