一般方程表示下曲面上曲線測地曲率的計(jì)算公式及其應(yīng)用

梁釗，張量

一般方程表示下曲面上曲線測地曲率的計(jì)算公式及其應(yīng)用

梁釗，張量

（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖 241002）

測地曲率是經(jīng)典微分幾何曲面理論中一個(gè)重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量，測地曲率恒為零的曲線即曲面上的測地線．給出了一般方程表示下曲面上曲線測地曲率的計(jì)算公式，利用該計(jì)算公式給出了橢球面上圓截線問題的一種微分幾何解決方法.

測地曲率；橢球面；圓截線

1　引言及預(yù)備知識(shí)

測地曲率可以用來反映曲面上曲線的局部彎曲情況，其本質(zhì)只與曲面的第一基本形式有關(guān)，是經(jīng)典微分幾何曲面理論中一個(gè)重要的內(nèi)蘊(yùn)幾何量．目前關(guān)于測地曲率的計(jì)算方法多數(shù)都是在曲線的參數(shù)表示下給出的[1-7]．本文給出一般方程表示下曲面上曲線測地曲率的計(jì)算公式，并利用該計(jì)算公式給出解析幾何中橢球面上圓截線問題的一種微分幾何解決方法．

2　主要結(jié)果及證明

證畢．

橢球面的圓截線問題是解析幾何中的一個(gè)經(jīng)典問題[8-9]，文獻(xiàn)[10]通過將橢球面與平面交線參數(shù)化給出了橢球面圓截線問題的一種微分幾何解決方法．利用定理1，可得到不通過參數(shù)化給出橢球面圓截線問題的另一種微分幾何解決方法．

[1] Manfredo P，Carmod O．Differential Geometry of Curves and Surfaces[M]．Upper Saddle River：Prentice-Hall，1976：15-185．

[2] John O．Differential Geometry and Its Applications，Second Edition[M]．Cleveland：Cleveland State University Press，2004：17，154-195．

[3] 邢家省，張光照．曲面上曲線的測地曲率向量的注記[J]．吉首大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，34（4）：8-10．

[4] 邢家省，白璐，羅秀華．測地曲率計(jì)算公式的推導(dǎo)方法[J]．吉首大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，36（5）：8-11．

[5] 羅秀華，張光照，邢家省．曲面正交網(wǎng)下測地曲率和高斯曲率的計(jì)算公式的推導(dǎo)方法[J]．河南科學(xué)，2015，33（7）：1082-1086．

[6] 邢家省，高建全，羅秀華．曲面上測地線和短程線的性質(zhì)[J]．四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，28（1）：64-66．

[7] 黃瑞．幾類特殊曲面曲線的法曲率測地曲率和測地?fù)下实挠?jì)算[J]．阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2017，34（3）：24-26．

[8] 房亮．關(guān)于橢球面的平截線的探討[J]．泰安師專學(xué)報(bào)，2001（2）：23-26．

[9] 房亮．幾種常見二次曲面的圓截線[J]．泰山學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（6）：33-35．

[10] 姜旭，張量．橢球面圓截線問題的微分幾何解法[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2016，19（1）：75-77．

Calculation formula of the geodesic curvature of a curve on a surface represented by the general equation and its applications

LIANG Zhao，ZHANG Liang

（School of Mathematics and Statistics，Anhui Normal University，Wuhu 241002，China）

Geodesic curvature is an important intrinsic geometric quantity in the theory of surfaces in classical differential geometry，and it is known that a curve with constant zero geodesic curvature is a geodesic on a surface．A formula of the geodesic curvature of a curve on a surface represented by the general equation was given，and it was used to give a differential geometric solution to the circular transection problem on an ellipsoid.

geodesic curvature；ellipsoid；circular transection.

1007-9831（2023）01-0010-05

O186.11

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.003

2022-05-10

梁釗（2000-），男，安徽淮北人，在讀本科生．E-mail：2680990056@qq.com

張量（1979-），男，安徽蕪湖人，副教授，從事幾何學(xué)研究．E-mail：zhliang43@163.com