300多年過去了“三體問題”有解了嗎

駱香茹

“它是三體紀念碑，也是一個墓碑。”

“墓碑？誰的？”

“一個努力的，一個延續了近二百個文明的努力，為解決三體問題的努力，尋找太陽運行規律的努力。”

“這努力終結了嗎？”

“到現在為止，徹底終結了。”

“已經確切地證明，三體問題無解。”

在劉慈欣的小說《三體》里，“三體問題”作為“三體人”遠征的原初動力，推動了小說的發展。確切地說，正是由于“三體問題無解”，“三體人”才不得不向地球出發。

隨著《三體》動畫版及真人版相繼播出，既古老又嶄新的“三體問題”也再度進入大眾視野。如今，“三體問題”已提出300多年，《三體》問世也十年有余，科幻在進步，科學家求解“三體問題”有哪些進展？

“二體問題”解決之后

“三體問題”究竟是什么？它為何如此重要，讓無數科學家為之著迷？

在小說《三體》里，“三體人”生活在由三顆恒星組成的三體系統中，恒紀元與亂紀元毫無規律地交替出現。換句話說，在“三體人”的星球上，三顆太陽并不會“照常升起”，而是時有時無，不定時出現。無法破解“三體問題”奧秘的“三體人”只能不斷脫水、浸泡，艱難生存。

“三體人”的困境是“三體問題”的一個極端案例。從科學角度說，“三體問題”是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體，在萬有引力作用下運動的規律問題。

想理解“三體問題”必須回到問題的起點，回到牛頓時代，回到更基礎的“二體問題”——兩個天體如何運動？有何規律？

300多年前，據說因一顆蘋果落地，牛頓發現了萬有引力。在萬有引力定律、牛頓力學定律的基礎上，牛頓解決了“二體問題”：行星繞太陽運動的軌跡是一個能夠用數學公式表示的橢圓軌道。

“在牛頓之前，人們從幾何學的角度理解行星的運動——只有圖像，沒有物理。通過天文觀測，人們知道地球繞著太陽沿橢圓軌道運動，但無法解釋它為什么沿著橢圓軌道運動。”南京大學天文與空間科學學院教授周禮勇表示，牛頓解決了兩個天體沿橢圓軌道運動的問題，而約翰·伯努利則給出了兩個天體在萬有引力作用下的軌道形狀：這類軌跡在數學上被稱為圓錐曲線。

解決了“二體問題”，“三體問題”乃至“N體問題”開始進入科學家的視野。

一場長達數百年的探索正式拉開帷幕。

為何“三體問題”無解

無論是“二體問題”，還是“三體問題”“N體問題”，原本都是天文學的問題，倘若將天體抽象為只有質量，沒有大小、體積、形狀的質點，這一問題就可以轉化為數學問題。

“根據抽象模型寫出來的運動方程，完全可以脫離天文學的背景。如果我們去檢索在‘三體問題或者是‘N體問題上有比較重要貢獻的那些人，會發現他們基本上都是數學家。”周禮勇說，“所以其實它基本上就是一個數學問題。”

周禮勇介紹，在數學上，“三體問題”被表達為一個常微分方程組。力學系統中常常有一些守恒量，如能量守恒、動量守恒等。這些守恒量對系統的運動構成特定的限制，當這些限制條件足夠多時，系統的運動就能確定下來，換句話說，這個系統的運動就被“解出”了。這意味著，科學家可以用已知的函數顯式地表達出任意時刻天體的位置和速度。

對由N個常微分方程描述的力學系統，這樣的限制條件被稱為“首次積分”。1843年，數學家雅可比證明，只要找到N-2個首次積分，就可以完全解出N階力學系統。

而“三體問題”正是一個18階的力學系統。為了尋找常微分方程組的首次積分，找到“三體問題”的解析解，一代代數學家使出“十八般武藝”，試圖從不同途徑靠近答案。

1897年，瑞典與挪威的皇帝奧斯卡二世設立了奧斯卡二世大獎，列出了若干科學難題，其中一個就跟“三體問題”有關。該問題要求科學家給出“N體”中每個質點在任意時間上由已知函數構成的、一致收斂的級數解。

