考慮輸出剛度不確定性的柔順機構拓撲優化設計

占金青 李翼豐 朱本亮 劉 敏

(1.華東交通大學載運工具與裝備教育部重點實驗室， 南昌 330013；2.華南理工大學廣東省精密裝備與制造技術重點實驗室， 廣州 510641)

0 引言

柔順機構具有一體化加工、無噪聲、無需潤滑和高精度等優點[1-3]，廣泛用于微納操作、精密加工、仿生機器人和微機電系統(Micro-electro-mechanical system, MEMS)等領域[4-7]。柔順機構的設計方法主要有偽剛體模型法和拓撲優化方法。與偽剛體模型法相比，柔順機構拓撲優化設計無需從已知的剛性機構出發，在給定設計域、輸入及輸出作用等條件下獲得最優的柔順機構拓撲構型，并且使其某種性能達到最優[8-10]。然而，目前大多數柔順機構拓撲優化設計研究都是在確定性條件下進行的。

實際上，柔順機構在設計、制造及運行中存在大量的誤差和不確定性，忽略不確定性因素可能導致設計的機構構型不一定最優，且容易導致機構運動精度降低。KOGISO等[11]基于均勻化方法建立了考慮作用載荷方向不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化模型，獲得的機構輸出位移標準差更小，具有更好的穩健性。羅陽軍等[12]考慮載荷及材料屬性不確定性因素，提出一種考慮不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化設計方法。LAZAROV等[13]采用隨機配置方法量化材料和幾何不確定性，進行柔順機構穩健性拓撲優化設計研究。WANG等[14]引入田口質量損失函數的期望作為優化目標，建立了基于運動誤差的柔順機構穩健性拓撲優化模型，并通過實驗驗證了穩健性設計結果的有效性。ZHAN等[15]基于非概率有界場模型進行考慮材料不確性的無類鉸鏈柔順機構穩健性拓撲優化設計，分析了有界不確定場的相關長度對機構拓撲構型的影響。上述研究主要集中研究載荷、材料和幾何尺寸不確定性因素。

通常，柔順機構拓撲優化設計需要在輸出端施加虛擬輸出彈簧剛度用來模擬被操作對象的剛度，優化設計結果很大程度上取決于輸出剛度，被操作對象的剛度存在不確定性，這會對設計的柔順機構運行精度產生影響，因此需降低機構性能對輸出剛度不確定性的敏感程度。CARDOSO等[16]考慮輸出剛度不確定性進行柔順機構穩健性拓撲優化設計，但是采用蒙特卡羅模擬方法計算機構輸出位移的期望和標準差，需要利用大量樣本進行不確定性分析，導致優化計算效率低。

本文提出一種新的考慮輸出剛度不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化設計方法。采用區間模型描述輸出剛度的不確定性，不確定輸出剛度被視為均勻分布的隨機變量，通過高斯隨機變量的無記憶非線性變換獲得其均勻分布；采用多項式混沌展開式結合Smolyak稀疏網格積分法計算隨機響應統計矩；以機構輸出位移的期望值最大化和標準差最小化為目標函數，以機構結構體積為約束，建立考慮輸出剛度不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化模型；采用移動漸近線法更新設計變量。

1 輸出剛度不確定性描述

區間模型[17]只需要指定不確定變量的上界和下界，可以相對容易地確定和描述不確定性的邊界；本文采用區間模型描述輸出剛度的不確定性，將不確定輸出剛度kout視為均勻分布區間變量，其可表示為

kout∈kI=[kL,kU]

(1)

式中kI——區間集

kL——區間下界

kU——區間上界

區間均值與幅值分別記為

(2)

式中k0——輸出剛度均值

kc——輸出剛度幅值

輸出剛度不確定區間變量可等效轉換為均值與隨機項之和，即

kout=k0+kcδ

(3)

式中δ——均勻分布隨機變量，取[-1,1]

區間模型的均勻分布隨機變量δ可由高斯分布隨機變量通過無記憶非線性變換[18]得到

(4)

