互補式雙層時柵角位移傳感器研究

楊繼森 付 航 秦梓洋 周 潤

重慶理工大學機械檢測技術與裝備教育部工程研究中心，重慶，400054

0 引言

時柵是一種新型位移傳感器，其核心思想是利用時間量完成空間量的描述。時柵角位移傳感器規避了傳統柵式位移傳感器的測量精度受限于刻線精度的弊端，并且具有高精度、智能化、使用方便等特點，被廣泛應用于航空航天、國防軍工、數控機床等領域[1-5]。

目前，基于印刷電路板(PCB)工藝研制的時柵角位移傳感器克服了傳統線槽式時柵角位移傳感器制造工藝復雜、生產效率較低、成本高等不足。但是，當前研制的基于PCB工藝的傳感器線圈依然存在感應信號較弱、時變磁場的有效利用率較低、駐波幅值不完全相等不足，導致誤差曲線中出現較高的4次諧波[6-10]，降低整個傳感器電氣系統的信噪比，影響傳感器的測量精度與抗干擾性能。針對上述情況，結合時變磁場的電磁感應原理和時柵位移傳感器理論[11-12]，對原有雙層時柵角位移傳感器機構進行優化改進，提出了一種新型的互補式雙層時柵角位移傳感器的設計方案。該方案在一定程度上解決了雙層時柵角位移傳感器在生產時由于PCB加工工藝不同而導致測量誤差規律不同的問題，提高了傳感器的精度。

1 傳感器模型及信號感應原理

互補式雙層時柵角位移傳感器結構如圖1所示。該傳感器結構分為激勵和感應兩部分，均采用了雙層互補式結構，實現對磁場的約束和拾取能力的相互補償。圖1b所示為傳感器感應線圈，線圈由四路正弦形狀的線圈相互交錯而成，相鄰兩線圈結構相位差為180°以實現差分輸出，并且在結構上采用了上層線圈與下層線圈分別對稱的形式，使傳感器對磁場兩端的利用率盡可能相同，以保證感應線圈能夠充分拾取有效磁場。圖1c所示為傳感器感應線圈與激勵線圈的基體，線圈基體有利于線圈對磁場的約束作用。圖1d所示為激勵線圈，線圈交替繞制而成，每組正(余)弦對極數均為20，并且錯開四分之五個空間節距以實現空間上正交上下層分布且錯開四分之一節距的正余弦結構，相同角度上的矩形激勵線圈之間在傳感器半徑上呈對稱分布，這種互補結構可以使同一半徑上，線圈兩端對磁場的約束能力相互補償，讓磁場分布更加均勻。

(c)傳感器基本模型 (d)激勵線圈模型圖1 互補式雙層時柵角位移傳感器整體模型Fig.1 Integral model of complementary double-layer time-grid angular displacement sensor

由于傳統雙層時柵角位移傳感器的激勵線圈采用下層通入正弦信號、上層通入余弦信號的方式，導致兩路激勵線圈到感應線圈的距離不同，因此在同一感應線圈拾取到正余弦信號產生的磁場強度不同，影響行波質量。分塊狀正余弦線圈結構在同一平面產生激勵信號可有效地避免這一不足。為了能夠更好地形成駐波，在激勵線圈中分別通入頻率為ω、幅值為A的兩路電流ia=Asinωt與ib=Acosωt作為激勵信號以實現時間上的正交。

傳感器單個極距基本結構如圖2所示。圖2a所示為單個極距的整體結構，圖2b中沿箭頭方向從左到右分別為底層激勵線圈、上層激勵線圈、上層感應線圈和底層感應線圈。

(a)整體模型 (b)線圈模型圖2 互補式雙層時柵角位移傳感器的單極距解剖圖Fig.2 Anatomic diagram of a complementary double-layer time-grid angular displacement sensor with single-pole distance

(1)

式中，Φ1、Φ2、Φ3、Φ4為磁通量；K1、K2、K3、K4為信號幅值；W為線圈空間節距；θ為感應線圈旋轉的角度值。

由信號疊加原理得到總的輸出感應電動勢為

(2)

