改進煙花算法計算熱態軸類鍛件內圓柱體空洞缺陷深度

沈久利 張玉存

燕山大學電氣工程學院，秦皇島，066004

0 引言

大型軸類鍛件被廣泛應用在石油、能源、電力、航空航天、船舶等領域。生產大型軸類鍛件過程中，若在鍛件處于鍛造完成后的冷卻降溫時段檢測出內部含有缺陷，則需要重新回爐加熱和再鍛造，會造成資源的極大浪費。若在生產中不能及時發現鍛件存在問題的相關性能指標，其使用壽命會受到影響[1]。與表面缺陷相比，鍛件內部缺陷的破壞更為嚴重[2]，因此，及時、準確地檢測出內部缺陷，對大型鍛件的制造與生產具有非同尋常的意義。目前，鍛件內部缺陷的檢測方法主要有射線檢測、超聲檢測、紅外檢測等[3-6]。紅外無損檢測技術具有抗干擾性強、非接觸、一次觀測面積較大等特點，適用于外場在線在役檢測以及監測一類疲勞腐蝕損傷的發展性缺陷[7-8]。VALENCIA等[9]利用紅外檢測對氣缸蓋等平面進行缺陷分析，證明紅外檢測技術對氣缸蓋缺陷檢測的可靠性更高。KALHOR等[10]利用紅外熱成像檢測涵洞周圍土壤中的空洞和鍍鋅涵洞管道附近的空洞，通過分析熱圖提取出空腔大小和位置信息。MARANI等[11]將階躍加熱紅外熱像技術和深層神經網絡算法相結合，提出了復合材料層合板缺陷深度的自動檢測方法。劉濤等[12]利用脈沖紅外熱成像檢測法實現了鋁蜂窩板缺陷的檢測。習小文等[13]、王博正等[14]、杜金堯等[15]通過超聲紅外熱成像技術檢測產生裂紋的航空發動機葉片試件，能準確檢測出試件的裂紋缺陷。雖然以上研究利用紅外技術檢測出了內部缺陷，但未能檢測出缺陷的位置、尺寸等信息。

對于熱態軸類鍛件空洞缺陷深度的計算，由于瞬態溫度場模型與缺陷深度相關函數較多且求解復雜，利用數值解方法求解時，影響缺陷深度計算精度的重要因素是最優算法，故本文引入煙花算法對缺陷深度進行定量檢測，構建熱態軸類鍛件內部圓柱體空洞尺寸檢測模型，利用分離變量法求解圓柱體空洞缺陷溫度場及尺寸之間的微分方程。在此基礎上對傳統煙花算法的爆炸算子、變異算子和選擇策略分別進行改進，利用改進的煙花算法計算空洞缺陷深度，將缺陷深度求解問題轉換為計算空洞缺陷深度的目標函數求最優解問題，提高空洞深度檢測精度與速度。通過對標準函數和構造的目標函數進行仿真實驗和空洞缺陷深度測量實驗，驗證所提方法的可行性。

1 圓柱體空洞缺陷半徑模型及求解

1.1 圓柱體空洞缺陷半徑模型

如果將大型軸類鍛件看作宏觀尺寸，那么空洞的尺寸就需要看作無限小，空洞所在的局部空間就應該看作一個微元。

由直角坐標系轉化為柱坐標系公式可知[16]：

(1)

將式(1)對x、y分別求偏微分?R/?x、?φ/?x、?R/?y、?φ/?y，由復合函數求導規則可得?T/?x和?T/?y；再分別對T、x、y求導，計算得到柱坐標系下的導熱微分方程：

(2)

式中，R為軸類鍛件的半徑，m；φ為極角，rad；擴散系數α=μ/(ρc)，m2/s；μ為微元體材料的熱導率,W/(m·K)；ρ為被測物體密度，kg/m3；c為被測物體質量熱容，J/(kg·K)；K為圓柱形空洞體單位時間單位體積內生成的熱量，J。

當軸類鍛件內無內熱源時K=0，其非穩態的熱傳導微分方程可描述為

(3)