ξ——高斯分布隨機變量

Φξ——標準高斯變量的累積分布函數

2 柔順機構穩健性拓撲優化模型

為了降低柔順機構運動精度對輸出剛度不確定性的敏感程度，采用改進的固體各向同性材料懲罰模型[19-20]，以機構的輸出位移期望值最大化和輸出位移標準差最小化為目標函數，以機構體積為約束，建立考慮輸出剛度不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化模型

(5)

其中

式中ρ——單元密度向量列陣

ρe——第e個單元的密度

ve——充滿材料的單元體積

λ——加權系數

u0——機構輸出位移

μ——機構輸出位移期望值

σ——機構輸出位移標準差

F——輸入端作用的載荷列陣

U——載荷F作用產生的節點位移列陣

V——優化后體積

V0——初始設計域體積

f*——允許的材料體積比

N——有限單元數目

K——整體剛度矩陣

Ke——單元剛度矩陣

Kin——整體輸入剛度矩陣

Kout——整體輸出剛度矩陣

3 隨機響應求解

不確定性輸出剛度區間變量由標準高斯隨機變量ξ表示，機構的輸出響應U(ξ)可采用PCE[21-22]表示為

(6)

式中yi——多項式展開系數

ψi(ξ)——正交多項式基函數

正交多項式基函數滿足

(7)

式中δij——Kronecker delta函數

E[·]——期望運算符

根據Askey策略[23]，對于不同的隨機變量分布類型，采用相應的正交多項式基函數，其中對于高斯分布隨機變量ξi，采用對應的Hermite多項式Hαi(ξi)(αi對應隨機變量ξi的多項式階數)，對多個隨機參數，ψi可表示為

(8)

i=(α1,α2，…,αs)

式中s——隨機變量數量

i——索引元組

多項式混沌展開的總階數p計算式為

p=|i|=α1+α2+…+αs

(9)

數值計算中，一般將多項式(6)截斷為指定階數，即

(10)

根據給定的隨機變量數量s和多項式階數p，截斷后PCE系數的項數表示為

(11)

多項式混沌展開式(6)中系數yi的表達是不確定性系統響應求解的關鍵，其表示為

(12)

(13)

式中nq——總積分點數

ω(q)——積分點對應的權值

U(ξ(q))——特定積分點下的系統響應，可通過有限元分析求解獲得

基于Smolyak算法的稀疏網格積分法[25]依據隨機變量的不同分布情況采用不同積分規則的稀疏網格類型，能夠有效地減少計算成本并保證精度。本文采用Kronrod-Patterson(KP)規則獲得稀疏網格積分點。輸出位移期望值和標準差分別表示為

(14)

(15)

4 靈敏度分析

采用基于梯度的優化算法(Method of moving asymptotes，MMA)[26]求解柔順機構穩健性拓撲優化問題，需要求解優化目標函數和約束靈敏度信息。

機構輸出位移的期望值對單元密度ρe的靈敏度可表示為

(16)

機構輸出位移的標準差對單元密度ρe的靈敏度可求解為

(17)

其中

(18)

式(18)的每個特定積分點ξ(q)(q=1,2,…,nq)的確定性輸出位移相對于單元密度的靈敏度?u0(ρ,ξ(q))/?ρe，可由機構輸出位移u0對單元密度求導得到

(19)

(20)

5 數值算例

通過夾持器與咬合機構來驗證提出的設計方法的有效性。在兩個算例中，設計域尺寸L×L為 120 μm×120 μm，厚度t為3 μm，實體材料彈性模量E0為180 GPa，空洞材料彈性模量Emin為1.8×10-7GPa，泊松比μ為0.3，允許體積比f*為0.25，最小過濾半徑rmin為2.5倍單元尺寸；采用四階PCE和基于五級KP規則的Smolyak稀疏網格積分法計算隨機響應。

