承壓水水位預(yù)測(cè)模型的建立及其應(yīng)用檢驗(yàn)

趙肖芒，王 瑤，段柏山

（1.湖南中核勘探公司，湖南 長(zhǎng)沙 410000；2.江西省大氣污染成因與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌 330013；2.東華理工大學(xué)地球科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330013；3.新疆中核天山鈾業(yè)有限公司，新疆 伊寧 835000）

地浸采鈾是利用人工鉆孔將溶浸劑注入含礦含水層后，將含鈾的浸出液通過(guò)抽液鉆孔抽出地表進(jìn)行加工處理的方法[1]。溶浸范圍的圈定是抽注作業(yè)前的關(guān)鍵問(wèn)題，決定著鈾礦是否浸出完全及整個(gè)采區(qū)地下水流狀態(tài)，而含礦含水層內(nèi)的承壓水水位埋深作為主要參考依據(jù)，其數(shù)據(jù)的系統(tǒng)規(guī)范一直是行業(yè)難題。因此，本文利用灰色系統(tǒng)理論，建立了一個(gè)預(yù)測(cè)模型，以期能夠解決該難題。

灰色系統(tǒng)理論是對(duì)“部分”已知信息進(jìn)行分析研究，包括對(duì)客觀事物的量化、建模、預(yù)測(cè)、決策、控制等；從而進(jìn)一步排除干擾噪聲，提取有價(jià)值信息，對(duì)運(yùn)行規(guī)律進(jìn)行準(zhǔn)確描述和精準(zhǔn)控制[2]。這一理論能夠?qū)㈦x散數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成信息完全、時(shí)間連續(xù)的動(dòng)態(tài)模型，目前已形成以灰色模型GM（Grey model）為核心的模型體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為基礎(chǔ)的分析體系，以灰色過(guò)程為基礎(chǔ)和以生成空間為內(nèi)涵的方法體系[3-4]。根據(jù)數(shù)據(jù)處理方法的不同，主要分為預(yù)測(cè)模型GM(h,1)、狀態(tài)分析模型GM(1,n)和靜態(tài)分析模型GM(0,n)，不同模型有著不同的適用范圍。其中GM(1,1)模型作為一階單變量模型，可通過(guò)對(duì)象自身的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，適用于小樣本的規(guī)律序列[5]，是最為活躍的模型之一，已被廣泛應(yīng)用于地下水位預(yù)測(cè)[6]、地裂差異沉降量、未來(lái)水質(zhì)預(yù)測(cè)等各個(gè)領(lǐng)域，并成功解決了大量實(shí)際問(wèn)題。

本文中承壓水位埋深是各種影響因子綜合作用的結(jié)果，符合灰因白果定律，故地下水水位埋深預(yù)測(cè)屬于灰色系統(tǒng)理論研究范疇，可通過(guò)建立地下承壓水灰色系統(tǒng)模型來(lái)更加科學(xué)地預(yù)測(cè)地下水埋深。運(yùn)用伊犁某采區(qū)SK26-1 觀測(cè)井2016 年4 月-2017 年3 月的實(shí)測(cè)承壓水位的原始埋深數(shù)據(jù)作為原始序列生成的原始數(shù)據(jù)模型，通過(guò)白化后的GM(1,1)模型來(lái)求解地下水的埋深，從而能夠準(zhǔn)確預(yù)判整個(gè)采區(qū)地下水動(dòng)力場(chǎng)的變化情況，及時(shí)更改抽注流量，從而達(dá)到控制溶浸范圍，保持抽注平衡的目的，并為地浸采鈾礦山中的地下水埋深預(yù)測(cè)提供新的解決思路。

