辨別、巧設同構式，復雜真題迎刃解*

郭藝杰

?福建省漳州第一外國學校

近幾年來，函數同構問題經常在高考試題中出現，利用同構式解決函數問題往往能起到事半功倍的效果，但也需要學生具備較強的直觀想象、邏輯推理等數學素養.如何分辨一個問題是否為同構問題，以及如何構造同構式是這類問題的難點.本文中以歷年高考中的同構問題為例，探索解決此類問題的應對策略，供讀者參考.

1 基礎知識

(1)同構式指的是函數解析式相同，只有變量不同的式子.

(2)同構中經常用到的函數及其極值點：

y=lnx-x，極大值點為1；

y=ex-x，極小值點為0；

(3)同構問題常用到的恒等變換：

(4)同構中常用放縮法：

指數放縮：ex≥x+1(x=0時等號成立)；ex≥ex(x=1時等號成立).

2 真題鑒賞

例1(2020全國1卷理科·12)若2a+log2a=4b+2log4b則( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

解析：考慮到等式左邊2a+log2a不容易化簡，因此對等式右邊4b+2log4b=22b+log2b進行轉化，發現左右兩邊形式上相近，但又不完全相同，因此右式作拼湊右式=22b+log2b+1-1=22b+log2(2b)-1=左式，發現22b+log2(2b)>2a+log2a，考慮到不等式左右兩邊同構.令f(x)=2x+log2x有其在定義域上單調增，且由同構有f(2b)>f(a)，所以2b>a.故選擇：B.

點評：當一個等式里面含有兩個未知量，且形式上相近，可以考慮利用恒等變換轉化成同構式，并利用函數的增減性進行判斷、證明.

同類型推廣：若a+lna=2b+lnb，求a的范圍.

分析：2b+ln 2b>2b+lnb=a+lna>b+lnb，所以有2b>a>b.

例2(2020新高考Ⅰ卷·21)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：恒等變換f(x)=aex-1-lnx+lna=ex-1+ln a-lnx+lna≥1，考慮把ex-1+ln a的指數當成整體變量，所以拼湊出ex-1+ln a+(x-1+lna)≥x+lnx=eln x+lnx，可以看出左右同構.令g(x)=ex+x，知其單調遞增且有g(x-1+lna)≥g(lnx)，可以得到x-1+lna≥lnx，所以lna≥-(x-1-lnx)，又因為右式的最大值為0，所以得到a≥1.

點評：構造同構式的時候經常利用指數與對數的恒等變換，把“誰”看成整體變量關乎同構式能否構造成功.

點評：在構造同構式的時候，通常要先把某個變量或是參數分離到等式或不等式的一邊，而且同一個題目可能有多個同構方式，選擇合適的同構式，可以使解題更加便捷.

例3(2022新高考Ⅰ卷·22)已知函數f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：存在y=b，其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，并且從左往右三個交點的橫坐標成等差數列.

解析：(Ⅰ)易求得a=1.

(Ⅱ)同構式法.

由(Ⅰ)可知f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx，所以由f′(x)=ex-1，知在(-∞,0)上f(x)單調遞減，在(0,+∞)時f(x)單調遞增.又有x→-∞時，f(x)→+∞；所以f(x)min=f(0)=1.

所以存在y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，設交點橫坐標為x1<0

f(x1)=ex1-x1=f(x2)=ex2-x2=b，

b=g(x2)=x2-lnx2=g(x3)=x3-lnx3.

由恒等變換可得x2-lnx2=eln x2-lnx2,x3-lnx3=eln x3-lnx3.

所以g(x2)=f(lnx2),g(x3)=f(lnx3).所以有f(x1)=f(x2)=f(lnx2)=f(lnx3).

又因為x1<0

f(x1)=x2-x1,f(x2)=x3-x2.

所以x2-x1=x3-x2.

點評：第(Ⅱ)問的證明，利用同構式來解決，大大簡化了標準答案的分析討論過程，簡單明了、事半功倍，也更容易讓學生接受.

3 解題方法歸納

在利用同構式解決函數問題時，首先應該考慮哪些情況下可同構.常見的有f(a)=f(b)，f(a)>f(b)，f(a)

4 結語

同構問題作為這幾年高考的常考題型，經常用于考查不等式的證明或求解，經常以關于ex與lnx的函數問題為背景.在構造同構式的時候，由于技巧性較強，需要學生具備較強的推理能力和分析能力.而利用同構式解決小題時，常常又能起到意想不到的效果；而且對于大題的證明和求解，同構法可以使過程更加簡潔，更便于學生理解.因此在平常的教學中對于此類問題，多加練習、研究、鞏固形成模式還是相當必要的.