2 參數設置及結構分析

2.1 雙層時柵位移傳感器磁場分布模型

根據式(2)可知，K值影響了感應線圈輸出電動勢大小，采用雙層互補式激勵線圈雖然有效增加了時變磁場的整體強度，增大了有效磁場的區域，但實際應用時存在上下層線圈之間間距過大使疊加效果不明顯、過小產生磁場串擾等問題。

根據建立的雙層時柵角位移傳感器激勵模型(圖3)，假設在雙層線圈中分別通電流I+和I-，對磁場進行分析，根據畢奧-薩伐爾定律，可以得出空間任意點N(x，y，z)的磁場強度。

圖3 雙層線圈的磁場計算模型Fig.3 Magnetic field calculation model of double coil

空間任意點N的磁場強度由上下兩U字形共6段有限長通電直導線BC、CD、DA、A′B′、B′C′、D′A′產生的磁場強度疊加而成。以BC段為例分段計算，在BC段取電流元dl，BC段在N點處的磁感應強度是電流元dl在該點的磁感應強度沿BC積分的結果[13-14]，其計算表達式為

(3)

式中，μ0為真空磁導率；I為電流。

從圖3中可得出如下關系：

l=H/tanθ|MN|=H/sinθ

(4)

(5)

式中，H為點N到BC的最短距離。

聯立式(4)可將式(3)化簡為

(6)

雙層時柵角位移傳感器的激勵線圈和感應線圈平行(所在平面)，且感應線圈相對激勵線圈運動，只需考慮垂直于線圈所在平面的磁場感應強度分量即沿Z軸分布的磁感應強度分量BBCZ，計算表達式為

(7)

同理可求出BCDZ、BDAZ、BA′B′Z、BB′C′Z、BD′A′Z，由磁場疊加原理，有

BZ=BBCZ+BCDZ+BDAZ+BA′B′Z+BB′C′Z+BD′A′Z

(8)

因此，可求得BZ為

(9)

2.2 雙層激勵線圈間距仿真

對激勵線圈的間距進行仿真，具體仿真參數如表1所示。

表1 激勵線圈基本參數設置

將單個對極的扇形線圈等效為高40 mm、寬3π/8 mm的矩形，以4層PCB的距離參數為變量進行仿真，結果如圖4～圖7所示。圖4所示為單層U形線圈磁場分布，磁感應強度約為1.97×10-8T；圖5所示為間距0.235 mm的雙層互補型線圈磁場分布，磁感應強度約為2.59×10-8T；圖6所示為間距1.335 mm的雙層互補型線圈磁場分布，磁感應強度約為2.66×10-8T；圖7所示為間距1.6 mm的雙層互補型線圈磁場分布，磁感應強度約為2.55×10-8T。

圖4 單層U形線圈磁場分布Fig.4 Magnetic field distribution of single layer “U” coil

圖5 雙層互補線圈間距0.235 mm磁場分布Fig.5 Magnetic field distribution with double-layer complementary coil spacing of 0.235 mm

圖6 雙層互補線圈間距1.335 mm磁場分布Fig.6 Magnetic field distribution with double-layer complementary coil spacing of 1.335 mm

圖7 雙層互補線圈間距1.6 mm磁場分布Fig.7 Magnetic field distribution with double-layer complementary coil spacing of 1.6 mm

由圖4～圖7可知，單層U形線圈有較強的端部效應，當激勵線圈的間距為1.335 mm和1.6 mm時，有較小的端部效應，導致Y方向上磁場分布不均勻。當激勵線圈間距為0.235 mm時，基本無端部效應，產生的瞬時磁場強度較大，且磁感線分布均勻度較高。

不同間距下的互補式雙層激勵線圈結構的磁場強度比較結果如表2所示。

表2 雙層激勵線圈不同間距下的磁場強度

3 有限元仿真分析

3.1 模型建立及參數設置

平面感應線圈的感應信號質量問題是磁場式角位移傳感器的研究重點，時柵傳感器位移解算的鑒相方式決定了感應電動勢輸出必須呈正弦式變化且幅值盡可能大，輸出電動勢的質量將直接影響傳感器測量精度。根據式(2)，假設含有誤差的感應電動勢表示為