5.1 夾持器設計

夾持器機構設計域、邊界條件和載荷作用如圖1所示，設計域左邊的上側和下側固定，設計域右邊正方形空洞尺寸為30 μm×30 μm，載荷F作用在左邊中點，大小為10 mN，輸入剛度kin為1 000 μN/μm，輸出剛度均值k0為100 μN/μm。由于夾持器設計域是對稱的，取一半設計域進行設計，設計域離散為 7 200 個平面四邊形單元。

圖1 夾持器設計域Fig.1 Design domain of gripper

為了驗證提出的設計方法有效性，首先進行夾持器確定性拓撲優化設計，獲得的夾持器拓撲構型如圖2所示，其輸出位移的期望值和標準差分別為13.831 μm和0.770 μm?？紤]不確定輸出剛度幅值kc為25 μN/μm和加權系數λ為10條件下進行夾持器穩健性拓撲優化設計，獲得的夾持器拓撲構型如圖3所示，其輸出位移的期望值和標準差分別為10.597 μm和0.261 μm。與確定性優化結果相比，穩健性拓撲優化獲得的夾持器構型存在明顯的差異，右側區域的支撐桿件布局發生變化，并且其尺寸變大；夾持器的輸出位移期望值有所減小，但是輸出位移標準差減少66.2%；表明穩健性拓撲優化設計能夠有效地降低夾持器對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，驗證了提出的考慮輸出剛度不確定性的柔順機構穩健性拓撲優化設計方法的有效性。

圖2 夾持器確定性拓撲優化結果Fig.2 Gripper obtained by deterministic topology optimization

圖3 夾持器穩健性拓撲優化結果Fig.3 Gripper obtained by robust topology optimization

為了研究不同的加權系數對拓撲優化結果影響，考慮不確定輸出剛度幅值kc為25 μN/μm條件下，取加權系數λ分別為1、5、15進行夾持器穩健性設計，拓撲優化結果如圖4和表1所示。由此可見，隨著加權系數λ的增大，獲得的夾持器構型有所不同，右側區域的支撐桿件尺寸變大；夾持器的輸出位移的期望值隨之減小，輸出位移標準差也越小。表明加權系數λ越大，可以獲得更加穩健的夾持器，但夾持器的輸出位移期望值越小。

圖4 不同加權系數λ的穩健性拓撲優化獲得的夾持器構型Fig.4 Grippers obtained by results for robust topology optimization with different weighting factor λ

表1 不同加權系數λ的夾持器穩健性優化結果Tab.1 Results for robust topology optimization of gripper with different weighting factor λ

考慮加權系數λ為5條件下，采用不確定輸出剛度幅值kc分別為20、30、35 μN/μm的條件下進行夾持器穩健性拓撲設計，拓撲優化結果如圖5和表2所示。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的夾持器拓撲構型差異不大；輸出位移期望值隨之減小，輸出位移標準差有所增大。穩健性拓撲優化設計獲得的夾持器輸出位移期望值與標準差均比確定性拓撲優化更小。上述結果表明提出柔順機構穩健性設計方法能夠有效地降低夾持器對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，但夾持器輸出位移期望值有所減小。

圖5 不同輸出剛度幅值kc的穩健性拓撲優化獲得的夾持器構型Fig.5 Grippers obtained by results for robust topology optimization with different amplitude kc

表2 不同輸出剛度幅值kc的夾持器確定性與穩健性拓撲優化結果Tab.2 Results for deterministic and robust topology optimization of gripper with different amplitude kc

5.2 咬合機構設計

咬合機構設計域、邊界條件和載荷作用如圖6所示，設計域左邊的上、下兩端固定，載荷F作用在右邊的上、下兩端，大小為20 mN，輸入剛度kin為1 000 μN/μm，輸出剛度均值k0為1 000 N/m。由于設計域是對稱的，同樣采用一半設計域進行設計，設計域離散為7 200個平面四邊形單元。

