初中數學非標準題型解題思路研究
——以“換元法”為例

福建省南安市僑光中學

鄭海萍

學生在日常解題中，一旦遇到非標準、非典型的題目，如果按照傳統解題思路和模式進行解題，就會處處碰壁，出現甚至解題錯誤等情況.教師應指導學生另辟蹊徑，引入一個或若干個新元素替代問題中的“元”，借助變量代換的方式，通過化繁為簡、化難為易，逐漸降低解題難度.同時，鑒于換元法的特點，學生在學習和應用中，也逐漸拓展了自身的解題思路，培養了創新意識，促進了數學核心素養的發展.

1 換元法概述

換元法又稱為“輔助元素法”“變量代換法”，主要是運用一個新的變量，代替原本題目中的某一個元素，即運用一個新的元素，代替問題中原來的“元素”，進而使得原本非標準、非典型的數學問題變得更加標準、典型，有效降低學生的解題難度.從本質內涵上來說，換元法就是變量代換、轉化，其關鍵就在于合理選擇出“新元”，并將其代入到數學問題中，進行適當的代換，促進數學問題的轉化，以便于快速找到解題思路，順利解決數學問題.

縱觀初中數學解題現狀，在實施“換元法”時，基本上都是遵循“換元—求解—檢驗”步驟進行的.常用的換元方法主要包括局部換元、三角換元、均值換元三種.其中，局部換元就是指在數學解題中，某一個代數式反復出現了幾次，可采用一個字母進行代替，促使繁雜問題簡單化.通常，這一換元方式應用于不等式問題的求解中；三角換元則是在解決去根號、變換為三角形的問題中，運用已知代數式和三角知識間的內在連接點進行換元，常常將函數問題轉化為學生熟悉的三角函數進行解答；均值換元則常常應用于“兩個未知量的和是已知”的情況，借助均值換元的模式，運用新的變量將兩個未知量表示出來，進而完成數學問題的解答[1].

2 換元法在初中數學非標準題型解題中的具體運用

2.1 運用換元法解決方程問題

在初中數學解題中，換元是一種常用的解題方法.尤其是解決一些復雜的方程問題時，如果按照常規的解題方式，問題就會變得非常復雜，甚至超出學生的能力范圍，致使學生難以解答.其實，這些題目中常常蘊含著換元的條件，如果對其仔細分析，找出可替換的“元”，并運用新的未知數進行代替，那么，原本復雜的方程問題會變得簡單，以便于學生快速解出正確答案.

例1解方程(x2+5x+4)(x2+5x+6)=1.

如此一來，例1通過換元法的應用，避免了高次方程的出現，排除了學生無法解決問題的困擾，真正提升了學生的解題效率.學生經過一段時間訓練之后，也能從換元解題中，感受到換元法的內涵，喚醒學生的數學解題動機[2].

2.2 運用換元法解決方程組問題

在初中數學解題中，如果方程組求解的難度相對比較高，學生無法按照常規的方式解決時，就可引導學生借助換元法，將原本復雜的方程組進行轉化，比如將高次方程組轉化為低次方程組.另外，在解方程組的過程中，有的方程組雖然可運用傳統的方式解答，但計算量比較大，學生在繁瑣的計算中，常常會出現各種各樣的錯誤.鑒于此，也可借助換元法解題，減少計算量，避免解題錯誤.

分析：如果按照傳統的方法解方程組，學生就會面臨著復雜的計算，進而在繁雜的計算中，出現各種各樣的錯誤，嚴重制約了學生的解題效率.鑒于此，例2可借助單參數換元的方法，設2(x+1)=3(y-1)=6k，對其進行化簡，得出x=3k-1，y=2k+1，并將其代入到第二個方程中，得到5(3k-2)=3(2k+2)-7，解出k=1.所以x=3k-1=2，y=2k+1=3.

例2借助了換元法，將原來方程中比較復雜的代數式，運用一個簡單的字母進行代替，使得原本的方程變得簡單.需要說明的是，在借助這一方法解方程組時，應按照“設元—換元—求新元—回代—求解—驗根”的步驟進行，真正提升數學問題解決的效率[3].

2.3 運用換元法解決因式分解問題

在初中數學學習中，多項式的因式分解是考查的重點，也是學生學習的難點.學生在因式分解時，需明確因式分解和整式乘法的關系，并在新舊知識對比中，掌握因式分解的方法.在諸多的因式分解方法中，換元法尤為常用，并以其獨特的優勢，深受教師和學生的青睞.

例3分解因式(x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.

分析：在解答這一問題時，如果按照常規的解題思路，先利用乘法公式展開再分解，問題就會變得非常困難，而直接運用換元法似乎也不太可能.此時，學生必須要認真分析題目的結構，將其初步變形，得到(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120，之后對其重新組合，變形成為[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-120，并化簡為(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120；之后，就可借助換元法，設x2+5x+4=y，則原式就等于y(y+2)-120=y2+2y-120=(y+12)(y-10)，之后再代回原來的表達式，得(x2+5x+4+12)·(x2+5x+4-10)，經過化簡得出最終結果，即(x+6)(x-1)(x2+5x+16).

在例3的解答中，如何找到替換的“元”是關鍵.學生在解答該題之前，應對原式進行仔細觀察和分析，將其適當變形，通過分解和重新組合，找到替換的“元”.之后，再借助換元法完成問題的解答.

2.4 運用換元法加強整式運算

在初中數學學習中，一些非標準型的整式運算相對比較復雜，學生在解決問題時，常常面臨著無法下手、不知道如何解決的現象.鑒于此，可借助換元法，將整式中相同的部分視為一個整體，并借助新元進行代換，進而將復雜的整式運算轉化為簡單的數學問題.

例4計算：

(1-2-3-……-998)(2+3+4……+999)-(1-2-3-……-999)(2+3+4+……+998).

分析：在計算這一整式時，常規方法根本無法解決，唯有借助換元法的思想內涵，比如將(2+3+4+……+999)設為a，將(2+3+4+……+998)設為b，則原來的整式就可變為(1-b)a-(1-a)b，并據此進行求解.如此，通過換元法的應用，使得原本復雜的整式計算變得非常簡單，真正提升了學生的解題效率[4].

綜上所述，在初中數學解題中，學生常常會遇到非標準、非典型的問題，無法按照傳統的方式進行解題，甚至在解題中頻頻出現錯誤.鑒于此，可基于換元法的特點，采用新“元”替換的方式，將原本復雜的數學問題簡單化，以便于學生順利解決這些問題.