試卷評析比賽特等獎獲獎?wù)撐闹和诰蚋拍畋举|(zhì) 構(gòu)建數(shù)學(xué)體系 提升思維能力
——2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷的啟示

紀(jì)秀艷 張資陽

?江蘇省沭陽高級中學(xué)

2022年高考已落下帷幕，繼2020年四省市(山東、海南、北京、天津)實行新高考之后，2021年有七個省份(江蘇、河北、湖北、湖南、福建、廣東、山東)使用新高考Ⅰ卷，2022年亦是如此，趨于穩(wěn)定，人數(shù)之多，引起社會的廣泛關(guān)注，尤其是今年數(shù)學(xué)試卷師生普遍反映試題偏難，2023屆的師生應(yīng)該如何應(yīng)對新高考呢？接下來，我們將針對近兩年的新高考Ⅰ卷進(jìn)行對比分析，淺談一些心得體會.

1 凸顯主干,聚焦核心模塊

從表1可以看出，與2021年相比，解析幾何的試題分值維持27分不變，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何的試題分值均增加5分，試卷不僅凸顯主干知識的考查力度，而且更聚焦函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何等較難模塊.常規(guī)題型穩(wěn)中有變，數(shù)列17題、三角18題的考法較為靈活.整份試卷突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，強化必備知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對學(xué)生綜合思維能力的要求較高，因此難度較大，學(xué)生得分較低，當(dāng)然與我們平時的教學(xué)也有關(guān)系.

2 立足雙基，回歸概念本質(zhì)

2022年整份試卷基礎(chǔ)試題占了較大的比重，其分值大約占了總分值的一半，如，試卷中單選題的第1～5題，多選擇題第9～10題，填空題的13～14，解答題的第17～19題，20題與21題的第(1)問.立足雙基，重點考查基本概念，比如第2題的共軛復(fù)數(shù)、第5題的互質(zhì)概念，第9題的直線與直線所成角、直線與平面所成角，第10題的極值點、零點，第19題的點到平面的距離、二面角等.學(xué)生如果對基本概念的本質(zhì)理解不透徹，基本方法掌握不牢，處理問題不夠靈活，反而在這些基礎(chǔ)、中檔題上耗時會較多.

(1)求{an}的通項公式；

啟示1高一、高二時必須要放慢教學(xué)進(jìn)度，要舍得在知識、概念的生成、發(fā)展上花時間，而不是靠告知式輔以題海戰(zhàn)術(shù)；要在概念教學(xué)中逐步生成通性通法，再通過解題教學(xué)不斷回歸概念深化對其本質(zhì)的理解.因此，日常教學(xué)中不僅要講通性通法、各類典型題的常見思路，而且要引導(dǎo)學(xué)生對各種思路、各種解法進(jìn)行進(jìn)一步的整理與甄別.當(dāng)然，這是一個循序漸進(jìn)的過程，貴在不斷積累與反思，進(jìn)而豐富、深化認(rèn)識與理解，真正把握概念、方法本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例2(2022年第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

對于第(1)問中超越函數(shù)最值的求法，就是要判斷導(dǎo)函數(shù)的“正負(fù)”，依據(jù)就是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求導(dǎo)后含參，為什么要分類討論，分類討論分界點的確定還是要回歸到概念本質(zhì).為了導(dǎo)函數(shù)定“正負(fù)”號，我們通常采用的策略是討論范圍再細(xì)分，放縮，因式分解和多次求導(dǎo)等處理方式.通過通性通法的講解豐富、深化、回歸概念本質(zhì)，形成網(wǎng)絡(luò)體系，此類題型便能解決.

3 知識交匯，體現(xiàn)思維品質(zhì)

本試卷第18題解三角形，結(jié)合三角函數(shù)、基本不等式，考查函數(shù)與方程思想，對思維的靈活性要求較高.

例3的第(1)小題解法很多，總的來說就是動兩次，化同角或同型，構(gòu)造方程和函數(shù).當(dāng)然，選擇方法不同，花費的時間和正確率也不一樣，區(qū)分度較高.

啟示2日常教學(xué)時要深挖教材，真正把握整個大單元設(shè)計的核心所在，掌握通性通法， 積累基本解題經(jīng)驗，不斷滲透基本數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)知識、方法體系.只有這樣，才能讓學(xué)生在遇到新問題時學(xué)會思考，以不變應(yīng)萬變，嘗試解決，不斷提高思維品質(zhì).

平時教學(xué)中若注重通過一題多解、多題歸一，總結(jié)思想方法，相信對于例2(2022年第22題)第(1)問中超越式方程1+lna=a-alna，常見的構(gòu)造函數(shù)和放縮兩種途徑都是可以想到的，而如何構(gòu)造函數(shù)和放縮是關(guān)鍵.首先，注意積累各種類型題的常見思路方法；其次，要善于利用積累的基本解題經(jīng)驗嘗試解決類似的新題，甄別每一種思路的利弊；最后，再從問題解決中不斷反思、總結(jié)、完善，構(gòu)建自己的思路、方法體系.在遇到類型題時才能快速、精準(zhǔn)地從中選擇高效的思路解法.

