一次函數(shù)圖象教學設計

江蘇省睢寧縣第二中學

白文波

“一次函數(shù)”在初中數(shù)學中占據(jù)著重要的地位，《義務教育數(shù)學課程標準》中對一次函數(shù)的教學提出了更高的要求，具體來說要求能畫出一次函數(shù)的圖象，并根據(jù)它的圖象和表達式y(tǒng)=kx+b(k≠0)探索自變量x的系數(shù)k在取不同的值時函數(shù)圖象對應的變化.基于此，本文中以一次函數(shù)圖象教學為例，探討初中數(shù)學一次函數(shù)的教學設計，以期為教學提供助力.

1 情境引入

眾所周知，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線，主要說明了以下兩點：第一，滿足y=kx+b(k≠0)的任何一組x，y的值(橫、縱坐標)對應的點都在這條直線上，這說明了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的完備性；第二，這條直線上所有點的橫、縱坐標(x，y的值)都滿足這個表達式，這說明了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的純粹性.顯而易見，這兩個方面對初次接觸函數(shù)的學生來說，有一定的難度.因此，在部分教材中將一次函數(shù)的教學目標主要設置為“感知”，規(guī)避難點，以常規(guī)的“列表、描點和連線”三步操作，不斷引導學生觀察一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象，但對為什么滿足y=kx+b(k≠0)的點構成的圖形就是一次函數(shù)的圖象沒作出任何理解性說明.但以“列表、描點、連線”的方式得出的圖象就說其為一次函數(shù)的圖象是解釋不通的，會使學生感到突兀，最終導致不能很好地理解一次函數(shù)的知識，從而影響后續(xù)其他知識的學習；即便通過強化練習能讓學生從感官上接受一次函數(shù)的圖象是直線，但學生在理解上仍然存在著一定的障礙.

那么，怎樣才能引導學生正確理解一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線呢？首先，要從實際情境引入，從動態(tài)的直線著手，找到理解一次函數(shù)圖象就是直線的切入點.一般來說，點動成線，但點動未必成直線，只有點沿著某一個固定方向或其反方向運動時，點的運動軌跡才是直線.因此，想要說明一次函數(shù)的圖象是直線，亦可以說一次函數(shù)圖象上點的運動軌跡是直線.其次，從函數(shù)圖象的傾斜程度入手進行深度理解.實際上，想要說明點動態(tài)生成的直線方向是不變的，可從點的運動軌跡入手，說明其與一條特定的直線平行，即一次函數(shù)圖象上任意一點與其經(jīng)過的定點的連線和一條特定直線平行.根據(jù)直線傾斜角的定義可知，一次函數(shù)圖象上任意一點和其與x軸(橫軸)交點的連線，傾斜角相同，因此可以說明一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)上的點確實是在一條直線上，也充分體現(xiàn)了一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)中，k的值決定了直線的傾斜程度，b的值確定了直線和縱軸的交點坐標.為了降低學生的學習難度，教師可以不介紹傾斜角的相關概念.下面以引入實際情境的問題為例，更好地幫助學生理解一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線.

問題1播放一段視頻，在視頻中顧客頭頂系的蝴蝶結的運動路線是怎樣的？

問題2哪位同學能說明一下為什么蝴蝶結的運動軌跡是直線？

上述兩個問題主要是讓學生從實際情境中抽象出點動成線的思維，理解一個點必須要沿著一個指定的方向進行運動，其運動軌跡才能是一條直線，為后續(xù)課程的學習奠定基礎.

2 完善知識體系

復習相關數(shù)學知識時，教師要積極尋找知識間的聯(lián)系，使學生完善知識，并通過遞進型的問題串將知識點串聯(lián)在一起，促使學生形成知識結構網(wǎng)絡.在選擇習題方面，教師要重點關注問題之間的關聯(lián)性，引導學生打破知識壁壘，尋找不同的解題方案.下面以三個習題為例，說明完善知識體系的重要性.

圖1

圖2

(1)求B′的坐標；

(2)求直線AM的解析式.