1 灰色模型概述

灰色系統(tǒng)理論是我國(guó)華中科技大學(xué)鄧聚龍教授于19 世紀(jì)80 年代初創(chuàng)立并發(fā)展的理論，它把一般信息論、控制論和系統(tǒng)論的方法和觀點(diǎn)延伸至社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)，與數(shù)學(xué)方法結(jié)合起來(lái)發(fā)展出一套解決灰色系統(tǒng)理論方法。灰色理論系統(tǒng)認(rèn)為，一個(gè)系統(tǒng)如果受到多重外界環(huán)境及復(fù)雜內(nèi)部因素影響（灰因）則屬于不確定系統(tǒng)的發(fā)展演化；對(duì)于不確定系統(tǒng)的趨勢(shì)預(yù)測(cè)，無(wú)法建立明確因變量和自變量的函數(shù)模型。但在諸多因素的共同作用下，待預(yù)測(cè)結(jié)果仍然是明確的（白果），即，待預(yù)測(cè)結(jié)果是該系統(tǒng)復(fù)雜內(nèi)因外因共同作用下的最終表現(xiàn)形式，體現(xiàn)著所有影響因素在該系統(tǒng)內(nèi)的發(fā)展演變趨勢(shì)。20 多年來(lái)，GM 模型已被廣泛應(yīng)用于社會(huì)各領(lǐng)域，該模型利用“生成”法將不確定因素處理轉(zhuǎn)化為存在一定規(guī)律性的新數(shù)列，做到亮化信息從而快速建模；再通過(guò)對(duì)建立模型的逆生成，得到原始數(shù)據(jù)的分析模型。作為GM 模型的基礎(chǔ)和核心，GM(1,N)表示1 階的、N 個(gè)變量的微分方程型模型，而GM(1,1)，表示1 階，1 個(gè)變量的微分方程模型。

2 GM(1,1)模型

2.1 GM(1,1)模型的定義型

根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，對(duì)于原始序列x0(k)=[x0(1),x0(2),…,x0(n)]，灰色GM(1,1)模型的定義型為：

灰微分方程建立過(guò)程可表示為：

2.2 GM(1,1)的白化模型

灰色模型GM(1,1)的白化模型為：

式中：a 為發(fā)展系數(shù)，其大小和符號(hào)反映了原始序列x0(k)和其AGO（累加）生成序列x1(k)過(guò)程中的發(fā)展態(tài)勢(shì)；b 為灰作用量，它是從背景值挖掘出來(lái)的數(shù)據(jù)，反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，不是可以直接觀測(cè)的，其確切內(nèi)涵是灰的，是內(nèi)涵外延化的具體體現(xiàn)，需要通過(guò)上述微分方程（公式）計(jì)算得到。

對(duì)于原始序列x0(k)=[x0(1),x0(2),…,x0(n)]及其AGO（累加）序列x1(k)=[x1(1),x1(2),…,x1(n)]，GM(1,1)白化模型的響應(yīng)式分別為：

2.3 GM(1,1)模型的參數(shù)識(shí)別

令k=2,3,…,n分別代入GM(1,1)模型的定義型x0(k)+az1(k)=b中，可以得到如下方程組：

根據(jù)以上公式可以對(duì)x0(k)進(jìn)行推測(cè)，然后再進(jìn)行殘差檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)，以獲得已建立模型的預(yù)測(cè)精度及等級(jí)。

3 GM(1,1)模型應(yīng)用

下面以某礦床水文調(diào)查區(qū)水文觀測(cè)孔（SK26-1）水位埋深數(shù)據(jù)為實(shí)例進(jìn)行具體分析，用來(lái)判定模型是否適用，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果（模擬值）進(jìn)行精度檢驗(yàn)。

3.1 建立原始數(shù)列

以SK26-1水文觀測(cè)孔實(shí)測(cè)承壓水水位埋深數(shù)據(jù)（表1）作為原始序列，則x0=[x0(k),x0(k),…,x0(k)](k=1,2,3,…,12)=（173.77，171.95，170.45，169.60，169.80，170.30，172.50，172.84，163.43，164.63，167.64，168.73）。

表1 SK26-1 水文觀測(cè)孔實(shí)測(cè)承壓水水位埋深數(shù)據(jù)

3.2 原始數(shù)列的級(jí)比檢驗(yàn)

灰色建模有嚴(yán)格的條件，在原始序列給出后，必須進(jìn)行級(jí)比和級(jí)比界區(qū)判斷，只有原始序列的級(jí)比在級(jí)比可容區(qū)和級(jí)比界區(qū)內(nèi)，對(duì)原始序列進(jìn)行GM(1,1)建模才是可行的。原始序列的級(jí)比計(jì)算公式為：