今天，人們已經知道，“三體問題”不存在這樣的解析解，或者說不存在一般意義上的通解，然而數學家龐加萊卻憑借對“三體問題”的研究獲得了奧斯卡二世大獎。

“他獲獎并不是因為找到了這個解，而是因為證明在絕大多數情況下，這樣的解不存在。”周禮勇介紹，“獲獎后，龐加萊還證明不存在更多的首次積分——此前已經有數學家找出了10個被稱為‘經典積分的首次積分。科學家都在思考‘三體問題能不能解決，而龐加萊的答案是：不能解決。”

龐加萊以否定的方式解決了問題，宣告“三體問題”在通常意義下沒有解析解。

“三體人”的困境是“三體問題”的一個極端案例。從科學角度說，“三體問題”是天體力學中的基本力學模型。它是指三個質量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質點的天體，在萬有引力作用下運動的規律問題。

1912年，芬蘭數學家松德曼證明，除三體碰撞奇點的情況外，“三體問題”存在一個級數解。然而，這個級數解收斂太慢，如果想要應用它，需要寫下10的800萬次方項——這意味著，松德曼給出的級數解完全不可能實現實際應用。

到龐加萊和松德曼的時代，“三體問題”似乎已經走到了終點，該告一段落了，但科學家不這么想。

借助超級計算機找周期解

明知不可為而為之，有時正是科學的一部分。

數學家已經證明，“三體問題”沒有解析形式的通解。但這并不意味著人們在這個問題上無路可走——迄今為止，科學家已經發現了成千上萬族周期解。

“三體問題”既不可解又可解。當它不可解時，宛如導向了科學的“死胡同”，當它可解時，又能“冒出”海量特解，這看上去似乎十分矛盾。其實，尋找通解和特解一直是“三體問題”的兩個分支。通俗地說，通解是適用于所有條件的解，而特解則是在一個或多個條件下得到的解。

周禮勇表示，“三體問題”的一類特解是周期解。所謂周期解是指天體運動的一種特殊軌道，在這樣的軌道上任選一點，天體在經過一個周期后必然會以同樣的速度再次通過這個點。

最先找到“三體問題”周期解的是數學家歐拉。在三個天體總是處在一條直線上的條件下，他找到了3個周期解，它們被稱為“歐拉解”。此后，數學家拉格朗日在三個天體呈等邊三角形構型的條件下，找到了2個周期解，這一族周期解連同“歐拉解”被統稱為“拉格朗日解”，而這5個特解所在的位置又叫作“拉格朗日點”。

在尋找周期解的路上，龐大的計算量是繞不開的“攔路虎”，在用紙筆計算的年代，這項工作在很長一段時間里進展緩慢。進入計算機時代后，周期解的數量開始大幅增加：

2013年，塞爾維亞科學家利用計算機，成功找出了13族周期解。

2017年，上海交通大學廖世俊教授團隊利用超級計算機，發現了695族周期解。此后，該團隊發現了更多周期解。2022年，他們提出了求解“三體問題”周期解的路線圖。

“超級計算機、機器學習、人工智能等工具會幫助‘三體問題取得更多進展。”周禮勇表示，“人們求解‘三體問題時，無非是要總結規律。這個規律在復雜的‘三體系統里隱藏得很深，目前的人類大腦可能暫時無法找出這種規律。”

“使用超級計算機或人工智能或許能夠找到規律，但想要理解規律，徹底解決‘三體問題，還需要人類的理性。”周禮勇補充說。

找到更多周期解，探尋“三體”乃至“N體”的運動規律，對人類來說有用嗎？

周禮勇說，研究“三體問題”有助于人類理解大規模、長時間尺度下天體的運動，了解太陽系外行星系統的形成和演化。當然，三體問題還是混沌系統的絕佳范例。

“實際上，‘三體問題也是重要的數學問題，與拓撲學、幾何學、動力系統等數學分支緊密相關。此外，也有人將‘三體問題的概念拓展至量子系統等領域中。”周禮勇補充。

回過頭來看《三體》里的“三體紀念碑”，那不是一座墓碑，而是一座豐碑——標記著科學家攜帶著人類的無窮好奇心和無限想象力，去挑戰未知所付出的一切努力。它將持續書寫著關于“三體問題”的勇氣與榮光，過去與未來。

◎ 來源|科技日報