“生長數學”理念下的結構化教學
——“反比例函數單元復習課”的教學設計與思考

江蘇省太倉市實驗中學

趙紅琴

《義務教育數學課程標準(2022版)》強調：“在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化數學知識體系.”數學單元復習課就是幫助學生鞏固、梳理、整合和提升的過程，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題.下面筆者以“反比例函數單元復習課”為例，談談基于“生長數學”理念下的結構化教學設計.

1 “生長數學”理念下的教學價值判斷

反比例函數是初中數學中的基本函數之一，是中考的必考內容.反比例函數的主要內容包括概念、圖象、性質和應用.反比例函數相比已經學過的一次函數有明顯的不同：從“式結構”[1]來看，表達式右邊一個是整式，一個是分式.從“形結構”[1]來看，一個是連續的直線；一個是曲線，分兩支.反比例函數難度明顯增加，是對一次函數的提升.從整體來看，反比例函數所處的位置至關重要，與前面的一次函數、方程、不等式、三角形、四邊形、分式都有著密不可分的聯系，也是今后學習二次函數以及高中函數知識的基礎.反比例函數的復習課起承上啟下的作用，優化的設計必然起到事半功倍的作用.

從學生角度來看，學生已經具備了坐標系、函數的知識，并類比一次函數的學習經驗對反比例函數的概念、圖象、性質和應用進行了探究，積累了研究函數的思維活動經驗，對建立函數模型和數形結合思想也有了進一步的體會.但是，學生對反比例函圖象和性質的理解并不深刻，特別是對于反比例函數增減性的理解經常與一次函數混淆，對于與方程、不等式的綜合判斷以及與四邊形的整合問題都有一定的困難.因此，本節復習課的目標確定為：以數形結合思想為立意，通過讀圖、識圖引導學生進行知識梳理，通過問題串探究構建反比例函數的結構關系，通過拓展延伸完善知識體系．難點是深層次理解反比例函數的圖象和性質.

本節課從學生已有經驗出發，設計生長途徑，經歷從點狀教學轉化為結構化教學的過程，創造具有生長力的數學課堂，激發學生積極主動構建知識體系，在合作交流中提高解決問題的能力，培養學生數學核心素養.

2 教學價值指引下的活動設計

2.1 情境引入，激活結構

問題1如圖1，根據圖象你能得到什么信息？

圖1

圖2

預設生成：結合圖形學生可以讀出——這是一個反比例函數的圖象；圖象在一、三象限，k>0；在每個象限內y隨x的增大而減小.引導學生舉例說明為什么要強調“在每一個象限內”，加深對增減性的理解.反比例函數的圖象既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，直線y=x和y=-x是其對稱軸.

設計意圖：通過一個開放式的問題對反比例函數的性質進行復習和歸納，也是對學生已有的知識結構進行復習和梳理.由于起點低，各個層次的學生都有能力參與，通過小組合作、自主表達、相互啟發、相互補充，激發學生思維，也為后續的復習做準備.

2.2 結構關聯1——不等式與一次函數

圖3

預設生成：學生可以利用不等式進行解答或者結合圖象進行直接判斷.由此得到x>1時，02.

學生能輕松說出B點坐標是(3，2)，也能求出直線AB的解析式為y=-2x+8.

設計意圖：問題2一方面可以通過不等式進行解答，另一方面也可以結合圖象直接判斷.但追問中的問題，如果再解不等式就非常麻煩，而根據圖象就非常簡單.讓學生體會反比例函數與一次函數、方程、不等式之間的聯系，深刻體會到用數形結合思想解決不等式問題的優越性，提高學生的閱圖能力.

2.3 結構關聯2——圖形的面積

問題3在上述追問的條件下，連結OA和OB，求△OAB的面積.

預設生成：學生先獨立思考，小組交流，然后逐一展示不同的解法.可能會出現以下幾種方法,引導學生歸納總結.

圖4

圖5

圖6

法一：如圖4，S△OAB=S△OAF-S△OBF=8或S△OAB=S△OBE-S△OAE=8.法二：如圖4,S△OAB=S矩形OHPG-S△OAG-S△OBH-S△APB.法三：如圖5，S△OAB=S梯形AMNB+S△OAM-S△OBN.法四：如圖6，S△OAB=S△OAS+S△BAS.

