基于深度學習的高中數學單元復習的知識架構

朱寧

《普通高中數學課程標準》（2017年版，2020年修訂版）在其基本理念里提出：“高中數學教學以發(fā)展學生數學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數學內容的本質。”眾所周知，數學復習課是高中數學日常教學不可缺少的一種課型。隨著課程改革、高考改革的逐步深入，立足素養(yǎng)本位的單元教學在高中數學教學中日益受到重視。因此，在新課程改革背景下，以重復“昨日的故事”為主的數學復習課，不僅是對所學知識的重復和總結，還應從知識的整體出發(fā)，把零散的知識構建成適合學生復習的知識單元。

從學習的角度來講，促進學生學會學習，就是要讓學生的學習由被動走向主動，由淺層走向深度。在數學的單元復習中，我們認為教師應重視對數學知識單元的構建，重視在知識的廣度、深度和關聯度上下功夫，將要復習的數學內容進行重新的設計與組織，架構成有利于學生深度學習的系統(tǒng)的知識整體或意義整體。本文以立體幾何中《空間角》的單元復習知識架構為例，探討基于深度學習的高中數學單元復習知識架構的幾個關鍵點。

一、基于深度學習的《空間角》單元復習的知識架構

（一）系統(tǒng)分析教材脈絡，厘清單元知識結構

在復習時，教師需要對所復習的知識進行梳理，在知識的系統(tǒng)性上分析并構建數學單元。在新課程中，與《空間角》內容相關的內容主要有兩部分。在人教A版第二冊第八章的《立體幾何初步》知識中，主要介紹空間點、直線與平面的位置關系；在人教A版選擇性必修Ⅰ的第一章的《空間向量》中，主要介紹利用空間向量求解空間角，其主要目的就是引導學生用向量方法解決空間角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。

空間中異面直線所成的角、斜線與平面所成的角，以及二面角的大小定量地反映了空間中線與線、線與面，以及面與面的相對位置關系，它們彼此獨立又相互聯系。因此，從知識邏輯順序上來看，可以把這三種角的復習作為一個復習單元。《空間角》的單元復習是學生在復習了空間直線與平面的位置關系的基礎上進行的，復習空間角的概念并掌握求解方法能提高學生對空間位置關系的認識，發(fā)展數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等學科核心素養(yǎng)。

（二）重點剖析概念本質，強化單元知識理解

空間中異面直線所成的角、斜線與平面所成的角，以及二面角是平面中的角度概念在空間中的拓展和推廣。異面直線所成的角，是指這兩條直線經過平移后處于相交位置時所成的銳角或直角。因此，異面直線所成的角的范圍是（0，■]。

斜線與平面所成的角是用兩條相交直線，即平面的斜線和它所在平面內的射影所成的銳角來度量的。如果把直線與平面平行，以及直線在平面內這兩種位置關系也考慮進去，則直線與平面所成角的范圍為0，■。二面角的這個概念反映了兩個平面相交時，它們的相對位置關系。二面角的大小是用平面角來度量的。從幾何角度理解就是垂直于二面角的棱的平面與二面角的兩個半平面相交所得的兩條射線（端點重合）所成的角，它的范圍是［0，π］。

（三）深度總結求解方法，突破單元知識核心

求解空間角的大小可以考查空間中異面直線、直線與平面，以及平面與平面的相對位置關系。

幾何的角度。異面直線所成的角，從幾何的角度看就是在空間任意選定一點，然后平移其中的一條或兩條直線使其轉化為平面角的問題。其求解的核心在于“移”；對于斜線與平面所成的角，由定義可知需要找到斜線與斜線在平面內的射影所成的銳角，其求解的重點在于“垂”；對于二面角的平面角大小的求法，可以根據定義結合交線的垂面或三垂線定理作出二面角的平面角，或利用原圖形的面積與其射影的面積比來計算二面角的余弦。

向量的角度。異面直線所成的角實際上是兩條直線所成的角，因此借助向量（或坐標），可以將其轉化為求兩個向量的夾角：已知兩異面直線a，b。A，B∈a，C，D∈b，則異面直線所成的角θ為：cosθ=■。特別的，可以得到AD2+BC2=AC2+BD2與AB⊥CD等價：四面體兩組對棱長度的平方和相等的充要條件是另外一組對棱互相垂直。這個結論在解題中有著很廣泛的應用。

聯系的角度。空間的三種角看似沒有什么關系，但它們之間實則存在某種天然的聯系，這種聯系就是三射線公式與三正弦公式所反映的內容。

三射線公式：如左圖，PA，PB，PC分別是從點P出發(fā)的三條射線，設∠APC=θ1，∠BPC=θ2，∠APB=θ，由PA，PC確定的平面記為α，由PB，PC確定的平面記為β，平面α，β形成的二面角記為φ，則有cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosφ。三正弦公式：設銳二面角M－AB－N的平面角的大小為γ，在平面MAB上有一條斜線AC，它和棱AB所成角為β，和平面NAB所成的角為α，則sinα=sinβ·sinγ。

二、科學架構單元知識，促進學生深度學習

加拿大西盟菲莎大學（Simon Fraser University）艾根（Egan，K.）教授領銜的研究小組，首次從知識論的角度，論述了深度學習中“深度”的含義。他們認為“學習深度”具有三個基本標準，即知識學習的充分廣度、知識學習的充分深度和知識學習的充分關聯度。這三個標準，也是深度學習的核心理念。同時，他們的研究還表明，學生的深度學習，離不開教師的深度教學，在這個過程中教師應該起主導作用。

厘清知識結構，挖掘概念深度。對學生來講，知識并不陌生，但對于知識結構，學生不一定十分重視。在復習時，教師要能引導學生把平時所學的零散的知識整理成系統(tǒng)的知識網絡，形成結構化的知識體系，這是學生進行深度學習的起點。

強化知識理解，突出概念廣度。深度教學的“深度”是建立在完整、深刻地處理和理解知識的基礎之上的。知識的充分廣度與知識的產生背景是密切相關的。所以學生復習時對數學概念的再理解，是對概念的內涵與外延作進一步的詮釋，更是對數學概念產生背景的挖掘與探究。

突破知識核心，構建概念間聯系。有的教師可能疑惑，為什么要講三射線公式和三正弦公式，這樣會不會增加學生的學習負擔。因為這些內容課程標準里沒有，教材里也沒有。為了回答這個問題，我們先來看看三射線公式與三正弦公式到底講了什么。

三射線公式描述了二面角的兩個半平面內的兩條射線的夾角，以及它們與二面角的棱所成的角與二面角的大小之間的數量關系，它的作用在于可以求二面角的大小或者線面角、線線角的大小。三正弦公式從另一個角度反映了空間線線角、線面角和二面角之間的聯系。而且由三正弦公式我們可以得到二面角的本質：對于一個銳二面角，在其中一個半平面內的任一條直線與另一個半平面所成的線面角的最大值等于該二面角的平面角，即二面角是最大的線面角。由此可見，三射線公式與三正弦公式反映的是空間三種角的聯系。通過這種聯系，教師可以引導學生多維度地理解空間三種角之間豐富的內涵，從數學本質的角度去理解這三種角的定義，從而達到深度學習。

總之，基于深度學習的高中數學單元復習的知識架構，可以逐層深化學生對數學的認知，加深學生對數學本質的進一步理解和掌握，也為教師接下來解題教學的選題提供了方向，從而引導學生抓住學習的本質，學會學習。

（本文系2022年度河南省基礎教育教學研究項目“基于深度學習的高中數學校本化課堂實踐研究”的成果。課題編號：JCJYC2203010018）

（本欄責編 桑 濤）