(10)

式中，P為諧波帶來的測量誤差的相位值。

在電磁相互轉換的過程中要求線圈內部磁感應分布中的基波所占成分盡可能大，將含有誤差的感應電動勢呈傅里葉級數展開可得

(11)

式中，A0為直流分量；Ai為諧波幅值；φi為諧波初相角度。

將基波幅值提出，求得諧波所占總量的百分比，諧波所占百分比越小代表其輸出感應信號的質量越好，用諧波畸變率表示[15]：

(12)

由第2節對雙層時柵位移傳感器平面線圈的磁場理論分析知，新型雙層時柵角位移傳感器結構為分塊式，結合具體參數對傳感器建模，得到圖8所示的模型。

(a)激勵線圈 (b)感應線圈

(c)整體模型
圖8 互補式雙層時柵角位移傳感器仿真模型
Fig.8 Simulation model of complementary double-layer time-grid angular displacement sensor

表3 仿真模型參數設置

在整個仿真過程中，設置四路激勵電流分別為：0.1sin(2000πt)(A)、-0.1sin(2000πt)(A)、0.1cos(2000πt)(A)、-0.1cos(2000πt)(A)，仿真步長為0.2°，采樣間隔為2 μs，保證每條線呈現出線性關系。同時固定定子，使轉子沿著順時針方向運動一個節距(5°)，觀察分析行波和駐波的各參數狀態。

3.2 仿真數據及分析

雙層激勵線圈內通入正弦激勵信號0.1 sin(2000πt)(A)、-0.1sin(2000πt)(A)，設置激勵線圈間距為0.235 mm，感應線圈沿逆時針方向運動，根據第1節雙層位移時柵傳感器的電磁感應原理，正弦線圈拾取磁場后加載到內圈上下兩路和外圈上下感應線圈輸出信號如圖9a所示。同理，分別通入余弦激勵0.1cos(2000πt)(A)、-0.1cos(2000πt)(A)，感應線圈輸出信號如圖9b所示。由圖9可知，兩駐波呈時間軸對稱，幅值約470 mV，駐波零點固定，其余點周期性上下波動，輸出波形符合電磁感應定律。

(a)通入正弦激勵信號 (b)通入余弦激勵信號圖9 駐波仿真圖Fig.9 Standing wave simulation diagram

通入電流0.1sin(2000πt)(A)、0.1cos(2000πt)(A)作為激勵信號，有限元仿真結果如圖10b所示，該輸出信號由四路感應信號疊加而成，行波幅值約為472 mV，整個周期幅值、間距較均勻。改變雙層時柵角位移傳感器激勵線圈間距參數為0 mm，得到行波信號如圖10a所示，改變間距參數為1.235 mm得到行波信號如圖10c所示，改變間距參數為1.6 mm得到行波信號如圖10d所示。傳感器輸出行波需速度恒定、空間間隔均勻且波形固定，因此要求行波信號在時間坐標軸上等間距分布，且峰-峰值穩定。

(a)單層(間距為0) (b)雙層(間距為0.235 mm)

(c)雙層 (d)雙層 (間距為1.335 mm) (間距為1.600 mm)圖10 行波仿真對比Fig.10 Comparison of traveling wave simulation

由圖10仿真結果可知：單層矩形激勵線圈產生的感應電動勢較大，但感應電動勢幅值不穩定，且在時間軸上分布不均勻；當雙層激勵線圈間距為0.235 mm時，行波分布較均勻且幅值穩定在490 mV左右；隨著激勵線圈的間距逐漸增大，端部效應導致的感應電動勢幅值誤差穩定性差，行波在時間軸上的分布更加不均勻。

根據3.1節，諧波畸變率可反應感應電動勢信號的質量，其值越低，表明感應信號的質量越高。將Maxwell導出的所有點數據存為.csv格式文件，得到從0°～5°的50條正弦曲線。取圖10中間時刻(t=50 μs)上0°～5°各電壓值觀察整個空間節距上的分布，如圖11所示。當感應線圈為單層時，感應電動勢峰值為370 mV；當激勵線圈間距為0.235 mm時，感應電動勢峰值最大，在整個節距上各個點電壓值呈現出正弦周期變化且分布均勻，在波峰處光滑，符合標準正弦波；感應電動勢幅值和平滑程度隨著激勵線圈間距的增大而降低。通過式(12)得到各不同間距的諧波畸變率，如圖12所示。