設計意圖：通過不同的方法，促使學生對坐標系內利用割補法求圖形的面積有了進一步認識.引導學生歸納割補法的本質是“化斜為直”，充分利用平行于坐標軸的線段進行割補.從“形”的角度轉化為圖形的面積的和或差求解，從“數”的角度轉化為求點的坐標進而轉化為求水平線段或者鉛垂線段的長度.割補法的復習和深化為學生今后解決二次函數中的面積問題積累了經驗，具有長遠意義.

2.4 結構關聯3——平行四邊形

問題4在上述追問的條件下，如圖7,作直線OA，OB，分別交拋物線的另一支于點C，D，試判斷四邊形ADCB的形狀.

圖7

圖8

預設生成：由反比例函數的對稱性可知，OA=OC,OB=OD,得到四邊形ADBC是平行四邊形.學生根據平行四邊形的性質還可以很快求出四邊形ADCB的面積是△OAB面積的4倍.

讓學生分組討論，展示不同的畫法，并由學生解釋畫法的依據.

追問2：若已知A(1，6)，B(6，1)，如何分別在x軸和y軸上各找一點P,Q，使得P，Q，A，B四點構成的四邊形為平行四邊形.讓學生分析思路，課后解答.

設計意圖：“平行四邊形”和“反比例函數”的圖象都是中心對稱圖形，問題4及追問讓學生充分體會利用對角線互相平分這一性質來判定平行四邊形的簡潔.追問1讓學生動手畫矩形并說明依據，這一過程引發學生對矩形判定方法的深度思考，激活了學生儲存的知識.“平行四邊形”和“反比例函數”兩個章節都在蘇教版八下教材中，這樣的設計將二者有機結合，起到了跨章復習的效果，體現了大單元整體設計的理念，體現了知識的關聯性和整體性，有效促進學生整體知識結構的形成.

2.5 結構關聯4——圖形的運動

圖9

圖10

設計意圖：圖形的運動變換始終貫穿于數學學習中，問題5以一道中考題作為拓展延伸，創設了一個新的情境.反比例函數的圖象出現在不同尋常的位置，激發了學生不一樣的思維靈感，引發學生聯想和思考，讓本節課的設計變得更為新穎和靈動，透過場景看本質，方法遷移，難點化解,從而達到問題解決的目的.

2.6 反思悟學，再生結構

教師和學生一起總結本節課的體會，進一步構建知識結構圖.

設計意圖：通過師生互相補充總結，學生完善已有知識結構，對反比例函數有更深入的了解，同時讓思路關聯、數學方法得到梳理，能力得到提升.如圖11所示.

圖11

3 活動設計下的教學思考

3.1 一圖一課，促進自然生成

本節課以最簡單的反比例函數圖象為生長點設置了開放性的問題，激活學生已有的知識結構，設置了五個遞進式問題作為生長途徑，以適時的追問啟發學生深層思考，發展學生的思維；指導學生閱圖，幫助學生從形的特征、解析式的結構上得到統一理解，有序比較，使相互關系一目了然，進一步促進問題依次深入、層層展開、渾然一體.尊重學生思維的差異性，讓問題更具開放性、層次性，激發不同層次學生的參與，讓反比例函數的核心知識在問題串的引導下慢慢生長.

3.2 問題關聯，彰顯結構化教學

結構化的教學設計可以體現知識的整體性、思路的關聯性和方法的遷移性[2].本節復習課，不僅把反比例函數離散的知識串聯了起來，還通過結構關聯把反比例函數和前面已經學過的平行四邊形等知識有機整合，達到跨章復習的效果，充分體現了知識的整體性和系統性.課堂上適時的追問和變式激活學生的靈感，很好地促進了深度思考，讓學生的思路得到拓展、延伸.歸納和總結環節給學生厘清思路的時機，促使解題方法得到優化和遷移，學生的結構性思維在感悟中逐步形成.

3.3 自主探究，提升數學素養

教學設計的問題起點低，給不同層次學生機會，讓學生體驗成功的喜悅，激發學生表達的熱情，為活動起到很好的鋪墊作用.活動過程中采用了一題多解、自主提問、互編互助等形式，給學生創造了小組合作的情境，優化學生學習方式，引導學生深度參與，處處體現了以生為本、讓知識與生命共同成長的理念.以數形結合思想為主，滲透了轉化、分類討論等數學思想方法，有效地發展了學生核心素養.