式(3)即為圓柱坐標系下的軸類鍛件在非穩態時的溫度場傳熱微分方程。

熱態鍛件含圓柱形空洞的軸類鍛件示意圖見圖1。設圓柱形空洞的半徑為R1，高度為z，空洞的溫度為T1。

圖1 含圓柱形空洞的軸類鍛件示意圖Fig.1 Diagram of shaft forgings with the solidcylinder pore

根據式(3)可分別得到空洞處的溫度場微分方程和軸類鍛件處溫度場微分方程：

(4)

(5)

其中，α1為柱形空洞的熱擴散系數，m2/s；α2為軸類鍛件不含空洞處熱擴散系數，m2/s；τ為冷卻時間，s。鍛件的半徑為R2，高度為d2，鍛件的溫度為T2。

1.2 基于分離變量法的圓柱體空洞缺陷半徑求解

軸類鍛件溫度梯度以徑向為主且鍛件未達到穩態，鍛件處溫度場方程式(4)可簡化為

(6)

偏微分方程式(5)包含兩個自變量且微分方程及邊界條件為齊次方程，符合分離變量法的條件，采用分離變量法對其求解。將式(5)分解成關于Tq(R)的穩態問題和關于TV(R,τ)的齊次問題。穩態方程為

(7)

其中，h1為圓柱形空洞和軸類鍛件間的復合傳熱系數，W/(m2·K)；h2為周圍空氣和存在空洞缺陷的軸類鍛件外壁之間復合換熱系數，W/(m2·K)；Τa為周圍大氣溫度，℃。

齊次方程為

(8)

求解式(5)、式(7)組成的穩態方程可得

Tq(R)=c1+c2ln(R)

(9)

其中，c1、c2是根據穩態方程定解條件計算得到的常數項。對分離后的齊次方程式(7)求解可得

(10)

由線性疊加原理和初始條件，結合式(7)的正交性得到齊次方程的解：

(11)

其中，Ψ(R)為空間函數。

將問題方程的解和齊次方程的解進行疊加，可得圓柱形空洞處溫度場方程的解：

(12)

同理，熱態軸類鍛件處溫度場方程的解是

(13)

式(12)和式(13)為鍛件及圓柱形空洞缺陷處的溫度場與空洞半徑、時間、擴散、傳熱系數及熱導率之間模型的解。至此，采用分離變量法求出了圓柱體空洞處的溫度場與空洞半徑、時間、擴散系數、傳熱系數、熱導率之間方程的解。

2 改進煙花算法的圓柱形空洞深度檢測

2010年，譚營[17]提出了一種群體智能算法——煙花算法(fireworks algorithm，FWA)。煙花的爆炸半徑決定爆炸火花的位置，影響種群的多樣性；變異算子利用模運算映射，該算法復雜、計算量較大、效率低；運用模運算的映射規則來處理火花粒子的超界問題，算法的收斂速度會變快，但種群的多樣性會降低，且最優值不在零點時尋優效果并沒有優勢。由于忽略了基于距離的選擇策略，煙花種群的多樣性不能得到保證，易陷入局部最優解，不利于圓柱體空洞深度的檢測。

2.1 構造熱態鍛件圓柱形缺陷深度目標函數

當軸類鍛件空洞缺陷中心處對應的軸類鍛件外表面溫度與空洞缺陷中心處溫度的差值最大時，可得到空洞缺陷的深度。圓柱體空洞缺陷如圖2所示，其中，D為空洞缺陷深度，R1為空洞半徑，R2為鍛件半徑。

圖2 空洞缺陷深度示意圖Fig.2 Diagram of pore defect depth

利用FWA算法得到缺陷深度的最優值即可計算空洞缺陷深度。根據式(12)和式(13)，定義FWA的目標函數為

P(D)=|Tt(D+R1)-T(t)|

(14)

其中，Tt(D+R1)為t時刻空洞缺陷中心處的溫度；T(t)為軸類鍛件在t時刻空洞缺陷中心處對應的軸類鍛件外表面的實際溫度值，即紅外測溫系統測得溫度值。

圓柱形空洞缺陷深度的目標函數可表示為

(15)

求式(15)最大值，適應度高的種群個體對應目標函數值越大可行性越高。適應度函數為

Fitnessi=1/Eii=1,2,…,K

(16)