其計(jì)算結(jié)果為：

σ1(k) ==(1.0106，1.0088，1.0050，0.9988，0.9971，0.9872，0.9980，1.0576，0.9927，0.9821，0.9936)，(k=2，3，…，12)。上述結(jié)果表明，級(jí)比σ1(k)均在可容區(qū)(e-2，e2)=(0.1353，7.3891)范圍內(nèi)。說(shuō)明原始序列的數(shù)據(jù)是平滑的，能夠作為參考數(shù)據(jù)進(jìn)行灰預(yù)測(cè)。

3.3 灰生成

3.3.1 AGO（累加）生成

為降低原始數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定性（波動(dòng)性），加強(qiáng)其規(guī)律性，對(duì)原始序列作一次累加，生成(AGO)后得到序列函數(shù)：

3.3.2 MEAN（均值）生成

根據(jù)灰色理論z1(k)的計(jì)算公式，可以計(jì)算出其MEAN（均值）。經(jīng)過(guò)計(jì)算可以得MEAN（均值）=z1(k)=(258.83，427.63，594.88，763.70，935.40，1114.65，1295.11，1426.81，1558.60，1745.16，1934.36)。

3.4 模型參數(shù)a 和b 的計(jì)算

根據(jù)中間參數(shù)（C、D、E、F）、發(fā)展系數(shù)a 及灰作用量b 的計(jì)算公式，結(jié)合Matlab 科學(xué)計(jì)算軟件分別計(jì)算出C、D、E、F、a、b。計(jì)算過(guò)程及結(jié)果如下：

3.5 建立GM(1,1)模型和響應(yīng)式

由原始序列（表1）可知：x0(1)=173.77，則：

由此可以得到GM(1,1)模型的定義型和白化響應(yīng)式：

表2 水文觀測(cè)孔(SK26-1)承壓水GM(1,1)模型參數(shù)計(jì)算表

3.6 結(jié)果檢驗(yàn)

3.6.1 殘差檢驗(yàn)

相對(duì)殘差為：

平均殘差為：

精度為：

系統(tǒng)模型的平均殘差只有0.322%，對(duì)比預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值，發(fā)現(xiàn)兩者十分接近（最大誤差為1.04m，最小誤差為0.14m）；可明顯看出，預(yù)測(cè)值曲線在實(shí)測(cè)值曲線附近有小幅波動(dòng)，兩條曲線光滑且擬合良好，該模型預(yù)測(cè)精度高達(dá)99.678%，擬合度及可信度較高。

3.6.2 后驗(yàn)差檢驗(yàn)

原始數(shù)據(jù)均值為：

殘差均值為：

原始數(shù)據(jù)方差為：

殘差數(shù)據(jù)方差為：

后驗(yàn)差比值為：

小誤差概率為：

4 結(jié)論

為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)伊犁某地浸采鈾礦區(qū)承壓水水位埋深，控制溶浸范圍，達(dá)到抽注平衡，本文應(yīng)用了灰色系統(tǒng)理論的數(shù)學(xué)原理及GM(1,1)模型建立原始數(shù)列，利用灰生成降低數(shù)據(jù)波動(dòng)性，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)近似且有一致的變化趨勢(shì)。

與此同時(shí)，通過(guò)“殘差檢驗(yàn)法”和“后驗(yàn)差檢驗(yàn)法”檢驗(yàn)GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度。檢驗(yàn)結(jié)果表明，GM(1,1)模型對(duì)于實(shí)驗(yàn)樣本預(yù)測(cè)精度高達(dá)99.678%，屬于Ⅰ級(jí)灰色動(dòng)態(tài)模型預(yù)測(cè)精度，適用于具有灰色特征的砂巖型鈾礦床承壓水埋深等原始序列的模擬控制和預(yù)測(cè)分析，可以為地浸采鈾礦山實(shí)際生產(chǎn)中含礦含水層的承壓水位進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。