圖11 傳感器在50 μs時刻感應信號的幅值Fig.11 The sensor detects the signal amplitude at 50 μs

圖12 不同間距設置下傳感器的諧波畸變率Fig.12 The harmonic distortion rate of the sensor under different clearance Settings

為進一步觀察不同間隙帶來的誤差，提取每一時刻波形的初相位，與理想位移值作比較，根據每一個時間周期內的基波幅值與初始相位值得到的誤差曲線見圖13，圖中縱坐標為相位移量。

圖13 雙層激勵線圈不同間隙下的誤差曲線Fig.13 Error curves of double-layer excitation coils with different gaps

由圖13可知，4種狀態下，一個節距內(0°～5°)誤差呈現周期性分布。單層激勵線圈的誤差曲線表示范圍為(-80.4″，50.3″)；雙層激勵線圈間距為1.335 mm時的誤差曲線范圍為(-29.5″，21.75″)；隨著間距增加，誤差曲線峰-峰值逐漸增大。

根據2.1節對線框磁場分布的數學模型分析可知，端部效應導致單層激勵線圈產生的磁場在感應線圈拾取的感應電動勢信號誤差偏大，而激勵線圈間距為0.235 mm時可較大程度上耦合端部效應帶來的磁場不對稱，但隨著間距的增大，端部效應漸趨明顯，因此誤差呈現逐步增大的趨勢。

為了進一步分析誤差來源，將誤差曲線進行傅里葉分析，并且比較傳感器激勵線圈不同間距時諧波成分的幅值，結果如圖14所示。

圖14 不同間距下傳感器仿真誤差的諧波分析Fig.14 Harmonic analysis of sensor simulation error under different clearance

為能夠更好地對比分析，取前10次誤差諧波幅值，如表4所示。

表4 仿真誤差諧波成分

由圖14和表4觀察可知：采用單層U形激勵線圈的誤差曲線中主要存在1次諧波和4次諧波；采用雙層互補結構較大地減小了誤差曲線的1次諧波，一定程度上減小了4次誤差諧波；隨著雙層互補型時柵角位移傳感器的激勵線圈間距從0.235 mm增大，4次諧波呈現上升趨勢，1次諧波呈下降趨勢。

經過對比分析，雙層時柵角位移傳感器激勵線圈的優化主要減小了傳感器誤差的1次和4次諧波大小，并且該諧波受間距參數的影響，間距越大1次諧波逐漸越小，同時4次諧波和其他諧波頻次伴隨增大，但增幅不明顯。

4 實驗驗證與分析

4.1 實驗平臺搭建

根據上述優化模型，完成對時柵傳感器的設計。根據設計經驗，尺寸太小線圈精度會嚴重受限于PCB布線精度，并且由柵式位移傳感器的多測頭平均效應可知，正弦周期數越多傳感器測量感應信號均化程度越高，但布線太密集同樣受限于PCB布線精度，結合原雙層時柵角位移傳感器尺寸，將傳感器內徑和外徑分別設置為40 mm和70 mm，正弦周期個數為72，線寬設置為0.254 mm(10 mil)，如圖15所示。

(a)激勵線圈樣機 (b)感應線圈樣機圖15 互補式雙層時柵角位移傳感器的PCB樣機示意圖Fig.15 Schematic diagram of PCB prototype of complementary double-layer time-grid angular displacement sensor

實驗平臺搭建在25 ℃恒溫環境、無噪聲振動、35%恒定濕度環境的超精密實驗室。圖16所示為嵌入式時柵角位移傳感器實驗系統，整個實驗平臺包括大理石實驗平臺、轉子升降控制器、電氣系統、上位機、電機驅動器、圓光柵等。

圖16 互補式雙層時柵傳感器實驗系統Fig.16 Experimental system of complementary double-layer time-grid sensor