其中，Fitnessi是第Ei個個體的適應度；Ei是第dm=maxx∈ΩFitness(x)個個體對應的目標函數值；K為群體的規模。

目標函數在可行解空間的最優解為

dm=maxx∈ΩFitness(x)

(17)

其中，Ω是x的可行解空間。

由于空洞的體積非常小，要精準確定空洞的深度，需要提高FWA的精度。同時，熱態軸類鍛件處于非穩態，溫度隨著時間實時變化，所以要求尋優算法快。而現有FWA耗時嚴重，會嚴重降低檢測的精準度，因此基于算法的不足以及在計算空洞缺陷深度時的實際需求對FWA進行改進。

2.2 改進的FWA

針對傳統FWA存在的缺點，分別就爆炸算子、變異算子、選擇策略三方面提出改進方法。

(1)爆炸算子改進。針對傳統的算法容易使尋優結果陷入局部最優值的問題，引入混沌搜索的Cubic映射算法，它具有隨機性、規律性及遍歷性，可避免搜索過程陷入局部最優值。

Cubic映射算法產生爆炸半徑為

Cn=r(Cn-1)3-(1-r)Cn-1

(18)

式中，r為爆炸半徑；Cn為混沌域，Cn∈(-1,1)，n=0,1,…。

則Cubic混沌方法產生爆炸半徑為

(19)

式中，R(i)t為當代第i個煙花的爆炸半徑；R(i)t-1為上一代與之對應的煙花個體爆炸半徑；R(i)t-1為邊界值為[-1,1]的混沌域。初始煙花半徑可以在混沌域內任意選擇。

為了改善算法中個體的爆炸數目與半徑，借助轉移函數：

Ta′(n)=1/(1+exp((n-1)/a′))

(20)

其中，a′是一個改變轉移函數形狀的參數，n是煙花序號。煙花的爆炸半徑和爆炸的火花數量會根據適應度進行調整，可提高算法收斂速度。

則改進后煙花爆炸數量為

(21)

式中，m為煙花爆炸的數目之和；Sn為第n個煙花爆炸產生的火花數；N為煙花的數目；Ta′(n)中的參數a′隨著算法迭代從20逐步減少到1。

對煙花爆炸幅度改進后，得

(22)

其中，A是煙花爆炸最大的幅度，An是第n個煙花爆炸的幅度。為了降低煙花個體很接近最優解(即煙花的爆炸半徑幾乎為0)時新解產生的難度，避免陷入局部收斂，加入了最小爆炸半徑的檢測機制，即

(23)

其中，Aik是在維度k上煙花i的爆炸半徑，Amin,k是在第k維上的爆炸半徑最低的檢測閾值。采取線性遞減爆炸半徑檢測策略或非線性遞減爆炸半徑檢測策略，則Amin,k可分別表示為

Amin,k(k)=Ainit-(Ainit-Afinal)/emax

(24)

(25)

式中，Ainit為爆炸半徑的初始值；Afinal為爆炸半徑的終止值；emax為最大評估數；k為當前迭代的評估次數。

(2)變異算子改進。針對映射規則沒有考慮爆炸生成火花邊界范圍的問題，對變異算子進行改進。隨機映射能夠有效減少計算量，避免超出邊界的火花總是被映射到遠點附近，對位移函數的優化能力有所提高，且在處理高維問題時能夠提高計算效率和確保數據獨立性，有利于實現溫度不斷變化的熱態軸類鍛件內部空洞深度的精準檢測。隨機映射為

(26)

(3)選擇策略的改進。針對傳統精英策略的問題引入精英候選集策略，該策略一是選擇爆炸火花的定向機制，二是選擇變異火花的“優勝劣汰”機制。

①定向機制。首先篩選每個煙花爆炸產生的火花，適應度相對較差的火花有較低機率被選進候選集，而適應度相對較好的火花則有較高的機率被選進候選集。通過下式確定火花被加入候選集的概率：

(27)

式中，fmin、fmax分別為當前煙花爆炸產生火花適應度的最小值和最大值。

精英候選集策略的下一代火花只會在當代煙花爆炸半徑范圍內適應度值比較優的位置產生，既剔除了無益于算法局部尋優的劣質火花，提升候選集中煙花的質量，又減少了候選集中相同煙花爆炸產生的火花數量，提高了下一代種群的多樣性。