圖6 咬合機構設計域Fig.6 Design domain of crunching mechanism

同樣地，分別進行咬合機構確定性和穩健性(kc=250 μN/μm，λ=10)拓撲優化設計，獲得的咬合機構拓撲構型分別如圖7、8所示，輸出位移期望值分別為9.318、7.509 μm，輸出位移標準差分別為0.714、0.276 μm。與確定性拓撲優化結果相比，穩健性拓撲優化獲得的咬合機構構型存在明顯差異、更加復雜，存在更多支撐桿件，這樣可以更好地承受輸出剛度擾動的影響，具有更好的穩健性。穩健性拓撲優化獲得的咬合機構輸出位移期望值和標準差均比確定性結果小，同樣表明穩健性拓撲優化設計能夠有效地降低咬合機構對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，驗證了提出的考慮輸出剛度不確定性的柔順機構拓撲優化設計方法的有效性。

圖7 咬合機構確定性拓撲優化結果Fig.7 Crunching mechanism obtained by deterministic topology optimization

圖8 咬合機構穩健性拓撲優化結果Fig.8 Crunching mechanism obtained by robust topology optimization

考慮不確定輸出剛度幅值kc=250 μN/μm條件下，取加權系數λ分別為1、5、15進行咬合機構穩健性拓撲優化設計，優化結果如圖9和表3所示。由圖9可見，隨著加權系數λ增大，穩健性拓撲優化獲得的咬合機構拓撲構型更加復雜，出現更多支撐桿件，承受輸出剛度擾動的影響能力更強，具有更好的穩健性。由表3可知，隨著加權系數λ增大，獲得的咬合機構的輸出位移期望值與標準差均隨之減小。這也說明隨著加權系數λ越大，可以獲得更加穩健的咬合機構，但是輸出位移期望值越小。

圖9 不同加權系數λ的穩健性拓撲優化獲得的咬合機構Fig.9 Crunching mechanisms obtained by robust topology optimization with different weighting factor λ

表3 不同加權系數λ的咬合機構穩健性優化結果Tab.3 Results for robust topology optimization of crunching mechanism with different weighting factor λ

當加權系數λ為5時，考慮不確定輸出剛度幅值kc分別為200、300、350 μN/μm進行咬合機構拓撲優化設計，拓撲優化結果如圖10和表4所示。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的咬合機構拓撲構型差異不大；咬合機構輸出位移的期望值隨之減小，輸出位移的標準差有所增大。穩健性拓撲優化設計獲得的咬合機構輸出位移期望值與標準差均比確定性拓撲優化更小。表明提出柔順機構穩健性設計方法能夠有效地降低咬合機構對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，但是咬合機構的輸出位移期望值有所減小。

圖10 不同輸出剛度幅值kc的穩健性拓撲優化獲得的咬合機構構型Fig.10 Crunching mechanisms obtained by robust topology optimization with different amplitude kc

表4 不同輸出剛度幅值kc的咬合機構確定性與穩健性優化結果Tab.4 Results for deterministic and robust topology optimization of crunching mechanism with different amplitude kc

6 結論

(1)為了降低機構性能對輸出剛度不確定因素的敏感程度，采用區間模型描述輸出剛度的不確定性，利用多項式混沌展開式和Smolyak稀疏網格積分法計算隨機響應統計矩，以機構輸出位移期望值的最大化和加權標準差的最小化為目標函數，提出一種考慮輸出剛度不確定的柔順機構穩健性拓撲優化方法。

(2)與確定性拓撲優化結果相比，穩健性拓撲優化獲得的柔順機構拓撲構型存在明顯差異，機構的輸出位移標準差減小，能夠有效地降低機構對輸出剛度不確定性因素的敏感程度，機構具有更好的穩健性，但是輸出位移的期望值也有所減小。

(3)隨著加權系數增大，穩健性拓撲優化獲得的柔順機構拓撲構型有所不同，機構輸出位移的期望值與標準差隨之減小，機構具有更好的穩健性。隨著不確定輸出剛度幅值增大，獲得的柔順機構拓撲構型差異不大，機構的輸出位移標準差隨之增大，并且輸出位移期望值有所減小。