4.2 對比實驗與分析

為了驗證雙層時柵位移傳感器的有效性，對傳感器模型進行了實驗分析。通入10 kHz正余弦信號作為激勵源，以精度為±0.8 ″的海德漢RON-886型角度編碼器作為基準對雙層時柵傳感器進行標定。感應線圈與上層激勵線圈的距離一定，設置傳感器采樣點數為100，分別測試單層U形線圈和間距分別為0.235 mm、1.335 mm、1.6 mm的雙層激勵線圈，提取第三個對極采樣點，得到不同間距設置下誤差曲線，見圖17。

圖17 實驗誤差曲線對比Fig.17 Comparison of experimental error curves

實驗結果表明，雙層時柵角位移傳感器中激勵線圈在一定程度上減小了單層U形線圈所帶來的誤差，并隨著雙層激勵線圈之間距離的增大，誤差峰-峰值相應增大，實驗結果與仿真結果一致。為了更清晰地分析實驗數據，取各誤差曲線的1次諧波與4次諧波進行對比分析，結果如表5所示。

表5 實驗誤差諧波成分

由表5可知，當雙層激勵線圈的距離為0.235 mm時，誤差中4次諧波誤差和1次諧波誤差最小。實驗結果和仿真結果基本相同。

由實驗分析可知，雙層時柵角位移傳感器互補結構的耦合關系能較大程度上抵消磁場中的端部效應所帶來磁場分布不對稱引起的誤差，且受激勵距離的影響，耦合關系隨間距的增大而減小，與理論分析的結果相吻合。

4.3 誤差修正

對雙層時柵角位移傳感器進行整周期測量與短周期測量對比實驗。選定傳感器的激勵線圈間距0.235 mm，用角度編碼器對傳感器第三個短周期較大的誤差頻次進行修正，回轉軸再次測量得到數據如圖18所示。由圖18可知，修正前傳感器誤差曲線中主要含有1次與4次諧波，修正后傳感器的誤差曲線中含有少量因隨機誤差引起的高次諧波。傳感器短周期原始誤差范圍為(-13.61″，13.30″)，修正后誤差范圍為(-3.01″，0.78″)。

圖18 修正前后的誤差曲線對比(短周期)Fig.18 Comparison of error curves before and after correction (short cycle)

對整周期誤差主要頻次進行修正，回轉軸再次測量得到數據如圖19所示。由圖19可知，傳感器長周期誤差曲線含有較高的1次諧波，且每個對極內短周期誤差呈現重復性周期變化，其中1次諧波主要由安裝誤差引起，傳感器原始誤差范圍為(-19.60″，21.96″)，修正后誤差范圍為(-2.62″，3.30″)。

圖19 修正前后的誤差曲線對比(長周期)Fig.19 Comparison of error curves before and after correction (long cycle)

短周期誤差曲線包含的1次和4次誤差諧波對誤差曲線的影響較大，修正后誤差峰-峰值已大幅度降低。而整周期存在較大的1次誤差諧波以及實驗過程中各種微小的隨機誤差，對整周期誤差修正后能得到較理想的數據。

5 結論

雙層互補式時柵角位移傳感器增大了感應信號的幅值，并且因其互補結構減小了短周期內1次和4次誤差諧波。本文通過數學分析、模型建立、仿真等方法，在原有基礎上提供了一種對稱式互補雙層時柵角位移傳感器設計方案，同時通過仿真和實驗驗證了雙層時柵角傳感器能夠大幅度減小由于端部效應等問題所帶來的1次諧波誤差和4次諧波誤差，提高了傳感器精度。根據本研究方案所設計的雙層時柵角位移傳感器在其針對性誤差修正后，短周期測量誤差為(-3.01″，0.78″)，長周期誤差為(-2.62″，3.30″)。

本研究為雙層時柵位移傳感器的研究提供了一種有效方案，該方案解決了實際應用中，由于傳感器PCB加工工藝差異而產生的測量誤差不一致，進而增加了誤差修正難度等問題，同時進一步滿足了數控加工、精密制造等領域上對傳感器精度的需求，具有重要的工程意義。