②“優勝劣汰”機制。精英候選集策略篩選變異個體，選入適應度較好的火花，淘汰適應度較差的火花。變異火花被選中候選集的概率也通過式(27)來確定，此策略保證了候選集的質量，并且對同煙花的火花過多地被選擇為下代種群的概率有降低效果，提高了尋優效果，利于提高軸類鍛件內部空洞缺陷深度的計算。

2.3 空洞缺陷深度檢測流程

改進的FWA計算鍛件內部空洞深度的步驟如下：

(1)構造適應度函數，根據實際參數對煙花種群初始化設置參數；

(2)根據式(19)計算煙花的爆炸半徑，并利用式(25)來控制爆炸半徑，計算各煙花適應度；

(3)計算爆炸后火花產生位置，利用精英候選集策略選取適應度好的爆炸火花，形成高斯火花；

(4)利用式(26)將可行解空間以外的火花映射到可行解空間范圍內；

(5)計算隨機抽取的兩個獨立個體之間的距離，根據式(27)計算每一個個體被選為下一代煙花的概率；

(6)根據精英候選集策略選擇下一代煙花群體，轉至步驟(2)；

(7)計算每個個體的適應度，目標函數是求最小值，適應度越小的個體解越優，根據適應度值不斷更新個體的最優位置；

(8)判斷是否滿足迭代結束條件，若滿足則迭代結束，將全局最優解的位置輸出，得到尋優結果；否則繼續重復步驟(2)～(5)；

(9)輸出空洞缺陷深度。

3 實驗

3.1 實驗設備

本文涉及的實驗設備有熱電偶、實驗鍛件、旋轉裝置、加熱系統、紅外熱像儀等。熱電偶為鉑銠熱電偶(型號為WRP-130)，測溫范圍為0～1600 ℃，最大誤差為±1.5 ℃。加熱系統由箱式電阻加熱爐(型號為SRJX-8-13)和溫度控制器(型號為SKY-12-16)組成。采集軸類鍛件紅外圖像的紅外熱像儀的型號為VarioCAM hr research 680。實驗鍛件之一如圖3所示，參數見表1，限于篇幅，只列出溫度為800 ℃時的質量熱容。

圖3 實驗鍛件Fig.3 The experimental forging

表1 實驗材料熱物理參數

3.2 標準函數仿真實驗

為了驗證改進的FWA算法計算空洞缺陷深度的可操作性，將標準函數與鍛件內部含有圓柱形空洞缺陷時構建的目標函數作為驗證的對象。

(1)標準函數尋優。通過14個標準函數來測試改進的煙花算法的有效性和可行性。f1～f14標準函數如下：f1～f5為單峰函數，f6～f10為多峰函數，f11～f14為旋轉函數，各函數的搜索范圍為[-100,100]。采用粒子群算法(PSO)、FWA與改進的FWA算法進行對比。設置參數見表2，PSO算法的種群規模設置為50，維度為30，運行50次，停止的標準為最大函數評估數。14個測試函數的最優適應度與標準差在三種算法下的結果見表3。

表3中，改進的FWA與FWA對比后可知，對于f1～f6、f8、f10～f14，改進的FWA求出的最優適應度、標準差這兩個測試指標最好；改進的FWA與PSO算法對比后可知，對于f1～f6、f8～f11、f13、f14，改進的FWA求出的最優適應度、標準差這兩個測試指標最好；對于函數f7，PSO算法的適應度和標準差都是最優，改進的FWA雖然不是最優，但與PSO算法求出的適應度與標準差相差不多；對于函數f9，FWA的適應度與標準差是最優的，改進的FWA雖然不及FWA，但比PSO算法的尋優結果好。

綜上，改進的FWA的適應度和標準差這兩項測試指標的結果相比FWA和PSO有明顯優勢，驗證了改進的FWA的有效性及可行性。

(2)目標函數尋優。以圓柱形空洞缺陷溫度場與空洞半徑尺寸的微分方程的結果作為實際測量溫度值，使用改進的FWA對缺陷深度為2 mm、時間為0.8 s的微分方程求解出的溫度值進行尋優，參數見表2；對計算得到的溫度值進行尋優，收斂曲線如圖4所示。