圖3

通過以上三道例題，將課程的講解推向高潮，把學生的思維引領到更深的層次.通過旋轉(zhuǎn)、平移、對稱三大變換，引導學生從不同的層面解決實際問題，尋找變換中的不變量，使學生最終領悟到圖形的變換本質(zhì)，培養(yǎng)學生思維的靈活性.

3 開展實際應用

數(shù)學教師的主要職責就是盡可能開拓學生解決實際問題的能力.學生是在動態(tài)環(huán)境中學習數(shù)學，也能在動態(tài)中生成數(shù)學思維.通過呈現(xiàn)真實的情況，提出思考價值高的問題，進一步厘清學生的認知結構，促使學生在掌握基本技能和基礎知識的同時，還能增長解決實際問題的能力.

在應用中，教師可在學生看圖、思圖、議圖的過程中，對學生提出問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和發(fā)散思維.

圖4

例4一列快車從甲地開往乙地，一列慢車從乙地開向甲地，兩輛車同時出發(fā)，假設慢車的行駛時間為xh；兩輛車之間的距離為ykm，圖4的折線表示y與x之間的函數(shù)關系，請根據(jù)圖象探究以下問題：

(1)甲乙兩地之間的距離；

(2)解釋途中B,C,D點的實際含義；

(3)還能從圖中得到哪些信息？

例4通過將圖形作為背景，探究了以一次函數(shù)為基礎背景下的實際行程問題.通過看圖、思圖、議圖，反思題目的解決辦法，促使學生明白“數(shù)形結合”思想、方程思想等.最后教師再引導學生大膽提出問題，不僅能提高學生將實際問題變換成數(shù)學問題的能力，還能培養(yǎng)學生的發(fā)散思維、創(chuàng)新意識和探究能力.

4 教學反思

一次函數(shù)是學生在初中階段初次接觸的函數(shù)，因此，學習經(jīng)驗的總結和積累是十分重要的.把學習一次函數(shù)積累的經(jīng)驗運用到學習其他函數(shù)的過程中，是一種很重要的能力.主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

4.1 建立全新的研究思路

當學習一種全新的函數(shù)時，研究函數(shù)性質(zhì)起關鍵性的作用，函數(shù)圖象則是一種研究函數(shù)性質(zhì)的工具.從圖象的特性著手探索函數(shù)的本質(zhì)，真正體會到函數(shù)的實際變化規(guī)律.例如，學生在以后學習正比例函數(shù)時要關注函數(shù)圖象的大致變化趨勢，根據(jù)觀察能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增減性；在函數(shù)變化趨勢相同的情況下，又觀察發(fā)現(xiàn)圖象的陡和緩能影響函數(shù)值的變化速度；等等.本質(zhì)上就是充分研究函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)表達式中自變量前面的系數(shù)與函數(shù)圖象的關系.雖然說函數(shù)種類不同，但所有的函數(shù)題目考查方式都是差不多的，用推衍出的思路研究類似的函數(shù)對象是一種很重要的能力.

4.2 “數(shù)形結合”思想

“數(shù)形結合”思想是研究函數(shù)最重要的思想，在繪制函數(shù)圖象的過程中要時刻分析解析式.例如在觀察解析式y(tǒng)=2x時，要根據(jù)y隨x的變化對函數(shù)整體的趨勢有大致了解.而在利用函數(shù)圖象總結相關性質(zhì)時，要注重函數(shù)基本特征的代數(shù)表達，正確引導學生發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律.以上操作就是“數(shù)”和“形”之間的相互轉(zhuǎn)換，讓學生自行體驗從抽象到具體，從特殊到一般的思想.

總之，讓學生更好地理解一次函數(shù)是一次函數(shù)的教學重點、同時也是難點.不能因為它是難點，就回避問題，而要像本文所設計的一樣，在學生理解的基礎上，結合相關實際情況，因材施教，讓學生自主形成發(fā)散思維，才是應有的教育態(tài)度.