4 聯(lián)系實際，彰顯數(shù)學(xué)應(yīng)用

第20題是一道形式新穎的概率應(yīng)用題，重點考查條件概率，運算量不大，但因為是證明題，平時涉及少，又處在第20題的位置，得分也不理想.2021年高考考查了獨立性的概念，2022年復(fù)習(xí)備考有關(guān)獨立性的試題特別多，看似沒有聯(lián)系，實際上，對獨立性的理解離不開條件概率，課本上就是用條件概率來定義獨立性的，好多教師受高考卷參考答案的影響僅僅就是利用P(AB)=P(A)P(B)進(jìn)行講解，沒有再從條件概率的角度更全面地認(rèn)識獨立性，這對于學(xué)生備考顯然是不利的.

啟示3其實2022年考查的概率應(yīng)用題,題意理解上并不難，難在核心概念的理解.因此平時講解數(shù)學(xué)概念時要深入剖析，多方面理解，不僅僅是課本上正文給出的定義，還包括涉及到的例題、習(xí)題都要認(rèn)真比較、反思，總結(jié)出各種方法及其優(yōu)缺點，這樣才能一步步逼近概念本質(zhì)的理解與掌握.這兩年考查的獨立性、條件概率.及其考查方式以往很少涉及，這就要求我們復(fù)習(xí)備考時，對于課本上涉及到的概率應(yīng)用題包括閱讀材料都不能放過.

5 遷移整合，突出關(guān)鍵能力

本試卷突出能力為重的命題原則，更好地注重試題的基礎(chǔ)性、靈活性、綜合性與創(chuàng)新性，對學(xué)生的綜合素養(yǎng)和關(guān)鍵思維能力提出了較高的要求，如試卷的第7題，第8題，第12題，第16題，第22題.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

(模考題)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為y=f′(x)，則下列結(jié)論中正確的是( ).

A.若f′(a)=0,a∈R,則y=f(x)在x=a處取得極值

B.若y=f′(x)是偶函數(shù)，則y=f(x)是奇函數(shù)

C.若y=f(x)是周期為a(a>0)的周期函數(shù)，則y=f′(x)也是周期為a(a>0)的周期函數(shù)

D.若y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，則y=f′(x)的圖象關(guān)于點(a,0)中心對稱

(2021新高考Ⅱ卷第8題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x+2)為偶函數(shù)，f(2x+1)為奇函數(shù)，則( ).

C.f(2)=0 D.f(4)=0

2022年第12題堪稱是上述高考題與模考題的遷移整合創(chuàng)新題，對涉及到的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性等基本概念掌握的學(xué)生很多，但是短時間內(nèi)能將其遷移整合并靈活運用的少之又少.第22題第(1)問放縮法中涉及到的兩個常用不等式大多數(shù)學(xué)生都知道，但遇到新問題時就不能靈活運用.事實上，難題就是難在識別，難在遷移，難在綜合，對學(xué)生邏輯思維能力要求很高，區(qū)分度大，是學(xué)生思維品質(zhì)的集中體現(xiàn)，這不是靠大量重復(fù)訓(xùn)練就能實現(xiàn)的，關(guān)鍵是要培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣.

啟示4在知識的交匯處設(shè)計問題，突出關(guān)鍵能力的綜合考查，難度大，區(qū)分度高.只有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生才有可能做出第(2)問，還要留有充足的時間思考.因此，我們平時的課堂教學(xué)不僅要兼顧基礎(chǔ)，還要研究考題，設(shè)計有挑戰(zhàn)性的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，課后也要給與足夠的時間讓學(xué)生自己反思、體會、感悟.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

對于第22題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過聯(lián)想類比、推廣、遷移、綜合等方式設(shè)計出更多的改編題，并且從思想方法層面上領(lǐng)悟其相通之處.學(xué)生再次遇到類型題，就可以根據(jù)經(jīng)驗試著解決；解決不了的，再采取同樣的方式，積累、反思其“變中不變”.通過寫數(shù)學(xué)周記的方式，不斷積累，進(jìn)而指導(dǎo)他們寫數(shù)學(xué)專題小論文，逐漸內(nèi)化形成自己的思維模式，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)體系，既能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，又能提高他們的核心素養(yǎng).

總的來說，這套試卷很好地體現(xiàn)了高考立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的基本任務(wù)，給師生耳目一新的感覺，讓我們重新審視自身的教學(xué).在新課改的背景下，如何更好地貫徹落實學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任務(wù)，教師需要努力鉆研教材，認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，在日常教學(xué)中對于基本概念、基礎(chǔ)知識和基本思想方法，結(jié)合課本例題、習(xí)題及其變式，多方面、多角度合理設(shè)計問題，深刻挖掘其內(nèi)涵與外延，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，構(gòu)建知識、方法體系，提升邏輯思維能力.