由圖4可知，算法在第12次迭代時第一次陷入局部最優解，但隨著變異火花的爆炸以及迭代次數的增加，不斷向最優解逼近直至最終輸出最優解，缺陷深度為1.9506 mm，相對誤差為2.5%，證明了本文算法的可行性。

3.3 圓柱形空洞深度測量實驗

(1)同一深度空洞的實驗。為了驗證改進的FWA算法的可行性和精確性，將空洞的深度設置為3 mm，空洞的半徑設為2.5 mm，空洞的長度設為10 mm，其他參數與表1和表3相同。采集900 s、1200 s、1500 s、1800 s、2100 s時鍛件中心處溫度值與空洞中心處值，構造目標函數，用FWA、改進的FWA和PSO分別進行空洞深度尋優，收斂曲線如圖5～圖7所示。

表3 三種尋優結果對比

圖4 煙花算法收斂曲線Fig.4 The convergence curve of FWA

圖5 FWA收斂曲線Fig.5 The convergence curve of FWA

圖6 改進的FWA收斂曲線Fig.6 The convergence curve of the improved FWA

圖7 PSO收斂曲線Fig.7 The convergence curve of PSO

經典PSO算法在定量計算空洞深度時收斂速度比煙花算法要快，收斂后的適應度波動較小，但缺點是容易陷入局部最優解。FWA算法簡單，容易陷入局部最優且精度差。改進的FWA算法后，每次爆炸都有新的火花產生和一部分變異火花的擇優選取，使改進的FWA算法在定量計算空洞深度時的全局搜索能力更強，適應度值更大，尋優結果更接近真實值。由表4可知，改進的FWA算法計算誤差在2.5%以內，比PSO算法和FWA算法的誤差小，證明了改進的FWA在定量計算空洞深度時的有效性，同時具有穩定性高且適應度好的特點。

表4 PSO、FWA和改進的FWA的尋優結果比較

(2)不同深度空洞的實驗。本組實驗的空洞深度分別設置為1 mm、3 mm、5 mm、7 mm、9 mm、12 mm，空洞的半徑設為2.5 mm，空洞的長度設為10 mm，其他參數和表1、表2相同。對900 s、1800 s、2400 s和3600 s時刻鍛件中心處溫度值與空洞中心處溫度值構造目標函數，利用改進的FWA進行空洞深度尋優，結果見表5。

由表5可知，對于不同深度的空洞，改進的FWA的尋優效果不同，同一時刻空洞深度越小，尋優效果越好誤差值越小，說明離鍛件表面越近的空洞越容易被檢測。隨著空洞深度的不斷增加，尋優精度變差，但測量誤差均在5%以內，說明對于較深的空洞，本文檢測方法仍然適用。同一空洞深度下檢測誤差隨著時間的推移先變小后

表5 不同空洞深度下改進的FWA的尋優結果

變大，說明鍛件中心處與空洞中心處的溫度差先變大后變小，且時間對檢測誤差的影響比空洞深度的增加對誤差的影響更明顯。

4 結論

(1)本文利用微元模型得到圓柱體缺陷溫度的檢測模型，通過分離變量法得到方程的解析解，實現了利用溫度場對熱態軸類鍛件內部圓柱體空洞半徑的信息進行檢測。

(2)構造了軸類鍛件外表面溫度與圓柱體空洞缺陷中心處溫度的差值最小的目標函數，運用改進的煙花算法計算空洞缺陷深度。改進后的煙花算法每次“爆炸”都會產生新的“火花”，還會隨機生成“變異火花”，不易陷入局部最優解，全局搜索能力得到改善，對空洞的深度進行計算，計算誤差為2.5%，為熱態軸類鍛件內部規則缺陷深度檢測提供了新的思路。

(3)進行了圓柱形空洞深度測量實驗，分別用PSO、FWA和改進的FWA算法對同一深度空洞缺陷進行了檢測，實驗結果表明改進的FWA算法的計算誤差為2.5%以內。運用改進的FWA算法對不同深度的空洞進行了檢測，實驗結果表明計算誤差均在5.0%以內。